Funciones Exponenciales
y sus gráficas
Prof. Rosa E. Padilla
Función exponencial
• Una función 𝑓 𝑥 = 𝑎 𝑥
, donde 𝑥𝜖ℝ,
𝑎 > 0, 𝑎 ≠ 1, es llamada una función
exponencial, base a.
𝑓 𝑥 = 2 𝑥
𝑓 𝑥 =
1
2
𝑥
𝑓 𝑥 = (3.57) 𝑥
Graficando funciones
exponenciales
• Grafica la función 𝑓 𝑥 = 2 𝑥
• Construir una tabla de valores y graficar
x 𝒚 = 𝒇(𝒙) = 𝟐 𝒙
(x, y)
0 𝑓 0 = 20
= 1 (0, 1)
1 𝑓 1 = 21
= 2 (1, 2)
2 𝑓 2 = 22
= 4 (2, 4)
3 𝑓 3 = 23
= 8 (3, 8)
-1
𝑓 −1 =
1
21
=
1
2
−1,
1
2
-2
𝑓 −2 =
1
22
=
1
4
−2,
1
4
-3
𝑓 −3 =
1
23
=
1
8
−3,
1
8
x 𝒚 = 𝒇(𝒙) = 𝟑 𝒙
(x, y)
Graficando funciones
exponenciales
• Grafica la función 𝑓 𝑥 = 3 𝑥
• Practica:
x 𝒚 = 𝒇(𝒙) = 𝟑 𝒙
(x, y)
0 1 (0, 1)
1 3 (1,3)
2 9 (2, 9)
3 27 (3, 27)
-1 1
3
−1,
1
3
-2 1
9
−2,
1
9
-3 1
27
−3,
1
27
x 𝒚 = 𝒇(𝒙) =
𝟏
𝟐
𝒙
(x, y)x 𝒚 = 𝒇(𝒙) =
𝟏
𝟐
𝒙
(x, y)
0 1 (0, 1)
1 1
2
1,
1
2
2 1
4
2,
1
4
3 1
8
3,
1
8
-1 2 −1, 2
-2 4 −2, 4
-3 8 −3, 8
Graficando funciones
exponenciales
• Grafica la función 𝑓 𝑥 =
1
2
𝑥
x 𝒚 = 𝒇(𝒙) = 𝟐−𝒙
(x, y)x 𝒚 = 𝒇(𝒙) = 𝟐−𝒙
(x, y)
0 1 (0, 1)
1 1
2
1,
1
2
2 1
4
2,
1
4
3 1
8
3,
1
8
-1 2 −1, 2
-2 4 −2, 4
-3 8 −3, 8
Graficando funciones
exponenciales
• Grafica la función 𝑓 𝑥 = 2−𝑥
¿Qué relación se observa entre
las bases a en 𝑓 𝑥 = 𝑎 𝑥
?
Propiedades de las funciones
exponenciales
• Dado 𝑓 𝑥 = 𝑎 𝑥
, 𝑎 > 0, 𝑎 ≠ 1.
– Continuo
– Uno a uno
– Dominio: −∞, ∞
– Creciente si 𝑎 > 0
– Decreciente si 0 < 𝑎 < 1
– Asíntota horizontal en el eje x
– Intercepto en y: (0,1)
x f(x)
-1
0
1
2
3
4
5
Grafica cada función
1. 𝑓 𝑥 = 2 𝑥−2
x f(x)
-1 1
8
0 1
4
1 1
2
2 1
3 2
4 4
5 8
x f(x)
-2
-1
0
1
2
3
Grafica cada función
2. 𝑓 𝑥 = 2 𝑥
− 4
x f(x)
-2 −3
3
4
-1 −3
1
2
0 −3
1 −2
2 0
3 4
x f(x)
−3
−2
−1
0
1
2
Grafica cada función
3. 𝑓 𝑥 = 5 − 2−𝑥
x f(x)
−3 −3
−2 1
−1 3
0 4
1 4
1
2
2 4
3
4
Aplicaciones
• Interés compuesto
– La cantidad de dinero A que el principal P crecerá después de t
años a una tasa de interés compuesto r (en forma decimal) por
n veces por año, está dada por la fórmula:
– 𝐴 = 𝑃 1 +
𝑟
𝑛
𝑛𝑡
– Suponga que $100,000 son invertidos al 6.5% de interés
compuesto semianual.
• Halla la función para la cantidad de dinero después de t
años.
• Grafica la función.
• Halla la cantidad de dinero en la cuenta para t = 0, 4, 8, 10
años.
• ¿Cuándo la cantidad de dinero en la cuenta llegará a
$400,000?
Solución a.
• Como P = $100,000, r = 6.5% = 0.065, n = 2
se sustituyen los valores en la función:
• 𝐴 𝑡 = 100,000 1 +
0.065
2
2∙𝑡
• 𝐴 𝑡 = $100,000(1.0325)2𝑡
Solución b.
Solución c.
• Calculamos valores utilizando la función
A(t) para los valores dados:
• 𝐴 0 = 100,000(1.0325) 2∙0
= $100,000
• 𝐴 4 = 100,000(1.0325) 2∙4
= $129,157.75
• 𝐴 8 = 100,000(1.0325) 2∙8
= $166,817.25
• 𝐴 10 = 100,000(1.0325) 2∙10
=
$189,583.79
Solución d.
• Para hallar el tiempo que toma para hacer
crecer su dinero a $400,000:
• 100,000(1.0325) 2𝑡
= $400,000
• Se resuelve para hallar el valor de t.
• 𝑦 = 100,000(1.0325) 2𝑥
−400,000
• 𝑥 = 21.67 años.
• Aproximadamente 21 años, 8 meses y dos
días.
Solución d.
El número e
• Nombrado así en 1741 por Leonhard
Euler.
• Surge de la función de interés compuesto.
• Suponga que $1 es invertido al 100% de
interés por un año.
• La fórmula de la función A definida en
términos de un número n de periodos
compuestos.
El número e
• P = 1, r = 100% = 1, t = 1
𝐴 = 𝑃 1 +
𝑟
𝑛
𝑛𝑡
= 1 +
1
𝑛
𝑛
= 1 1 +
1
𝑛
𝑛∙1
Si visualizamos la gráfica de la función A(n) cuando 𝑛 → ∞ nos encontramos con:
El número e
El número e
• Utiliza tu calculadora para hallar el valor
de 𝑒 𝑥
en cada caso. Redondea a 4 lugares
decimales.
𝑒 = 2.7182818284 …
1. 𝑒3
2. 𝑒−0.23
3. 𝑒0
4. 𝑒1
= 20.0855 = 0.7945
= 1 = 2.7183
Gráficas de funciones
exponenciales, Base e
Grafica las siguientes
funciones:
1. 𝑓 𝑥 = 𝑒−0.5𝑥
2. 𝑓 𝑥 = 1 − 𝑒−2𝑥
3. 𝑓 𝑥 = 𝑒 𝑥+3
1. 𝑓 𝑥 = 𝑒−0.5𝑥
2. 𝑓 𝑥 = 1 − 𝑒−2𝑥
3. 𝑓 𝑥 = 𝑒 𝑥+3
Calcula a cuatro lugares
decimales:
1. 𝑒4
2. 𝑒10
3. 𝑒−2.458
4.
1
e3
2
= 54.5982 = 22026.4658
= 0.0856 = 0.0025
Parea cada gráfica con su
función
1. 𝑓 𝑥 = −2 𝑥 − 1 2. 𝑓 𝑥 = −
1
2
𝑥
3. 𝑓 𝑥 = 𝑒 𝑥
+ 3
4. 𝑓 𝑥 = 𝑒 𝑥+1 5. 𝑓 𝑥 = 3−𝑥 − 2 6. 𝑓 𝑥 = 1 − 𝑒 𝑥
a)
e)f) c)
b) d)
Grafica las siguientes
funciones:
1. 𝑓 𝑥 = 5 𝑥
2. 𝑓 𝑥 = 6 𝑥
3. 𝑓 𝑥 = 3−𝑥 4. 𝑓 𝑥 =
1
4
𝑥
5. 𝑓 𝑥 =
2
3
𝑥
6. 𝑓 𝑥 = 3 − 3 𝑥
7. 𝑓 𝑥 = −0.25 𝑥
+ 4 8. 𝑓 𝑥 = 0.6 𝑥 − 3
9. 𝑓 𝑥 =
1
4
𝑒 𝑥
10. 𝑓 𝑥 = 2𝑒−𝑥
1. 𝑓 𝑥 = 5 𝑥
2. 𝑓 𝑥 = 6 𝑥
3. 𝑓 𝑥 = 3−𝑥
4. 𝑓 𝑥 =
1
4
𝑥
5. 𝑓 𝑥 =
2
3
𝑥
6. 𝑓 𝑥 = 3 − 3 𝑥
7. 𝑓 𝑥 = −0.25 𝑥 + 4
8. 𝑓 𝑥 = 0.6 𝑥 − 3
9. 𝑓 𝑥 =
1
4
𝑒 𝑥
10. 𝑓 𝑥 = 2𝑒−𝑥
Interés compuesto 1
• Suponga que $82,000 son invertidos a
4
1
2
% compuesto, trimestralmente.
– Halla la función para la cantidad de dinero
disponible a t años.
– Grafica la función.
– Halla la cantidad de dinero para t = 0, 2, 5 y 10
años.
– ¿Cuánto tiempo toma aumentar el dinero de
la cuenta a $100,000?
Interés compuesto 2
• Suponga que $750 son invertidos a 7%
compuesto, semianual.
– Halla la función para la cantidad de dinero
disponible a t años.
– Grafica la función.
– Halla la cantidad de dinero para t = 1, 6, 10, 15
y 25 años.
– ¿Cuánto tiempo toma aumentar el dinero de
la cuenta a $3,000?

Funciones exponenciales

  • 1.
    Funciones Exponenciales y susgráficas Prof. Rosa E. Padilla
  • 2.
    Función exponencial • Unafunción 𝑓 𝑥 = 𝑎 𝑥 , donde 𝑥𝜖ℝ, 𝑎 > 0, 𝑎 ≠ 1, es llamada una función exponencial, base a. 𝑓 𝑥 = 2 𝑥 𝑓 𝑥 = 1 2 𝑥 𝑓 𝑥 = (3.57) 𝑥
  • 3.
    Graficando funciones exponenciales • Graficala función 𝑓 𝑥 = 2 𝑥 • Construir una tabla de valores y graficar x 𝒚 = 𝒇(𝒙) = 𝟐 𝒙 (x, y) 0 𝑓 0 = 20 = 1 (0, 1) 1 𝑓 1 = 21 = 2 (1, 2) 2 𝑓 2 = 22 = 4 (2, 4) 3 𝑓 3 = 23 = 8 (3, 8) -1 𝑓 −1 = 1 21 = 1 2 −1, 1 2 -2 𝑓 −2 = 1 22 = 1 4 −2, 1 4 -3 𝑓 −3 = 1 23 = 1 8 −3, 1 8
  • 4.
    x 𝒚 =𝒇(𝒙) = 𝟑 𝒙 (x, y) Graficando funciones exponenciales • Grafica la función 𝑓 𝑥 = 3 𝑥 • Practica: x 𝒚 = 𝒇(𝒙) = 𝟑 𝒙 (x, y) 0 1 (0, 1) 1 3 (1,3) 2 9 (2, 9) 3 27 (3, 27) -1 1 3 −1, 1 3 -2 1 9 −2, 1 9 -3 1 27 −3, 1 27
  • 5.
    x 𝒚 =𝒇(𝒙) = 𝟏 𝟐 𝒙 (x, y)x 𝒚 = 𝒇(𝒙) = 𝟏 𝟐 𝒙 (x, y) 0 1 (0, 1) 1 1 2 1, 1 2 2 1 4 2, 1 4 3 1 8 3, 1 8 -1 2 −1, 2 -2 4 −2, 4 -3 8 −3, 8 Graficando funciones exponenciales • Grafica la función 𝑓 𝑥 = 1 2 𝑥
  • 6.
    x 𝒚 =𝒇(𝒙) = 𝟐−𝒙 (x, y)x 𝒚 = 𝒇(𝒙) = 𝟐−𝒙 (x, y) 0 1 (0, 1) 1 1 2 1, 1 2 2 1 4 2, 1 4 3 1 8 3, 1 8 -1 2 −1, 2 -2 4 −2, 4 -3 8 −3, 8 Graficando funciones exponenciales • Grafica la función 𝑓 𝑥 = 2−𝑥
  • 7.
    ¿Qué relación seobserva entre las bases a en 𝑓 𝑥 = 𝑎 𝑥 ?
  • 8.
    Propiedades de lasfunciones exponenciales • Dado 𝑓 𝑥 = 𝑎 𝑥 , 𝑎 > 0, 𝑎 ≠ 1. – Continuo – Uno a uno – Dominio: −∞, ∞ – Creciente si 𝑎 > 0 – Decreciente si 0 < 𝑎 < 1 – Asíntota horizontal en el eje x – Intercepto en y: (0,1)
  • 9.
    x f(x) -1 0 1 2 3 4 5 Grafica cadafunción 1. 𝑓 𝑥 = 2 𝑥−2 x f(x) -1 1 8 0 1 4 1 1 2 2 1 3 2 4 4 5 8
  • 10.
    x f(x) -2 -1 0 1 2 3 Grafica cadafunción 2. 𝑓 𝑥 = 2 𝑥 − 4 x f(x) -2 −3 3 4 -1 −3 1 2 0 −3 1 −2 2 0 3 4
  • 11.
    x f(x) −3 −2 −1 0 1 2 Grafica cadafunción 3. 𝑓 𝑥 = 5 − 2−𝑥 x f(x) −3 −3 −2 1 −1 3 0 4 1 4 1 2 2 4 3 4
  • 12.
    Aplicaciones • Interés compuesto –La cantidad de dinero A que el principal P crecerá después de t años a una tasa de interés compuesto r (en forma decimal) por n veces por año, está dada por la fórmula: – 𝐴 = 𝑃 1 + 𝑟 𝑛 𝑛𝑡 – Suponga que $100,000 son invertidos al 6.5% de interés compuesto semianual. • Halla la función para la cantidad de dinero después de t años. • Grafica la función. • Halla la cantidad de dinero en la cuenta para t = 0, 4, 8, 10 años. • ¿Cuándo la cantidad de dinero en la cuenta llegará a $400,000?
  • 13.
    Solución a. • ComoP = $100,000, r = 6.5% = 0.065, n = 2 se sustituyen los valores en la función: • 𝐴 𝑡 = 100,000 1 + 0.065 2 2∙𝑡 • 𝐴 𝑡 = $100,000(1.0325)2𝑡
  • 14.
  • 15.
    Solución c. • Calculamosvalores utilizando la función A(t) para los valores dados: • 𝐴 0 = 100,000(1.0325) 2∙0 = $100,000 • 𝐴 4 = 100,000(1.0325) 2∙4 = $129,157.75 • 𝐴 8 = 100,000(1.0325) 2∙8 = $166,817.25 • 𝐴 10 = 100,000(1.0325) 2∙10 = $189,583.79
  • 16.
    Solución d. • Parahallar el tiempo que toma para hacer crecer su dinero a $400,000: • 100,000(1.0325) 2𝑡 = $400,000 • Se resuelve para hallar el valor de t. • 𝑦 = 100,000(1.0325) 2𝑥 −400,000 • 𝑥 = 21.67 años. • Aproximadamente 21 años, 8 meses y dos días.
  • 17.
  • 18.
    El número e •Nombrado así en 1741 por Leonhard Euler. • Surge de la función de interés compuesto. • Suponga que $1 es invertido al 100% de interés por un año. • La fórmula de la función A definida en términos de un número n de periodos compuestos.
  • 19.
    El número e •P = 1, r = 100% = 1, t = 1 𝐴 = 𝑃 1 + 𝑟 𝑛 𝑛𝑡 = 1 + 1 𝑛 𝑛 = 1 1 + 1 𝑛 𝑛∙1 Si visualizamos la gráfica de la función A(n) cuando 𝑛 → ∞ nos encontramos con:
  • 20.
  • 21.
    El número e •Utiliza tu calculadora para hallar el valor de 𝑒 𝑥 en cada caso. Redondea a 4 lugares decimales. 𝑒 = 2.7182818284 … 1. 𝑒3 2. 𝑒−0.23 3. 𝑒0 4. 𝑒1 = 20.0855 = 0.7945 = 1 = 2.7183
  • 22.
  • 23.
    Grafica las siguientes funciones: 1.𝑓 𝑥 = 𝑒−0.5𝑥 2. 𝑓 𝑥 = 1 − 𝑒−2𝑥 3. 𝑓 𝑥 = 𝑒 𝑥+3
  • 24.
    1. 𝑓 𝑥= 𝑒−0.5𝑥
  • 25.
    2. 𝑓 𝑥= 1 − 𝑒−2𝑥
  • 26.
    3. 𝑓 𝑥= 𝑒 𝑥+3
  • 27.
    Calcula a cuatrolugares decimales: 1. 𝑒4 2. 𝑒10 3. 𝑒−2.458 4. 1 e3 2 = 54.5982 = 22026.4658 = 0.0856 = 0.0025
  • 28.
    Parea cada gráficacon su función 1. 𝑓 𝑥 = −2 𝑥 − 1 2. 𝑓 𝑥 = − 1 2 𝑥 3. 𝑓 𝑥 = 𝑒 𝑥 + 3 4. 𝑓 𝑥 = 𝑒 𝑥+1 5. 𝑓 𝑥 = 3−𝑥 − 2 6. 𝑓 𝑥 = 1 − 𝑒 𝑥 a) e)f) c) b) d)
  • 29.
    Grafica las siguientes funciones: 1.𝑓 𝑥 = 5 𝑥 2. 𝑓 𝑥 = 6 𝑥 3. 𝑓 𝑥 = 3−𝑥 4. 𝑓 𝑥 = 1 4 𝑥 5. 𝑓 𝑥 = 2 3 𝑥 6. 𝑓 𝑥 = 3 − 3 𝑥 7. 𝑓 𝑥 = −0.25 𝑥 + 4 8. 𝑓 𝑥 = 0.6 𝑥 − 3 9. 𝑓 𝑥 = 1 4 𝑒 𝑥 10. 𝑓 𝑥 = 2𝑒−𝑥
  • 30.
    1. 𝑓 𝑥= 5 𝑥
  • 31.
    2. 𝑓 𝑥= 6 𝑥
  • 32.
    3. 𝑓 𝑥= 3−𝑥
  • 33.
    4. 𝑓 𝑥= 1 4 𝑥
  • 34.
    5. 𝑓 𝑥= 2 3 𝑥
  • 35.
    6. 𝑓 𝑥= 3 − 3 𝑥
  • 36.
    7. 𝑓 𝑥= −0.25 𝑥 + 4
  • 37.
    8. 𝑓 𝑥= 0.6 𝑥 − 3
  • 38.
    9. 𝑓 𝑥= 1 4 𝑒 𝑥
  • 39.
    10. 𝑓 𝑥= 2𝑒−𝑥
  • 40.
    Interés compuesto 1 •Suponga que $82,000 son invertidos a 4 1 2 % compuesto, trimestralmente. – Halla la función para la cantidad de dinero disponible a t años. – Grafica la función. – Halla la cantidad de dinero para t = 0, 2, 5 y 10 años. – ¿Cuánto tiempo toma aumentar el dinero de la cuenta a $100,000?
  • 41.
    Interés compuesto 2 •Suponga que $750 son invertidos a 7% compuesto, semianual. – Halla la función para la cantidad de dinero disponible a t años. – Grafica la función. – Halla la cantidad de dinero para t = 1, 6, 10, 15 y 25 años. – ¿Cuánto tiempo toma aumentar el dinero de la cuenta a $3,000?