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ÁlgebraÁlgebra
Lenguaje AlgebraicoLenguaje Algebraico
operatoria algebraicaoperatoria algebraica
Lenguaje Algebraico
• Es el lenguaje que utiliza letras en combinación
con números y signos.
• La utilidad de álgebra se aprecia al adquirir la
capacidad de traducir enunciados entre el
lenguaje habitual y el lenguaje algebraico.
• Interesa, principalmente, utilizar notación
algebraica para expresar ecuaciones y
fórmulas.
Expresión algebraica
Corresponde una cadena de letras, números y símbolos unidos
por sumas, restas, multiplicaciones, divisiones y/o potencias.
Ejemplos:
xyzx
xba z
32
35
5
243
−
−
yx 32 +
2
3b−
5
2 32
ba +
Traducción de expresiones
de lenguaje algebraico al
lenguaje cotidiano y
viceversa
Lenguaje algebraico   7 basico
Enuncie verbalmente las siguientes
expresiones algebraicas
( )
( )3
2
2
1
3
2
4
52
3
2
−
+
+
+
x
ba
xy
x
x
x
x
x “Dos unidades más que x “ o también “un número aumentado en
dos unidades”
“El triple de un número”
“El doble de un número aumentado en 5 unidades”
“El cuadrado de un número”
“Un cuarto de un número” “ o también “la cuarta parte de un
número”
“Dos tercios del producto de dos números”
“El cuadrado de la suma de dos números”
“El cubo de un número disminuido en una unidad”
( )
( )
22
3
))((
2
2
)(
1
ba
baba
ba
ba
ba
x
−
−+
−
+
−
−
“La diferencia entre dos números”
“La semisuma de dos números”
“La semidiferencia de dos números”
“La suma de dos números, por su diferencia”
“La diferencia de los cuadrados de dos números”
“El cubo de un número, disminuido en una unidad”
Ejercicios
• Exprese algebraicamente:
1. Un número par
2. Un número impar
3. Dos números consecutivos
4. Dos números pares consecutivos
5. Dos números impares consecutivos
6. La suma de tres números impares consecutivos
LENGUAJE NATURAL LENGUAJE ALGEBRAICO
(EXPRESIÓN ALGEBRAICA
El doble de un número aumentado en 4  
Un número disminuido en 25  
El sucesor del sucesor de un número  
Tres números consecutivos a x-2  
El antecesor del antecesor de un número  
8 disminuido en el triple de un número  
Un número aumentado en el triple de un número
impar
 
La quinta parte del doble de un número par
disminuido en el cuadrado del mismo número
 
LENGUAJE NATURAL LENGUAJE ALGEBRAICO (EXPRESIÓN
ALGEBRAICA
El doble de un número p  
El cubo del triple de un número  
El triple del cubo de un número  
La mitad de un número, aumentado tres
medios
 
Tres cuartas partes de un número  
Cuatro número pares consecutivos  
Un número disminuido en sus tres octavas
partes
 
La octava parte de un número impar,
disminuido en ocho
 
LENGUAJE NATURAL LENGUAJE ALGEBRAICO (EXPRESIÓN
ALGEBRAICA
 
 
 
 
 
 
 
 
13 +x
x45 +
pp 22
−
4
4
3
−t
x7
3
8
+
4−x
5
4
7 +y
453 +x
¡Recuerda!
• Si n , p , q son números enteros, que
satisfacen n = p ·q , entonces se dice
que:
• n es múltiplo de p
• n es múltiplo de q
• p es divisor de n
• q es divisor de n
Ejemplo
• 33 = 3 · 11 , entonces se puede decir
que
• 33 es múltiplo de 3
• 33 es múltiplo de 11
• 3 es divisor de 33
• 11 es divisor de 33
Definición
Propiedad distributiva de la adición
sobre la multiplicación
• Le llamaremos así a la propiedad de los
números reales que señala que, para
cualquier terna de números
a , b , c , se cumple siempre que :
a · ( b + c ) = a·b + a·c
Ejemplos de aplicación de la
propiedad distributiva
Ejemplo 1
2·(3 + 5) = 2·3 + 2·5
(compruebe ud. que es cierta esta
igualdad)
Ejemplos de aplicación de la
propiedad distributiva
Ejemplo 2
-2·(3 + 5) = -2·3 -2·5
(compruebe ud. que es cierta esta
igualdad)
Ejemplos de aplicación de la
propiedad distributiva
Ejemplo 3
-2·(3 - 5) = -2·3 + 2·5
(compruebe ud. que es cierta esta
igualdad)
Uso inverso de la
propiedad distributiva
• Como las propiedades planteadas a través de
igualdades se pueden aplicar en ambos
sentidos (de derecha a izquierda y de
izquierda a derecha) se puede escribir
entones:
a·b+ a·c = a·( b + c )
A esto se le llama FACTORIZAR
LA EXPRESIÓN “a·b + a·c“
POR EL VALOR “a”
Ejemplos de aplicación de la propiedad
distributiva EN FORMA INVERSA
(FACTORIZANDO POR UNA CANTIDAD)
Ejemplo 1
2·3 + 2·5 = 2·(3 + 5)
Ejemplo 2
7·8 - 7·13 = 7·(8 - 13)
Ejemplo 3
- 9·3 - 9·12 = -9·(8 + 5)
Ejemplo 4
- 4·17 + 4·29 = -4·(17 - 29)
Definición
Demostración de una proposición:
• Diremos que demostrar una proposición es el
proceso de probar que es verdadera considerando
un conocimiento ya establecido y por lo tanto
válido.
• Una demostración Matemática implica la
definición de una HIPÓTESIS (conocimiento ya
establecido, válido) y una TESIS o proposición que
se desea probar.
Ejemplo 1 de demostración
• Demuestre que la suma de tres números enteros
consecutivos cualquiera es múltiplo de 3:
• Hipótesis: Sean tres números x, y , z consecutivos
cualquiera: x = n , y = n + 1 , z = n + 2
• Tesis x + y + z es un número múltiplo de 3
• Demostración:
• Se tiene que x + y + z = n + n + 1 + n + 2,
luego x + y + z = 3n + 3
• Pero 3n + 3 = 3(n + 1) = 3N (N es el número
entero n + 1),
• Luego se tiene que x + y + z es un número
múltiplo de 3.
Ejemplo 2 de demostración
• Demuestre que la suma de dos pares consecutivos
cualquiera es par:
• Hipótesis: Sean dos números x e y pares
consecutivos: x = 2n , y = 2n + 2
• Tesis: x + y es un número par
• Demostración:
• Se tiene que x + y = 2n + 2n + 2, luego
x + y = 4n + 2 = 2(2n+1)
• Por lo tanto como 2n + 1 = N (número entero), se
tiene que 2(2n+1) = 2N , es decir un número PAR
Ejemplo 3 de demostración
• Demuestre que la suma de dos pares
cualquiera es par:
• Hipótesis: Sean dos números x e y pares :
x = 2n , y = 2m
• Tesis: x + y es un número par
• Demostración:
• Se tiene que x + y = 2n + 2m, luego
• x + y = 2(n + m) = 2N, por lo tanto es un
número PAR.
Ejercicios
1) Demuestre que la suma de un número y su sucesor es impar
2) Demuestre que el producto de un par y cualquier número es
otro número par.
3) Demuestre que los múltiplos de 6 son múltiplos de 2 y de 3
también.
4) Demuestre que si un número cualquiera termina en cifra par
es divisible por 2.
5) Demuestre que si un número termina en cifra 0 o bien en
cifra 5 es divisible por 5.
6) Demuestre que el producto de dos pares es par
7) Demuestre que el producto de un par por un impar es par.
Evaluación de
Expresiones Algebraicas
Definición
• Evaluar una expresión algebraica
corresponde a asignar valores
específicos a sus letras para
determinar su valor total.
• Ejemplo:
• Si x = 3 , la expresión 2x + 5 vale
11, pues 2·3 + 5 = 11
Actividades
• Evaluar las siguientes expresiones si
x = 1 , y = -1 , w = 0, z = 2
3 2
2 w
x y z− − −2 4x y+
3 2x y− −
2
3x y w− −
2
2
3
2
w
x y
y y
+
−
4 w
x y z+ +
= -2
= -1
= 4
= 4/3
= -4
= 2
Actividades
• Evaluar las siguientes expresiones si
a = 0,5 , b = , c = 0
Simplifique si es que fuese necesario
2a b+
3 2a b− −
2
5 2 3 c
a b b− −
= 5/3
= -17/6
= -37/12
2
3
• ¿Cuál es el valor de x de manera que
2x + 1 = 31 ?
• Explica por qué x² + 1 es siempre un
número distinto de cero, para cualquier
valor de x.
• Una tabla de madera tiene 55 cms de largo
y se ha cortado un trozo de x cms, ¿cuánto
mide el otro trozo?
Desafíos
Identificación y
Clasificación
de términos algebraicos y
expresiones algebraicas
Términos algebraicos
¿Qué es un término algebraico?
Corresponde una expresión algebraica donde no hay sumas ni
restas.
Ejemplos:
“Son los elementos básicos para formar expresiones
algebraicas”.
43
5 bax2 2
3b− 5
2 32
ba
yx2
3−
536
15 zyx zyx 73
4,2
7
3 32
yx−
Elementos de un término
algebraico
• Un término algebraico tiene una
parte numérica llamada factor
numérico y otra parte, la de las
“potencias literales” llamada factor
literal.
Partes de un término
algebraico
yx2
3−
5
2 73
bca
Factor
numérico
Factor
literal
Factor
numérico
“dos
quintos”
Factor
literal
Actividades
1. Identifique el factor numérico y literal de cada término.
2. Determine el grado de cada término (suma de los exponentes de
las potencias literales)
Término Factor
Numérico
Factor literal
Grado del Término
Algebraico
43
ba
3
2x
2
3b−
32
4,0 ba−
7
3 102
yx−
5
2 32
ba
2 3
x
3−
2
b
1 43
ba
4,0− 32
ba
5
2
32
ba
7
3− 102
yx
3
2
7
5
5
12
Definición
• Un MONOMIO es un término
algebraico en que todas las potencia
literales tienen exponentes positivos
• Ejemplos de MONOMIOS
x2
2
3x−
32
5 cab
2
7 3
xy−
• Ejemplos de EXPRESIONES QUE
NO SON MONOMIOS
3
2 −
x
432
6 −
zyx
4
32
5
z
yx
x
1
Actividad
• Invente tres monomios distintos, de
grado 4, con tres potencias literales
y factores numéricos 2 , -5 , 8.2 , 7/3
cada uno .
Expresiones Algebraicas
¿Qué es una expresión algebraica?
Es simplemente un conjunto de operaciones
aritméticas entre términos algebraicos.
Ejemplos:
yx 32 +
yx
cba
yx
c
ba
2
23
52
43
3
4
3
2
5
−+122
+− xx
27183 2
+− xx
xx 8
5
7 3
−
92
−a
ax
y
x
7
13
2
2
3
+−
Clasificación de expresiones algebraicas
•Existen expresiones algebraicas polinómicas,
racionales, radicales, logarítmicas,
exponenciales, trigonométricas, entre otras.
•Clasificaremos solo expresiones polinómicas.
•Se dirá que una expresión algebraica es un
polinomio cuando es la suma de monomios.
Ejemplos:
2
2 1x x− +
3 2
2 3 5x y z+ − +2 3x y+
2a b−
Clasificación de un
polinomio
• Un polinomio se puede clasificar de acuerdo a
su grado y a la cantidad de términos que
tenga.
• Según su grado: El grado de un polinomio es
el grado del monomio de mayor grado.
– Ejemplo el grado de es 3
• Según la cantidad de términos:
– Si tiene dos términos se llama binomio, si tiene
tres se llama trinomio, si tiene cuatro se llama
cuatrinomio, etc.
– El ejemplo anterior es un cuatrinomio
3 2
2 3 5x y z+ − +
Actividades
1.Clasifique cada expresión algebraica según número de términos
(monomio, binomio, trinomio o polinomio)
2.Determine el grado de cada expresión (grado del término de mayor
grado)
Expresión Algebraica
Cantidad de
términos
algebraicos
Clasificación
Grado del
polinomio
2 Binomio 7
1 Monomio 8
3 Trinomio 7
3 Trinomio 2
2 Binomio 2
3 Trinomio 2
2 Binomio 3
5243
35 yxba +
cbayxba 235243
435 −+
52
7 yax
122
++ xx
27183 2
+− xx
xx 8
5
7 3
−
10025 2
−x
Identificar y Reducir
Términos Semejantes
Términos semejantes
• Se dirá que dos términos son
semejantes si tienen el mismo factor
literal.
• Sin son semejantes se podrán
SUMAR, pues representan cantidad
de la misma especie o familia.
Ejemplos:
x2 x3con son semejantes
2
4x 2
7x−con son semejantes
23
4 cab−
4
3 23
cab
con son semejantes
36
5 xy 63
45 yxcon son semejantes
5
3x 2
5xcon NO son semejantes PORQUE_____________
232
4 cba
4
3 23
cab
con
NO son semejantes PORQUE_____________
yx2
4− 2
7xycon NO son semejantes PORQUE_____________
Cada uno de estos paresCada uno de estos pares
de términos tienen distintasde términos tienen distintas
potencias literalespotencias literales
Reducción de Términos
Semejantes
• Reducir términos semejantes
corresponde a sumarlos para resumir
la expresión original.
Ejemplo:
2x + 3x se puede reducir a 5x
Luego
2x + 3x = 5x
Reducción de Términos
Semejantes
Ejemplo:
5a – b + a + 3b - 7b – 2a = 4a - 5b
Actividad
• Reduzca términos semejantes:
x + 3x – 7x + 2x =
a + 2b – 3a + 5b =
2y + 3x – 5y + 6x =
Actividad
• Reduzca términos semejantes:
-5x – 4x - 7x =
2x²+ y²- 5x²+ 8y² + 3x³=
3x²+ 5x³-7x²+9x²-6y²+3z²-x - 5x³=
Actividad
• Reduzca términos semejantes:
0,5x – 4y + 7 + 2,1x + 1,4y – 6 =
4,3x + 2,4y – 8,1 + 6,3x + 3,6y – 5x + 1,9 =
-0,7x –8y +8,9 –0,3x + 7,3y – 7,9 =
Actividad
• Reduzca términos semejantes:
2 2 2 2 2
2 5 5 3
3 4 6 5 2
a b ab a b ab a b
+ − + − =
ECUACIONES
de primer grado
Objetivos
Definir qué es una ecuación de primer
grado con una incógnita y como
debemos resolverlas.
Ecuaciones
• Una ecuación es una igualdad entre dos expresiones
en las que hay una o más variables desconocidas,
llamadas incógnitas.
En ésta ocasión aprenderemos sólo con una incógnita.
Ejemplos:
( ) ( )
( )
2
327
5
3
3
14
325
54317
85
+
=
−
=−
−=−
=+
xx
x
x
xx
x
Resolución de ecuaciones de primer
grado con una incógnita
• Resolver una ecuación es encontrar los
valores de la incógnita para la cual se
cumple la igualdad. Estos valores se llaman
SOLUCIONES de la ecuación.
Para resolver una ecuación se
puede despejar la incógnita
utilizando las propiedades de igualdad
• Propiedades de la igualdad
62
33332
3/332
=
+=+−
+=−
x
x
x
3
6
2
1
2
2
1
2
1
/62
=
⋅=⋅
⋅=
x
x
x
- Propiedad multiplicativa: Si a
ambos miembros de una igualdad
se multiplican por un mismo
número se mantiene la igualdad.
- Propiedad aditiva: Si a ambos
miembros de una igualdad se
suma un mismo número se
mantiene la igualdad.
• EJEMPLO
1616
16824
16883
:igualdadlacumplesesiveremosasí
original,ecuaciónlaen8reemplazarbastacorrecta,esencontradasoluciónlaqueverificarPara
8
3
1
24
3
1
3
3
1
/243
816883
)8/(1683
:igualdaddespropiedadelasusando1683ecuaciónlaResolver
=
=−
=−⋅
=
=
⋅=⋅






⋅=
+=+−
+=−
=−
x
x
x
x
x
x
x
Actividad
• Resuelve las siguientes ecuaciones, utilizando las
propiedades y luego verifica tus resultados.
xx
kk
jj
h
g
f
d
c
b
x
67410)10
31272)9
5395)8
1313)7
052)6
413)5
925)4
0318)3
1814)2
265)1
−=−
−=+
+=−
=−
=−−
=+−
=−
=−
−=+
=+
01089126)16
1512963q)15
24372121348)14
11142153)13
94351225)12
8,222,35)11
=++−−+
=−+−+−
−−=+−
−=−+−
−−=+−
+=−
rrrr
qqq
pppp
ñññ
nnn
mm
Resumen
• Para resolver ecuaciones debemos utilizar
las propiedades de adición y multiplicación
de la igualdad.
• Si quieres comprobar el resultado debes
reemplazar el valor obtenido de la incógnita
en la ecuación original para así verificar que
se cumpla la igualdad
ECUACIONES
CON PARÉNTESIS
Ecuaciones con paréntesis
Para resolver ecuaciones donde encontremos ejercicios
con paréntesis, debemos utilizar la propiedad
distributiva.
P. Distributiva:
EJEMPLO:
( ) 15353353 +=⋅+⋅=+ xxx
Actividad
• Utilizando la propiedad distributiva y lo estudiando en
clases anteriores, resuelve las siguientes ecuaciones.
)47(7)43(3)1(67)9
3)32(5)2(2)8
)1(213)7
)53(312)6
)61(7)2359()564()5
)395(273)94()83()4
)44()1(71)76()58(3)3
)23(87)13()2
)6(9)4(5)1
−+=−+−−
=−−+
−=−
−=
−−=−+−++−−
−+−−=+−−−
++−−=−−+−−
−−=+−
−−=−+
ccc
bb
zz
yy
xxxxxx
wwww
vvvv
ttt
sss
Ecuaciones con coeficientes
fraccionarios
Para resolver ecuaciones donde exista la incógnita en el
numerador, debemos:
1)Multiplicar ambos lados de la igualdad por el mínimo
común múltiplo entre los denominadores
2) Simplificar cada fracción
3) Resolver como una ecuación con paréntesis
(distributiva)
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
22
39
22
1
39
22
1
22
22
1
/3922
1524151522
15/241522
824881530
8/2481530
381215
4325123
20
5
32
20
4
123
20/
5
32
4
123
=
⋅=⋅
⋅=
+=+−
+=−
−+=−−
−+=−
+=−
⋅+=⋅−
⋅
+
=⋅
−
⋅
+
=
−
x
x
x
x
x
xxxx
xxx
xx
xx
xx
xxEJEMPLO:
Actividad
Resuelve las siguientes ecuaciones fraccionarias
5
2
3
4
)5
2
18
105
7
)4
4
96
7
2
5
)3
12
5
4
27)2
9
1
53
5
)1
=−
=−
=−+
=−
−
=+
x
x
x
x
x
12
1
3
14
6
15
4
32
)1(3)10
14
6
15
5
16
)9
4
10
5
8
32
6
1
)8
7
3
4
11)7
4
7
2
5
4
3
)6
++
−
=+
−
−−
−=
−
−
−
+
=−
−
−
−
=+
=−
x
xx
x
x
xx
xxx
x
x
xxx

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Evaluacion Formativa en el Aula ECH1 Ccesa007.pdf
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Lenguaje algebraico 7 basico

  • 2. Lenguaje Algebraico • Es el lenguaje que utiliza letras en combinación con números y signos. • La utilidad de álgebra se aprecia al adquirir la capacidad de traducir enunciados entre el lenguaje habitual y el lenguaje algebraico. • Interesa, principalmente, utilizar notación algebraica para expresar ecuaciones y fórmulas.
  • 3. Expresión algebraica Corresponde una cadena de letras, números y símbolos unidos por sumas, restas, multiplicaciones, divisiones y/o potencias. Ejemplos: xyzx xba z 32 35 5 243 − − yx 32 + 2 3b− 5 2 32 ba +
  • 4. Traducción de expresiones de lenguaje algebraico al lenguaje cotidiano y viceversa
  • 6. Enuncie verbalmente las siguientes expresiones algebraicas ( ) ( )3 2 2 1 3 2 4 52 3 2 − + + + x ba xy x x x x x “Dos unidades más que x “ o también “un número aumentado en dos unidades” “El triple de un número” “El doble de un número aumentado en 5 unidades” “El cuadrado de un número” “Un cuarto de un número” “ o también “la cuarta parte de un número” “Dos tercios del producto de dos números” “El cuadrado de la suma de dos números” “El cubo de un número disminuido en una unidad”
  • 7. ( ) ( ) 22 3 ))(( 2 2 )( 1 ba baba ba ba ba x − −+ − + − − “La diferencia entre dos números” “La semisuma de dos números” “La semidiferencia de dos números” “La suma de dos números, por su diferencia” “La diferencia de los cuadrados de dos números” “El cubo de un número, disminuido en una unidad”
  • 8. Ejercicios • Exprese algebraicamente: 1. Un número par 2. Un número impar 3. Dos números consecutivos 4. Dos números pares consecutivos 5. Dos números impares consecutivos 6. La suma de tres números impares consecutivos
  • 9. LENGUAJE NATURAL LENGUAJE ALGEBRAICO (EXPRESIÓN ALGEBRAICA El doble de un número aumentado en 4   Un número disminuido en 25   El sucesor del sucesor de un número   Tres números consecutivos a x-2   El antecesor del antecesor de un número   8 disminuido en el triple de un número   Un número aumentado en el triple de un número impar   La quinta parte del doble de un número par disminuido en el cuadrado del mismo número  
  • 10. LENGUAJE NATURAL LENGUAJE ALGEBRAICO (EXPRESIÓN ALGEBRAICA El doble de un número p   El cubo del triple de un número   El triple del cubo de un número   La mitad de un número, aumentado tres medios   Tres cuartas partes de un número   Cuatro número pares consecutivos   Un número disminuido en sus tres octavas partes   La octava parte de un número impar, disminuido en ocho  
  • 11. LENGUAJE NATURAL LENGUAJE ALGEBRAICO (EXPRESIÓN ALGEBRAICA                 13 +x x45 + pp 22 − 4 4 3 −t x7 3 8 + 4−x 5 4 7 +y 453 +x
  • 12. ¡Recuerda! • Si n , p , q son números enteros, que satisfacen n = p ·q , entonces se dice que: • n es múltiplo de p • n es múltiplo de q • p es divisor de n • q es divisor de n
  • 13. Ejemplo • 33 = 3 · 11 , entonces se puede decir que • 33 es múltiplo de 3 • 33 es múltiplo de 11 • 3 es divisor de 33 • 11 es divisor de 33
  • 14. Definición Propiedad distributiva de la adición sobre la multiplicación • Le llamaremos así a la propiedad de los números reales que señala que, para cualquier terna de números a , b , c , se cumple siempre que : a · ( b + c ) = a·b + a·c
  • 15. Ejemplos de aplicación de la propiedad distributiva Ejemplo 1 2·(3 + 5) = 2·3 + 2·5 (compruebe ud. que es cierta esta igualdad)
  • 16. Ejemplos de aplicación de la propiedad distributiva Ejemplo 2 -2·(3 + 5) = -2·3 -2·5 (compruebe ud. que es cierta esta igualdad)
  • 17. Ejemplos de aplicación de la propiedad distributiva Ejemplo 3 -2·(3 - 5) = -2·3 + 2·5 (compruebe ud. que es cierta esta igualdad)
  • 18. Uso inverso de la propiedad distributiva • Como las propiedades planteadas a través de igualdades se pueden aplicar en ambos sentidos (de derecha a izquierda y de izquierda a derecha) se puede escribir entones: a·b+ a·c = a·( b + c ) A esto se le llama FACTORIZAR LA EXPRESIÓN “a·b + a·c“ POR EL VALOR “a”
  • 19. Ejemplos de aplicación de la propiedad distributiva EN FORMA INVERSA (FACTORIZANDO POR UNA CANTIDAD) Ejemplo 1 2·3 + 2·5 = 2·(3 + 5) Ejemplo 2 7·8 - 7·13 = 7·(8 - 13) Ejemplo 3 - 9·3 - 9·12 = -9·(8 + 5) Ejemplo 4 - 4·17 + 4·29 = -4·(17 - 29)
  • 20. Definición Demostración de una proposición: • Diremos que demostrar una proposición es el proceso de probar que es verdadera considerando un conocimiento ya establecido y por lo tanto válido. • Una demostración Matemática implica la definición de una HIPÓTESIS (conocimiento ya establecido, válido) y una TESIS o proposición que se desea probar.
  • 21. Ejemplo 1 de demostración • Demuestre que la suma de tres números enteros consecutivos cualquiera es múltiplo de 3: • Hipótesis: Sean tres números x, y , z consecutivos cualquiera: x = n , y = n + 1 , z = n + 2 • Tesis x + y + z es un número múltiplo de 3 • Demostración: • Se tiene que x + y + z = n + n + 1 + n + 2, luego x + y + z = 3n + 3 • Pero 3n + 3 = 3(n + 1) = 3N (N es el número entero n + 1), • Luego se tiene que x + y + z es un número múltiplo de 3.
  • 22. Ejemplo 2 de demostración • Demuestre que la suma de dos pares consecutivos cualquiera es par: • Hipótesis: Sean dos números x e y pares consecutivos: x = 2n , y = 2n + 2 • Tesis: x + y es un número par • Demostración: • Se tiene que x + y = 2n + 2n + 2, luego x + y = 4n + 2 = 2(2n+1) • Por lo tanto como 2n + 1 = N (número entero), se tiene que 2(2n+1) = 2N , es decir un número PAR
  • 23. Ejemplo 3 de demostración • Demuestre que la suma de dos pares cualquiera es par: • Hipótesis: Sean dos números x e y pares : x = 2n , y = 2m • Tesis: x + y es un número par • Demostración: • Se tiene que x + y = 2n + 2m, luego • x + y = 2(n + m) = 2N, por lo tanto es un número PAR.
  • 24. Ejercicios 1) Demuestre que la suma de un número y su sucesor es impar 2) Demuestre que el producto de un par y cualquier número es otro número par. 3) Demuestre que los múltiplos de 6 son múltiplos de 2 y de 3 también. 4) Demuestre que si un número cualquiera termina en cifra par es divisible por 2. 5) Demuestre que si un número termina en cifra 0 o bien en cifra 5 es divisible por 5. 6) Demuestre que el producto de dos pares es par 7) Demuestre que el producto de un par por un impar es par.
  • 26. Definición • Evaluar una expresión algebraica corresponde a asignar valores específicos a sus letras para determinar su valor total. • Ejemplo: • Si x = 3 , la expresión 2x + 5 vale 11, pues 2·3 + 5 = 11
  • 27. Actividades • Evaluar las siguientes expresiones si x = 1 , y = -1 , w = 0, z = 2 3 2 2 w x y z− − −2 4x y+ 3 2x y− − 2 3x y w− − 2 2 3 2 w x y y y + − 4 w x y z+ + = -2 = -1 = 4 = 4/3 = -4 = 2
  • 28. Actividades • Evaluar las siguientes expresiones si a = 0,5 , b = , c = 0 Simplifique si es que fuese necesario 2a b+ 3 2a b− − 2 5 2 3 c a b b− − = 5/3 = -17/6 = -37/12 2 3
  • 29. • ¿Cuál es el valor de x de manera que 2x + 1 = 31 ? • Explica por qué x² + 1 es siempre un número distinto de cero, para cualquier valor de x. • Una tabla de madera tiene 55 cms de largo y se ha cortado un trozo de x cms, ¿cuánto mide el otro trozo? Desafíos
  • 30. Identificación y Clasificación de términos algebraicos y expresiones algebraicas
  • 31. Términos algebraicos ¿Qué es un término algebraico? Corresponde una expresión algebraica donde no hay sumas ni restas. Ejemplos: “Son los elementos básicos para formar expresiones algebraicas”. 43 5 bax2 2 3b− 5 2 32 ba yx2 3− 536 15 zyx zyx 73 4,2 7 3 32 yx−
  • 32. Elementos de un término algebraico • Un término algebraico tiene una parte numérica llamada factor numérico y otra parte, la de las “potencias literales” llamada factor literal.
  • 33. Partes de un término algebraico yx2 3− 5 2 73 bca Factor numérico Factor literal Factor numérico “dos quintos” Factor literal
  • 34. Actividades 1. Identifique el factor numérico y literal de cada término. 2. Determine el grado de cada término (suma de los exponentes de las potencias literales) Término Factor Numérico Factor literal Grado del Término Algebraico 43 ba 3 2x 2 3b− 32 4,0 ba− 7 3 102 yx− 5 2 32 ba 2 3 x 3− 2 b 1 43 ba 4,0− 32 ba 5 2 32 ba 7 3− 102 yx 3 2 7 5 5 12
  • 35. Definición • Un MONOMIO es un término algebraico en que todas las potencia literales tienen exponentes positivos • Ejemplos de MONOMIOS x2 2 3x− 32 5 cab 2 7 3 xy−
  • 36. • Ejemplos de EXPRESIONES QUE NO SON MONOMIOS 3 2 − x 432 6 − zyx 4 32 5 z yx x 1
  • 37. Actividad • Invente tres monomios distintos, de grado 4, con tres potencias literales y factores numéricos 2 , -5 , 8.2 , 7/3 cada uno .
  • 38. Expresiones Algebraicas ¿Qué es una expresión algebraica? Es simplemente un conjunto de operaciones aritméticas entre términos algebraicos. Ejemplos: yx 32 + yx cba yx c ba 2 23 52 43 3 4 3 2 5 −+122 +− xx 27183 2 +− xx xx 8 5 7 3 − 92 −a ax y x 7 13 2 2 3 +−
  • 39. Clasificación de expresiones algebraicas •Existen expresiones algebraicas polinómicas, racionales, radicales, logarítmicas, exponenciales, trigonométricas, entre otras. •Clasificaremos solo expresiones polinómicas. •Se dirá que una expresión algebraica es un polinomio cuando es la suma de monomios. Ejemplos: 2 2 1x x− + 3 2 2 3 5x y z+ − +2 3x y+ 2a b−
  • 40. Clasificación de un polinomio • Un polinomio se puede clasificar de acuerdo a su grado y a la cantidad de términos que tenga. • Según su grado: El grado de un polinomio es el grado del monomio de mayor grado. – Ejemplo el grado de es 3 • Según la cantidad de términos: – Si tiene dos términos se llama binomio, si tiene tres se llama trinomio, si tiene cuatro se llama cuatrinomio, etc. – El ejemplo anterior es un cuatrinomio 3 2 2 3 5x y z+ − +
  • 41. Actividades 1.Clasifique cada expresión algebraica según número de términos (monomio, binomio, trinomio o polinomio) 2.Determine el grado de cada expresión (grado del término de mayor grado) Expresión Algebraica Cantidad de términos algebraicos Clasificación Grado del polinomio 2 Binomio 7 1 Monomio 8 3 Trinomio 7 3 Trinomio 2 2 Binomio 2 3 Trinomio 2 2 Binomio 3 5243 35 yxba + cbayxba 235243 435 −+ 52 7 yax 122 ++ xx 27183 2 +− xx xx 8 5 7 3 − 10025 2 −x
  • 43. Términos semejantes • Se dirá que dos términos son semejantes si tienen el mismo factor literal. • Sin son semejantes se podrán SUMAR, pues representan cantidad de la misma especie o familia.
  • 44. Ejemplos: x2 x3con son semejantes 2 4x 2 7x−con son semejantes 23 4 cab− 4 3 23 cab con son semejantes 36 5 xy 63 45 yxcon son semejantes
  • 45. 5 3x 2 5xcon NO son semejantes PORQUE_____________ 232 4 cba 4 3 23 cab con NO son semejantes PORQUE_____________ yx2 4− 2 7xycon NO son semejantes PORQUE_____________ Cada uno de estos paresCada uno de estos pares de términos tienen distintasde términos tienen distintas potencias literalespotencias literales
  • 46. Reducción de Términos Semejantes • Reducir términos semejantes corresponde a sumarlos para resumir la expresión original. Ejemplo: 2x + 3x se puede reducir a 5x Luego 2x + 3x = 5x
  • 47. Reducción de Términos Semejantes Ejemplo: 5a – b + a + 3b - 7b – 2a = 4a - 5b
  • 48. Actividad • Reduzca términos semejantes: x + 3x – 7x + 2x = a + 2b – 3a + 5b = 2y + 3x – 5y + 6x =
  • 49. Actividad • Reduzca términos semejantes: -5x – 4x - 7x = 2x²+ y²- 5x²+ 8y² + 3x³= 3x²+ 5x³-7x²+9x²-6y²+3z²-x - 5x³=
  • 50. Actividad • Reduzca términos semejantes: 0,5x – 4y + 7 + 2,1x + 1,4y – 6 = 4,3x + 2,4y – 8,1 + 6,3x + 3,6y – 5x + 1,9 = -0,7x –8y +8,9 –0,3x + 7,3y – 7,9 =
  • 51. Actividad • Reduzca términos semejantes: 2 2 2 2 2 2 5 5 3 3 4 6 5 2 a b ab a b ab a b + − + − =
  • 53. Objetivos Definir qué es una ecuación de primer grado con una incógnita y como debemos resolverlas.
  • 54. Ecuaciones • Una ecuación es una igualdad entre dos expresiones en las que hay una o más variables desconocidas, llamadas incógnitas. En ésta ocasión aprenderemos sólo con una incógnita. Ejemplos: ( ) ( ) ( ) 2 327 5 3 3 14 325 54317 85 + = − =− −=− =+ xx x x xx x
  • 55. Resolución de ecuaciones de primer grado con una incógnita • Resolver una ecuación es encontrar los valores de la incógnita para la cual se cumple la igualdad. Estos valores se llaman SOLUCIONES de la ecuación. Para resolver una ecuación se puede despejar la incógnita utilizando las propiedades de igualdad
  • 56. • Propiedades de la igualdad 62 33332 3/332 = +=+− +=− x x x 3 6 2 1 2 2 1 2 1 /62 = ⋅=⋅ ⋅= x x x - Propiedad multiplicativa: Si a ambos miembros de una igualdad se multiplican por un mismo número se mantiene la igualdad. - Propiedad aditiva: Si a ambos miembros de una igualdad se suma un mismo número se mantiene la igualdad.
  • 58. Actividad • Resuelve las siguientes ecuaciones, utilizando las propiedades y luego verifica tus resultados. xx kk jj h g f d c b x 67410)10 31272)9 5395)8 1313)7 052)6 413)5 925)4 0318)3 1814)2 265)1 −=− −=+ +=− =− =−− =+− =− =− −=+ =+ 01089126)16 1512963q)15 24372121348)14 11142153)13 94351225)12 8,222,35)11 =++−−+ =−+−+− −−=+− −=−+− −−=+− +=− rrrr qqq pppp ñññ nnn mm
  • 59. Resumen • Para resolver ecuaciones debemos utilizar las propiedades de adición y multiplicación de la igualdad. • Si quieres comprobar el resultado debes reemplazar el valor obtenido de la incógnita en la ecuación original para así verificar que se cumpla la igualdad
  • 61. Ecuaciones con paréntesis Para resolver ecuaciones donde encontremos ejercicios con paréntesis, debemos utilizar la propiedad distributiva. P. Distributiva: EJEMPLO: ( ) 15353353 +=⋅+⋅=+ xxx
  • 62. Actividad • Utilizando la propiedad distributiva y lo estudiando en clases anteriores, resuelve las siguientes ecuaciones. )47(7)43(3)1(67)9 3)32(5)2(2)8 )1(213)7 )53(312)6 )61(7)2359()564()5 )395(273)94()83()4 )44()1(71)76()58(3)3 )23(87)13()2 )6(9)4(5)1 −+=−+−− =−−+ −=− −= −−=−+−++−− −+−−=+−−− ++−−=−−+−− −−=+− −−=−+ ccc bb zz yy xxxxxx wwww vvvv ttt sss
  • 63. Ecuaciones con coeficientes fraccionarios Para resolver ecuaciones donde exista la incógnita en el numerador, debemos: 1)Multiplicar ambos lados de la igualdad por el mínimo común múltiplo entre los denominadores 2) Simplificar cada fracción 3) Resolver como una ecuación con paréntesis (distributiva)
  • 64. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 22 39 22 1 39 22 1 22 22 1 /3922 1524151522 15/241522 824881530 8/2481530 381215 4325123 20 5 32 20 4 123 20/ 5 32 4 123 = ⋅=⋅ ⋅= +=+− +=− −+=−− −+=− +=− ⋅+=⋅− ⋅ + =⋅ − ⋅ + = − x x x x x xxxx xxx xx xx xx xxEJEMPLO:
  • 65. Actividad Resuelve las siguientes ecuaciones fraccionarias 5 2 3 4 )5 2 18 105 7 )4 4 96 7 2 5 )3 12 5 4 27)2 9 1 53 5 )1 =− =− =−+ =− − =+ x x x x x 12 1 3 14 6 15 4 32 )1(3)10 14 6 15 5 16 )9 4 10 5 8 32 6 1 )8 7 3 4 11)7 4 7 2 5 4 3 )6 ++ − =+ − −− −= − − − + =− − − − =+ =− x xx x x xx xxx x x xxx