Cálculo

1. APLICACIÓN DEL METODO DE MULTIPLICADORES DE LAGRANGE
EJERCICIO 4. extremos sobre una recta. Obtenga los valores extremos locales
de 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥2
𝑦 sobre la recta x + y = 3.
1. Determinar la función objetivo
𝐿(𝑥, 𝑦, 𝜆) = 𝑥2
𝑦 + 𝜆(𝑥 + 𝑦 − 3)
2. Derivar y hallar los puntos críticos
Lx= 2xy+λ = 0 → λ= - 2xy
Ly= 𝑥2
+λ = 0 → λ= -𝑥2
Lλ= x+y-3 = 0
λ= λ
x2
= 2xy
2xy - 𝑥2
= 0
x(2y-x) = 0
x= 0 ; x = 2y
Para Lλ = x+y-3
*Cuando x = 0
y= 3
*cuando x =2y→x=2
y = 1
Para λ= -𝑥2
*Cuando x = 0
λ= 0
*Cuando x = 2
λ= -4
3. Los puntos críticos son:
P1 (0;3;0) P2 (2;1;-4)
4. hallando la segunda derivada
Lxx= 2y Lxy= 2x
Lyy= 0 g(x)= 1 g(y)= 1
5. Hallando los puntos máximos y mínimos.
Hay mínimo en el punto crítico P1 Hay máximo en el punto crítico P2

2. EJERCICIO 24. Extremos en una esfera. Obtenga los puntos sobre la esfera
𝑥2
+ 𝑦2
+ 𝑧2
= 25 , donde 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥 + 2𝑦 + 3𝑧 tiene sus valores máximos y
mínimos.
1. Determinar la función objetivo.
𝐿(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝜆) = 𝑥 + 2𝑦 + 3𝑧 + 𝜆(𝑥2
+ 𝑦2
+ 𝑧2
− 25)
2. Derivar.
Lx= 1+λ(2x) = 0
Ly= 2+λ(2y) = 0
Lz= 3+λ(2z) = 0
Lλ = 𝑥2
+ 𝑦2
+ 𝑧2
− 25 = 0
3. Hallar los puntos críticos.
λ=
−1
2𝑥
; λ=
−2
2𝑦
; λ=
−3
2𝑧
−1
2𝑥
=
−2
2𝑦
=
−3
2𝑧
𝑦 = 2𝑥 ; 𝑧 = 3𝑥 ; 2𝑧 = 3𝑦
Reemplazar en x2
+ 𝑦2
+ 𝑧2
− 25
𝑥2
+ (2𝑥)2
+ (3𝑥)2
= 25
14𝑥2
= 25 → x=√
25
14
; y= 2√
25
14
; z= 3√
25
14
; λ= -
√14
10
𝑃𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑐𝑟𝑖𝑡𝑖𝑐𝑜:
P1 (
5√14
14
;
5√14
7
;
15√14
14
;
−√14
10
)
4. Derivada de segundo orden.
Lxx= 2λ Lyy= 2λ Lzz= 2λ
Lxy= 0 Lxz= 0 Lzy= 0
gx= 2x gy= 2y gz= 2z
5. Hallando los puntos máximos y mínimos.
△4(x;y;z,λ) = det (
0
2𝑋
2𝑌
2𝑍
2𝑋 2𝑌 2𝑍
2𝜆 0 0
0
0
2𝜆
0
0
2𝜆
)
△3(x;y;z,λ) = |
0 2𝑥 2𝑦
2𝑥 2𝜆 0
2𝑦 0 2𝜆
|

3. Evaluar en el punto critico: P1 (
5√14
14
;
5√14
7
;
15√14
14
;
−√14
10
)
△4(x;y;z,λ) = -57.93 < 0
△3(x;y;z,λ) = 26.81 > 0
Por lo tanto concluimos que hay un máximo en
(
5√14
14
;
5√14
7
;
15√14
14
;
−√14
10
)