1. 1. El conjunto de números reales (IR)
1. Número decimal
Los números racionales se representan de dos maneras: como a/b con b distinto
de cero o como número decimal.
Un número decimal es la representación de un racional que se obtiene al dividir el
numerador por el denominador y está conformado por una parte entera y por una
decimal, separadas una de la otra por una coma.
Ejemplos:
(decimal infinito periódico puro)
Parte decimal Parte decimal
Parte entera Parte entera
2. Fracción generatriz de un número decimal
Sabemos que todo decimal, ya sea limitado o ilimitado periódico, procede de una
fracción. La fracción irreductible la que procede dicho decimal se llama fracción
generatriz del número decimal o simplemente generatriz.
En el estudio de la generatriz de una expresión decimal, nos encontramos con tres
casos:
1er. caso: Cuando el número decimal es finito o limitado
Se convierte a fracción decimal donde el numerador es el número entero que
resulta al quitar al número decimal de la coma, y el denominador es la unidad
seguida de tantos ceros como cifras tenga la parte decimal.
Luego se simplifica hasta obtener una fracción irreductible.
Ejemplos:
 Una fracción decimal es aquella donde el denominador es una potencia
.
de 10. Ejemplos:
.
 Toda fracción común cuyo denominador es 2;5 o u producto
combinados de ellos, se pueden convertir por amplificación a fracción
. decimal. Ejemplos:
Fracciones
Decimales
.

2. 2do. caso cuando el numero decimal es infinito periódico puro
Ejemplo:
Para hallar la fracción generatriz de seguimos estos pasos:
 Sea x la fracción generatriz.
x = 0,181818… =
 Multiplicamos ambos miembros por 100.
100 x =
 Restamos de la segunda igualdad la primera:
100 x =
x =
100x – x =
99x = 18
 De donde : x= que simplificando resulta x=

3. 3er. caso: cuando el numero decimal es infinito periodo mixto
Ejemplo:
Entonces:
Para hallar la fracción generatriz de una expresión decimal periódica mixta se
pone por numerador la parte no periódica seguida del primer periodo, menos la
parte no periódica; y por denominador tantos nueves como cifras tiene el periodo,
seguidos de tantos ceros como cifras tenga la parte no periódica, simplificando
después hasta hallar la equivalente irreductible.
Ejm:
3. Números irracionales
¿Existen número decimales ilimitados que no son racionales? Veamos un ejemplo:
Al extraer la raíz cuadrada al número 2 se obtiene: = 1,41421356237309….
Observamos que:
. El resultado es un decimal ilimitado, pues, normas que se prolongue su cálculo,
nunca termina.
. Este decimal ilimitado no es periódico, pues, por mucho que prolonguemos su
cálculo, nunca habrá periodo de cifras que se vayan repitiendo.
.este decimal no se puede expresar mediante la división de dos números enteros
(como consecuencia de ser ilimitado no periódico).
Luego al resultado de , decimal ilimitado no periódico, no es un número
racional.
A estos números que no podemos expresar mediante la forma con
de les llama irracionales.

4. Luego podemos definir los números irracionales como numero de infinitas cifras
decimales, no periódicas y que en consecuencia, no pueden representarse
mediante la razón de dos números enteros.
4. El conjunto de los números irracionales ( II )
Así como, al no ser posibles todas las restas en el conjunto IN, hubo necesidad de
construir el conjunto ZI, y así como también, al no ser posibles todas las divisiones
en el conjunto ZI, hubo necesidad de construir el conjunto Q, de la misma manera
hay necesidad de construir un nuevo conjunto, distinto de Q, para expresar las
raíces cuadradas de números que no son cuadrados perfectos. Dicho conjunto es
el conjunto de los números irracionales (II).
El conjunto II de los números irracionales tiene como elemento a todos los
números decimales ilimitados no periódicos.
5. El conjunto de los números reales (IR)
El conjunto Q de los números racionales y el conjunto II de los números
irracionales constituyen reunidos, el conjunto de los números reales que se
representa con la letra: IR. Todos los conjuntos numéricos estudiados hasta el
momento (IN, IZ, Q, II) están incluidos en IR, como se verá en la siguiente
clasificación.

5. PROPIEDADES DE IR
El conjunto de los números reales es INFINITO (no tiene primer ni último
elemento)
El conjunto de los números reales es DENSO (entre dos números reales siempre
existe otro número real)
El conjunto de los números reales se representa gráficamente mediante la RECTA
REAL.
Ejercicio 1 Escribe en la forma de número decimal, los siguientes números
racionales:
Numero Numero
Racional Decimal

6. Ejercicio 2 Escribe la fracción generatriz de los siguientes números decimales:
Numero Fracción
Decimal Generatriz
Ejercicio 3 Completa la siguiente tabla escribiendo Si o No, según pertenezca o no
el numero dado a los conjuntos IN, ZI, Q, II y IR.
Numero
IN ZI Q II IR
Decimal
6. ORDEN EN IR
Dados los números reales a y b: se dice que a>b si la diferencia a-b es un numero positivo
Dados los números reales a y b: se dice que a<b si la diferencia a-b es un numero negativo

7. También se puede establecer un orden entre dos números reales, primero expresándolos en la
forma de número decimal y luego comparando los números cifra a cifra. Veamos los siguientes
casos:
1er. Caso: Cuando tienen partes enteras diferentes
Si dos números decimales tienen partes enteras diferentes, es mayor la que posee mayor parte
entera.
Ejemplos:
2do. Caso: Para decimales positivos que tienen parte entera igual.
Si dos números decimales positivos tienen la misma entera y diferentes partes decimales, es
mayor el que tiene mayor la primera cifra decimal en la que se diferencian los dos números
decimales. Ejemplos:
3er. Caso: Para decimales negativos que tienen parte entera igual.
Si dos números decimales negativos tienen la misma entera y diferentes partes decimales, es
mayor el que tiene menor la primera cifra decimal en la que se diferencian los dos números
decimales. Ejemplos:
7. DESIGUALDADES EN IR
8. INTERVALOS
Reciben el nombre de intervalos los subconjuntos de IR definidos del siguiente modo a, b son
Números Reales que satisfacen ciertas desigualdades.
• Intervalo acotado y abierto en sus extremos a y b: <a, b> = {x ∈ R / a < x < b}
• Intervalo acotado, cerrado por la izquierda y abierto por la derecha: [a, b> = {x ∈ R / a ≤ x < b}
• Intervalo acotado, abierto por la izquierda y cerrado por la derecha: <a, b] = {x ∈ R / a < x ≤ b}
• Intervalo acotado y cerrado en sus extremos a y b: [a, b] = {x ∈ R / a ≤ x ≤ b};
Intervalos Ilimitados

8. • Intervalo abierto, acotado inferiormente pero no superiormente: <a,+∞> = {x ∈ IR / x > a}
• Intervalo cerrado, acotado inferiormente pero no superiormente: [a,+∞> = {x ∈ IR / x ≥ a}
• Intervalo abierto, acotado superiormente pero no inferiormente: <−∞, b> = {x ∈ IR / x < b}
• Intervalo cerrado, acotado superiormente pero no inferiormente: <−∞, b] = {x ∈ IR / x ≤ b}
• Intervalo no acotado inferior ni superiormente: <−∞,+∞> = IR.