El documento presenta 5 ejercicios de cálculo de límites de funciones. El primer ejercicio calcula los límites laterales y el límite de una función racional cuando x se acerca a 0. El segundo ejercicio calcula un límite de una función trigonométrica en forma indeterminada. El tercer ejercicio calcula un límite lateral. El cuarto y quinto ejercicio calculan límites de funciones algebraicas en forma indeterminada cuando x se acerca a valores específicos.

1. LÍMITES Y CONTINUIDAD
DE FUNCIONES

2. Use la grafica de la función f para expresar el valor de cada limite, si existe.
Si no existe, explique porque.
f(x)=
𝑥2+𝑥
𝑥3+𝑥2
𝑎) lim
𝑥→0−
𝑓(𝑥) 𝑏) lim
𝑥→0+
𝑓(𝑥) c) lim
𝑥→0
𝑓(𝑥)
=
𝑥(𝑥+1)
𝑥2(𝑥+1)
=
𝑥(𝑥+1)
𝑥 (𝑥+1)
∙
𝑥+1
𝑥+1
=
𝑥+1∙ 𝑥+1
𝑥+1
= 𝑥 + 1
Resolución
Ejercici
o 1

3. 𝑎) lim
𝑥→0−
−1 + 1 = 0 = 0 = 0
𝑏) lim
𝑥→0+
1 + 1 = 2
c) lim
𝑥→𝑜−
𝑓(𝑥) ≠ lim
𝑥→0+
𝑓 𝑥
Conclusión:
Los limites laterales tienes valores diferentes; por lo
tanto el limite no existe.

4. Límite de una función trigonométrica de forma indeterminada
0
0
.
Calcular el límite lim
𝑥→0
1−𝑐𝑜𝑠𝑥
𝑥2
Resolución
= lim
𝑥→0
1 − 𝑐𝑜𝑠𝑥
𝑥2
= lim
𝑥→0
1 − 𝑐𝑜𝑠𝑥
𝑥2
1 + 𝑐𝑜𝑠𝑥
1 + 𝑐𝑜𝑠𝑥
= lim
𝑥→0
1 − 𝑐𝑜𝑠2 𝑥
𝑥2(1 + 𝑐𝑜𝑠𝑥)
= lim
𝑥→0
1 − 𝑐𝑜𝑠2 𝑥
𝑥2(1 + 𝑐𝑜𝑠𝑥)
=
1
1 + 1
(1)
= lim
𝑥→0
𝑠𝑒𝑛2
𝑥
𝑥2(1 + 𝑐𝑜𝑠𝑥)
= lim
𝑥→0
1
1 + 𝑐𝑜𝑠𝑥
𝑠𝑒𝑛𝑥
𝑥
2
= lim
𝑥→0
1
1 + 𝑐𝑜𝑠𝑥
lim
𝑥→0
𝑠𝑒𝑛𝑥
𝑥
2
=
1
1 + 𝑐𝑜𝑠0
1 2
=
1
2
Ejercici
o 2

5. Limite lateral o existencia de límite. Calcular el límite lim
𝑥→1
Como 𝑓 esta definida de manera distinta para 𝑥 < 1 que para 𝑥 ≥ 1 consideramos los
siguientes limites laterales
Resolución
= lim
𝑥→1−
𝑓 𝑥 = lim(2𝑥 − 𝑥3
)
𝑥→1−
= 2 − 1 = 1
= lim
𝑥→1+
𝑓 𝑥 = lim(3𝑥2 − 2)
𝑥→1+
= 3 − 2 = 1
Al ser iguales los limites concluimos que el límite de 𝑓 𝑥 cuando 𝑥 → 1 es 1
Ejercici
o 3

6. Ejercici
o 4
Límite de una función Algebraica de forma indeterminada
0
0
.
Calcular el límite lim
𝑥→1
𝑥2+3−2
10−𝑥−3
= lim
𝑥→1
𝑥2 + 3 − 2
10 − 𝑥 − 3
𝑥2 + 3 + 2
𝑥2 + 3 + 2
10 − 𝑥 + 3
10 − 𝑥 + 3
= lim
𝑥→1
(( 𝑥2 + 3)2− 2 2( 10 − 𝑥 + 3)
( 10 − 𝑥
2
− 3 2( 𝑥2 + 3 + 2)
= lim
𝑥→1
(𝑥2+3 − 4)( 10 − 𝑥 + 3)
(10 − 𝑥 − 9)( 𝑥2 + 3 + 2)

7. = lim
𝑥→1
(𝑥 − 1)(𝑥 + 1)( 10 − 𝑥 + 3
−(𝑥 − 1)( 𝑥2 + 3 + 2)
= lim
𝑥→1
(𝑥 + 1)( 10 − 𝑥 + 3
−( 𝑥2 + 3 + 2)
= lim
𝑥→1
(𝑥2
− 1)( 10 − 𝑥 + 3
(1 − 𝑥)( 𝑥2 + 3 + 2)
= −
(1 + 1)( 10 − 1 + 3
( 1 + 3 + 2)
= −
12
4
= −3

8. Calcular el límite lim
𝑥→2
𝑥−4
(𝑥−2)2
Resolución
Como el numerador 𝑥 − 4 tiende a −2 ≠ 0 cuando 𝑥 → 2, y el denominador (𝑥 − 2)2
tiende a 0 cuando 𝑥 → 2
Según:
Sea 𝑔(𝑥) una función tal que 𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑎
𝑔 𝑥 = 𝑘 ≠ 0 y ℎ 𝑥 una función tal que 𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑎
ℎ 𝑥 = 0 entonces
𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑎
𝑔(𝑥)
ℎ(𝑥)
= ∞
El límite es
lim
𝑥→2
𝑥 − 4
(𝑥 − 2)2 = ∞
Si queremos ser más precisos acerca de si este límite es +∞ o −∞, observamos que cuando 𝑥 se encuentra
cerca de 2, el numerador se mantendrá (cerca de −2) con signo negativo, mientras que el denominador estará
cerca de 0 siempre con signo positivo, ya que (𝑥 − 2)2
≥ 0. Por tanto, podemos decir que:
lim
𝑥→2
𝑥 − 4
(𝑥 − 2)2
= −∞
Ejercici
o 5