Este documento presenta ejercicios resueltos sobre potencias y raíces cuadradas. Explica conceptos básicos como el cálculo de potencias, determinar la base de una potencia, calcular el exponente de una potencia y operaciones con potencias como multiplicación, división y elevación a otra potencia. Contiene más de 10 ejercicios para practicar cada uno de estos conceptos.

1. SESO DEL IES LAS CUMBRES. GRAZALEMA MATEMÁTICAS 1º ESO
POTENCIAS Y RAÍZ CUADRADA
EJERCICIOS RESUELTOS
Potencias
1.- Calcula el valor de las siguientes potencias:
a) 2 3=8
b)  −2  4=24 =16
c) −24 =−16
d) 2 2 =4
5
e)  −2  =−25 =−32
f) −25 =−32
3
g)  −3  =−33 =−27
h) −33=−27
i) 34 =81
j) −3  2 =32 =9
k) −32 =−9
l) 35 =243
m) 53 =125
n)  −5 4 =54 =625
ñ) −5 4 =−625
o) 52 =25
5
p)  −5  =−55 =−3. 125
q) −55 −3 . 125
3
r) −10  =−10 3=−1 .000
s) −10 3=−1 . 000
t) 10 4=10 . 000

2. u)  −10 2 =102 =100
v) −10 2 =−100
w) 105 =100 . 000
x)  −10 12=1012=1 . 000 .000 . 000 . 000
y) −10 8=−100.000.000
2.- Calcula la base de las siguientes potencias:
a) x 2 =36
36 2
18 2 2⋅3=6
9 3 2⋅3=6
3 3
1
x 2 =36⇒ x 2 =62 ⇒ x =6
x 2 =36⇒ x 2 =−62 ⇒ x=−6
b) x 3 =−8
8 2
4 2
2 2
1
x 3=−8⇒ x 3=−23 ⇒ x 3=−23 ⇒ x =−2
c) x 5 =32
32 2
16 2
8 2
4 2
2 2
1
x 5=32 ⇒ x 5=25 ⇒ x=2

3. d) x 2 =100
100 2
50 2 2⋅5=10
25 5 2⋅5=10
5 5
1
x 2 =100⇒ x 2=10 2 ⇒ x=10
x 2 =100⇒ x 2=−102 ⇒ x=−10
e) x 3 =27
27 3
9 3
3 3
1
x 3=27⇒ x 3=33 ⇒ x=3
f) x 5 =−32
32 2
16 2
8 2
4 2
2 2
1
x 5=−32 ⇒ x 5=−25 ⇒ x 5=−25 ⇒ x=−2
g) x 2 =49
49 7
7 7
1
2 2 2
x =49 ⇒ x =7 ⇒ x=7
2 2 2
x =49 ⇒ x =−7 ⇒ x=−7

4. h) x 3 =−216
216 2
108 2
54 2 2⋅3=6
27 3 2⋅3=6
9 3 2⋅3=6
3 3
1
x 3=−216 ⇒ x 3=−63 ⇒ x 3=−63 ⇒ x=−6
3.- Determina el exponente de las siguientes potencias:
a) 3 x =9
9 3
3 3
1
3 x =9 ⇒3 x =3 2 ⇒ x=2
b)  −5 x =−125
125 5
25 5
5 5
1
−5 x =−125 ⇒−5 x =−5 3 ⇒−5 x =−53 ⇒ x=3
c) 10 x =100. 000 . 000
x x 8
10 =100.000.000 ⇒10 =10 ⇒ x=8
d) 4 x=64
64 2
32 2
16 2 2⋅2=4
8 2 2⋅2=4
4 2 2⋅2=4
2 2
x x 3
1 4 =64⇒ 4 =4 ⇒ x=3

5. e) 2 x =16
16 2
8 2
4 2
2 2
1
x x 4
2 =16 ⇒ 2 =2 ⇒ x=4
f) −6  x=−216
216 2
108 2
54 2 2⋅3=6
27 3 2⋅3=6
9 3 2⋅3=6
3 3
1
x 3 3 3 3
−6 =−216 ⇒−6 =−6 ⇒−6 =−6 ⇒ x=3
g)  −3  x=81
81 3
27 3
9 3
3 3
1
−3 x =81⇒−3x =−34 ⇒ x=4
h) 3 x =81
x x 4
3 =81⇒ 3 =3 ⇒ x=4
Potencias de operaciones
4.- Calcula:
a) 122 =32=9
b) 102 −5 2=100−25=75
c) 33−23=27−8=19

6. d) 7−54=24 =16
e) 82 12 =641=65
f) 2 5−23 =32−8=24
5.- Calcula utilizando dos procedimientos distintos:
a)
1)  3⋅2⋅4 2 =24 2 =576
2
2)  3⋅2⋅4  =32⋅2 2⋅4 2 =9⋅4⋅16=576
b)
3
1) [ 2⋅3⋅−3  ] =  −18  3 =−183=−5 .832
3
2) [ 2⋅3⋅ −3  ] =23⋅33⋅−3 3 =8⋅27⋅ −27 =−5 .832
c)
1)  6 :2 4 =34 =81
4
2)  6 :2  =64 :2 4=1 . 296 :16=81
d)
3
1) [  −15  :3 ] =−5 3=−53 =−125
3
2) [  −15  :3 ] = −15 3 :33 =−153 : 33=−3 . 375: 27=−125
6.- Calcula:
a)  3⋅2  4 =3 4⋅24 =81⋅16=1. 296
3
b) [  −2 ⋅5 ] 3= −10  =−103 =−1 . 000
3
c) [ −6  : 3 ] 3= −2  =−8
4
d) [  −6  : 2 ] =−3  4 =3 4 =81
7.- Escribe las potencias como producto de potencias:
a)  2⋅4 3=23⋅4 3
6
b)  7⋅6  =76⋅66
c)  2⋅5⋅8  2 =2 2⋅52⋅82
4
d)  3⋅2⋅5  =3 4⋅2 4⋅5 4
3 3
e) [ −5 ⋅ −3 ⋅6 ] 3 =−5  ⋅−3  ⋅63
6
f) [  −2 ⋅−5 ⋅ −8  ] =  −2 6⋅−5 6⋅−8  6=26⋅56⋅86

7. 8.- Calcula:
a)  12 :3  3 =4 3=64
4
b)  8: 4  =2 4=16
c) −12:6  5= −2 5=−2 5=−32
d)  −21 :7 3 =−3  3=−33 =−27
9.- Calcula multiplicando potencias:
a)  2⋅3⋅1  3 =23⋅33⋅13 =8⋅27⋅1=216
3
b) [  −2 ⋅3⋅4 ] = −2  3⋅33⋅4 3 =−23⋅33⋅43 =−8⋅27⋅64=−13. 824
6
c) [  −1 ⋅−2 ⋅1 ] = −1 6⋅−2  6⋅16 =16⋅26⋅1 6=1⋅64⋅1=64
5
d) [  −1 ⋅−1 ⋅−1  ] = −1  5⋅ −1 5⋅ −1 5= −1 ⋅−1 ⋅ −1 =−1
10.- Calcula dividiendo potencias:
a)  8: 2  2 =82 :22 =64 : 4=16
3
b) [ 6 :  −3  ] =63 :  −3 3=216 : −27  =−8
5
c) [ −4  :2 ] = −4  5 :25 =−1. 024 :32=−32
6
d) [  −6  : −3  ] = −6 6 : −3  6 =66 :36 =46 . 656: 729=64
Operaciones con potencias de la misma base
11.- Calcula:
a) 10=1
b) −10=1
c) 280 =1
d) −1250=1
e) 357.9870=1
f) −34.5150=1
12.- Calcula:
a) 62⋅64=66
b) −30⋅−35=−35=−35
c) −49 :−46=−43=−43=−64

8. d) −32 :−3=−31=−3
e) [−35 ] 4 =−320=320
f) 45 2=410
g) 57⋅54 =511
h) −2⋅−27=−28 =28
i) 4 5 : 45=40=1
j) −34 :−32=−32=32=9
k) [−50 ] 12=−50=1
l) 97 1 =97
m) 95⋅9 5=910
n) 97 :92 =95
ñ) −55 :−54=−51=−5
o) 107 2=1014=100.000.000.000.000
p) 102 7=1014=100.000.000.000.000
q) −62 ·−64=−66=6 6
r) 32⋅3 0⋅3⋅33=36
s) −52⋅−52⋅−5=−55=−55
t) −915 :−99 =−96=96
u) [[−12] 5 ] 7=−170=170=1
v) [[−102 ] 2 ] 2=−108=10 8=100.000.000
w) [[−103] 3] 3=−1027=−1027=1.000.000.000.000.000.000.000.000.000
13.- Determina el valor de la letra x en los siguientes casos:
a) x 3⋅x 2=35 ⇒ x=3
b) −24⋅−2 x =−27 ⇒ 4 x=7 ⇒ x =3
c) x 8 : x 3=55 ⇒ x=5
d) 4 7 : 4 x =43 ⇒ 7− x=3⇒ x=4

9. e) [ x 2 ] 6=9 12 ⇒ x =9
f) [−3 x ] 3=−39 ⇒ x⋅3=9⇒ x=3
g) 74 · 7 x · 72=77 ⇒ 4x2=7⇒ x6=7 ⇒ x =1
h) [113 x ] 4=11 24 ⇒ 3· x · 4=24⇒ 12 · x =24 ⇒ x=2
i) 126 :12 x =1⇒ 126 :12 x =12 0 ⇒ 6−x =0 ⇒ x =6
j) 17 x 15 =1⇒17 x 15=17 0 ⇒ x ·15=0 ⇒ x =0
Cambio de base en potencias
14.- Expresa en base 2:
a) 1285=27 5=235
128 2
64 2
32 2
16 2
8 2
4 2
2 2
1
b) 324 = 25 4=2 20
32 2
16 2
8 2
4 2
2 2
1
c) 83=23  3=29
8 2
4 2
2 2
1

10. d) 1.0243=210 3=2 30
1.024 2
512 2
256 2
128 2
64 2
32 2
16 2
8 2
4 2
2 2
1
15.- Expresa en base 3:
a) 812=34 2=38
81 3
27 3
9 3
3 3
1
b) 27 7=3 37=3 21
27 3
9 3
3 3
1
c) 2433=35  3 =315
243 3
81 3
27 3
9 3
3 3
1

11. d) 2.187 2=372 =314
2.187 3
729 3
243 3
81 3
27 3
9 3
3 3
1
16.- Expresa en base 5:
a) 1253=53 3=59
125 5
25 5
5 5
1
b) 257 =52 7=514
25 5
5 5
1
c) 62510=54 10=5 40
625 5
125 5
25 5
5 5
1
d) 3.1257=557=535
3.125 5
625 5
125 5
25 5
5 5
1

12. 17.- Resuelve las siguientes operaciones con potencias:
a) 162 · 25=2 42 · 25=28 · 25 =213
b) 27 2 · 33=33 2 · 33=36 ·33 =39
c) 52 · 252=5 2 ·52 2=5 2 · 54=56
d) 165 : 23=2 4 5 :23=220 :23 =217
e) 812 :32=34 2 : 32=38 :32=3 6
f) 2 3 · 162 · 32=23 ·2 4 2 · 25=23 · 28 · 25=216
g) 25 2 · 1252 :5 2=5 22 ·53 2 :52 =54 ·56 :52=510 :52=58
h) 9 4 :32 · 272 =3 24 :32 ·33 2=38 : 32 · 36=36 · 36=312
18.- Resuelve las siguientes operaciones con potencias:
a) 9 ·−33 ·−3=32 · −33 ·−3=−32 · −33 ·−3=−36=36
b) −52 ·125=5 2 · 53=55
c) −42 · 4 · 4 3=42 · 4 · 43=46
d) −81:−33=−34 :−33 =3
e) −343:−49=−73 :−72 =7
f) −273 ·−32 =[−33 ]3 · −32=−39 ·−32=−311=−311
Números cuadrados perfectos y raíz cuadrada exacta
19.- Calcula los números cuadrados perfectos comprendidos entre 100 y 300.
102 =10· 10=100 112=11 · 11=121
2 2
12 =12· 12=144 13 =13 · 13=169
2 2
14 =14 ·14=196 15 =15 · 15=225
2 2
16 =16· 16=256 17 =17· 17=289
20.- Comprueba si los siguientes números son cuadrados perfectos:
a) 36
62 =36 ⇒36, número cuadrado perfecto
b) 50
72 =495064=82 ⇒50, número no cuadrado perfecto

13. c) 1.296
362 =1.296⇒ 1.296, número cuadrado perfecto
d) 136
112=121136144=122 ⇒136, número no cuadrado perfecto
21.- Determina la cifra de las unidades en los siguientes cuadrados perfectos:
a) 3882
82=64⇒ cifra de las unidades=4
b) 253 2
32=9⇒ cifra de las unidades=9
c) 2.550 2
0 2=0 ⇒ cifra de las unidades=0
d) 999.9992
92 =81⇒ cifra de las unidades=1
22.- La potencia x 2 representa a los números cuadrados perfectos. Si un número cuadrado
perfecto tiene 1 como cifra de unidades, ¿qué cifras puede tener como unidades la base de la
potencia x 2 ?
U U U U U
0 2=0 12 =1 2 2=4 32 =9 4 2=16
U U U U U
52 =25 62 =36 72 =49 82 =64 92 =81
23.- Un número cuadrado perfecto tiene 2 como cifra de las unidades. ¿Verdadero o falso?.
Unidades de un número cuadrado perfecto=0, 1, 4, 5, 6 ∨ 9 ⇒ Falso
Números no cuadrados perfectos y raíz cuadrada entera
24.- Utilizando dos números cuadrados perfectos consecutivos, calcula la raíz cuadrada entera y el
resto en los siguientes casos:
a) 15
32=9 15 16=4 2
 9  15 16
3 154
 15=3 r =15−3 2=15−9=6

14. b) 28
52=25 28 36=6 2
 25 28 36
5  286
 28=5 r =28−52=28−25=3
c) 70
82=64 70 81=92
 64  70 81
8 709
 70=8 r =70−82=70−64=6
d) 258 Calculadora  258=16,062378
162 =256 258 289=172
 256 258  289
16  25817
 258=16 r =258−162=258−256=2
e)748 Calculadora 748=27,349589
27 2=729 748 784=282
 729  748 784
27 74828
 748=27 r =748−272 =748−729=19
f) 3.342 Calculadora  3.342=57,810034
572=3.249 3.342 3.364=582
 3.249 3.342 3.364
57 3.342 58
 3.342=57 r =3.342−572=3.342−3.249=93

15. 25.- Determina el número de cifras que tienen las raíces cuadradas de los siguientes números:
a) 7
7 ⇒  7 , 1 cifra
b) 58
58 ⇒  58 ,1 cifra
c) 349
3 49 ⇒  349 , 2 cifras
d) 4.555
45 55 ⇒  4.555 , 2 cifras
e) 98.725
9 87 55 ⇒  98.725 , 3 cifras
f) 232.617
23 26 17 ⇒  232.617 , 3 cifras
g) 7.009.560.998
70 09 56 09 98 ⇒  7.009.560.998 , 5cifras
h) 35.000.768.664.006.897
3 50 00 76 86 64 00 68 97 ⇒  35.000.768.664.006.897 , 9 cifras
26.- Calcula, por aproximaciones, la raíz cuadrada de los siguientes números:
a) 18
1º.-
18 ⇒  18 ,1 cifra
2º.-
12=118
2
2 =418
2
3 =918
4 2=1618
52=2518  18=4

16. b) 118
1º.-
1 18 ⇒  118 , 2 cifras
2º-
102 =100118
20 2=400118
3º.-
112=121118
 118=10 Comprobación con la calculadora
c) 5.325
1º.-
53 25 ⇒  5.325 , 2 cifras
2º-
102 =1005.325
20 2=4005.325
30 2=9005.325
2
40 =1.6005.325
2
50 =2.5005.325
2
60 =3.6005.325
70 2=4.9005.325
2
80 =6.4005.325
70 5.32580
3º.-
712 =5.0415.325
2
72 =5.1845.325
732 =5.3295.325
 5.325=72 Comprobación con la calculadora
d) 43.359
1º.-
4 33 59 ⇒  43.359 , 3 cifras

17. 2º.-
200 2=40.00043.359
3002 =90.00043.359
200 43.359300
3º.-
210 2=44.10043.359
4º.-
201 2=40.40143.359
2
202 =40.80443.359
203 2=41.20943.359
204 2=41.61643.359
2
205 =42.02543.359
206 2=42.43643.359
207 2=42.84943.359
208 2=43.26443.359
209 2=43.68143.359
 43.359=208 Comprobación con la calculadora
e) 758.857
1º.-
75 88 57 ⇒  758.857 , 3 cifras
2º.-
8002 =640.000758.857
900 2=810.000758.857
800  758.857900
3º.-
8102 =656.100758.857
8202 =672.400758.857
8302 =688.900758.857

18. 8402 =705.600758.857
8502 =722.500758.857
8602 =739.600758.857
8702 =756.900758.857
8802 =774.400758.857
870  758.857880
4º.-
8712=758.641758.857
8722=760.384758.857
 758.857=871 Comprobación con la calculadora
f) 690
1º.-
6 90 ⇒  690 , 2 cifras
2º.-
20 2=400690
30 2=900690
20 69030
3º.-
21 2=441690
2
22 =484690
23 2=529690
2
24 =576690
25 2=625690
2
26 =676690
27 2=729690
 690=26 Comprobación con la calculadora

19. g) 2.222
1º.-
22 22 ⇒  2.222 , 2 cifras
2º.-
40 2=1.6002.222
2
50 =2.5002.222
40 2.22250
3º.-
2
45 =2.0252.222
46 2=2.1162.222
2
47 =2.2092.222
2
48 =2.3042.222
 2.222=47 Comprobación con la calculadora
h) 25.025
1º.-
2 50 25 ⇒  25.025 , 3 cifras
2º.-
2
100 =10.00025.025
2
200 =40.00025.025
100  25.025200
3º.-
2
130 =16.90025.025
2
140 =19.60025.025
2
150 =22.50025.025
1602 =25.60025.025
150  25.025160
4º.-
2
151 =22.80125.025
2
152 =23.10425.025

20. 1532=23.40925.025
2
154 =23.71625.025
1552=24.02525.025
2
156 =24.33625.025
2
157 =24.64925.025
2
158 =24.96425.025
1592=25.28125.025
 25.025=158 Comprobación con la calculadora
27.- Estima entre que centenas se encuentra la raíz cuadrada de los siguientes números:
a) 12.500
1º.-
1 25 00 ⇒  12.500 , 3 cifras
2º.-
2
100 =10.00012.500
200 2=40.00012.500
100  12.500200
b) 52.000
1º.-
5 20 00 ⇒  52.000 , 3 cifras
2º.-
2
100 =10.00052.000
200 2=40.00052.000
2
300 =90.00052.000
200 52.000300
c) 95.600
1º.-
9 56 00 ⇒  95.600 , 3 cifras
2º.-
1002 =10.00095.600

21. 200 2=40.00095.600
2
300 =90.00095.600
400 2=160.00095.600
300 95.600400
d) 120.200
1º.-
12 02 00 ⇒  120.200 , 3 cifras
2º.-
2
100 =10.000120.200
200 2=40.000120.200
2
300 =90.000120.200
2
400 =160.000120.200
300 120.200400
28.- Calcula el término desconocido x en los siguientes casos:
a)  x=11 ; r=14
x=11 214=12114=135
b)  79=8 ; r =x
r =79−82=79−64=15
c)  x=123 ; r=11
x=123 211=15.12911=15.140
d)  12.333=111 ; r= x
2
r =12.333−111 =12.333−12.321=12
Algoritmo de la raíz cuadrada
29.- Calcula, aplicando el algoritmo de la raíz cuadrada:
a)  8
2
8
–4  8=2 ; r =4
r= 4 Comprobación: 2 24=44=8

22. b)  520
22
5 20
–4 42 · 2 = 84
120
– 84  520=22 ; r =36
2
r= 36 Comprobación: 22 36=48436=520
c)  6.321
79
63 21
– 49 149 · 9 = 1.341
1421
– 1341  6.321=79 r =100
2
r= 100 Comprobación: 79 =6.241100=6.341
d)  15.361
123
1 53 61
–1 22 · 2 = 44
053
– 44 243 · 3 = 729
0961
– 729  15.361=123 ; r =232
r= 232 Comprobación: 1232=15.129232=15.361
e)  375.484
612
37 54 84
– 36 121 · 1 = 121
0154
– 121 1222 · 2 = 2.444
03384  375.484=612 ; r =940
– 2444 Comprobación:
2
r= 0940 612 940=374.544940=375.484

23. f)  324
18
3 24
–1 28 · 8 = 224
224
– 224  324=18 ; r =0 ⇒raìz cuadrada exacta
r= 000 Comprobación: 182=324
g)  7.275
85
72 75
– 64 165 · 5 = 825
0875
– 825  7.275=85 ; r=50
2
r= 050 Comprobación: 85 =7.22550=7.275
h)  83.083
288
8 30 83
–4 48 · 8 = 384
430
– 384 568 · 8 = 4.544
04683  83.083=288 ; r=139
– 4544 Comprobación:
r= 0139 288 2139=82.944139=83.083
i)  715.517
845
71 55 17
– 64 164 · 4 = 656
0755
– 656 1685 · 5 = 8.425
09917  715.517=845 ; r=1.492
– 8425 Comprobación:
r= 1492 84521.492=714.0251.492=715.517

24. j)  468.864
684
46 88 64
– 36 128 · 8 = 1.024
1088
– 1024 1364 · 4 = 5.456
006464  468.864=684 ; r=1.008
– 5456 Comprobación:
r= 1008 6842 1.008=467.8561.008=468.864
Resolución de problemas
30.- En una clase de 1º de ESO hay 5 filas de mesas y en cada fila hay 5 mesas. ¿Cuántas mesas
hay en la clase?
5 filas ·5 mesas=52 mesas=25 mesas
31.- Un teatro tiene 25 filas de butacas y en cada fila hay 25 butacas. ¿Cuántas butacas tiene el
teatro?
→ De Matemáticas 1º ESO – Esfera – SM
25 filas · 25 butacas=252 butacas=625 butacas
32.- Un barco ha descargado en el puerto de Cádiz 20 contenedores, dentro de cada contenedor
hay 20 cajones de madera, en cada cajón hay 20 cajas de cartón y cada caja contiene 20 latas
de atún en aceite de oliva. ¿Cuántas latas de atún se han descargado?
20 contenedores · 20 cajones· 20 cajas· 20 latas=204 latas de atún=160.000 latas de atún
33.- Un paquete tiene 12 cajas. Cada caja tiene 12 estuches. Cada estuche, 12 rotuladores. Escribe
en forma de potencia el número de rotuladores y halla el resultado.
→ De Matemáticas 1º ESO – Esfera – SM
12 cajas ·12 estuches · 12 rotuladores=12 3 rotuladores=1.728 rotuladores
34.- Tenemos 5 cajas. Cada caja contiene 5 montones de 5 billetes de 5 €. Escribe en forma de
potencia el número de billetes y el número de euros que hay en las cinco cajas.
→ De Matemáticas 1º ESO – Esfera – SM
5 cajas ·5 montones · 5 billetes=53 billetes=125billetes
53 billetes ·5 € =5 4 € =625 €
35.- Ana cuenta una noticia a 5 personas. A la hora siguiente, cada una de ellas se la cuenta a otras 5
y así sucesivamente. ¿Cuánto tardan en conocerla 100.000 personas?
→ De Matemáticas 1º ESO – Esfera – SM
0 h  50=1 persona

25. 1 h 5051=15=6 personas
0 1 2
2 h 5 5 5 =625=31 personas
3 h 5051 5253=31125=156 personas
0 1 2 3 4
4 h5 5 5 5 5 =156625=781 personas
0 1 2 3 4 5
5 h 5 5 5 5 5 5 =7813.125=3.906 personas
0 1 2 3 4 5 6
6 h 5 5 5 5 5 5 5 =3.90615.625=19.531 personas
7 h 505 1525 35455 5657=19.53178.125=97.656 personas
0 1 2 3 4 5 6 7 8
8 h 5 5 5 5 5 5 5 5 5 =97.656390.625=488.281 personas
8 horas tardan en conocerla 100.000 personas
36.- Un cierto tipo de bacterias se reproduce dividiéndose en dos cada 5 minutos. Calcula cuántas
bacterias se han generado en dos horas y media.
→ De Matemáticas 1º ESO – Esfera – SM
0 min 2 0=1 bacteria
1
5 min 2 =2 bacterias
10 min 2 2=4 bacterias
3
15 min 2 =8 bacterias
4
20 min 2 =16 bacterias
··············································
50: 5 10
50 min 2 =2 =1.024 bacterias
·······························································
100: 5 20
100 min 2 =2 =1.048.576 bacterias
·········································································
2,5 h=150 min 2150 :5 =230=1.073.741.824 bacterias
37.- Calcula el volumen de un cubo de 5 cm de arista.
Volumen del cubo=5 cm ·5 cm ·5 cm=53 cm3=125 cm 3
5 cm

26. 38.- En un contenedor cúbico de 1,5 m de arista se introducen cubos de 1 dm3 de arista, hasta
llenarlo completamente. ¿Cuántos decímetros cúbicos hay en el contenedor?
→ De Matemáticas 1º ESO – Esfera – SM
1,5 m
Arista 1,5 m ·10=15 dm
Volumen del contenedor 15 dm· 15 dm·15 dm=153 dm 3=3.375 dm 3
39.- Calcula el área y el perímetro de un cuadrado de 7 cm de lado.
7 cm
Área=lado ·lado=l ·l=l 2=7 cm2=49 cm2
Perímetro=l lll=4 l=4 · 7 cm=28 cm
40.- Un campo cuadrangular tiene 10.000 m2 de superficie.
a) ¿Cuánto mide su lado?
b) ¿Cuál es su perímetro?
→ De Matemáticas 1º ESO – Esfera – SM
Área=l 2
10.000 m2 l 2= A⇒  l 2 = A⇒ l= 10.000 m 2=100 m
Perímetro=4 ·l =4 ·100 m=400 m
41.- Se desea vallar un campo cuadrangular de 256 m2 de superficie. ¿Cuántos metros de valla se
necesitan?
→ De Matemáticas 1º ESO – Esfera – SM
l= A= 256 m2=16 m
256 m2
P=4 ·l=4 ·16 m=64 m de valla se necesitan
42.- Representa, gráficamente, el número cuadrado perfecto 16.
4
4

27. 43.- Los caramelos de un montón se han dispuesto en 7 filas y en 7 columnas, y sobran 15
caramelos. ¿Cuántos había en el montón?
→ De Matemáticas 1º ESO – Esfera – SM
7 filas · 7 columnas=72 caramelos=49 caramelos
49 caramelos15 caramelos=64 caramelos
44.- Con 81 monedas de 5 céntimos, ¿se puede formar un cuadrado, colocándolas en filas y
columnas?
 81=9 ; r=0⇒ Se puede formar un cuadrado
45.- Con 50 monedas de 5 céntimos, ¿se puede formar un cuadrado, colocándolas en filas y
columnas?
→ De Matemáticas 1º ESO – Esfera – SM
 50=7 ; r =1⇒ No se puede formar un cuadrado
46.- Calcula la raíz cuadrada entera del número que representa la figura. Calcula el resto.
Calcula cuanto falta para que sea cuadrado perfecto.
2
Nº de fichas cuadradas=6 9=369=45
 45=6 ; r =45−6 2=45−36=9
2
7 −45=49−45=4 fichas cuadradas faltan
47.- ¿Cuántas fichas cuadradas, como mínimo, hay que añadir a la figura para formar un cuadrado?
Nº de fichas cuadradas=526=256=31
Siguiente cuadrado perfecto 6 2=36
36−31=5 fichas cuadradas hay que añadir

28. 48.- Observa la figura y determina la raíz cuadrada entera y el resto del número 56.
 56=7 ; r =56−72=56−49=7
49.- Tenemos 144 fichas cuadradas y queremos colocarlas de forma ordenada para que formen un
cuadrado lo más grande posible.
a) Calcula el número de fichas que habrá que colocar en cada lado del cuadrado.
 144=12 fichas en cada lado
b) Calcula el número de fichas necesarias para formar otro cuadrado con 3 fichas más de lado.
123=15 fichas de lado 152 =225 fichas serán necesarias
50.- Si queremos formar un cuadrado con 625 fichas cuadradas. ¿Cuántas fichas colocaremos en
cada lado?. ¿Sobrará alguna ficha?
 625=25 fichas en cada lado
r =625−252=625−625=0 fichas sobran
51.- Comprueba si el número 676 tiene raíz cuadrada exacta.
 676=26 ; r =0 ⇒ raíz cuadrada exacta
52.- Las fichas de la figura forman un cuadrado perfecto.
a) Calcula su raíz.
 64=8
b) Calcula el número de fichas que habrá que añadir para que la raíz cuadrada exacta sea
2 unidades mayor que la anterior.
2
 x=82 ⇒  x=10⇒  x =10 2 ⇒ x=100
100−64=36 fichas habrá que añadir

29. 53.- Observa la figura:
¿Cuántos fichas cuadradas hay que añadir para que el cuadrado tenga 12 fichas de lado?
112=121 fichas cuadradas
2
12 =144 fichas cuadradas
144−121=23 fichas cuadradas habrá que añadir
54.- La raíz cuadrada exacta de un número es 85. ¿Cuántas unidades habrá que sumar a dicho
número para que la raíz cuadrada del resultado sea exacta y de una unidad mayor?
 x=85 ⇒ x=852 ⇒ x=7.225
 y=851=86⇒ y=86 2=7.396
7.396−7.225=171 unidades hay que añadir
55.- La cumbre más elevada de España es el Teide. Averigua su altitud con estos datos:
· Su raíz cuadrada entera es igual a 60.
· Si se le sumara 3, sería un cuadrado perfecto.
→ De Matemáticas 1º ESO – Esfera – SM
 x=60 ; raíz entera⇒ x=60 2r ⇒ Cuadrado perfecto siguiente=612
x3=612 ⇒ x 3=3.721 ⇒ x =3.718 m
56.- Comprueba: La suma de n números impares consecutivos es igual a n2.
1=1=12
13=4=2 2

30. 135=9=32
1357=16=42
13579=25=5 2
··········································
13579=n 2 n
57.- El doble del cuadrado de un número es igual a 32. Calcula dicho número.
2 · x =32⇒ x =16 ⇒  x = 16 ⇒ x =4
2 2 2
58.- El cuadrado del triple de un número es igual a 75. Calcula dicho número.
3· x 2=225⇒  3 · x2=  225⇒ 3 · x =15⇒ x=5
59.- Se tienen dos cuadrados, tales que uno de ellos tiene por lado el doble que el otro. ¿Cuántas
veces es mayor la superficie de uno respecto del otro?
→ De Matemáticas 1º ESO – Esfera – SM
2·l
l
A1=l · l=l 2
A2 = 2· l ·2 · l=2· l · 2 · l=4· l 2
A2 4 · l 2
= 2 =4 ⇒ A2 cuatro veces mayor que A1
A1 l
60.- El largo de un terreno rectangular es el doble que el ancho. Su superficie es de 512 m2. ¿Cúal
es el perímetro del terreno?
→ De Matemáticas 1º ESO – Esfera – SM
l
2·l
2 · l· l=512 m2 ⇒ 2· l · l=512 m2 ⇒ 2· l 2=512 m2 ⇒ l 2=256 m2 ⇒
⇒  l 2 = 256 m2 ⇒l=16 m
P=2· l2· 2 ·l =2 · l4 · l=6 ·l=6· 16 m=96 m

31. 61.- La raíz cuadrada entera de un número es 15 y su resto es el menor posible. ¿Cuál es el número?
→ De Matemáticas 1º ESO – Esfera – SM
{r , menor posible⇒x=15}⇒ x=15 1=2251=226
r =1
2
62.- La raíz cuadrada entera de un número es igual a 32. ¿Cuál es el mayor valor que puede tener el
resto?
→ De Matemáticas 1º ESO – Esfera – SM
 x ; ¿ r , mayor posible ?
322 =1.024 x1.089=33 2 ⇒ r , mayor posible=1.088−1.024=64
63.- Observa la figura:
¿Cuántas fichas cuadradas habrá que añadir al cuadrado para obtener otro cuadrado cuyo lado
tenga 2 unidades más que el primero?
64 fichas cuadradas ⇒ 8 fichas cuadradas de lado
82=10 fichas cuadradas de lado ⇒ 102 =100 fichas cuadradas
100−64=36 fichas cuadradas habrá que añadir