Este documento describe el método de eliminación de Gauss y el método de Gauss-Jordán para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Explica que la eliminación de Gauss convierte el sistema en una forma triangular mientras que Gauss-Jordán lo convierte en una matriz identidad. También cubre la descomposición LU que descompone la matriz de coeficientes en productos de matrices triangulares inferior y superior.

1. Universidad Fermín Toro
Extensión Cabudare – Lara
Ingeniería Eléctrica
Análisis Numérico
SOLUCIÓN DE SISTEMA DE ECUACIONES
LINEALES
Estudiantes:
Kendrys Méndez C.I: 19.454.323
Cabudare junio 2016

2. Este método es utilizado para obtener soluciones de sistemas de ecuaciones
lineales, el cual consiste en convertir a través de operaciones básicas llamadas
operaciones de renglón un sistema en otro equivalente más sencillo cuya respuesta
pueda leerse de manera directa.
El método de eliminación Gaussiana es el mismo para sistemas de ecuaciones
2×2, 3×3, 4×4 y así sucesivamente siempre y cuando se respete la relación de al
menos una ecuación por cada variable.

3. OPERACIONES BASICAS DE RENGLON
 1. Ambos miembros de una ecuación pueden multiplicarse por una constante diferente
de cero.
 2. Los múltiplos diferentes de cero de una ecuación pueden sumarse a otra ecuación.
 3. El orden de las ecuaciones es intercambiable.

4. EJEMPLO ELIMINACION GAUSSIANA
EJERCICIO 2X2
Sistema determinado
X = -1 Y = 3

5. METODO DE GAUSS-JORDAN
El método de Gauss-Jordán es un algoritmo del algebra lineal para
determinar las soluciones de un sistema de ecuaciones lineales, encontrar matrices e
inversas, podemos decir que continúa el proceso de transformación hasta obtener una
matriz diagonal unitaria (aij=0 para cualquier i diferente de j ).
MATRIZ IDENTIDAD

6. METODO DE GAUSS-JORDAN
Este método nos permite resolver hasta 20 ecuaciones simultáneas. Lo que
lo diferencia del método Gaussiano es que cuando es eliminada una incógnita, se
eliminará de todas las ecuaciones restantes, o sea, las que anteceden a la ecuación
principal así como de las que la siguen a continuación.
De esta manera el paso de eliminación forma una matriz identidad en vez de una
matriz triangular. No es necesario entonces utilizar la sustitución hacia atrás para
conseguir la solución.

7. PASOS PARA CALCULAR GAUSS-JORDAN
 Ir a la columna no cero extrema izquierda.
Si la primera fila tiene un cero en esta columna, intercambiarlo con otra que no lo tenga.
Luego, obtener ceros debajo de este elemento delantero, sumando múltiplos adecuados
del renglón superior a los renglones debajo de él.
Cubrir el renglón superior y repetir el proceso anterior con la submatriz restante. Repetir
con el resto de los renglones.
Comenzando con el último renglón no cero, avanzar hacia arriba: para cada renglón
obtener un 1 delantero e introducir ceros arriba de éste sumando múltiplos
correspondientes a los renglones correspondientes.

8. EJEMPLO GAUSS-JORDAN
EJERCICIO 2X2
2x + 2y = 4
3x + 2y = 3
X = 1 Y = 3

9. DESCOMPOSICION LU
El método de descomposición LU o también llamado factorización de
matriz es utilizado para la solución de sistemas de ecuaciones lineales, debe su
nombre a que se basa en la descomposición de la matriz original de coeficientes
(A) en el producto de dos matrices triangulares una inferior y otra superior.
Donde:
L - Matriz triangular inferior
U - Matriz triangular superior con todos los elementos de la diagonal
principal iguales a 1.

10. PASOS PARA CALCULAR MATRIZ (U)
Hacer 0 todos los valores abajas de pivote sin convertir este en 1.
Para lograr lo anterior se requiere obtener un factor el cual es necesario para convertir a
cero los valores abajo del pivote.
Dicho factor es igual al número que se desea convertir en cero entre el número pivote.
Este factor multiplicado por -1 se multiplica luego por el pivote y a ese resultado se le suma
el valor que se encuentra en la posición a cambiar (el valor en la posición que se convertirá en
cero).

11. PASOS PARA CALCULAR MATRIZ (L)
 Para encontrar la matriz triangular inferior se busca hacer ceros los valores de arriba de
cada pivote, así como también convertir en 1 cada pivote. Se utiliza el mismo concepto de
"factor" explicado anteriormente y se ubican todos los "factores" debajo de la diagonal según
corresponda en cada uno.