Charla sobre lógica epistémica y conocimiento colectivo. / Talk on epistemic logic and collective knowledge.

1. El conocimiento colectivo
desde un punto de vista lógico
Julio Ostalé García
Profesor Tutor en el Centro UNED de La Coruña
jostale@a-coruna.uned.es
Investigaciones y prácticas actuales en Filosofía
http://unedfilosofia.wordpress.com
UNED, La Coruña (España), 22 de febrero de 2013

2. Objetivo y público de la charla
Objetivo:
Analizar diferentes tipos de conocimiento colectivo mediante la
lógica modal epistémica (nivel proposicional).
Lógica modal epistémica = Lógica sobre el discurso acerca de
(i) hechos,(ii) el conocimiento sobre hechos.
Conocimiento colectivo = Aquello que queremos decir con
expresiones de la forma el grupo G conoce la proposición ϕ.
Público:
Alumnos de Filosofía de la UNED que hayan cursado Lógica I.
Cualquiera con conocimientos de lógica proposicional.
Nota: Estas diapositivas son una versión corregida y sin secuenciar
de las utilizadas en la charla.

3. Plan de la charla
1. ¾Qué es la lógica modal epistémica?
1.1 Tres lógicos en un bar
1.2 Lenguaje S5
1.3 Semántica S5
1.4 Cálculo S5
2. ¾Qué es el conocimiento colectivo?
2.1 Conocimiento general, común y distribuido
2.2 Lenguaje S5ECD
2.3 Semántica S5ECD
2.4 Niños con barro en la cara

4. 1. ¾Qué es la lógica modal epistémica? I
Lógica = teoría general y abstracta de la inferencia.
Un sistema lógico consta de lenguaje, semántica y cálculo.
Sirve para representar y razonar acerca de un dominio.
Lógica clásica = lógica de los objetos matemáticos.
Lógica modal = extensión de la lógica clásica donde ϕ es
necesariamente ϕ, en el futuro ϕ, obligatoriamente ϕ . . .
Lógica modal epistémica = lógica modal donde iϕ signica
el agente i sabe que ϕ y se escribe Ki ϕ.
Relación saber que entre agentes y fórmulas.
No formalizamos p. ej. el agente i cree que ϕ.
Conocimiento declarativo: a sabe que p ⇒ (1) a cree que p,
(2) p es verdadero, (3) a tiene una justicación de que p .
No investigamos p. ej. conocimiento práctico ni directo.
Fórmulas proposicionales.
No analizamos p. ej. la diferencia entre K ∃x ϕ(x ) y ∃xK ϕ(x ).
E E

5. 1. ¾Qué es la lógica modal epistémica? II
Aplicaciones
Filosofía: epistemología formal, análisis del conocimiento. . .
Lingüística: verbos epistémicos, conversación. . .
Informática: comunicación able, sistemas multiagente. . .
Economía: negociaciones con información asimétrica. . .
Bibliografía
Orígenes históricos:
An Essay in Modal Logic (1951) de Georg Henrik von Wright
Knowledge and Belief (1962) de Jaakko Hintikka
Manuales clásicos:
Epistemic Logic for AI and Computer Science (1995)
Reasoning about Knowledge (1995)
Manuales contemporáneos:
Dynamic Epistemic Logic (2008)

6. 1.1. Tres lógicos en un bar
Fuente: http://spikedmath.com/445.html

7. 1.2. Lenguaje S5 Gramática
Un lenguaje modal epistémico es relativo a dos conjuntos:
P = {p , . . . , pm } con m proposiciones atómicas.
A = {1, . . . , n} con n agentes.
El lenguaje LK (P , A) se dene inductivamente:
1. Toda p ∈ P es fórmula.
2. Si ϕ,ψ son fórmulas, también
2.1 ¬ϕ
2.2 (ϕ ∧ ψ)
2.3 (ϕ ∨ ψ)
2.4 (ϕ → ψ)
2.5 (ϕ ↔ ψ)
3. Si i ∈ A y ϕ es fórmula, también
3.1 Kϕ
E
3.2 Kϕ
¯E

8. 1.2. Lenguaje S5 Hablando sobre los tres lógicos I
Vocabulario: pi = i quiere cerveza, Ki ϕ = i sabe que ϕ.
El lógico 1 sabe que 2 quiere cerveza.
K p
El lógico 1 sabe que 2 no quiere cerveza.
K ¬ p
El lógico 1 no sabe que 2 quiere cerveza. (ambiguo)
¬ K p
El lógico 1 no sabe que 2 no quiere cerveza. (ambiguo)
¬K ¬p
Si el lógico 1 quiere cerveza, lo sabe y sabe que lo sabe.
p → K p ∧ K K p
Si el lógico 1 quiere cerveza, lo sabe 2 o lo sabe 3.
p → K p ∨ K! p

9. 1.2. Lenguaje S5 Hablando sobre los tres lógicos II
El lógico 1 sabe que al menos uno quiere cerveza.
K ( p ∨ p ∨ p! )
El lógico 1 sabe que sólo uno quiere cerveza.
K [(p ∧ ¬p ∧ ¬p! ) ∨ (¬p ∧ p ∧ ¬p! ) ∨ (¬p ∧ ¬p ∧ p! )]
El lógico 1 sabe que 2 sabe que 3 quiere cerveza, pero 2 ignora
que 1 sabe todo eso.
K K p! ∧ ¬K K K p!
El lógico 1 sabe si 3 quiere cerveza.
K p! ∨ K ¬p!
El lógico 1 no sabe si 3 quiere cerveza.
¬K p! ∧ ¬K ¬p!
El lógico 1 no sabe si 2 ha leído sus pensamientos en lo
referente a 3, del que 1 sabe que 2 sabe que quiere cerveza.
¬K (K K K p! ) ∧ ¬K ¬(K K K p! )

10. 1.3. Semántica S5 Modelos de Kripke
Sea un lenguajeLK (P , A) con n agentes.
Un modelo M = (W , R , . . . , Rn , V ) está formado por
1. Un conjunto no vacío W de estados.
2. Una relación Ri ⊆ W × W por cada i ∈ A.
3. Una aplicación V : P −→ P(W ).
Ejemplo:
{p , q , ¬r } = w
a eeee2
eeeeee
w = {p, q , r } YYYY
YYYYY,
a
{p , ¬q , ¬r } = w!
Un estado se identica con un conjunto de hechos atómicos.
En cada estado el agente considera alternativas epistémicas.

11. 1.3. Semántica S5 Verdad en un modelo
¾Relación entre una fórmula y un modelo?
Las fórmulas son verdaderas o falsas respecto de un estado
dentro de un modelo.
Dado un modelo M = (W , R , . . . , Rn , V ) y un estado
w ∈ W , la expresión M, w ϕ se lee ϕ es verdadera en el
estado w del modelo M y se dene inductivamente:
M, w p sii w ∈ V (p)
M, w ¬ϕ sii M, w ϕ
M, w ϕ ∧ ψ sii M, w ϕ y M, w ψ
M, w ϕ ∨ ψ sii M, w ϕ o M, w ψ
M, w ϕ → ψ sii M, w ϕ implica M, w ψ
M, w ϕ ↔ ψ sii M, w ϕ → ψ y M, w ψ → ϕ
M, w Ki ϕ sii M, w ′ ϕ para todo w ′ ∈ W tal que wRi w ′
M, w Ki ϕ
¯ sii M, w ′ ϕ para algún w ′ ∈ W tal que wRi w ′
M ϕ sii M, w ϕ para todo w ∈ W .

12. 1.3. Semántica S5 Ejemplo
Consideramos de nuevo el modelo:
{p , q , ¬r } = w
a eeee2
eeeeee
w = {p, q , r } YYYY
YYYYY,
a
{p , ¬q , ¬r } = w!
1. M, w p∧q∧r
2. M, w p↔q
3. M, w Ka p
4. M, w ¬Ka q (a pesar de 2 y 3, pues S5 es intensional)
5. M, w Ka ¬r
6. M, w r ∧ Ka ¬r (se evitaría si Ra fuese reexiva)

13. 1.3. Semántica S5 La clase S5 de modelos
¾Relación entre una fórmula y una clase de modelos?
Axioma K Distribución del conocimiento
K (ϕ → ψ) → (K ϕ → K ψ)
Verdadero en todos los modelos.
Axioma T Verdad del conocimiento
Kϕ → ϕ
Verdadero en M sii R reexiva.
Axioma 4 Introspección positiva
K ϕ → KK ϕ
Verdadero en M sii R transitiva.
Axioma 5 Introspección negativa
¬K ϕ → K ¬K ϕ
Verdadero en M sii R euclídea.
S5 = clase de modelos con R de equivalencia

14. 1.3. Semántica S5 Consecuencia
¾Cuándo puede decirse que una fórmula se sigue de otras?
Dijimos que la lógica era la teoría de la inferencia.
Mediante la noción de verdad podemos construir una noción
semántica de inferencia.
Relativizamos la noción de consecuencia a la clase S5 de
modelos cuyas relaciones de accesibilidad son de equivalencia.
Idea: en cualquier estado de cualquier modelo de S5, una
fórmula (conclusión) será consecuencia de otras (premisas) si
la verdad de éstas entraña la verdad de aquélla.
Consecuencia semántica: {ϕ , . . . , ϕn } S # ψ
La fórmula ψ es consecuencia semántica (en la clase de modelos
S5) del conjunto {ϕ , . . . , ϕn } sii M, w ϕ ∧ · · · ∧ ϕn implica
M, w ψ para cualquier modelo M de S5 y estado w en M.

15. 1.3. Semántica S5 Ejemplo de no-consecuencia
Queremos demostrar K (p ∨ q ) S # (Kp ∨ Kq )
Bastará mostrar un modelo con al menos un estado que haga
verdadera a la premisa pero falsa a la conclusión.
Como R es de equivalencia, en su representación se omiten las
echas reexivas y cada línea es una echa de doble dirección.
{p , ¬q } = w
eeeeee
eeeeee
w = {p, q } YYYYY
YYYYYY
Y
{¬p , q } = w!
M, w K (p ∨ q )
M, w Kp ∨ Kq

16. 1.4. Cálculo S5 Derivabilidad
Axiomas y reglas del sistema S5
A1.1 ϕ → (ψ → ϕ)
A1.2 [ϕ → (ψ → χ] → [(ϕ → ψ) → (ϕ → χ)]
A1.3 (¬ϕ → ¬ψ) → (ψ → ϕ)
A2 K (ϕ → ψ) → (K ϕ → K ψ)
A3 Kϕ → ϕ
A4 K ϕ → KK ϕ
A5 ¬K ϕ → K ¬K ϕ
R1 De ϕ, ϕ → ψ extraer ψ
R2 De ϕ extraer K ϕ
Derivabilidad formal: {ϕ , . . . , ϕn } ⊢S # ψ
ψ es S5-derivable de {ϕ , . . . , ϕn } sii hay secuencia de fórmulas
acabada en ψ tal que cada fórmula está en {ϕ , . . . , ϕn } o es
axioma de S5 o se sigue de fórmulas previas por R1, R2 (no siendo
aplicable R2 a ϕ , . . . , ϕ n ni a fórmulas que dependan de ellas).

17. 1.4. Cálculo S5 Ejemplo de derivabilidad
Queremos demostrar Kp ∨ Kq ⊢S # K (p ∨ q )
Bastará una S 5-derivación desde Kp ∨ Kq hasta K (p ∨ q ).
A1 será cualquier teorema de la lógica proposicional clásica.
1. Kp ∨ Kq Premisa
2. p →p∨q A1
3. K (p → p ∨ q ) R2 en 2
4. K (p → p ∨ q ) → (Kp → K (p ∨ q )) A2
5. Kp → K (p ∨ q ) R1 en 3,4
6. q →p∨q A1
7. K (q → p ∨ q ) R2 en 6
8. K (q → p ∨ q ) → (Kq → K (p ∨ q )) A2
9. Kq → K (p ∨ q ) R1 en 7,8
10. # → [' → (Kp ∨ Kq → K (p ∨ q ))] A1
11. ' → (Kp ∨ Kq → K (p ∨ q )) R1 en 5,10
12. Kp ∨ Kq → K (p ∨ q ) R1 en 9, 11
13. K (p ∨ q ) R1 en 1, 12

18. 1.4. Cálculo S5 Relación entre semántica y cálculo
Semántica y cálculo son cosas muy distintas:
Consecuencia se dene mediante la noción de verdad.
Derivabilidad se dene mediante la noción de derivación.
¾Cómo se relacionan consecuencia semántica y derivabilidad formal?
Teorema de Corrección Fuerte:
{ϕ , . . . , ϕn } ⊢S # ψ implica {ϕ , . . . , ϕn } S # ψ
Teorema de Completud Fuerte:
{ϕ , . . . , ϕn } S # ψ implica {ϕ , . . . , ϕn } ⊢S # ψ
¾Por qué complicarlo tanto?
Para demostrar que ϕ se sigue de {ϕ , . . . , ϕn } conviene usar
la derivabilidad, que depende de una sola derivación (la
consecuencia depende de innitos modelos).
Para demostrar que ϕ no se sigue de {ϕ , . . . , ϕn } conviene
usar la no-consecuencia, que depende de un solo modelo (la
no-derivabilidad depende de innitas derivaciones).

19. 2. ¾Qué es el conocimiento colectivo?
Tenemos una herramienta formal y un problema conceptual:
Herramienta: Sistema S5 (lenguaje, semántica, cálculo)
Problema: ¾Qué signica en A se sabe que ϕ?
Tres tipos de conocimiento colectivo o de grupo:
Conocimiento general (o universal o conjunto)
Todos saben que ϕ.
Todos saben que todos saben n veces que ϕ.
Conocimiento común
Todos saben que todos saben innitas veces que ϕ.
Conocimiento distribuido (o implícito)
Entre todos pueden concluir que ϕ.
Nota:
Conocimiento mutuo puede signicar general o común
dependiendo de las fuentes consultadas.

20. 2.1. Conocimiento general, común y distribuido I
Situación A:
En Microsoft se convoca a las personas 1 y 2 a una reunión
mediante correos electrónicos. En ellos se dice que va a
hablarse de un nuevo proyecto. A 1 se le dice que Bill Gates o
Melinda Gates presentarán el proyecto. A 2 se le dice que
Melinda Gates no va a presentarlo. Al reunirse 1 y 2 guardan
silencio sobre lo que han leído en sus respectivos correos.
Situación B:
Como A, pero 1 y 2 han leído a escondidas el correo del otro.
Situación C:
Como A, pero en cada correo aparecen los dos destinatarios.
Formalización:
p = Va a presentarse un nuevo proyecto.
b = Bill Gates va a presentar el nuevo proyecto.
m = Melinda Gates va a presentar el nuevo proyecto.

21. 2.1. Conocimiento general, común y distribuido II
Conocimiento general
En A todos saben que p.
En A no todos saben que todos saben que p.
En B todos saben que p.
En B todos saben que todos saben que p.
En B no todos saben que todos saben que todos saben que p.
Conocimiento común
En C todos saben que todos saben (innitas veces) que p.
Conocimiento distribuido
En A existe conocimiento distribuido de p (obvio).
En A existe conocimiento distribuido de b , ya que por un lado
K (b ∨ m) y por otro lado K (¬m).

22. 2.2. Lenguaje S5ECD Operadores
Dado un lenguaje LK (P , A), añadimos tres operadores modales:
E ϕ = Hay en A conocimiento general de ϕ.
C ϕ = Hay en A conocimiento común de ϕ.
D ϕ = Hay en A conocimiento distribuido de ϕ.
¾Son denibles en términos de LK (P , A)?
E ϕ = K ϕ ∧ · · · ∧ Kn ϕ (fórmula)
C ϕ = E ϕ ∧ EE ϕ ∧ EEE ϕ ∧ · · · (pseudo-fórmula)
D ϕ = ? (ausencia de fórmula)
Ejemplos:
DCp ∧ ¬CDp
EEp ∧ ¬EEEpϕ → ¬Cp
(K Cp → CK p ) ∨ (CK p → K Cp )
Dp ↔ K b ∨ K b

23. 2.3. Semántica S5ECD Verdad en un modelo
Informalmente:
E ϕ en w sii ϕ es verdadera en los estados que algún miembro
del grupo considere posible desde w.
C ϕ en w sii ϕ es verdadera en los estados que algún miembro
considere posible desde cualquier estado alcanzable desde w.
D ϕ en w sii ϕ es verdadera en todos los estados que todo
miembro del grupo considera posibles desde w.
Formalmente:
M, w Eϕ sii M, w ′ ϕ para todo w ′ tal que
(w , w ′ ) ∈ R ∪ . . . ∪ Rn
M, w Cϕ sii M, w ′ ϕ para todo w ′ que
sea alcanzable desde w en R ∪ . . . ∪ Rn
M, w Dϕ sii M, w ′ ϕ para todo w ′ tal que
(w , w ′ ) ∈ R ∩ . . . ∩ Rn

24. 2.3. Semántica S5ECD Ejemplo
{p , q , r } = w a { p , q , ¬ r } = w#
lll
l
allllll
lll
llll
w = {p, q , R }
r {p , q , r } = w!
RRR a,b
RRR
RRR
R
b RRRRRR
{p , ¬q , r } = w
M, w Cp ∧ Ep ∧ Dp
M, w ¬Cq ∧ ¬Eq ∧ Dq
M, w ¬Cr ∧ Er ∧ Dr

25. 2.3. Semántica S5ECD Relevancia de +ϕ
¾Qué relación existe entre los diferentes tipos de conocimiento?
C ϕ ⇒ E ϕ ⇒ Ki ϕ ⇒ D ϕ ⇒ ϕ
¾Por qué interesa en losofía el conocimiento común?
Aparentemente es muy débil, luego sus objetos deberían ser o
bien verdades lógicas o bien obviedades.
Presupuestos conversacionales: ¾Te ha gustado la película?
Normas sociales: cortesía, ajedrez, señales de tráco. . .
Lo público: anuncios verbales, escenarios visuales. . . .
Lewis, en Convention (1969), sostiene que la diferencia entre
una convención social y una mera regularidad es que aquélla es
objeto de conocimiento común.
Comprobar si hay conocimiento común es una supertarea.

26. 2.4. Niños con barro en la cara
Origen incierto: ¾1950? Existen muchas variantes.
Popular desde Barwise, Scenes and other situations (1981).

27. 2.4. Niños con barro en la cara Planteamiento
Situación:
De n niños hay k (1 k ≤ n) con la cara manchada de barro.
El padre los coloca a su alrededor. Cada niño puede ver la cara
de los demás, aunque no su propia cara; no hay espejos y no se
puede hablar. Son capaces de entender lo que está a punto de
decir el padre, así como de razonar y sacar conclusiones.
También se les supone obedientes. Y todo esto es además
conocido por cada uno de los niños.
Acciones del padre:
1. Anuncia ϕ = Al menos uno de vosotros tiene barro en la cara.
2. Ordena ω = Quien tenga barro en la cara que dé un paso.
3. Si nadie da un paso al frente, vuelve al paso 2.
Problema:
A. ¾Cuántas veces tiene que repetirse la orden ω para que todos
los niños con barro den un paso al frente?
B. ¾Qué ocurre si el padre no anuncia ϕ antes de dar las órdenes?

28. 2.4. Niños con barro en la cara Solución y paradoja
Solución:
A. Tras el anuncio ϕ, los k niños con barro en la cara darán un
paso al frente después de k repeticiones de la orden ω.
B. Sin el anuncio ϕ, ningún niño dará un paso al frente por
mucho que el padre repita la orden ω.
Paradoja:
El anuncio ϕ es imprescindible: sin él ningún niño con barro en
la cara llega a saber que tiene barro en la cara.
El anuncio ϕ es superuo: no dice nada que los niños no sepan.
Observaciones:
Antes de la lógica epistémica ya se conocía la solución.
Pero no se entendía bien la paradoja.
El anuncio público de ϕ convierte E ϕ en C ϕ.
Cuidado con las distintas formulaciones del problema, pues no
todas son equivalentes (a veces se exige que todos los niños
no sólo los manchados sepan si tienen o no barro en la cara).

29. 2.4. Niños con barro en la cara Formalización
A nivel sintáctico:
b = El niño 1 tiene barro en la cara
b = El niño 2 tiene barro en la cara
b! = El niño 3 tiene barro en la cara
ϕ = b ∨ b ∨ b !
ϕ = ( b ∧ b ) ∨ ( b ∧ b! ) ∨ ( b ∧ b! )
ψ = (b ∧ b ∧ ¬b! ) ∨ (b ∧ ¬b ∧ b! ) ∨ (¬b ∧ b ∧ b! )
A nivel semántico:
El nombre de cada estado son tres dígitos que informan sobre
las fórmulas atómicas verdaderas en él.
Ejemplo: en el estado 010 sólo el niño 2 tiene barro en la cara.
Para cada niño i ∈ {1, 2, 3} la relación Ri vincula estados
indistinguibles para i .
Ejemplo: 010 R 000 porque 2 ignora si b .

30. 2.4. Niños con barro en la cara: escenario 1
El estado 110 es el real.
Cada niño sabe que ϕ , por tanto E ϕ .
Todavía no se ha anunciado ϕ .
011 111

 

010 110
001 101

 

000 100
M, b ∧ b ∧ ¬b!
M, ¬K b ∧ ¬K b ∧ ¬K! ¬b!
M, E ϕ ∧ ¬ C ϕ ∧ ¬ C ϕ ∧ ¬ C ψ

31. 2.4. Niños con barro en la cara: escenario 2
El padre acaba de anunciar ϕ .
Con ello se ha generado C ϕ .
Nadie sabe aún si tiene barro en la cara.
011 111

 

010 110
001 101


100
M, b ∧ b ∧ ¬b!
M, ¬K b ∧ ¬K b ∧ ¬K! ¬b!
M, E ϕ ∧ C ϕ ∧ ¬ C ϕ ∧ ¬ C ψ

32. 2.4. Niños con barro en la cara: escenario 3
Se acaba de ordenar ω por primera vez.
Nadie se ha movido.
1 y 2 saben que tienen barro en la cara, 3 no sabe si lo tiene.
011 111


110
101
M, b ∧ b ∧ ¬b!
M, K b ∧ K b ∧ ¬K! ¬b!
M, E ϕ ∧ C ϕ ∧ C ϕ ∧ ¬ C ψ

33. 2.4. Niños con barro en la cara: escenario 4
Se acaba de ordenar ω por segunda vez.
1 y 2 han dado un paso al frente.
1 y 2 saben que tienen barro en la cara, 3 sabe que no lo tiene.
110
M, b ∧ b ∧ ¬b!
M, K b ∧ K b ∧ K! ¬ b!
M, E ϕ ∧ C ϕ ∧ C ϕ ∧ C ψ