El documento presenta información sobre la transformada de Laplace y su aplicación para resolver ecuaciones diferenciales lineales. Explica la definición de la transformada de Laplace, cómo calcularla e invertirla, y cómo usarla para resolver sistemas de ecuaciones diferenciales lineales. También incluye ejemplos y ejercicios resueltos sobre el tema.

1. UNIDAD III
TRANSFORMADA DE LAPLACE Y SISTEMA
DE ECUACIONES DIFERENCIALES
LINEALES
REALIZADO POR:
PROF., CINTHIA HUMBRÍA
SANTA ANA DE CORO, 2008

2. 3.1 OBJETIVO DIDÁCTICO: Adquirir los conocimientos esenciales de la
transformada de Laplace, la inversa de la transformada de Laplace y aplicar
dichos conocimientos para encontrar soluciones de ecuaciones diferenciales
lineales con coeficientes constantes, además de adquirir las nociones básicas
para la resolución de sistemas de ecuaciones diferenciales
3.2 TRANSFORMADA DE LAPLACE
Definición:
Sea )
(t
f una función real, definida en el intervalo  

,
0 . Si la integral
converge, la cual es una función de S:
dt
t
f
e
s
F st
).
(
.
)
(
0




Donde, 


 






S
dt
t
f
e
Lim
dt
t
f
e
b
st
b
st
0
0
).
(
.
).
(
.
Es llamada la Transformada de Laplace de )
(t
f , la cual se denota por
  )
(
)
(
)
( s
f
L
o
t
f
L
  




0
).
(
.
)
(
)
( dt
t
f
e
t
f
L
s
F st
Ejemplo:
1) Calcular la transformada de la siguiente función:
a) 1
)
( 
t
f
 






















0
0
1
1
.
).
1
.(
)
(
0
0 s
s
s
s
e
Lim
dt
e
Lim
dt
e
t
f
L
sb
b
b
st
b
st
Entonces,  0
,
1
1 
 s
s
L
b)
at
e
t
f 
)
(
 


























a
s
a
s
a
s
a
s
e
Lim
dt
e
Lim
dt
e
e
t
f
L
b
a
s
b
b
t
a
s
b
at
st
1
1
.
).
.(
)
(
)
(
0
)
(
0
Entonces,   a
s
a
s
e
L at


 ,
1

3. 3.2.1 EJERCICIOS
1. En los siguientes problemas aplique la definición para determinar  
)
(t
f
L ,
halle el rango de convergencia:
a.
7
)
( 
 t
e
t
f b.
t
e
t
t
f 4
.
)
(  c. )
(
.
)
( t
Cos
t
t
f  d. )
(
.
)
( t
Sen
e
t
f t


e.
4
2
)
( t
t
f  f.
t
e
t
f 4
1
)
( 
 g. )
3
(
.
5
4
)
( 2
t
Sen
t
t
f 

h. )
(
)
( kt
Cosh
t
f  siendo
2
)
(
at
at
e
e
at
Cosh



i. )
(
.
)
( t
Senh
e
t
f t

2. Aplique la tabla para determinar la Transformada de Laplace de las
siguientes funciones:
a. 5
)
( 9
2


  t
e
t
t
f b.
2
)
(
)
( t
t
e
e
t
f 


c. )
2
(
)
5
(
)
( t
Sen
t
Cos
t
f 
 d. )
(
.
)
( t
Cosh
e
t
f t

e.
2
2
)
1
(
)
( t
e
t
f 
 f.
t
e
t
f 4
1
)
( 

g.
t
e
t
t
f 2
2
.
)
(  h. )
(
.
)
( t
Senh
e
t
f t


i. ))
2
(
10
4
9
(
)
( 3 t
Sen
t
e
t
f t


 j. )
5
(
).
.
3
1
(
)
( 4
t
Cos
e
e
t
f t
t 



3.3 Teorema de Linealidad:
Si a y b son constantes, entonces:
      S
t
g
L
b
t
f
L
a
t
g
b
t
f
a
L 


 )
(
.
)
(
.
)
(
.
)
(
. , tal que las transformadas
de Laplace de f y g existan a la vez.
Ejemplo:
1) Calcular  
6
5
3 2

  t
t
e
e
L
      
.
6
2
5
1
3
1
.
6
2
1
.
5
1
1
.
3
1
.
6
.
5
.
3
6
5
3 2
2
s
s
s
s
s
s
L
e
L
e
L
e
e
L t
t
t
t
































 


4. 3.4 Inversa de la Transformada de Laplace
Si  
)
(
)
( t
f
L
s
F  , entonces )
(t
f es la transformada inversa de laplace de
)
(s
F y se expresa de la siguiente forma:
 
)
(
)
( 1
s
F
L
t
f 

Ejemplo:
1) Dada
3
1
3
)
(



s
s
s
F encuentre  
)
(
)
( 1
s
F
L
t
f 

t
t
e
t
f
e
s
L
s
L
s
s
L 3
3
1
1
1
3
)
(
)
1
.(
3
3
1
1
.
3
3
1
3



























 


2) Dada
)
3
).(
2
(
1
)
(



s
s
s
F encuentre  
)
(
)
( 1
s
F
L
t
f 

Cuando el denominador consta de factores lineales, entonces la
transfrmada de laplace inversa de la descomposición en fracciones
parciales es una aplicación de la transformada de la exponencial elemental.
  a
s
e
L at


1











 1
1
3
2
)
3
)(
2
(
1
B
A
s
B
s
A
s
s

3
1
2
1


 s
s
Linealidad
t
t
e
e
s
L
s
L
s
s
L 3
2
1
1
1
3
1
2
1
3
1
2
1 































t
t
e
e
t
f 3
2
)
( 



3) Dada
4
3
)
( 2


s
s
F encuentre  
)
(
)
( 1
s
F
L
t
f 

)
2
(
)
2
(
4
3
4
3
2
2
)
2
)(
2
(
3
)
2
)(
2
(
3
4
3
4
3
4
3
1
2
1





































s
s
B
A
s
B
s
A
s
s
s
s
L
s
L

5. Aplicando linealidad y la inversa nos queda:
t
t
e
e
t
f
s
L
s
L
s
s
L 2
2
1
1
4
3
4
3
1
4
3
4
3
)
(
2
1
4
3
2
1
4
3
2
2



































Podemos observar que al quedarnos


















)
2
)(
2
(
3
4
3 1
2
1
s
s
L
s
L
Se puede aplicar la formula número (28) que esta en la tabla de transformada,
siendo así, entonces
t
t
t
t
e
e
e
e
t
f
s
s
L
s
L
2
2
2
2
1
2
1
.
4
3
.
4
3
4
.
3
)
(
)
2
)(
2
(
3
4
3


































3.4.1 Propiedad de desplazamiento
Suponga que  
)
(
)
( t
f
L
s
F  existe para b
s  . Si a es un número real,
entonces   b
a
s
a
s
F
t
f
e
L at



 ),
(
)
(
.
Ejemplo:
1) Calcule  
t
Cos
e
L t
3
.
2
Como  
9
3 2


s
s
t
Cos
L , entonces   9
)
2
(
2
3
. 2
2




s
s
t
Cos
e
L t
2) Calcule














2
2
1
)
( w
a
s
a
s
L
)
(
.
.
)
( 2
2
1
2
2
1
wt
Cos
e
w
s
s
L
e
w
a
s
a
s
L at
at 

























3) Calcule










11
4
11
3
2
1
s
s
s
L

6. cuadrado
on
Completaci
s
s
L
s
s
s
L 























 

7
)
2
(
5
)
2
(
3
11
4
11
3
2
1
2
1
Linelidad
s
s
s
L
s
s
L 






























 

7
)
2
(
5
7
)
2
(
)
2
(
3
7
)
2
(
5
)
2
(
3
2
2
1
2
1
ento
Desplazami
P
s
L
s
s
L
s
L
s
s
L
.
)
7
(
)
2
(
7
.
7
5
)
7
(
)
2
(
2
.
3
7
)
2
(
1
.
5
7
)
2
(
2
.
3
2
2
1
2
2
1
2
1
2
1


























































)
.
7
(
.
7
5
)
.
7
(
.
.
3
11
4
11
3 2
2
1
t
Sen
t
Cos
e
s
s
s
L t










 

3.4.2 EJERCICIOS
1. Calcule la inversa de la Transformada:
a.









 

4
3
1 )
1
(
s
s
L b.










2
1
1
1
2
1
s
s
s
L c.








1
4
1
1
s
L
d.








49
5
2
1
s
L e.








2
5
1
1
s
L f.








16
10
2
1
s
s
L
g.









2
1
2
1
s
s
L h.









s
s
s
L
4
1
2
1
i.









3
2
2
1
s
s
s
L
j.









10
6
1
2
1
s
s
L k.










34
6
5
2
2
1
s
s
s
L l.













3
2
1
)
1
(
1
2
s
s
s
L
3.5 Función Escalón Unitario
Definición
La función )
( a
t
U  se define como








a
t
a
t
a
t
U
,
1
0
,
0
)
(
Ejemplo:
a) 0
;
1
)
( 
 t
t
U b)








2
,
1
2
0
,
0
)
2
(
t
t
t
U

7. las graficas son:
Por definición, la transformada de la función unitaria es:
 
0
,
.
.
0






















s
s
e
s
e
e
Lim
dt
e
Lim
dt
e
dt
t
U
e
t
U
L
as
bs
as
b
b
a
st
b
a
st
a
st
a
  0
, 


s
s
e
t
U
L
as
a
Ahora, calculemos la transformada de las funciones del ejemplo.
a)   0
,
1
.
0
0 



s
s
s
e
t
U
L
s
b)     0
,
)
2
(
2
2 




s
s
e
t
U
L
t
U
L
s
c) Evaluar












3
,
0
3
2
,
1
2
0
,
2
)
(
t
t
t
t
f
       
     
s
e
s
e
s
s
e
s
e
s
e
t
U
L
t
U
L
t
U
L
t
U
L
t
U
L
t
U
L
t
f
L
s
s
s
s
s 3
2
3
2
.
0
3
2
0
3
2
0
.
3
2
.
3
.
2
.
3
.
2
.
3
.
2
)
(

















Luego, si







a
t
t
f
a
t
t
Ua
),
(
0
,
0
      0
),
(
.
)
(
.
)
(
).
(
)
(
. 





 

s
s
F
e
t
f
L
e
a
t
f
a
t
U
L
a
t
f
t
U
L as
as
a
1
2
(a) (b)
1

8. Ejemplo:
a) Sea la función







1
,
1
0
,
0
)
(
t
t
t
t
f
     2
2
1
1
.
.
)
1
(
).
1
(
)
1
(
.
s
e
s
e
t
L
e
t
f
t
U
L
t
f
t
U
L
s
s
s










b) Evaluar









2
,
2
0
,
0
)
( 3
t
t
t
t
f
      4
2
4
2
3
2
2 .
6
!
3
.
.
)
2
(
).
2
(
)
2
(
.
s
e
s
e
t
L
e
t
f
t
U
L
t
f
t
U
L
s
s
s










3.5.1 EJERCICIOS
1. Halle la Transformada de Laplace de las funciones respectivas:
a.








3
,
2
3
0
,
2
)
(
t
t
t
f b.









1
,
1
0
,
0
)
( 2
t
t
t
t
f
c.









2
),
(
2
0
,
0
)
(
t
t
Sen
t
t
f d.











5
,
1
5
4
,
0
4
0
,
1
)
(
t
t
t
t
f
3.6 Convolución
Definición: sean f y g dos funciones definidas en  

,
0 . La convolución de
f y g , denotada por g
f * es una función en el intervalo, definida por
   

t
dx
x
g
x
t
f
t
g
f
0
).
(
).
(
)
(
*
Para cada  

 ,
0
t .
Propiedades de la convolución
(a) f
g
g
f *
*  (Propiedad Conmutativa)
(b) h
g
f
h
g
f *
)
*
(
)
*
(
*  (Propiedad Asociativa)
(c) )
*
(
)
*
(
)
(
* h
f
g
f
h
g
f 

 (Propiedad Distributiva)

9. (d) Si f y g son dos funciones continuas a trozos de orden exponencial,
entonces       )
(
).
(
)
(
.
)
(
* s
G
s
F
t
g
L
t
f
L
g
f
L 
 o escrito en forma
equivalente
       
)
(
.
)
(
)
(
).
(
)
(
* 1
1
1
s
G
L
s
F
L
s
G
s
F
L
t
g
f 




Ejemplo:
Calcular  
Sent
e
L t
.
Por la propiedad (d) tenemos que      
Sent
L
e
L
Sent
e
L t
t
.
. 
   
)
1
).(
1
(
1
1
1
.
1
1
. 2
2






s
s
s
s
Sent
L
e
L t
A veces la propiedad (d) de la convolución es útil para encontrar la
transformada inversa de un producto de dos transformadas de Laplace.
Ejemplo:
Determinar









)
4
)(
1
(
1
1
s
s
L
Para resolver este ejercicio sería posible usar fracciones parciales, pero si
1
1
)
(


s
s
F y
4
1
)
(


s
s
G
Entonces,   t
e
t
f
s
F
L 


)
(
)
(
1
y   t
e
t
g
s
G
L 4
1
)
(
)
( 



Por lo tanto, podemos escribir,



















t
x
t
t
x
x
t
t
dx
e
e
dx
e
e
dx
x
g
x
t
f
s
s
L
0
5
0
4
0
1
.
.
).
(
).
(
)
4
)(
1
(
1
5
5
5
1
5
.
5
.
4
5
0
5 t
t
t
t
t
x
t e
e
e
e
e
e


















3.7 Aplicaciones. Problemas de valor inicial
Suponga que las funciones
)
1
(
,
,
,
,
, 





 n
f
f
f
f
f  son continuas y suaves
por tramos para 0

t , entonces  
)
(
)
(
t
f
L n
existe.
Siendo
    )
0
(
)
0
(
.
)
0
(
.
)
(
.
)
( )
1
(
2
1
)
( 







 n
n
n
n
n
f
f
S
f
S
t
f
L
S
t
f
L 
Por lo tanto, tenemos
    )
0
(
)
(
.
)
( f
t
f
L
S
t
f
L 

 ,     )
0
(
)
0
(
.
)
(
.
)
( 2
f
f
S
t
f
L
S
t
f
L 






10. Puesto que     1
,
)
(
)
( )
(
)
(

 n
t
y
L
t
f
L n
n
, depende de )
(t
y y sus n-1
derivadas calculadas en 0

t , la transformada de Laplace es especialmente
adecuada para resolver problemas de valor inicial para ecuaciones
diferenciales lineales con coeficientes constantes. Esta clase de E. D puede ser
reducida a una ecuación algebraica en la función transformada )
(s
Y . Para ver
esto, considere el problema inicial
)
1
(
0
)
1
(
0
0
0
1
)
1
(
1
)
(
)
0
(
,
,
)
0
(
,
)
0
(
)
(
.
.
.
.















n
n
n
n
n
n
y
y
y
y
y
y
t
g
y
a
y
a
y
a
y
a


Donde 0
1 ,
,
, a
a
a n
n 
 son constantes. Por la linealidad de la transformada
de Laplace podemos escribir
         
)
(
)
(
.
)
(
.
)
(
.
)
(
. 0
1
)
1
(
1
)
(
t
g
L
t
y
L
a
t
y
L
a
t
y
L
a
t
y
L
a n
n
n
n 




 
 
usando la derivada para transformada de Laplace, tenemos
 
  )
(
)
(
.
)
0
(
)
0
(
.
)
(
.
.
)
0
(
)
0
(
.
)
(
.
.
0
)
2
(
2
1
1
)
1
(
1
s
G
s
Y
a
y
y
S
s
Y
S
a
y
y
S
s
Y
S
a
n
n
n
n
n
n
n
n



















En donde    
)
(
)
(
,
)
(
)
( t
g
L
s
G
t
y
L
s
Y 
 . Despejando )
(s
Y
encontramos )
(t
y calculando la inversa  
)
(
)
( 1
s
Y
L
t
y 

Ejemplo:
1) Resolver 1
)
0
(
,
3 2


 y
e
y
dt
dy t
Primero aplicar la transformada a cada término de la ecuación
   
t
e
L
y
L
dt
dy
L 2
.
3 







Luego usamos     )
0
(
)
(
.
)
( f
t
f
L
s
t
f
L 

 y   )
(
)
( s
Y
t
y
L 
  1
)
(
. 







t
y
L
s
dt
dy
L
Y calculamos   2
1
2


s
e
L t
aplicando tabla
Por lo tanto,
2
1
)
3
)(
(
2
1
)
(
.
3
1
)
(
.









s
s
s
s
Y
s
s
Y
s
Y
s

11. )
3
)(
2
(
1
)
(




s
s
s
s
Y
Mediante fracciones parciales:













2
1
3
2
)
3
)(
2
(
1
B
A
s
B
s
A
s
s
s
t
t
e
e
t
y
s
L
s
L
t
y
s
s
s
Y
3
2
1
1
2
)
(
3
1
.
2
2
1
)
(
)
3
(
2
)
2
(
1
)
(

























 

3.7.1 EJERCICIOS
1. Use la Transformada de Laplace para resolver los problemas de valor inicial:
a. 2
)
0
(
,
4 4



 
y
e
y
y t
b. 0
)
0
(
, 


 y
Sent
y
y
c. 1
)
0
(
,
1
)
0
(
,
0
2 







 y
y
y
y
y
d. 1
)
0
(
,
0
)
0
(
,
4
16 





 y
y
t
Cos
y
y
e. 1
)
0
(
,
0
)
0
(
,
9
6 







 y
y
t
y
y
y
f. 0
)
0
(
,
0
)
0
(
,
1
6
4 








 
y
y
e
y
y
y t
g. 3
)
0
(
,
0
)
0
(
,
0
13
6 








 y
y
y
y
y
h. 0
)
0
(
,
2
)
0
(
,
0
51
20
2 







 y
y
y
y
y
i. 0
)
0
(
,
1
)
0
(
,
0
4
5 







 y
y
y
y
y
j. 0
)
0
(
,
0
)
0
(
,
. 






 y
y
Cost
e
y
y t
k. 2
)
0
(
,
1
)
0
(
,
1
16 





 y
y
y
y
l. ,
0
)
0
(
),
( 


 y
t
f
y
y donde







1
,
5
1
0
,
0
)
(
t
t
t
f
m. ,
1
)
0
(
,
0
)
0
(
),
(
4 






 y
y
t
f
y
y donde







1
,
0
1
0
,
1
)
(
t
t
t
f
n. ,
0
)
0
(
),
( 


 y
t
f
y
y donde








1
,
1
1
0
,
1
)
(
t
t
t
f
3.8 Transformada de la Derivada
Corresponde a una multiplicación de )
(t
f por t .
Teorema: Suponga que las funciones
)
1
(
,
,
,
,
, 





 n
f
f
f
f
f  son continuas
y suaves por tramos para 0

t , y que cada una de ellas satisface la condición

12. t
c
e
M
t
f .
.
)
(  para .
T
t  para los valores de M y c. Entonces  
)
(
)
(
t
f
L n
existe cuando c
S  y
    )
0
(
)
0
(
.
)
0
(
.
)
(
.
)
( )
1
(
2
1
)
( 







 n
n
n
n
n
f
f
S
f
S
t
f
L
S
t
f
L 
Ejemplo:
1) Probar que   0
)
0
(
)
(
1
. 2


 f
a
s
e
t
L at
Si
at
at
at
e
at
e
t
f
e
t
t
f .
)
(
.
)
( 




       
at
at
at
e
t
L
S
t
f
L
S
t
f
L
e
at
e
L .
.
)
(
.
)
(
. 




Por lo tanto,       2
)
(
1
.
)
(
)
(
1
)
(
.
a
S
e
t
L
a
S
a
S
a
S
e
L
e
t
L at
at
at








2) Encuentre   0
)
0
(
)
(
. 
f
kt
Sen
t
L
Si )
(
.
.
)
(
)
(
)
(
.
)
( kt
Cos
t
k
kt
Sen
t
f
kt
Sen
t
t
f 




Como 0
)
0
( 

f , derivamos una segunda vez, obteniendo
)
(
.
.
)
(
.
2
)
( 2
kt
Sen
t
k
kt
Cos
k
t
f 



         
)
(
.
.
)
(
.
.
)
(
.
2
)
(
)
( 2
2
2
kt
Sen
t
L
S
kt
Sen
t
L
k
kt
Cos
k
L
t
f
L
S
t
f
L 





     
)
(
.
.
)
(
.
.
)
(
.
2 2
2
kt
sen
t
L
S
kt
Sen
t
L
k
kt
Cos
L
k 

     
)
(
.
.
)
(
.
.
)
(
.
2 2
2
kt
Sen
t
L
k
kt
Sen
t
L
S
kt
Cos
L
k 

    
2
2
.
)
(
.
)
(
.
2 k
S
kt
Sen
t
L
kt
Cos
L
k 

     
)
(
.
2
)
(
.
)
(
)
(
.
.
2
)
(
. 2
2
2
2
2
2
k
S
k
S
S
k
kt
Sen
t
L
k
S
kt
Sen
t
L
k
kt
Sen
t
L












  2
2
2
)
(
.
2
)
(
.
k
S
S
k
kt
Sen
t
L


3.9 Integración de Transformadas

13. La integración corresponde a una división de )
(t
f entre t.
Teorema: Suponga que )
(t
f es parcialmente continua por tramos para
0

t , que )
(t
f satisface la condición dada en la expresión
t
t
f
Lim
t
)
(
0

y
que
t
c
e
M
t
f .
.
)
(  para 

t , entonces,









s
d
F
t
t
f
L 
 ).
(
)
(
cuando 0

S
En forma equivalente,  











 



s
d
F
L
t
S
F
L
t
f 
).
(
.
)
(
)
( 1
1
Ejemplo:
1) Encuentre






t
t
Senh
L
)
(
Verificamos que el límite existe Hopital
L
t
e
e
Lim
t
t
Senh
Lim
t
t
t
t





 0
0
)
(
Nos queda, 1
1
0

 

t
t
t
e
e
Lim . El límite existe.
Entonces,
 
 
 


































s s
s
S
S
Ln
Ln
d
d
Senh
L
t
t
Senh
L
1
1
.
2
1
1
1
.
2
1
1
.
)
(
)
(
2 





3.10 Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Lineales de Primer Orden 2 x 2
Se analizaran sistemas de 2 ecuaciones lineales de primer orden, con 2
incógnitas de la forma:
)
1
(
)
(
).
(
).
(
)
(
).
(
).
(
2
2
2
1
1
1













t
f
y
t
b
x
t
a
dt
dy
t
f
y
t
b
x
t
a
dt
dx

14. Siendo a, b y f funciones continuas en un cierto intervalo cerrado  
b
a, . Si
2
1, f
f son cero el sistema sería homogéneo, entonces una solución de (1)
sería un par de funciones )
(
),
( t
y
t
x que satisface a (1)





)
(
)
(
t
y
y
t
x
x
Teorema (1): si el sistema homogéneo tiene 2 soluciones





)
(
)
(
1
1
t
y
y
t
x
x
y





)
(
)
(
2
2
t
y
y
t
x
x
Sobre  
b
a, entonces )
2
(
)
(
.
)
(
.
)
(
.
)
(
.
2
2
1
1
2
2
1
1







t
y
C
t
y
C
y
t
x
C
t
x
C
x
Es también solución en el intervalo para toda constante 2
1,C
C . Formando
con ambas soluciones una combinación lineal siendo (2) la solución del sistema
homogéneo. Para verificar si (2) es solución del sistema homogéneo aplicamos
el siguiente teorema.
Teorema (2): si el Wronskiano )
(t
W de las dos soluciones del sistema
homogéneo no se anula en el intervalo, entonces (2) es la solución general.
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
2
1
2
1
t
y
t
y
t
x
t
x
t
W 
Teorema (3): si las 2 soluciones del sistema homogéneo son linealmente
independiente sobre  
b
a, y si







)
(
)
(
t
y
y
t
x
x
p
p
Es cualquier solución particular de (1) en el intervalo, entonces











)
(
)
(
.
)
(
.
)
(
)
(
.
)
(
.
2
2
1
1
2
2
1
1
t
y
t
y
C
t
y
C
y
t
x
t
x
C
t
x
C
x
p
p
Es la solución general de (1) en  
b
a, .
Como se resuelve un sistema de ecuaciones diferenciales lineales:
1) Se despeja alguna de las funciones incógnitas, x ó y, de algunas de las
dos E.D.O.
2) Se sustituye dicha función en la otra E.D.O.

15. 3) Se resuelve la E.D.O lineal de segundo orden resultante.
4) Con este valor se obtiene la otra función.
Ejemplo:
1) Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales no homogéneo













)
2
(
.
2
12
)
1
(
.
3
6
2
2
t
t
e
t
y
x
y
e
y
x
x
Despejando y de la E. D (1) obtenemos,
t
t
e
x
x
y
e
x
x
y 2
2
.
6
6
.
3
6 











Sustituyendo estos valores en la E. D (2), obtenemos
t
e
t
x
x 2
.
8 




Al resolver esta E.D de segundo orden, se obtiene
t
t
e
t
e
C
C
t
x 2
8
2
1 ).
1
3
.(
36
1
.
)
( 



Sustituyendo este valor en la expresión
t
e
x
x
y 2
.
3
6 


 , se tiene que
t
t
e
t
e
C
C
t
y 2
8
2
1 ).
115
12
.(
36
1
.
.
2
6
)
( 




Si además agregamos la condición





0
)
0
(
0
)
0
(
y
x
Obtendríamos el sistema de ecuaciones lineales












36
115
.
2
.
6
36
1
2
1
2
1
C
C
C
C
Cuya solución es
288
121
,
288
113
2
1 

 C
C
Así,

















t
t
t
t
e
t
e
t
y
e
t
e
t
x
2
8
2
8
).
115
.
12
.(
36
1
.
144
121
48
113
)
(
).
1
3
.(
36
1
.
288
121
288
113
)
(

16. Los sistemas de ecuaciones con condición inicial, pueden ser resueltos por
transformada de laplace.
2) Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales no homogéneo
con condición inicial 0
)
0
(
)
0
(
)
0
(
)
0
( 




 y
y
x
x













)
2
(
)
3
(
.
40
2
2
)
1
(
2
6
2
t
Sen
y
x
y
y
x
x
Por la Transformada de Laplace tenemos que,
       
    )
(
.
)
(
)
(
.
)
0
(
)
0
(
.
)
(
.
)
(
2
2
2
s
X
S
x
L
s
X
t
x
L
x
L
S
x
L
x
x
S
t
x
L
S
t
x
L













Así mismo,
       
    )
(
.
)
(
)
(
.
)
0
(
)
0
(
.
)
(
.
)
(
2
2
2
s
Y
S
y
L
s
Y
t
y
L
y
L
S
y
L
y
y
S
t
y
L
S
t
y
L













Por lo tanto, aplicando al sistema nos queda,
 











)
2
(
)
3
(
.
40
)
(
.
2
)
(
.
2
)
(
.
)
1
(
)
(
.
2
)
(
.
6
)
(
.
.
2
2
2
t
Sen
L
s
Y
s
X
s
Y
S
s
Y
s
X
s
X
S
De la ecuación (1) despejamos Y(s),
)
3
).(
(
)
( 2

 S
s
X
s
Y
Luego, sustituimos Y(s) en la ecuación (2) y nos queda,
 





















)
9
).(
4
).(
1
(
120
)
(
)
(
)
(
,
)
9
).(
4
).(
1
(
120
)
(
2
2
2
1
1
2
2
2
S
S
S
L
t
x
s
X
L
t
x
S
S
S
s
X
Aplicando fracciones parciales, tenemos que

17. )
3
(
)
2
(
.
4
)
(
.
5
)
(
9
3
4
8
1
5
)
(
)
9
).(
4
).(
1
(
120
)
(
2
1
2
1
2
1
2
2
2
1
t
Sen
t
Sen
t
Sen
t
x
S
L
S
L
S
L
t
x
S
S
S
L
t
x














































Sustituyendo este resultado en la primera ecuación, obtenemos
)
3
(
.
6
)
2
(
.
4
)
(
.
10
)
( t
Sen
t
Sen
t
Sen
t
y 


3) Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales homogéneo









)
2
(
2
)
1
(
4
y
x
y
y
x
x
Despejando y de la E. D (1) obtenemos,
x
x
y
x
x
y 








 4
4
Sustituyendo estos valores en la E. D (2), obtenemos
0
6
5
4
2
4 













 x
x
x
x
x
x
x
Al resolver esta E.D se obtiene
t
t
e
C
e
C
t
x 3
2
2
1 .
.
)
( 

Sustituyendo este valor en la expresión x
x
y 

 4 , se tiene que
t
t
e
C
e
C
t
y 3
2
2
1 .
.
2
)
( 

3.10.1 EJERCICIOS
1) Resuelva los siguientes sistemas homogéneos
a.










v
u
v
v
u
u
4
4
4
b.










z
y
z
z
y
y
2
4
2
c.









v
u
v
v
u
u
8
16
3
8
d.








z
y
z
y
y
2
2
e.











y
x
y
y
x
x
4
4
3
4
f.










z
y
z
z
y
y 3
3
g.









y
x
y
y
x
x
2
3
2
h.









y
x
y
y
x
x
4
4
15
12

18. 2) Resuelva los siguientes sistemas no homogéneos, con condición inicial
0
)
0
(
)
0
( 
 y
x
a.












2
3
2 y
x
y
e
y
x t
b.














t
t
e
y
x
y
e
t
y
x
x
2
2
2
4
.
2
c.












1
3
3
y
x
y
t
y
x
x
d.













 
t
t
e
y
x
y
e
y
x
x
2
3
3