Instituto 127, San Nicolás, provincia de Buenos Aires, República Argentina Enseñanza de la Matemática, un desafío constante. El lunes 24 de agosto de 2015. Disertante: Doctora Mabel Rodríguez

1. EL LENGUAJE SIMBÓLICO
Y NATURAL EN LA
CLASE DE MATEMÁTICA
MABEL RODRÍGUEZ
JORNADA DE MATEMATICA
ENSEÑANZA DE LA MATEMÁTICA:
UN DESAFÍO CONSTANTE

2. Organización de la presentación
 Ejemplos de falta de comprensión matemática
 Elementos teóricos de Didáctica de la
Matemática
 Análisis de los ejemplos a la luz de los
elementos teóricos
 Explicaciones e implicancias en la enseñanza

3. Ejemplos de falta de
comprensión matemática
en estudiantes

4. Ejemplo 1
• Profesor: Seguimos trabajando con
números naturales. Vamos a probar que el
cuadrado de cualquier número par, es
siempre par.
• Escribe en el pizarrón:
 n  N, si n es par  n2 es par
Dem: sea n = 2.k (k  N), n2 = (2.k)2 =
4. k2 = 2.(2 k2). Listo.

5. • El profesor dice: “Prueben que si el
cuadrado de un número es impar es
porque dicho número es también impar”
• Distintos alumnos…
- Da ejemplos (49, 25, 9…) y responde V
- Da solo un ejemplo “raro” y si vale en ese
caso, afirma que vale siempre
(13995081 = 37412)
¿Por qué el alumno
no se guía del
ejercicio resuelto
anterior?

6. • Explicación oral del profesor: “Comenzamos a
trabajar con la noción de límite de sucesiones.
La clase que viene profundizaremos sobre esto,
pero ahora quiero presentarles el concepto para
que vayan teniendo idea de qué se trata. El
límite de una sucesión a sub n es un cierto valor
L si los términos de la sucesión están
arbitrariamente cercanos a L con tal de
considerar n lo suficientemente grande”.
• Pizarrón:
Ejemplo 2

7. Límite de una sucesión
Definición: Dada una sucesión {an} , el límite
de esa sucesión es L y se nota an →L sii:
∀ Ɛ > 0,  n0  N / si n > n0,
∣an – L ∣ < Ɛ

8. • El estudiante toma apuntes del
pizarrón
• El profesor, la clase siguiente,
pregunta a la clase “¿podría alguno
recordar la idea de límite de
sucesiones?”
los alumnos
no pueden
responder….

9. • El docente explica el siguiente ejercicio a la
clase:
• Tenemos que probar
Explica oralmente: consideramos la definición. Ella
nos exige, para un épsilon arbitrario, positivo,
encontrar un valor natural a partir del cual los
términos de la sucesión se encuentran a una
distancia del supuesto valor del límite, 0 para
este caso, menor que el épsilon.
0
1
lim 3

 nn
Ejemplo 3

10. Entonces tomamos un épsilon arbitrario y
exploramos cómo deberíamos tomar los
valores de n para que el módulo de 1/n3
sea menor que tal épsilon. Intentaremos ir
acotando la expresión dada hasta que
podamos despejar n, ahora les muestro
en el ejemplo.
Mientras tanto en el pizarrón…

11. • Ejercicio:
• Sea Ɛ > 0,
Sigue la explicación oral: Llegado a este punto,
hemos impuesto la condición que necesitamos
que ocurra, sólo que nos resta conocer a partir
de qué valor de n esto pasa. Es aquí donde
intentamos despejar n.
0
1
lim 3

 nn
 33
11
nn

12. • En el pizarrón sigue:
de donde,
Sigue la explicación oral: Por el Principio de
Arquímedes sabemos que dado un número real
cualquiera, siempre existe un natural mayor que
él, de modo que cualquiera sea el épsilon
siempre existe un natural mayor que esta
expresión a la que llegamos, con lo que
podemos probar el límite si reconstruimos lo
hecho partiendo de este n
31
n

n3
1


13. • El docente le plantea al alumno: probar
que
La resolución del alumno en su carpeta:
0
)1(
lim 2


 n
n
n

14. (*)
0
)1(
lim 2


 n
n
n


22
1)1(
nn
n
21
n

n

1
Vale el límite

15. El profesor le pregunta al alumno, luego de ver su
resolución:
• ¿qué rol juega épsilon en esta resolución?
• Partiendo de un épsilon dado, ¿qué tenés que
hallar para asegurarte que el límite sea el valor
propuesto?
• ¿qué harías si el enunciado no te propone el
valor 0 como posible límite?
• ¿aplicaste algún resultado conocido en esta
resolución?
• ¿No estás usando
lo que querés probar en (*)?

16. Elementos teóricos

17. ESCUELA
ANGLOSAJONA
(Polya – Schoenfeld)
ENFOQUE
COGNITIVISTA
Pensamiento
Matemático
Avanzado
(Tall – Vinner)
Teoría de los Campos
Conceptuales
(Vergnaud)
Teoría APOS
(Dubinsky)
Teoría Antropológica
de lo Didáctico
(Chevallard)
ESCUELA
FRANCESA
Teoría de Situaciones
(Brousseau)
Ingeniería Didáctica
(Artigue)
…
CONSTRUCTIVISMO
RADICAL
(Von Glasersfeld)
SOCIOEPISTEMOLOGÍA
(Cantoral – Farfán)
EDUCACIÓN
MATEMÁTICA
CRÍTICA
(Skovsmose)
EDUCACIÓN
MATEMÁTICA
REALISTA
(Freudenthal)
ENFOQUE
ONTOSEMIÓTICO
(Godino- Batanero - Font)
ETNOMATEMÁTICA
(D’Ambrosio)
SOCIO-
CONSTRUCTIVISMO
(Ernest)
EPISTEMOLOGÍA
GENÉTICA
(Ortiz Hurtado)

18. ¿Cómo entendemos la noción de
lenguaje simbólico?

19. • Pensemos en el lenguaje natural…
• Existe una intención de comunicación
(función comunicacional)
• Se da/usa entre partes
• Hay mensajes a transmitir y recibir.
• Hay palabras y acuerdos, en una
comunidad, de sus significados según el
contexto de uso

20. Esto se da en todo lenguaje, con el
lenguaje matemático también ocurre.
Definición
“El lenguaje simbólico o matemático
incluye una colección de significantes
(símbolos) con sus significados aceptados
por la comunidad académica para cada
contexto comunicacional en el que sean
utilizados”

21. Ante un “mensaje” (matemático) expresado en
símbolos un sujeto podría:
– Mostrar conocimiento de los nombres asociados a
los significantes, pronunciarlos y hacer una lectura
“de izquierda a derecha”
• Decodifica y no recupera o no comprende el mensaje.
(Nivel local).
– Mostrar conocimiento de lo que ese mensaje
expresa, al hablar podría cambiar el orden de la
escritura simbólica favoreciendo la comunicación.
• No decodifica (aunque debe conocer el significado de
cada símbolo) y recupera el mensaje. (Nivel global).
Solo en este caso usa lenguaje simbólico.

22. Observaciones y cuestiones a enfatizar:
• El lenguaje matemático no se constituye sólo con
símbolos (¿qué dice esto?: “manejar símbolos no
basta”)
Retomamos la idea de contexto comunicacional de
la definición para dar un ejemplo.
• Cada símbolo cobra significado en el contexto
comunicacional en el que se esté trabajando

23. Ejemplo de “significado de símbolos según
el contexto comunicacional”
Con el significante (1,2) podemos querer
representar:
• En el contexto de “resolución de inecuaciones
reales”: un intervalo real
• En el contexto de “intersección de curvas planas”:
un par ordenado del plano
• En el contexto de “direcciones de movimientos de
móviles”: un vector
• En el contexto de “operaciones en C”: un número
complejo

24. Algunas cosas que hoy entendemos…
Ejemplos:
• -2-3 = -5
• Hallar la expresión lineal y graficar la recta
que contiene a los puntos (1,3) y (2,3)
• x.x = 2x

25. Un momento para pensar…
¿Qué me llevo para pensar
en la enseñanza? (concepto
de “lenguaje simbólico”)

26. Lenguaje o lengua natural
Registros (Halliday)
• Vulgar
• Coloquial o informal
• Formal
Observación: noción diferente a la de Duval

27. Medios (Lyons)
• Canales elegidos para establecer la
comunicación
- Medio oral
- Medio escrito

28. Análisis de los ejemplos
a la luz de los elementos
teóricos

29. Análisis del ejemplo 1
• Profesor: Seguimos trabajando con
números naturales. Vamos a probar que el
cuadrado de cualquier número par, es
siempre par.
• Escribe en el pizarrón:
 n  N, si n es par  n2 es par
Dem: sea n = 2.k (k  N), n2 = (2.k)2 =
4. k2 = 2.(2 k2). Listo.
Lenguaje natural, medio oral
se invierte el orden en la
escritura
Lenguaje simbólico,
medio escrito
sin explicación del
pasaje de un lenguaje
al otro

30. • Prueben que si el cuadrado de un número
es impar es porque dicho número es
también impar
• Alumno: no responde lo esperado por el
docente
- Da ejemplos o da un ejemplo “raro”
El alumno debe:
asignar significado, pasar al lenguaje
simbólico,
se invierte la implicación,
cambia la representación de par a impar…
Recurre a lo que sabe previo

31. • Explicación oral del profesor: “Comenzamos a
trabajar con la noción de límite de sucesiones.
La clase que viene profundizaremos sobre esto,
pero ahora quiero presentarles el concepto para
que vayan teniendo idea de qué se trata. El
límite de una sucesión a sub n es un cierto valor
L si los términos de la sucesión están
arbitrariamente cercanos a L con tal de
considerar n lo suficientemente grande”.
• Pizarrón:
Análisis del ejemplo 2

32. Límite de una sucesión
Definición: Dada una sucesión {an} , el límite
de esa sucesión es L y se nota an →L sii:
∀ Ɛ > 0,  n0  N / si n > n0,
∣an – L ∣ < Ɛ

33. La claridad de la explicación en lenguaje
natural en le medio oral no se advierte
inmediatamente a partir de la lectura de
los símbolos
• El alumno no puede extraer significado de
los símbolos y
• no entiende cómo no comprende lo que
creyó haber entendido en la clase
• El docente no deja registro de lo dicho en
medio oral en lengua natural

34. Análisis del ejemplo 3
• Probar
Explica oralmente con toda precisión. Deja
resuelto simbólicamente
• Sea Ɛ > 0, operando
De donde
 33
11
nn
0
1
lim 3

 nn
31
n

n3
1


35. • El docente le plantea al alumno: probar
No puede responder ninguna pregunta del
profesor: ni del rol del épsilon, ni si aplicó
algún resultado, ni qué hubiera hecho si el
resultado del límite no hubiera estado
propuesto, etc.
0
)1(
lim 2


 n
n
n

36. (*)
0
)1(
lim 2


 n
n
n


22
1)1(
nn
n
21
n

n

1
Vale el límite
En su carpeta:

37. • El alumno registró lo que quedó en medio
escrito
• Probablemente comprende la explicación
oral y por eso sólo registra lo escrito
• No extrae información de los símbolos
• Perdió parte del mensaje dado oralmente
• No reconstruye el mensaje a partir de los
símbolos
• Solo aprende “una rutina” simbólica sin
significados

38. Explicaciones
e implicancias
para la enseñanza

39. Atendiendo a los lenguajes a la hora de
enseñar…
Lenguaje
simbólico
Lengua natural
Medio escrito
Medio oral
Registro ¿coloquial? ¿formal?
¿Se usa?
¿Qué elegir?
-Cuidar el uso
simultáneo de los
dos lenguajes
-Enseñar
conversión/extraer
y asignar
significado

40. Lenguaje natural
Medio oral
Lenguaje simb.
Medio escrito
PIZARRON
MENSAJE
CLARO

41. Para pensar…
• Si solo queda plasmada una definición en
símbolos, el estudiante deberá extraer
significado, ¿podrá…?
• El lenguaje natural usado en la clase pasa
desapercibido, excepto que el alumno tome
apuntes. ¿Y si se registra por escrito?
• Lo importante ¿siempre queda plasmado en el
pizarrón?

42. • El docente ¿utiliza de un modo preciso en
ambos lenguajes dentro de una misma
clase o tema?
• ¿Se debería enseñar cómo usar ambos
lenguajes y pasar de uno a otro?
• La elección de los lenguajes y los medios
¿podría dificultar la comprensión posterior
a la clase del alumno?

43. • Si el docente “ve escritos simbólicos
correctos”, ¿está seguro de que el alumno
comprendió?, ¿el significado que le asigna
a los símbolos, será el correcto?
• ¿Habría que hacer algún trabajo para que
el alumno aprenda a tomar apuntes?

44. • Podemos entender al alumno que no
entiende cuando lee de sus apuntes,
mientras que en la clase creyó haber
comprendido…
• Se pueden entender las dificultades de los
estudiantes en la comprensión de los
textos matemáticos

45. Se requiere intencionalidad para que el
alumno aprenda los usos de los lenguajes
Se requiere cuidar y organizar la
enseñanza…

46. Muchas gracias…
mrodri@ungs.edu.ar