1. INDUCCIÓN MATEMÁTICA
1. Si n es un número natural, demuestre por inducción la veracidad o falsedad de:
a) (32n
- 1) es divisible por 8.
b) 1 + 2 + 3 + · · · · · · · + n =
c) 1 + 4 + 7 + · · · · · · · + (3n - 2) =
d) (n3
- n) es divisible por 3.
e) 13
+ 23
+ 33
+ · · · · · · · + n3
=
f) (1 + 2 + 3 + · · · · · · · + n)3
= 13
+ 23
+ 33
+ · · · · · · · + n3
g) 2 + 22
+ 23
+ · · · · · · · + 2n
= 2(2n
- 1)
h) 13
+ 33
+ 53
+ · · · · · · · + (2n - 1)3
= n2
(2n2
- 1)
i) (6n + 1
+ 4) es divisible por 5.
j) 5n
- 2n
es divisible por 3.
k) xn
- yn
es divisible por x - y
l) Si n es un número natural impar, entonces n(n - 1) es divisible por 24.
m)
2. Probar cada una de las proposiciones siguientes, usando inducción matemática
a) n < 2n
para todo n>0
b) n3
+ 2n es divisible por 3.
c) n2
+ 2 es divisible por 2
d) n(n + 1)(n + 2) es divisible por 3
e) n3
+ 5n es divisible por 3.
f) a2n
- b2n
es divisible por a + b con a, b € Z y a + b 0

2. g) xn
- yn
es divisible por x + y
h) 1 + 3 + 5 + 7 + · · · · · · · · · + (2n - 1) = n2
i) 2 + 7 + 12 + · · · · · · · + (5n - 3) =
j)
k) 3n
> 2n + 1
l) 2n < 2n