0428 amor

LOGICA CLASICA DE PRIMER ORDEN
José Alfredo Amor
jaam@hp.fciencias.unam.mx
Resumen
• La lógica clásica de primer orden con igualdad es la rama más estudiada, aplicada y conocida
de la lógica contemporánea. Desde luego, presuponemos que la lógica proposicional o lógica
de enunciados, forma parte de la lógica de primer orden. La razón de esto es su riqueza
expresiva, su versatilidad y aplicabilidad, sus teoremas fundamentales, así como su uso de
modo importante en matemáticas, filosofía de la ciencia, ciencias de la computación y el
razonamiento automático. Esto último ha tenido un desarrollo espectacular en la segunda mitad
del siglo pasado. Por otro lado, la lógica clásica ha sido el punto obligado de referencia y
comparación para la gran cantidad de lógicas no clásicas que se han desarrollado en ese siglo.
• El razonamiento deductivo clásico es el proceso de obtener conclusiones a partir de
suposiciones o hechos; esas conclusiones se conocen como consecuencias lógicas de las
suposiciones o hechos. El razonamiento deductivo correcto es el razonamiento deductivo en el
que las conclusiones se siguen necesaria e inevitablemente de las suposiciones o hechos.
Podemos pensar a la lógica clásica como el estudio del razonamiento deductivo correcto.
• El objetivo fundamental de la lógica en general es explicar la noción de consecuencia lógica
la cual es una relación que se da entre un conjunto de enunciados (llamados premisas) y un
enunciado particular (llamado conclusión). Dicho concepto de consecuencia lógica, en el caso
de la lógica clásica de primer orden con igualdad, representa con rigor matemático la idea
intuitiva de inferencia válida o inferencia correcta. Para lograr este objetivo, la lógica clásica de
primer orden con igualdad utiliza, al igual que muchas otras lógicas, un lenguaje formal propio,
definido de un modo riguroso al estilo matemático, basado en formas y no en significados. Los
lenguajes formales son muy diferentes a los lenguajes naturales, por ejemplo sus símbolos
forman oraciones de un modo absolutamente preciso, lo que evita ambigüedades como las de
los lenguajes naturales y su interpretación está definida también de un modo riguroso por lo
que los conceptos de verdadero o falso quedan definidos también de modo preciso.

Lógica de
Predicados
o Lógica de Primer Orden
o Lógica Cuantificacional
José Alfredo Amor
Facultad de Ciencias UNAM
jaam@hp.fciencias.unam.mx
Abril de 2005

En el lenguaje coloquial se llama
“lógico” a lo que es considerado
de sentido común
¿Este sentido común que aplicamos en
situaciones reales debe dirigir la
construcción del razonamiento
lógico?
o por el contrario, ¿Son las normas de
la lógica las que deben regir nuestra
manera natural de razonar?

Es decir:
¿La manera natural de razonar
determina a la lógica, o la
lógica nos enseña a razonar
correctamente?
¿Qué es lo lógico y lo no lógico?

¿¿Esto es lógico o no lógicoEsto es lógico o no lógico ??

¿¿Esto es lógico oEsto es lógico o
no lógicono lógico ??

LA LÓGICA
• Podemos pensar a la lógica clásica
como el estudio del razonamiento
deductivo correcto.
• El razonamiento deductivo correcto
es el proceso de obtener
conclusiones a partir de suposiciones
o hechos, en el que las conclusiones
se siguen necesariamente de las
suposiciones o hechos.

• Esto es sumamente importante
en matemáticas, ya que las
pruebas en matemáticas son
sucesiones de argumentos, y
estos deben ser argumentos
correctos. Resulta pues obvia la
importancia de saber si un
argumento dado es correcto o no.

DIPLOMADO EN LOGICA
Módulo: Lógica de Predicados
I. LA LOGICA DE PREDICADOS
(o cuantificacional o de primer orden)
• II. SEMÁNTICA DE LA LÓGICA DE
PRIMER ORDEN
• III. SINTAXIS DE LA LÓGICA DE
PRIMER ORDEN
• IV. LOGICA DE PRIMER ORDEN
ENFOQUE COMPUTACIONAL

I. LA LOGICA DE PREDICADOS
(O CUANTIFICACIONAL O DE PRIMER ORDEN)
1.Lenguajes naturales y lenguaje
analítico.
2.Traducciones del lenguaje natural al
lenguaje analítico, e inversamente.
3.Relación entre la lógica proposicional
y la lógica cuantificacional.
4.Reglas de formación de fórmulas.
Variables, enunciados. La igualdad.

II. LA SEMÁNTICA DE LA
LÓGICA DE PRIMER ORDEN
1. Prerrequisitos de teoría de conjuntos.
2. Interpretaciones: verdad o falsedad de
enunciados respecto a una interpretación.
3. Definición de verdad de Tarski. Fórmulas
lógicamente válidas.
4. Argumentos deductivos válidos e
inválidos.
5. La igualdad. Fórmulas y argumentos que
incluyen igualdades.

III. LA SINTAXIS DE LA LÓGICA
DE PRIMER ORDEN
• 1. Deducción natural. Solo reglas.
Correctud y Completud.
• 2. Sistemas axiomáticos: axiomas, reglas
de inferencia y definición de deducción.
Metateorema de la Deducción. Correctud
y Completud.
• 3.Otros conceptos relacionados: teorías,
consistencia, satisfacibilidad, completud,
axiomatizabilidad, decidibilidad, etc.

IV. LOGICA DE PRIMER ORDEN
ENFOQUE COMPUTACIONAL
• 1. Regla de RESOLUCION.
Correctud y Completud
• 2. Demostración Automática de
Teoremas
• 3. Programación Lógica

Enunciados simples
• Paris es la Capital de Francia
• 2 + 2 = 1
• El Sol es una estrella
• Vincente Fox es el presidente de
México en el año 2005
• La UNAM tiene más de 250 mil
estudiantes

Enunciados simples
• Paris es la Capital de Francia C(p,f)
• 2 + 2 = 1 =(2+2, 1)
• El Sol es una estrella E(s)
• Vincente Fox es el presidente de
México en el año 2005 PM(f,2005)
• La UNAM tiene más de 250 mil
estudiantes est(u)>250 mil

Enunciados complejos
• Tegucigalpa es la capital de algún país
y alguna ciudad es la capital de Costa
Rica
• Caracas es la capital de Venezuela y
San José es la capital de Costa Rica
• Si 2+2 = 4 y 4 es par, entonces 2+2
es par
• No existe alguien que rasure a todos
los que no se rasuran a si mismos y
sólo a esos

CUANTIFICADORES Y VARIABLES
• El uso de cuantificadores y
variables no es común en el
lenguaje coloquial.
• Pero cuando se comprende su
poder expresivo y riguroso se ha
dado el primer paso para saber
expresarse con él.

Lenguaje formal LP: símbolos
básicos
• Parámetros de predicado: letras
mayúsculas del alfabeto P, Q, R, ….
• Parámetros de constante: letras
minúsculas a, b, c, ….
• Variables individuales: x, y, z, w, ….
• Símbolos lógicos: ¬, ∧, →, ∨, ↔, =
• Símbolos de cuantificación: ∀, ∃
• Símbolos auxiliares: ), (

Reglas de construcción de
fórmulas de LP
*Todo parámetro de predicado aplicado a
constantes o variables y toda igualdad
de constantes o variables, es una
fórmula (atómica) de LP
*Si ϕ y γ son fórmulas de LP, entonces
(¬ϕ), (ϕ ∧ γ), (ϕ ∨ γ), (ϕ → γ) y (ϕ ↔ γ)
son fórmulas de LP
*Si ϕ es una fórmula de LP y x es una
variable entonces (∃xϕ) y (∀xϕ), son
fórmulas de LP

Formalizar el Lenguaje Coloquial
• No se pretende formalizar todo el
lenguaje coloquial sino el de contenido
preciso estilo matemático:
“Todo S es P" y “Algún S es P”
∀∀x[S(x) → P(x)] y ∃x [S(x) ∧
P(x)]
S(x) simboliza “x es S” y P(x) “x es P”
Estas expresiones son nuevas para el
alumno por eso hay dificultad para
representarlas

Proposiciones Categóricas en LP
UNIVERSAL UNIVERSAL
AFIRMATIVA NEGATIVA
• A: Todo S es P E: Ningún S es P
∀∀x [S(x) → P(x)] ∀x [S(x) → ¬P(x)]
¬ ∃x [S(x) ∧ P(x)]
PARTICULAR PARTICULAR
AFIRMATIVA NEGATIVA
• I: Algún S es P O: Algún S no es P
∀∃x [S(x) ∧ P(x)] ∃x [S(x) ∧

EXPRESIVIDAD DEL LENGUAJE LP
(PERROS Y CARTEROS)
1. Todos los perros muerden a algún cartero
• ∀x[P(x) → ∃y(C(y) ∧ M(x, y))]
2.Hay un cartero al que muerden todos los perros
• ∃x[C(x) ∧ ∀y(P(y) → M(y, x)]
3.Todos los carteros son mordidos poralgún perro
• ∀x[C(x) → ∃y (P(y) / M(y, x)]
4. Hay un perro que muerde a todos los carteros
• ∃x [P(x) / ∀y(C(y) → M(x, y)]

Y SE PUEDE COMPLICAR!
Todos los perros que asustan a algún
cartero, lo muerden:
∀x∀y [P(x) / C(y) / A(x, y) → M(x, y)]
o bien:
∀x[P(x) → ∀y(C(y) / A(x, y)→M(x,
y))]
Hay un perro que muerde a todos los
perros que muerden a algún cartero:
∀∃x[P(x) / ∀y(P(y) / ∃z(C(z) / M(y,z))

Ejemplos Fórmulas de LP
• Todos son amigos de alguien:
∀x∃y A(x, y)
• Todos son amigos de todos:
∀x∀y A(x, y)
• Juan vió a María con el telescopio:
VT(j, m) ? V(j, m) ∧ T(m) ?
• Alguien es amigo de todos:
∃x ∀y A (x, y)

Ejemplos de Fórmulas de LP
∀∃x [P(x, c) → ∀y P(y, c)]
∀x[(P(x)→Q(x)) ↔ (¬Q(x)→ ¬P(x))]
∀∃x [P(x) ∧ ∀y (P(y) → x = y)]
• [∃x P(x)]∧∀x∀y[P(x)∧P(y)→x = y]

CRITERIOS DE VERDAD
• Objetivos: conocer los criterios de
verdad de los conectivos, los
cuantificadores y la igualdad.
• Saber analizar a partir de ellos, la
verdad o falsedad de cualquier
enunciado interpretado.
Especialmente el caso del
condicional.

Negación
• "no P" denotada (¬P), es
verdadera respecto a la
interpretación dada, si P es falsa
respecto a esa interpretación.

Disyunción
• "P o Q" denotada (P ∨ Q), es
interpretación dada, si P es
verdadera respecto a esa
interpretación o Q es verdadera
• Queda incluida aquí la posibilidad
de que ambas, P y Q, sean
verdaderas respecto a esa
interpretación.

Conjunción
• "P y Q" denotada (P ∧ Q), es
interpretación dada, si P es
verdadera respecto a esa
interpretación, y Q es verdadera

Condicional
A)“Si P entonces Q” denotada (P→Q)
es falsa respecto a la interpretación
dada, si P es verdadera y Q es falsa,
B) “Si P entonces Q” denotada (P→Q)
es verdadera respecto a la
interpretación dada, si no es falsa
Es decir si no sucede que P es
verdadera y Q es falsa.

Bicondicional
• "P si y sólo si Q" denotada
(P↔Q), es verdadera respecto a
la interpretación dada, si ambas
P y Q son verdaderas, o bien
ambas P y Q son falsas,
respecto a tal interpretación.

Cuantificación Existencial
• [∃x Q(x)] es verdadera respecto
a la interpretación dada, si hay
al menos un individuo en el
universo de esa
interpretación, tal que Q es
verdadera respecto a ese
individuo y respecto a esa
interpretación.

Cuantificación Universal
• [∀x Q(x)] es verdadera respecto
a la interpretación dada, si para
todos los individuos en el
universo de esa
interpretación, Q es verdadera
respecto a cada uno de ellos ahí

Verdades Lógicas de LP:
TODA FÓRMULA QUE RESULTA
VERDADERA, BAJO CUALQUIER
INTERPRETACION PARA LOS
PREDICADOS Y LAS
CONSTANTES DE LA FÓRMULA,
Y CUALQUIER ASIGNACIÓN DE
INDIVIDUOS A LAS VARIABLES

∀x A ∀x A → ∀x A
V V
F V
Ejemplo de Tautología en Lenguaje LP

Ejemplos donde la validez lógica de primer
orden coincide con la proposicional
• P(c) ∨ ¬ P(c) forma A ∨ ¬ A
“c cumple la propiedad P o no la cumple”
[P(c) → Q(c)] ↔ [¬Q(c) → ¬P(c)]
forma [A →B] ↔ [¬B→ ¬A]
[P(c) →Q(c)] ↔ ¬ [P(c) ∧ ¬ Q(c)]
forma [A →B] ↔ ¬ [A ∧ ¬B]

Ejemplos donde la validez lógica de LP
NO coincide con la proposicional o LE
[∃x ∀y P(x,y)] → [∀y ∃x P(x,y)] (A→B)
“Si hay alguien en la relación P con todos
entonces para todos hay alguien en la
relación P con ellos”
P(c) → ∃x P(x) (A → B)
“Si c cumple la propiedad P entonces
hay alguien que cumple la propiedad P”

Un último ejemplo
∀¬∃x∀y [ R(x,y) ↔ ¬R(y,y) ]
• “No hay en el universo de
interpretación un individuo tal que
esté en la relación R con todos los
individuos (de ahí) que no están en
la relación R consigo mismos, y sólo
con esos”

¿Sabemos negar?
1. La negación lógica del enunciado
“Si te portas bien entonces te llevo al cine” es:
a)Si no te portas bien entonces no te llevo al cine
b)Si te portas bien entonces no te llevo al cine
c) Te portas bien y no te llevo al cine
2. Sean A, B conjuntos y sea w un objeto tal
que w ∉ A∩B, entonces:
a) w∉A y w∉B b) w∉A o w∉B
3.La negación lógica de “ser blanco” es:
a) ser negro b) no ser blanco
c) ser de color distinto al blanco

¿Sabemos negar?
4. La negación lógica de “3 < x” es:
a) 3 > x b) 3 ≥ x c) 3 ≮ x
5. La negación lógica de
“Todos los perros ladran” es:
a) Hay perros que no ladran
b) Ningún perro ladra
c) Todos los perros no ladran

Respuestas Correctas: c,b,b,c,a.
• 1. La negación lógica del enunciado
“Si te portas bien entonces te llevo al
cine” es:
c) Te portas bien y no te llevo al cine.
• 2. Sean A, B conjuntos y sea w un objeto tal que
w∉A∩B, entonces:
b) w∉A o w∉B
• 3. La negación lógica de “ser blanco” es:
b)no ser blanco.
• 4. La negación lógica de “3 < x” es:
c) 3 ≮ x
• 5. La negación lógica de “Todos los perros
ladran” es:
a)Hay perros que no ladran.

Leyes de la Negación
• Si P y Q son proposiciones
cualesquiera las siguientes son
ejemplos de equivalencias lógicas:
• ¬ ¬ P ≡ P
• ¬(P ∧ Q) ≡ (¬P ∨ ¬Q)
• ¬(P ∨ Q) ≡ (¬P ∧ ¬Q)
• ¬(P → Q) ≡ (P ∧¬Q)
• ¬(P ↔ Q) ≡ (P ∧ ¬Q)∨ (Q ∧¬P)
• ¬∀x P ≡ ∃x ¬P
•

Otras Equivalencias Lógicas
• (P → Q) ≡ (¬Q → ¬P)
• (P → Q) ≡ (¬ P ∨ Q)
• (P → Q) ≡ ¬(P ∧ ¬Q)
• ∀x P ≡ ¬∃x ¬P
• ∃x P ≡ ¬∀x ¬P
∀∀x (P ∧ Q) ≡ (∀x P ∧ ∀x Q)
∀∃x (P ∨ Q) ≡ (∃x P ∨ ∃x Q)

CONTRAEJEMPLOS
∀∀x (P ∨ Q) ≡/≡ ∀x P ∨ ∀x Q
∀∃x (P ∧ Q) ≡/≡ ∃x P ∧ ∃x Q
Cuando no hay equivalencia
la prueba es un contraejemplo

Símbolo para
Consecuencia Lógica
______________
∴

Símbolo para
Consecuencia Lógica
Premisas
______________
∴ Conclusión

Ejemplo de Razonamiento en LP
P(a) → Q(c)
¬ Q(c)
__________________________________
∴ ¬ P(a)

P(a) Q(c) P(a)
→ Q(c)
¬ Q(c) ¬ P(a)
V V V F F
V F F V F
F V V F V
F F V V V
P1 P2 C
Prueba de validez lógica por tablas de
verdad. PREMISAS CONCLUSION

Ejemplo de Razonamiento en
LP
∀x [ B(x) → ∀y [ R(x,y) ↔ ¬R(y,y) ]]
____________________________________________________________________________________________________
∴ ¬∃x B(x)

Prueba de validez lógica de
razonamientos en lenguaje coloquial:
• Traducir del lenguaje coloquial a LP
• Determinar la validez proposicional
de la traducción por tablas de verdad
• Si es valido proposicionalmente,
entonces es valido en LP
• Si no, entonces aplicar criterios de
verdad de igualdad y cuantificadores
(no hay algoritmo)

Diferencias entre lógica proposicional
y lógica cuantificacional
• ¿No importa qué son A, B, C realmente?
¡En primer orden si importa!
A ∀x P(x)
B → C P(a) → Q(a)
________________________________ _____________________________________________
∴ C ∴ Q(a)
NO ES INF. CORRECTA SI ES INF. CORRECTA
PROPOSICIONAL EN PRIMER ORDEN
• A P(c)
B c = b
∴ C ∴ P(b)
• NO ES INF. CORRECTA SÍ ES INF CORRECTA!

Todos los borogroves son kismis,Todos los borogroves son kismis,
si alguien tirila.si alguien tirila.
Nito tirila y Pac es un borogrove.Nito tirila y Pac es un borogrove.
__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Por lo tanto, Pac es un kismi.Por lo tanto, Pac es un kismi.
Un razonamiento en lenguaje
coloquial

Traducción del Razonamiento
• B: predicado ser borogrobe
• K: predicado ser kismi
• T: predicado tirila (del verbo “tirilar”)
• n: constante para el individuo Nito
• p: constante para el individuo Pac
• (∃xT(x)) → ∀x[B(x) →K(x)]
• T(n) ∧ B(p)
∀∴ K(p)

Todos los borogroves son kismis,Todos los borogroves son kismis,
si alguien tirilasi alguien tirila
• ∃xT(x) → ∀x[B(x) →K(x)]
Nito tirila y Pac es un borogroveNito tirila y Pac es un borogrove
T(n) ∧ B(p).
∴ B(p).
∴ T(n) ∴ ∃xT(x) ∴ ∀x[B(x) →K(x)]
∴[B(p) →K(p)] ∴ K(p).
Por lo tanto, Pac es un kismi.Por lo tanto, Pac es un kismi.
Un razonamiento en lenguaje coloquial

¿QUE ES UN ARGUMENTO?
• Un argumento es un conjunto
finito ordenado de afirmaciones
de las cuales se dice que la
última (conclusión), se sigue de
las anteriores (premisas).
Un argumento es: lógicamente
correcto o lógicamente incorrecto

¿QUÉ ES UN ARGUMENTO CORRECTO?
Un argumento es lógicamente correcto
si y sólo si sucede que:
sin importar la interpretación,
Si todas las premisas son verdaderas, la
conclusión debe ser necesariamente
verdadera.
Dicho de otra manera, es lógicamente
correcto, si no hay interpretación alguna
para la cual las premisas sean todas
verdaderas y la conclusión sea falsa.

• Hay ejemplos de los cuatro tipos
de argumentos:
Correcto con conclusión verdadera
Correcto con conclusión falsa
Incorrecto con conclusión verdadera
Incorrecto con conclusión falsa
• (Aquí verdadera o falsa es respecto
a la interpretación natural)

Esto es correcto conEsto es correcto con
conclusión falsa?conclusión falsa?
O incorrecto conO incorrecto con
conclusión verdadera?conclusión verdadera?

ALGUNAS PRECISIONES
• Obsérvese que en un argumento
correcto, si las premisas son
todas verdaderas, la conclusión
será necesariamente verdadera.
• Por lo tanto, en un argumento
correcto, si la conclusión es falsa,
entonces al menos una de las
premisas debe ser falsa.
• ¡No importa la interpretación!

MEDITACIÓN
• Si un argumento es
incorrecto, lo único que
podemos decir es que hay una
interpretación para la cual las
premisas son verdaderas y la
conclusión es falsa.
• Pero con otras interpretaciones
puede suceder cualquiera otra cosa.

EJEMPLOS
Considere el siguiente argumento:
• Juan vendrá, si hay buen día.
• No hay buen día.
• ∴ Juan no vendrá
a) El argumento es lógicamente correcto?
b) El argumento es lógicamente incorrecto?

EJEMPLOS
• Juan vendrá, si hay buen día.
• No hay buen día.
• ∴ Juan no vendrá
El argumento es lógicamente incorrecto:
la conclusión no se sigue de las premisas.
Es posible una interpretación donde las
premisas sean verdaderas y la conclusión
falsa.

Una última observación
Si en un argumento, la conclusión
es falsa con alguna
interpretación, sólo podemos
concluir que:
o bien el argumento es
incorrecto, o bien alguna de las
premisas es falsa.

Ahora bien:
• ¿Cómo podemos demostrar que
un argumento incorrecto es
efectivamente incorrecto?
• La manera de hacerlo es dando
una interpretación conveniente al
lenguaje involucrado, de modo
que resulte que las premisas sean
todas verdaderas y la conclusión
sea falsa.

Ejemplos con interpretación natural:
A)ARGUMENTO CORRECTO C)ARGUMENTO INCORRECTO
CON CONCLUSIÓN VERD. CON CONCLUSIÓN VERD.
Todo hombre es mortal. Todo pingüino es ave.
Sócrates es hombre. Mi perro no es
pingüino.
∴ Sócrates es mortal ∴ Mi perro no es ave.
B)ARGUMENTO CORRECTO D) ARGUMETO INCORRECTO
CON CONCLUSIÓN FALSA CON CONCLUSIÓN FALSA
Toda ave es voladora. Todo pez es nadador.
El avestruz es ave. El delfín no es pez(mamíf)
∴El avestruz es volador ∴El delfín noes
nadador

Los dos ejemplos de argumentos
incorrectos C) y D) tienen
la misma forma
• El hecho de que la conclusión
pueda ser verdadera (con la
interpretación usual) es una
contingencia.
• Es decir, se debe a la casualidad,
si únicamente consideramos las
premisas dadas.

Para demostrar que el argumento C) es
incorrecto, la interpretación natural no sirve.
Pero basta con cambiar “ave” por “animal”
Otra interpretación con igual forma
lógica respecto a la cual las premisas
son verdaderas y la conclusión falsa:
• Todo pingüino es animal.
• Mi perro no es pingüino.
• ∴ Mi perro no es animal.

Ejemplos de argumentos, con la interpretación
natural de la aritmética, son los siguientes:
A)ARGUMENTO CORRECTO C)ARGUMENTO INCORRECTO
CON CONCLUSIÓN VERD CON CONCLUSIÓN VERD
Todo múltiplo de 6 Todo número con exactamente
es múltiplo de 3. dos divisores es primo.
12 es múltiplo de 6. 4 no tiene exactamente
n dos divisores(Tiene
tres:1,2,4)
∴12 es múltiplo de 3. ∴ 4 no es primo.
B)ARGUMENTO CORRECTO D)ARGUMETO INCORRECTO
CON CONCLUSIÓN FALSA CON
CONCLUSIÓN FALSA
Todo múltiplo de 4 es par. Todo múltiplo de 6 es par.
5 es múltiplo de 4. 8 no es múltiplo de 6.
∴ 5 es par. ∴8 no es par.

Para demostrar que el argumento C) es incorrecto, la
interpretación natural no sirve, pues tanto las
premisas como la conclusión son verdaderas.
Damos otra interpretación con igual forma
lógica respecto a la cual las premisas son
verdaderas y la conclusión falsa:
• Todo polinomio con exactamente
dos raíces es cuadrático.
• X2
-4x+4 no tiene exactamente dos
raíces. (Su única raíz (doble) es 2)
∀∴ X2
- 4x + 4 no es cuadrático.

¿Y cómo demostramos la correctud de
un argumento?
• La manera directa de demostrar que
un argumento es correcto, consiste
en suponer verdaderas todas las
premisas pero sin tomar en cuenta
ninguna interpretación particular. A
partir de eso, usando únicamente los
criterios de verdad, hacer ver que la
conclusión es necesariamente
verdadera.

La manera indirecta
• En algunos casos la manera directa
no es posible, por lo que hay que
hacerlo de modo indirecto: por
reducción al absurdo, es decir
suponiendo que hubiera una
interpretación respecto a la cual todas
las premisas fueran verdaderas y la
conclusión fuera falsa. A partir de ahí,
llegar a una contradicción.

Escribir el número y su respuesta
1. Considere el siguiente
argumento:
• Todos los borogroves son kismis,
si alguien tirila.
• Nito tirila y Pac es un borogrove.
∀∴ Pac es un kismi.
a) El argumento es lógicamente correcto
b) El argumento es lógicamente incorrecto

argumento:
• Todos le tienen miedo a Drácula.
• Drácula sólo le tiene miedo a
William.
∀∴ William es Drácula.

argumento:
• Si hoy es jueves entonces
mañana será viernes.
• Mañana será viernes.
∀∴ hoy es jueves.
b)El argumento es lógicamente incorrecto

argumento:
• Juan es hermano de todos los
hermanos de Roberto.
• Juan no es hermano de sí mismo
∴Juan no es hermano de Roberto

argumento:
• X es un número menor que todos
los números menores que Y.
• X no es menor que X.
∀∴ X no es menor que Y.

argumento:
• Algunos humanos son
mexicanos.
• Algunos mexicanos fuman.
∀∴ Algunos humanos fuman.

argumento:
• Hay una lanza que perfora a todos
los escudos.
• Hay un escudo al que no lo
perfora ninguna lanza.
∀∴ Hay una lanza que perfora y
no perfora a un escudo.

8. Considere el siguiente argumento:
• 2 divide al numerador de 6/8.
• 6/8 = 3/4.
∀∴ 2 divide al numerador de 3/4

argumento:
• Romeo ama a Julieta.
• Julieta es una palabra de siete
letras.
∀∴ Romeo ama a una palabra
de siete letras.

argumento:
• Cualquier barbero de Ensenada,
rasura a todos los hombres de
Ensenada que no se rasuran a sí
mismos y sólo a esos.
∀∴ No hay barberos en
Ensenada.

Respuestas Correctas:
1. a)
2. a)
3. b)
4. a)
5. a)
6. b)
7. a)
8. a)
9. a)
10. a)

ENFOQUE AXIOMÁTICO
• Sistematización de
razonamientos válidos y fórmulas
lógicamente válidas de LP
• Mediante un sistema formal
axiomático: axiomas y reglas de
inferencia
• Mediante un sistema formal de
deducción natural: sólo reglas

En el caso de LP, se han construido
sistemas formales completos:
• Permiten derivar todas las
fórmulas universalmente válidas
• Permiten derivar todos los
razonamientos válidos en LP

Y por otro lado, son correctos
• Toda fórmula derivable en tales
sistemas formales es una verdad
lógica
• Todo razonamiento derivable de
tales sistemas es válido

REGLAS DE INFERENCIA
CUANTIFICACIONALES
• La letra φ denota fórmulas, las letras
x, y, z denotan variables.
• La letra t denota términos: variables,
constantes o funciones aplicadas a
términos.
• Es muy importante precisar con rigor
las restricciones. Es común cometer
errores o entender mal estas reglas.

1. IU INSTANCIACIÓN UNIVERSAL
• ∀xφ(x)______________________________________________________________________
φ(t)
φ(t) resulta de sustituir t en los lugares
de las presencias libres de x en φ(x)
Ejemplos: ∀x P(x)______________________________________________________________________
P(c)
∀∀xR(a, x) ∀x∃yR(x, y) ∀x∀yR(x,
y)__________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________

1. IU INSTANCIACIÓN UNIVERSAL
Restricción: Si t es una variable y, o
bien y aparece en t, entonces
ninguna presencia de x en φ(x) debe
estar afectada por un cuantificador
con esa variable y.
Ejemplos de Error:
∀∀x∃yR(x, y) ∀x∃y [P(x) ↔ ¬
P(y)]_________________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________

2.GE GENERALIZACIÓN EXISTENCIAL
• φ(t)___________________________________
∃x φ(x)
φ(t) resulta de sustituir t en los lugares
de las presencias libres de x en φ(x)
Ejemplos: P(c)_______________________________
∃x P(x)
• R(a, b) R(a, b) ∧ P(a)_________________________________ _______________________________________________________________
∃x R(x, b) ∃x [R(x, b) ∧ P(x)]

2. GE GENERALIZACIÓN EXISTENCIAL
Misma restricción de IU: Si t es y, o
bien y aparece en t, entonces
ninguna presencia de x en φ(x) debe
estar afectada por un cuantificador
con esa variable y.
Ejemplos de Error:
• ∀y R(y, y) ∀y [P(y) ↔ Q(y)]_________________________________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________________________________________________________________
∃x ∀y R(x, y) ∃x∀y [P(y) ↔

3. GU GENERALIZACIÓN UNIVERSAL
• Si x es variable que no aparece libre
en fórmulas de Γ y además Γ├ φ(x),
entonces Γ├ ∀x φ(x)
Intuición: Si podemos probar φ(x) sin
ninguna suposición sobre x, podemos
por ser arbitrario, afirmar que ∀x φ(x)
Obs: P(x)├ P(x), pero P(x) ⊬ ∀x P(x)
• Ejemplo: ∀x∀y φ(x, y)├ ∀y∀x φ(x,

3. GU GENERALIZACIÓN UNIVERSAL
1. ∀x∀y φ(x, y)├ ∀y φ(x, y)
IU(t=x)
2. ∀y φ(x, y)├ φ(x, y) IU(t=y)
3. ∀x∀y φ(x, y)├ φ(x, y)
Trans1,2
4. ∀x∀y φ(x, y)├ ∀x φ(x, y)
GU,3

4. IE INSTANCIACIÓN EXISTENCIAL
• Si c es una constante nueva que
no aparece en φ(x), ni en ψ, ni en
Γ, y además Γ, φ(c)├ ψ
entonces Γ, ∃xφ(x) ├ ψ
• IE no afirma que ∃xφ(x)├ φ(c)
Esto es falso, por ejemplo:
∃x Vuela (x) ⊬ Vuela (juan)

• Si c es una constante que no aparece
en φ(x), ni en ψ, ni en Γ, y además
Γ, φ(c)├ ψ entonces Γ, ∃xφ(x) ├ ψ
• Intuición: Supongamos que sabemos
que hay x tal que cumple φ. Es decir
sabemos que ∃xφ(x). Llamemos “c” a
tal individuo. Ahora, si a partir de φ(c)
probamos ψ, entonces podemos
probar ψ

Ejemplo:
∃x ∀y P(x, y) ├ ∀y ∃x P(x, y)
Por la regla IE, es suficiente probar:
∀y P(c, y) ├ ∀y ∃x P(x, y).
Donde c es una constante nueva que
no aparece en φ(x) = ∀y P(x, y)
ni en ψ = ∀y ∃x P(x, y), ni en Γ = ø

Prueba de: ∀y P(c, y)├ ∀y∃x P(x,
y)
1. ∀y P(c, y)├ P(c, y) IU(t=y)
2. P(c, y)├ ∃x P(x, y) GE(t=c)
3. ∀y P(c, y)├ ∃xP(x, y) Trans1,2
4. ∀y P(c, y)├ ∀y∃xP(x, y) GU,3
(y NO LIBRE EN HIPOTESIS)

RAZONAMIENTO AUTOMÁTICO
Procedimientos de prueba automática de
teoremas en cualquier teoría finitamente
axiomatizable en un lenguaje de primer
orden con igualdad.
Para cualquier conjunto finito de
enunciados A1, . . . ,An y cualquier
enunciado B en un lenguaje de primer
orden con igualdad.
¿ A1, . . . ,An |= B ?

Teorema
Para cualquier conjunto finito de
enunciados A1, . . . ,An y cualquier
enunciado B en un lenguaje de
primer orden con igualdad:
B es teorema a partir de
A1, . . . , An sí y sólo sí
el procedimiento así lo
indica

Ejemplos
1. Prueba de la cancelación para la
multiplicación a partir de los
axiomas de grupo.
2. Prueba de que una relación R es
reflexiva, suponiendo que R sea
simétrica, transitiva y “sin puntos
aislados” (para todo x hay un z
tal que x está R-relacionado con
z o z está R-relacionado con x)

Dos ejemplos sencillos (argumentos)
• La conclusión del argumento es un “teorema” a
partir de las premisas, que serán las hipótesis.
ARGUMENTO 1:
Juan es hermano de todos los hermanos
de Roberto.
Juan no es hermano de sí mismo.
∴Juan no es hermano de Roberto.
• ARGUMENTO 2:
Todos le tienen miedo a Drácula.
Drácula sólo le tiene miedo a Pedro.
∴ Pedro es Drácula.

PRERREQUISITOS
1. HACEMOS LA TRADUCCIÓN Y LO VEMOS COMO CONSECUENCIA
LÓGICA
• A1, . . . ,An |= B
2. TEOREMA BÁSICO PARA PRUEBAS POR REFUTACIÓN:
A1, . . . , An |= B si y sólo si
(A1∧ . . . ∧An∧ ¬B) no es satisfacible
3. TRANSFORMACIÓN A FORMA CLAUSULAR (CONJUNCIÓN DE
CLÁUSULAS)
Las cláusulas son disyunciones de atómicas o atómicas negadas.
Toda fórmula A puede transformarse a una conjunción de
cláusulas, llamada forma clausular denotada CL (A).
(A1∧ . . . ∧An ∧ ¬B) ~ ~ ~> CL(A1∧ . . .
∧An∧¬B)

Teorema de Skolem:
• A es insatisfacible si y sólo
si CL(A) es insatisfacible
• MÁS GENERALMENTE:
• Un conjunto de enunciados es
insatisfacible si y sólo si el
conjunto de formas clausulares
de ellos es insatisfacible.

REGLA DE RESOLUCIÓN
(Robinson 1965)
• La regla RESOLUCIÓN generaliza al silogismo
disyuntivo:
• A ∨ B
• ¬A
__________________________
• B
• A CASOS COMO:
• A ∨ B ∨ ¬D
• ¬A ∨ C ∨ ¬E
_____________________________________________________
B ∨ C ∨ ¬D ∨ ¬E

La regla Resolución nos permite
hacer todas las inferencias de tipo:
• L ∨ Q1 ∨ ... ∨ Qm
Cláusulas
• ¬L ∨ R1 ∨ ... ∨ Rn Padres
________________________________________________________________ ____________________
• Q1 ∨ ... ∨ Qm ∨ R1 ∨ ... ∨ Rn
Resolvente
• ¿Y en el caso especial de tener como
cláusulas padres a L y ¬L? El resolvente
es nada y lo llamamos cláusula vacía
denotado ‫ڤ‬ y significa que hubo una

RESOLUCIÓN CON UNIFICACIÓN
Q(x,b) ∨ P(x,a)
• ¬ Q(a,w) ∨ R(w,b)
• -----------------------------------
• P(a,a) ∨ R(b,b) {x/a, w/b} es el
u
unificador
• Obsérvese que al hacer la sustitución del
unificador Q(x,b) y ¬Q(a,w) quedan como:
Q(a,b) y ¬Q(a,b) por lo que se eliminan.
Desde luego el resolvente queda afectado

Teorema de Loveland
• Si K es un conjunto de
cláusulas de un lenguaje de
primer orden con igualdad,
entonces: K es insatisfacible
si y sólo si hay una deducción
de la cláusula vacía ‫ڤ‬ a partir
de K, usando únicamente
resolución.

COROLARIO: D. A. T.
Si B es teorema a partir de A1, ..., An:
1. Negar B (¬B)
2. Formar el conjunto K = {¬B, A1, ..., An}
en forma clausular.
3. Aplicar pasos de resolución a K hasta
obtener la cláusula vacía ‫.ڤ‬
B es teorema a partir de A1, ...,An si y
sólo si se obtiene la cláusula vacía ‫,ڤ‬
a partir de K.

EJEMPLO 1
Juan es hermano de todos los hermanos de
Roberto.
Juan no es hermano de sí mismo.
∴ Juan no es hermano de Roberto
• SIMBOLIZACIÓN DE CONSECUENCIA LÓGICA:
∀∀x [H(x,r)→ H(j,x)], ¬H(j,j) |= ¬H(j,r)
• Por Teo. Básico, No Satisfacible:
∀∀x[H(x,r)→ H(j,x)], ¬H(j,j), ¬¬H(j,r)
• Por Teo Skolem, No Satisfacible:
• K= { [¬H(x,r) ∨ H(j,x)], ¬H(j,j), H(j,r) }
• X/j RESOLUCIÓN
• ‫ڤ‬ TEO. LOVELAND

EJEMPLO 2
Todos le tienen miedo a Drácula.
Drácula sólo le tiene miedo a Pedro
∴ Pedro es Drácula.
• SIMBOLIZACIÓN DE CONSECUENCIA LÓGICA:
∀∀x[M(x,d)], ∀x[M(d,x)→ (x=p)] |= (p=d)
• Por Teo. Básico, No Satisfacible:
∀∀x[M(x,d)] , ∀x[M(d,x)→ (x=p)] , (p≠d)
• Por Teo. Skolem, No Satisfacible:
• K = { M(x,d), [¬M(d,x)∨(x = p)], (p ≠ d) }
• X/d Resolución y Paramodulación
• ‫ڤ‬ TEO. LOVELAND

PROGRAMA LÓGICO P
padre(x, y) ∨ padre(y, z) → abuelo(x,
z)
hijo(x, y) → padre(y, x)
padre(juan, raul).
hijo(juan, roberto).
• Pregunta:
• ?abuelo(roberto, w)
• Respuesta:
• w = raul

BIBLIOGRAFIA BASICA
• La enseñanza del análisis lógico, J.A.
Amor, en La Razón Comunicada II, TDL,
2003.
• Introducción a la lógica, LTF Gamut,
Editorial Eudeba, Argentina, 2002.
• Lógica clásica de primer orden con
igualdad, J.A. Amor, notas de clase.

BIBLIOGRAFÍACOMPLEMENTARIA
• Amor J. A., Paradojas, intuición y lógica, revista Ciencias
no.29, Facultad de Ciencias, UNAM, 1993.
• Easley, J. A. Lógica y heurística en la reforma curricular de
las matemáticas, Matemáticas y Enseñanza, Nos. 7 y 8,
SMM, 1976.
• Solow, D. Cómo entender y hacer demostraciones en
matemáticas, Limusa, 1987.
• Polya, G., Cómo plantear y resolver problemas, Editorial
Trillas, 1965.
• Smullyan Raymond, ¿Cómo se llama este libro?, Editorial
Cátedra colec. Teorema, 1978.
• Tarski Alfred, Truth and proof, Scientific American, junio
1969.
• Torres Torija, Planteo y resolución de problemas, Editorial
Trillas, 1976.

MÁS BIBLIOGRAFÍA
COMPLEMENTARIA
• Barwise, Jon et. al. Handbook of mathematical logic
Amsterdam: North-Holland, 1977.
• Una introducción Matemática a la lógica, 2a.Edicion,
E. Enderton, traducción de J.A. Amor, IIF-UNAM,
2004. Version original: A mathematical introduction to
logic, 2nd. edition, E. Enderton, Academic Press,
2001.
• Mendelson, Elliot. Introduction to mathematical logic.
Pacific Grove, California: Wads-worth, 1987.
• Suppes, Patrick Colonel. Introducción a la lógica
simbólica. Tr. por Gabriel Aguirre Carrasco. México:
Continental,1956

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