Este documento presenta los pasos resueltos para aplicar la transformada de Laplace y la serie de Fourier a diferentes funciones. En la primera sección, se utiliza la definición de la transformada de Laplace para resolver funciones. En la segunda sección, se aplican propiedades de la transformada de Laplace como linealidad y teoremas de traslación. La tercera sección involucra aplicar la transformada inversa de Laplace. La cuarta sección usa el teorema de convolución. Las últimas dos secciones desarrollan la expansión en serie de Fourier para diferentes funciones per

1. Universidad Fermín Toro
Vice-rectorado Académico
Decanato de Ingeniería
Escuela de Mantenimiento Mecánico
Transformada de Laplace y serie de Fourier
AUTORES : Isaias Suarez CI : 19.323.444
TUTORES : Jose luis Morillo
CABUDARE, MARZO DEL 2012

2. 1.) UTILIZAR LA DEFINICION DE TRANSFORMADA DE LAPLACE Y
RESOLVER LA SIGUIENTE FUNCION
5 2
F t t 7 5 cos 3 t
3

3. 2.) UTILIZAR PROPIEDADES Y TABLA PARA DETERMINAR LA
TRANSFORMADA DE LAPLACE. ENUNCIE LAS PROPIEDADES ANTES DE
RESOLVER. SIMPLIFIQUE LOS RESULTADOS.
7 4t 2
a) F t e ( c os 2 5t 2 c osh 2 3t 4t 7 )
2 3
3 sen3t
b) F t t 6 senh 2t 5
5 t2
3 3 5
c) F t L F" t si F t c os 2t 2e 3t t
4 5
Resolución problema parte A:
Aplicando linealidad
Se multiplica y se divide la tercera transformada por 7!
Se aplica el primer teorema de traslación y tablas

4. Simplificando
Resolución del problema parte B.
Aplicando linealidad
Multiplicando por t en la primera transformada y división por t en la
segunda transformada, por tablas se obtiene:

5. Resolviendo:
Resolución problema parte C:
L f t s 2 .L f t s. f (0) f ' (0) ____(1)
asi
3 3 4 entonces 3 5
f (t ) cos 2t 2e 3t t f (0) 2
4 5 4 4
3 12 3 entonces
f ' (t ) sen 2t 6e 3t t f ' (0) 6
2 5
3 3 5
L f t L cos 2t 2e 3t t
4 5

6. Aplicando linealidad:
3 3t 3 t5
L f t L cos 2t 2L e .5!.L
4 5 5!
3 s 1 1 1
L f t 2 2 72
4 s2 4 s 2
4 s 3 s6
Sustituyendo en (1)
3 s 2 72 5
L f t s2 s 6
4 s2 4 s 3 s6 4
simplificando
3 s3 2s 2 72 5
L f (t ) s 6
4 s2 4 s 3 s4 4
3.-Aplicar Tabla, simplificación y método correspondiente para
1
determinar L f s F t
Resolución problema parte A
3
7 s 5
1 4 5 s 5 7 7s 4 4 5
a) L 2 3
3 9 s 2
10s 25 8s 2 18 s 2 4
3 s 12 7
4
Aplicamos factorización y separamos las fracciones:
L⁻¹ L⁻¹

7. Aplicando linealidad
Por tablas:
Resolución del problema parte B
1 4s 7 6s 4
b) L
5 17 1
s2 s s2 s 20
3 4 3
Completando el cuadrado perfecto
Se le suma a la primera fracción 5/6 y -5/6, a la segunda fracción se le suma 1/6 y
-1/6

8. Aplicando linealidad:
Por tablas:
Resolución del problema parte C
1 s2 2s 3
c) L
s2 2s 2 s 2 2s 5
Se aplica el método de fracciones parciales para escribir la fracción en
varias fracciones

9. Igualamos coeficientes
(I)
0 (II)
(III)
(IV)
Sustituimos en (II) Y (IV)

10. Por consiguiente:
Completando cuadrado perfecto
Aplicando linealidad
Por tablas
4.) Utilizar el teorema de Convolución y determine:
2 5
L1
s3 s 2 2

11. Aplicando el método de convolucion
Integrando obtenemos

12. 5.) Determine el semiperiodo del seno de Fourier para
F x 4x ; 0 x 1 Realizar el espectro de la función.
La serie de Fourier resulta

13. 6.) DESARROLLE LA EXPANSIÓN Y REALICE EL ESPECTRO DE FOURIR DE
LA FUNCIÓN
1 si 0 x 1
F x T=2
2 x si 1 x 2

14. Entonces
Finalmente