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Dinámica de Fluidos - Ingeniería
Enfoque Diferencial
Dra. Mirtha Y. Moore V.

Ecuaciones básicas en el análisis de Dinámica
de Fluidos
1. Ecuación de conservación de masa
2. Ecuación de conservación de cantidad de
movimiento
3. Ecuación de conservación de energía
4. Segunda Ley de la Termodinámica
5. Ecuación Constitutiva del fluido

Tres enfoques en el análisis de dinámica de
fluidos
1. Enfoque diferencial
2. Enfoque integral
3. Enfoque experimental

Enfoque Diferencial
Se selecciona un volumen diferencial de fluido dxdydz.
Incluye el rastro del vector de posición de cada particula
de fluido XA, XB, XC…. Y del vector de velocidad de cada
partícula VA, VB, VC,….., como funciones del tiempo.
Este enfoque es análogo al enfoque de sistemas y se le conoce
como Lagrangiano en honor al matemático Italiano
Joseph Louis Lagrange (1736-1813).
Se estableces campos de comportamiento en función
de las coordenadas espacilaes y el tiempo
Campo de Presión P = P(x,y,z,t)
Campo de velocidad V = V (x,y,z,t)
Campo de aceleración a = a(x,y,z,t)
Dφ/Dt = (Ձφ/Ձx)u + (Ձφ/Ձy)v + (Ձφ/Ձz)w + Ձφ/Ձt

Φ = f (x, y, z, t)
dx
dy
dz
x
y
z
t = tiempo

Definición de los esfuerzos
en función del campo de velocidades
σxx = μ [2Ձu/Ձx – 2/3( divV)] –P
σyy = μ [2Ձv/Ձy – 2/3( divV)] –P
σzz = μ [2Ձw/Ձz – 2/3( divV)] –P
σxy = μ (Ձu/Ձy + Ձv/Ձx)
σyz = μ (Ձv/Ձz + Ձw/Ձy)
σxz = μ (Ձu/Ձz + Ձw/Ձx)
div V = Ձu/Ձx + Ձv/Ձy + Ձw/Ձz Dra. Mirtha Y. Moore V.

Ecuación de conservación de masa
Para un volumen diferencial dxdydz de fluido m = ƍ dxdydx
Dm/Dt = (Dƍ/Dt)dxdydz = 0
Dƍ/Dt = Ձ(ƍu)/Ձx + Ձ(ƍv)/Ձy + Ձ(ƍw)/Ձz + Ձƍ/Ձt = 0
Para un fluido incompresible ƍ = constante
Dƍ/Dt = Ձƍu/Ձx + Ձƍv/Ձy + Ձƍw/Ձz + Ձƍ/Ձt = 0
Ձu/Ձx + Ձv/Ձy + Ձw/Ձz = 0

Para un fluido estable Ձƍ/Ձt = 0
Para un fluido transitorio Ձƍ/Ձt ǂ 0
Para un fluido 1-D compresible y transitorio
Ձ(ƍu)/Ձx + Ձƍ/Ձt = 0
Para un fluido 2-D incompresible (ƍ=cosntante) y
estable
Ձu/Ձx + Ձv/Ձy = 0

Ecuación de Conservación de Cantidad de Movimiento
∑Fsuperficiales + ∑Fcorporales = ma
∑Fx superficiales + ∑Fx corporales = max
∑Fy superficiales + ∑Fy corporales = may
∑Fz superficiales + ∑Fz corporales = maz
Donde:
m = ƍ dxdydz
ax = (Ձu/Ձx)u + (Ձu/Ձy)v + (Ձu/Ձz)w + Ձu/Ձt
ay = (Ձv/Ձx)u + (Ձv/Ձy)v + (Ձv/Ձz)w + Ձv/Ձt
az = (Ձw/Ձx)u + (Ձw/Ձy)v + (Ձw/Ձz)w + Ձw/Ձt

Fuerzas superficiales
Son las fuerzas aplicadas sobre la superficie o áreas del volumen
diferencial de fluido seleccionado. Son las fuerzas que producen
los esfuerzos normales y cortantes sobre el fluido en estudio
Fuerzas corporales
Son las fuerzas que se originan por la existencia de un campo
de fuerza sobre el fluido. Este campo de fuerza puede ser el
campo gravitatorio (peso), el campo eléctrico (fuerza eléctrica),
el campo magnético (fuerza magnética) y otros. Esta fuerza es
una fuerza uniformemente distribuida en todo el cuerpo del
fluido, pero se concentra en el centroide del volumen
diferencial seleccionado.

[σxx + (Ձσxx/Ձx)dx]
σxx
σyy
[σyy + (Ձσyy/Ձy)dy]
dx
dy
Y
x

[σxy + (Ձσxy/Ձx)dx]
σxy
σyx
[σyx + (Ձσyx/Ձy)dy]
dx
dy
Y
x

Fuerza superficial neta que actúa en la dirección X:
Fuerza superficial neta que actúa en la dirección Z:
Fuerza superficial neta que actúa en la dirección Y:
[(Ձσxx/Ձx + Ձσyx/Ձy + Ձσzx/Ձz)]dxdydz
[(Ձσyy/Ձy + Ձσxy/Ձx + Ձσzy/Ձz)]dxdydz
[(Ձσxz/Ձx + Ձσyz/Ձy + Ձσzz/Ձz)]dxdydz
Tasa neta de fuerzas superficiales

Fuerzas corporales
(Campo de fuerza gravitatorio)
Fcx = 0
Fcz = 0
Fcy = (-mg/gc) = - (ƍg/gc) dxdydz = - ɣ dxdydz

Ecuación de Conservación de Energía
δQ – δW = dE = dU + dEC + dEP
δQ/Dt – δW/Dt = DU/Dt + DEC/dt + DEP/Dt
Q = Energía transferida en forma de calor
W = energía transferida en forma de trabajo
E = energía contenida del fluido
U = energía interna del fluido
EC = energía cinética del fluido
EP = energía potencial del fluido

Tasa de energía calórica a través del volumen diferencial
de fluido
-Ձ/Ձx(-KՁT/Ձx) –Ձ/Ձy(-KՁT/Ձy) – Ձ/Ձz(-KՁT/Ձz)
Para una conductividad térmica K = constante
Ձ2T/Ձx2 + Ձ2T/Ձy2 + Ձ2T/Ձz2
δQ = -KAdT/ds (ecuación de conducción de calor)
K = conductividad térmica del fluido
T = temperatura del fluido
A = área normal al flujo de calor
s = desplazamiento Dra. Mirtha Y. Moore V.

Calor entrante es positivo
Calor saliente es negativo
Q (-)
Q (+)
W (+)
W (- )
Trabajo saliente es positivo
Trabajo entrante es negativo
Convención de signos para la energía en movimiento

dx
dy
Y
x
Sea Q/t = Q* y Q/A = q
Q*x Q*x + (ՁQ*x/Ձx)dx
Q*y + (ՁQ*y/Ձy)dy
Q*y

Tasa de energía calórica a través del volumen diferencial
de fluido
δQ = -KAdT/ds (ecuación de conducción de calor)
ՁQ*x = -Kdydz(ՁT/Ձx) ----------(Area normal dydz)
ՁQ*y = -Kdxdz(ՁT/Ձy) ----------(Area normal dxdz)
ՁQ*z = -Kdxdy(ՁT/Ձz ----------(Area normal dxdy)
Tasa de energía en forma de calor:
(ՁQ*x/Ձx)dx + (ՁQ*y/Ձy)dy + (ՁQ*z/Ձz)dz
[ -Ձ(-KՁT/Ձx)/Ձx] + [ -Ձ(-KՁT/Ձy)/Ձy] + [ -Ձ(-KՁT/Ձz)/Ձz]
(dxdydz)
[Ձ/Ձx(KՁT/Ձx) + Ձ/Ձy(KՁT/Ձy) +Ձ/Ձz(KՁT/Ձz)]dxdydz
Para una conductividad térmica K = constante

Tasa de energía en forma de trabajo
producida por las fuerzas corporales:
Fcx = fuerza corporal por unidad de volumen en x = 0
Fcy = fuerza corporal por unidad de volumen en y =-ɣ
Fcz = fuerza corporal por unidad de volumen en z = 0
Trabajo/tiempo = F.ds/dt = F.v (donde v = velocidad)
Wx/t = Tasa de trabajo en x = Fcx u (donde u = componente de la velocidad en x)
Wy/t = tasa de trabajo en y = Fcy v (donde v = componente de velocidad en y)
Wz/t = tasa de trabajo en z = Fcz w (donde w = componente de velocidad en z)
Tasa de energía en forma de trabajo producido por las fuerzas corporales:
(uFcx + vFcy + wFcz) ΔxΔyΔz

uσxx + Ձ/Ձx(uσxx)dx
vσyy
uσxx
vσyy + Ձ/Ձy(vσyy)dy
Energía en forma de Trabajo producido por las fuerzas superficiales normales

vσxy + Ձ/Ձx(vσxy)dx
-uσyx
-vσxy
uσyx + Ձ/Ձy(uσyx)dy
Energía en forma de Trabajo producido por las fuerzas superficiales cortantes
Y
X

Tasa neta de energía en forma de Trabajo producida por
las fuerzas superficiales normales y cortantes
[ Ձ/Ձx (uσxx) + Ձ/Ձy(uσyx + Ձ/Ձz(uσzx)]dxdydz
+ [ Ձ/Ձy (vσyy) + Ձ/Ձx(vσxy + Ձ/Ձz(vσzy)]dxdydz
+ [ Ձ/Ձz (wσzz) + Ձ/Ձy(wσyz + Ձ/Ձx(wσxz)]dxdydz
Tasa de trabajo neta producida por las fuerzas superficiales:

Energía Contenida E en el volumen diferencial de fluido
E = U* + EC + EP
Tasa de energía Contenida E en el volumen diferencial de fluido
DE/Dt = DU*/Dt + DEC/Dt + DEP/Dt
Donde:
U* = energía interna del fluido
EC = energía cinética del fluido
EP = energía potencial del fluido
DE/Dt =
ƍ[(Ձu*/Ձx)u + (Ձu*/Ձy)v + (Ձu*/Ձz)w + Ձu*/Ձy]dxdydz
+ ƍ[1/2(D(u2 +v2 +w2)/Dt)]dxdydz
+ ƍg/gc[D(H)/Dt] dxdydz
Donde H = altura

Resumen de las ecuaciones básicas

σxx = μ [2Ձu/Ձx – 2/3( divV)] –P
σyy = μ [2Ձv/Ձy – 2/3( divV)] –P
σzz = μ [2Ձw/Ձz – 2/3( divV)] –P
σxy = μ (Ձu/Ձy + Ձv/Ձx)
σyz = μ (Ձv/Ձz + Ձw/Ձy)
σxz = μ (Ձu/Ձz + Ձw/Ձx
div V = Ձu/Ձx + Ձv/Ձy + Ձw/Ձz

Ecuación de momentum en X:
Ecuación de momentun en Z:
Ecuación de momentum en Y:
[(Ձσxx/Ձx + Ձσyx/Ձy + Ձσzx/Ձz) + Fcx = ƍax
[(Ձσyy/Ձy + Ձσxy/Ձx + Ձσzy/Ձz)] + Fcy = ƍay
[(Ձσxz/Ձx + Ձσyz/Ձy + Ձσzz/Ձz)] + Fcz = ƍaz
Ecuacion de conservación de la cantidad de
movimiento para los fluidos
ax = (Ձu/Ձx)u + (Ձu/Ձy)v + (Ձu/Ձz)w + Ձu/Ձt
ay = (Ձv/Ձx)u + (Ձv/Ձy)v + (Ձv/Ձz)w + Ձv/Ձt
az = (Ձw/Ձx)u + (Ձw/Ձy)v + (Ձw/Ձz)w + Ձw/Ձt

Dm/DT = Ձ(ƍu)/Ձx + Ձ(ƍv)/Ձy + Ձ(ƍw)/Ձz + Ձƍ/Ձt = 0
δQ – δW = DE/Dt
[ Ձ/Ձx (uσxx) + Ձ/Ձy(uσyx )+ Ձ/Ձz(uσzx)]
+ [ Ձ/Ձy (vσyy) + Ձ/Ձx(vσxy + Ձ/Ձz(vσzy)]
+ [ Ձ/Ձz (wσzz) + Ձ/Ձy(wσyz + Ձ/Ձx(wσxz)]
+ (uFcx + vFcy + wFcz)
DE/Dt =
ƍ[(Ձu*/Ձx)u + (Ձu*/Ձy)v + (Ձu*/Ձz)w +
Ձu*/Ձy]
+ ƍ[1/2(D(u2 +v2 +w2)/Dt)]
+ ƍg/gc[D(H)/Dt]

Aplicaciones

Fin de la presentación – enfoque diferencial

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