Modelación matemática de una rueda y eje con momento de incercia variable para diseñar experimentos para identificar las masas de sus componentes ajustables
Se describe un aparato que consiste en un eje, más una rueda que cuenta con seis masas cuya distancia puede ajustarse para variar el momento de inercia polar del aparato. Se analiza un experimento en el que dicho aparato se cuelga de un soporte, mediante cuerdas fijadas en los dos extremos del eje. Rotando el aparato de manera que cada cuerda se enrede alrededor del extremo al que está fijado, se sube el aparato. Acto seguido, se permite que el aparato descienda, girando libremente. Para un rango de distancias entre las masas y el eje, se mide cuanto tiempo el aparato tarda en descender una distancia predeterminada.
Tras análisis basados en la dinámica y en la conservación de energía, identificamos que el experimento arriba descrito no es suficiente para identificar la masa total de las seis masas. En cambio, es necesario contrastar los resultados de ese experimento, con (por ejemplo) uno que emplee una masa auxiliar conocida.
Este documento describe las partes de las máquinas y los mecanismos. Explica que una máquina está formada por un elemento motriz, un mecanismo y un elemento receptor. Los mecanismos transmiten o transforman la energía del elemento motriz para que pueda ser utilizada por el elemento receptor. Los mecanismos se dividen en mecanismos de transmisión del movimiento y mecanismos de transformación del movimiento. Algunos ejemplos de mecanismos de transmisión son las poleas, cadenas y engranajes.
Este documento trata sobre engranajes y contiene 10 secciones. Explica qué son los engranajes, sus ventajas y desventajas, aplicaciones, tipos, mecanizado, tratamientos superficiales, fallos y lubricación. También describe diferentes métodos para fabricar y endurecer engranajes.
Este documento describe brevemente la historia de la mecánica y algunos sistemas y máquinas mecánicas básicas como palancas, poleas, tornillos y sistemas de transformación de movimiento como biela-manivela, tornillo-tuerca, leva y piñón-cremallera.
Este documento describe los diferentes tipos de engranajes cónicos, incluyendo sus características, partes, cálculos, aplicaciones y ventajas y desventajas. Los engranajes cónicos se utilizan para transmitir movimiento entre ejes que se cortan y pueden ser rectos, helicoidales o hipoides. Cada tipo tiene usos específicos como la reducción de velocidad o la transmisión entre ejes no paralelos. El documento también explica engranajes rectos, cremalleras y el mecanismo piñón-cremallera.
Este documento presenta información sobre el diseño de ejes y flechas. Explica que los ejes pueden ser no giratorios o giratorios (flechas), y cubre conceptos como materiales para ejes, configuración de ejes, análisis de esfuerzos y deflexiones, y ejemplos de diseño de ejes. El objetivo es proporcionar una introducción al proceso de diseño de ejes y flechas para soportar cargas mecánicas.
Fabricación de componentes eléctricos y electrónicosaliz206
El documento proporciona una descripción general de los componentes electrónicos. Explica que los componentes electrónicos son dispositivos que forman parte de los circuitos electrónicos y se encapsulan para ser conectados entre sí. Luego clasifica los componentes según su estructura, material de fabricación, funcionamiento y tipo de energía.
El documento presenta una introducción a la historia de la ingeniería. Se divide en 6 unidades que cubren temas como la relación entre ingeniería y creación humana, la revolución agrícola, los descubrimientos de la Edad Moderna, las revoluciones industriales, la era post-industrial y la tecnología andina prehispánica. Cada unidad analiza objetivos, contenidos y aspectos clave de los temas cubiertos.
Este documento describe las partes de las máquinas y los mecanismos. Explica que una máquina está formada por un elemento motriz, un mecanismo y un elemento receptor. Los mecanismos transmiten o transforman la energía del elemento motriz para que pueda ser utilizada por el elemento receptor. Los mecanismos se dividen en mecanismos de transmisión del movimiento y mecanismos de transformación del movimiento. Algunos ejemplos de mecanismos de transmisión son las poleas, cadenas y engranajes.
Este documento trata sobre engranajes y contiene 10 secciones. Explica qué son los engranajes, sus ventajas y desventajas, aplicaciones, tipos, mecanizado, tratamientos superficiales, fallos y lubricación. También describe diferentes métodos para fabricar y endurecer engranajes.
Este documento describe brevemente la historia de la mecánica y algunos sistemas y máquinas mecánicas básicas como palancas, poleas, tornillos y sistemas de transformación de movimiento como biela-manivela, tornillo-tuerca, leva y piñón-cremallera.
Este documento describe los diferentes tipos de engranajes cónicos, incluyendo sus características, partes, cálculos, aplicaciones y ventajas y desventajas. Los engranajes cónicos se utilizan para transmitir movimiento entre ejes que se cortan y pueden ser rectos, helicoidales o hipoides. Cada tipo tiene usos específicos como la reducción de velocidad o la transmisión entre ejes no paralelos. El documento también explica engranajes rectos, cremalleras y el mecanismo piñón-cremallera.
Este documento presenta información sobre el diseño de ejes y flechas. Explica que los ejes pueden ser no giratorios o giratorios (flechas), y cubre conceptos como materiales para ejes, configuración de ejes, análisis de esfuerzos y deflexiones, y ejemplos de diseño de ejes. El objetivo es proporcionar una introducción al proceso de diseño de ejes y flechas para soportar cargas mecánicas.
Fabricación de componentes eléctricos y electrónicosaliz206
El documento proporciona una descripción general de los componentes electrónicos. Explica que los componentes electrónicos son dispositivos que forman parte de los circuitos electrónicos y se encapsulan para ser conectados entre sí. Luego clasifica los componentes según su estructura, material de fabricación, funcionamiento y tipo de energía.
El documento presenta una introducción a la historia de la ingeniería. Se divide en 6 unidades que cubren temas como la relación entre ingeniería y creación humana, la revolución agrícola, los descubrimientos de la Edad Moderna, las revoluciones industriales, la era post-industrial y la tecnología andina prehispánica. Cada unidad analiza objetivos, contenidos y aspectos clave de los temas cubiertos.
Este documento presenta información sobre diferentes tipos de taladros y sus funciones. Describe taladros sensitivos, de columna, múltiples, radiales y portátiles. También cubre máquinas de mando numérico, accesorios como brocas y puntas, seguridad para operar taladros, y fórmulas para roscas. El objetivo es informar sobre taladros y su uso en el banco de trabajo.
Presentación sobre la Tecnología MecánicaCamiloEllis2
La ingeniería mecánica y la tecnología mecánica se enfocan en diseñar y fabricar máquinas y dispositivos utilizando principios de física. La ingeniería mecánica estudia materias como cálculo, termodinámica y dibujo técnico, mientras que la tecnología mecánica se centra en procesos de fabricación, reparación y mantenimiento de máquinas. Ambas áreas pueden crear objetos como vehículos y robots que mejoran la comunicación, el transporte y la construcción.
El documento trata sobre el cálculo de tolerancias para diámetros y ajustes mecánicos de acuerdo a normas ISO. Explica cómo calcular las tolerancias correspondientes a diferentes calidades para diámetros de 30 y 50 mm. Luego, muestra cómo determinar las tolerancias para ajustes macho-hembra de 60 mm según posiciones H7/h6, H7/j6 y H7/r6, expresando los resultados gráficamente.
Las cualidades de un ingeniero industrial.pardomnicole
El documento describe las cualidades de un ingeniero industrial después de 3 a 5 años de experiencia. Un ingeniero industrial aplica modelos cuantitativos y cualitativos para resolver problemas y tomar decisiones de manera efectiva. También agrega valor a las organizaciones a través de su liderazgo y capacidad de adaptación. Además, entiende la importancia de la ética y la moral en su trabajo.
Este documento define el emprendimiento como llevar a cabo una obra o negocio propio que requiere esfuerzo y capacidad para alcanzar metas u objetivos. Explora las ventajas de ser emprendedor, como lograr mejores resultados y mayores oportunidades laborales. También describe las actitudes emprendedoras como fijar metas desafiantes, planificar, asumir riesgos calculados y buscar información. Finalmente, distingue entre diferentes tipos de emprendimiento y perfiles de emprendedores.
El documento describe diferentes tipos de máquinas y mecanismos, incluyendo máquinas simples como la palanca y la polea, mecanismos de transmisión como engranajes y correas, mecanismos de transformación de movimiento como piñón-cremallera y cigüeñal, y máquinas térmicas como motores de combustión interna y de vapor. Explica brevemente el funcionamiento y aplicaciones de cada uno.
La cuña es una herramienta simple con forma de prisma triangular o doble plano inclinado que se usa para separar, ajustar o llenar espacios. Ha sido utilizada por el hombre desde hace miles de años como hachas, cuchillos y puntas de lanza, y se ha aplicado históricamente en canteras, madera, agricultura y trasquilado. Algunos ejemplos modernos son las llaves de cerradura y la cremallera.
Este documento describe los diferentes mecanismos de transmisión de movimiento en máquinas, incluyendo poleas, engranajes, bielas, palancas, piñones y cremalleras, cigüeñales, sistemas articulados, levas, ruedas helicoidales y excéntricas. Explica que un mecanismo es un dispositivo que transforma un movimiento y fuerza de entrada en una de salida, y que todas las máquinas se componen de diferentes mecanismos para transmitir movimiento.
Este documento explica qué son las máquinas simples, incluyendo su definición, tipos principales (palanca, plano inclinado y rueda) e importancia. Las máquinas simples transforman un movimiento en otro diferente usando la fuerza aplicada. Aunque sencillas, han sido cruciales para el desarrollo tecnológico al permitir aplicar una fuerza mayor con menos esfuerzo.
Este documento describe los diferentes tipos de división que se pueden realizar utilizando un divisor universal en una fresadora, incluyendo división directa, indirecta, angular y lineal. Explica cómo calcular el número de vueltas de la manivela para cada tipo de división y cómo seleccionar el disco de agujeros correcto. También describe las partes principales de un divisor universal y cómo usar las tijeras de división.
Presentaciones de los alumnos del curso Física Universitaria A y Laboratorio, de la Ibero Tijuana. Semestre Otoño 2010.
Los comentarios retroalimentando sus trabajos serán bienvenidas. las críticas constructivas son muy bien recibidas!
Este documento describe el proceso de mecanizado por ultrasonido, en el cual se utilizan herramientas vibrando a alta frecuencia junto con abrasivos para remover material de una pieza. Explica los tipos de mecanizado por ultrasonido, los abrasivos empleados, el proceso detallado, los parámetros para controlarlo, las aplicaciones comunes y las ventajas y desventajas del método.
1. La limadora mecánica permite el mecanizado de piezas pequeñas y medianas mediante el movimiento lineal alternativo de la herramienta de corte para arrancar virutas de la superficie de la pieza. 2. Presenta componentes como la bancada, mesa, carnero y mecanismos de accionamiento, y existen diferentes tipos como las accionadas por cremallera u hidráulicas. 3. Se usa para operaciones como el planeado de superficies y ranurado, siendo aplicable en procesos industriales.
El documento presenta las normas básicas para la acotación de planos técnicos, incluyendo que las cotas deben ser las mínimas necesarias, expresarse en la misma unidad y leerse desde abajo y la derecha, y que las líneas de acotación no deben cruzarse ni coincidir con aristas u ejes. También especifica cómo acotar diámetros, radios y circunferencias concéntricas.
Procesos de manufactura(doblado, cizallado, fresado y embutido)Nombre Apellidos
El documento describe varios procesos de manufactura como doblado, embutido, fresado y cizallado. Explica que el doblado transforma láminas metálicas en piezas de diferentes formas utilizando prensas. El embutido forma piezas huecas usando punzones y dados. El fresado mecaniza superficies con herramientas multicortantes llamadas fresas. Finalmente, el cizallado corta materiales usando máquinas con cuchillas móviles.
Este documento trata sobre los conceptos de esfuerzo y deformación en ingeniería. Explica que los esfuerzos son las fuerzas internas en un elemento estructural debido a cargas externas, y que existen diferentes tipos como tracción, compresión, cizallamiento, flexión y torsión. También define la deformación como el cambio de forma de un cuerpo debido a fuerzas, y distingue entre deformación elástica y plástica. Por último, presenta la ley de Hooke sobre la proporcionalidad entre esfuerzo y deformación,
Este documento describe varios procesos de fabricación sin arranque de viruta como la forja, el laminado, el doblado y el trefilado. La forja consiste en dar forma a los metales mediante presión o impacto. El laminado deforma plásticamente los materiales al pasarlos entre rodillos. El doblado da forma a las chapas mediante una prensa. Y el trefilado estira el alambre a través de hileras de diámetros decrecientes para aumentar su resistencia.
El documento describe los diferentes tipos de mecanismos y máquinas. Explica que los mecanismos están compuestos por elementos que cumplen una función específica, como transmitir o transformar movimientos. Luego clasifica las máquinas según su complejidad, número de pasos y tecnologías integradas. Finalmente detalla diversos mecanismos como engranajes, poleas, bielas y palancas, así como cómo se pueden combinar en máquinas más complejas.
Este documento describe las grúas torres, incluyendo sus partes principales como el mástil, la flecha, la contraflecha y el lastre. También clasifica las grúas torres en fijas, desplazables en servicio y desmontables. Por último, menciona brevemente la legislación que rige el manejo y mantenimiento de las grúas torres.
El documento presenta información sobre materiales ferrosos y no ferrosos. Explica que los metales son sustancias formadas por elementos químicos metálicos unidos por enlaces metálicos, lo que les da propiedades como plasticidad, conductividad eléctrica y térmica. Luego define los materiales ferrosos como aquellos cuya composición principal es el hierro, mientras que los no ferrosos no lo tienen como principal elemento. Finalmente, proporciona detalles sobre las propiedades y usos del hierro y el acero.
Para cualquier practicante de matemáticas nacido en los últimos 400 años es difícil, si no imposible, concebir cuánto el invento de gráficos y del álgebra simplificó la tarea de sus predecesores, por posibilitar que “se hiciera visible” las relaciones entre cantidades que intervinieron en los problemas que trabajaron. Estas herramientas nos ayudarán en este capítulo.
How to Effect a Composite Rotation of a Vector via Geometric (Clifford) AlgebraJames Smith
We show how to express the representation of a composite rotation in terms that allow the rotation of a vector to be calculated conveniently via a spreadsheet that uses formulas developed, previously, for a single rotation. The work presented here (which includes a sample calculation) also shows how to determine the bivector angle that produces, in a single operation, the same rotation that is effected by the composite of two rotations.
Este documento presenta información sobre diferentes tipos de taladros y sus funciones. Describe taladros sensitivos, de columna, múltiples, radiales y portátiles. También cubre máquinas de mando numérico, accesorios como brocas y puntas, seguridad para operar taladros, y fórmulas para roscas. El objetivo es informar sobre taladros y su uso en el banco de trabajo.
Presentación sobre la Tecnología MecánicaCamiloEllis2
La ingeniería mecánica y la tecnología mecánica se enfocan en diseñar y fabricar máquinas y dispositivos utilizando principios de física. La ingeniería mecánica estudia materias como cálculo, termodinámica y dibujo técnico, mientras que la tecnología mecánica se centra en procesos de fabricación, reparación y mantenimiento de máquinas. Ambas áreas pueden crear objetos como vehículos y robots que mejoran la comunicación, el transporte y la construcción.
El documento trata sobre el cálculo de tolerancias para diámetros y ajustes mecánicos de acuerdo a normas ISO. Explica cómo calcular las tolerancias correspondientes a diferentes calidades para diámetros de 30 y 50 mm. Luego, muestra cómo determinar las tolerancias para ajustes macho-hembra de 60 mm según posiciones H7/h6, H7/j6 y H7/r6, expresando los resultados gráficamente.
Las cualidades de un ingeniero industrial.pardomnicole
El documento describe las cualidades de un ingeniero industrial después de 3 a 5 años de experiencia. Un ingeniero industrial aplica modelos cuantitativos y cualitativos para resolver problemas y tomar decisiones de manera efectiva. También agrega valor a las organizaciones a través de su liderazgo y capacidad de adaptación. Además, entiende la importancia de la ética y la moral en su trabajo.
Este documento define el emprendimiento como llevar a cabo una obra o negocio propio que requiere esfuerzo y capacidad para alcanzar metas u objetivos. Explora las ventajas de ser emprendedor, como lograr mejores resultados y mayores oportunidades laborales. También describe las actitudes emprendedoras como fijar metas desafiantes, planificar, asumir riesgos calculados y buscar información. Finalmente, distingue entre diferentes tipos de emprendimiento y perfiles de emprendedores.
El documento describe diferentes tipos de máquinas y mecanismos, incluyendo máquinas simples como la palanca y la polea, mecanismos de transmisión como engranajes y correas, mecanismos de transformación de movimiento como piñón-cremallera y cigüeñal, y máquinas térmicas como motores de combustión interna y de vapor. Explica brevemente el funcionamiento y aplicaciones de cada uno.
La cuña es una herramienta simple con forma de prisma triangular o doble plano inclinado que se usa para separar, ajustar o llenar espacios. Ha sido utilizada por el hombre desde hace miles de años como hachas, cuchillos y puntas de lanza, y se ha aplicado históricamente en canteras, madera, agricultura y trasquilado. Algunos ejemplos modernos son las llaves de cerradura y la cremallera.
Este documento describe los diferentes mecanismos de transmisión de movimiento en máquinas, incluyendo poleas, engranajes, bielas, palancas, piñones y cremalleras, cigüeñales, sistemas articulados, levas, ruedas helicoidales y excéntricas. Explica que un mecanismo es un dispositivo que transforma un movimiento y fuerza de entrada en una de salida, y que todas las máquinas se componen de diferentes mecanismos para transmitir movimiento.
Este documento explica qué son las máquinas simples, incluyendo su definición, tipos principales (palanca, plano inclinado y rueda) e importancia. Las máquinas simples transforman un movimiento en otro diferente usando la fuerza aplicada. Aunque sencillas, han sido cruciales para el desarrollo tecnológico al permitir aplicar una fuerza mayor con menos esfuerzo.
Este documento describe los diferentes tipos de división que se pueden realizar utilizando un divisor universal en una fresadora, incluyendo división directa, indirecta, angular y lineal. Explica cómo calcular el número de vueltas de la manivela para cada tipo de división y cómo seleccionar el disco de agujeros correcto. También describe las partes principales de un divisor universal y cómo usar las tijeras de división.
Presentaciones de los alumnos del curso Física Universitaria A y Laboratorio, de la Ibero Tijuana. Semestre Otoño 2010.
Los comentarios retroalimentando sus trabajos serán bienvenidas. las críticas constructivas son muy bien recibidas!
Este documento describe el proceso de mecanizado por ultrasonido, en el cual se utilizan herramientas vibrando a alta frecuencia junto con abrasivos para remover material de una pieza. Explica los tipos de mecanizado por ultrasonido, los abrasivos empleados, el proceso detallado, los parámetros para controlarlo, las aplicaciones comunes y las ventajas y desventajas del método.
1. La limadora mecánica permite el mecanizado de piezas pequeñas y medianas mediante el movimiento lineal alternativo de la herramienta de corte para arrancar virutas de la superficie de la pieza. 2. Presenta componentes como la bancada, mesa, carnero y mecanismos de accionamiento, y existen diferentes tipos como las accionadas por cremallera u hidráulicas. 3. Se usa para operaciones como el planeado de superficies y ranurado, siendo aplicable en procesos industriales.
El documento presenta las normas básicas para la acotación de planos técnicos, incluyendo que las cotas deben ser las mínimas necesarias, expresarse en la misma unidad y leerse desde abajo y la derecha, y que las líneas de acotación no deben cruzarse ni coincidir con aristas u ejes. También especifica cómo acotar diámetros, radios y circunferencias concéntricas.
Procesos de manufactura(doblado, cizallado, fresado y embutido)Nombre Apellidos
El documento describe varios procesos de manufactura como doblado, embutido, fresado y cizallado. Explica que el doblado transforma láminas metálicas en piezas de diferentes formas utilizando prensas. El embutido forma piezas huecas usando punzones y dados. El fresado mecaniza superficies con herramientas multicortantes llamadas fresas. Finalmente, el cizallado corta materiales usando máquinas con cuchillas móviles.
Este documento trata sobre los conceptos de esfuerzo y deformación en ingeniería. Explica que los esfuerzos son las fuerzas internas en un elemento estructural debido a cargas externas, y que existen diferentes tipos como tracción, compresión, cizallamiento, flexión y torsión. También define la deformación como el cambio de forma de un cuerpo debido a fuerzas, y distingue entre deformación elástica y plástica. Por último, presenta la ley de Hooke sobre la proporcionalidad entre esfuerzo y deformación,
Este documento describe varios procesos de fabricación sin arranque de viruta como la forja, el laminado, el doblado y el trefilado. La forja consiste en dar forma a los metales mediante presión o impacto. El laminado deforma plásticamente los materiales al pasarlos entre rodillos. El doblado da forma a las chapas mediante una prensa. Y el trefilado estira el alambre a través de hileras de diámetros decrecientes para aumentar su resistencia.
El documento describe los diferentes tipos de mecanismos y máquinas. Explica que los mecanismos están compuestos por elementos que cumplen una función específica, como transmitir o transformar movimientos. Luego clasifica las máquinas según su complejidad, número de pasos y tecnologías integradas. Finalmente detalla diversos mecanismos como engranajes, poleas, bielas y palancas, así como cómo se pueden combinar en máquinas más complejas.
Este documento describe las grúas torres, incluyendo sus partes principales como el mástil, la flecha, la contraflecha y el lastre. También clasifica las grúas torres en fijas, desplazables en servicio y desmontables. Por último, menciona brevemente la legislación que rige el manejo y mantenimiento de las grúas torres.
El documento presenta información sobre materiales ferrosos y no ferrosos. Explica que los metales son sustancias formadas por elementos químicos metálicos unidos por enlaces metálicos, lo que les da propiedades como plasticidad, conductividad eléctrica y térmica. Luego define los materiales ferrosos como aquellos cuya composición principal es el hierro, mientras que los no ferrosos no lo tienen como principal elemento. Finalmente, proporciona detalles sobre las propiedades y usos del hierro y el acero.
Para cualquier practicante de matemáticas nacido en los últimos 400 años es difícil, si no imposible, concebir cuánto el invento de gráficos y del álgebra simplificó la tarea de sus predecesores, por posibilitar que “se hiciera visible” las relaciones entre cantidades que intervinieron en los problemas que trabajaron. Estas herramientas nos ayudarán en este capítulo.
How to Effect a Composite Rotation of a Vector via Geometric (Clifford) AlgebraJames Smith
We show how to express the representation of a composite rotation in terms that allow the rotation of a vector to be calculated conveniently via a spreadsheet that uses formulas developed, previously, for a single rotation. The work presented here (which includes a sample calculation) also shows how to determine the bivector angle that produces, in a single operation, the same rotation that is effected by the composite of two rotations.
A Modification of the Lifshitz-Slyozov-Wagner Equation for Predicting Coarsen...James Smith
The story behind this article is instructive, and even a bit troubling. I wrote it in 1991 as a continuation of part of my Doctoral thesis, which I’d completed a few years earlier. During that research, I’d found that scientists who’d done very fine laboratory work on Ostwald ripening during the 1960s had made a curious error in simple mass balances when deriving a rate equation for Ostwald ripening starting from the minimum-entropy-production-rate (MEPR) principle.
That error led the 1960s scientists to reject (with commendable honesty) their hypothesis that the MEPR principle is applicable to Ostwald ripening. Like all the rest of us metallurgists back then, I didn’t catch that error, until I examined the derivation of the MEPR-based rate equation in detail during my thesis work. However, I didn’t manage to re-derive the rate equation fully until I took up the subject again in the early 1990s. The scientists who did such fine lab work in the 1960s would no doubt have been pleased to learn that their empirical results agreed quite well with predictions made by the corrected equation. Thus, those scientists were correct in their hypothesis about the MEPR principle’s applicability.
I continue to wonder how we metallurgists overlooked, for more than two decades, the simple error that led those scientists to conclude, mistakenly but honestly, that they’d been wrong.
I never did manage to publish this article, but the same derivations and analyses were published by other researchers within a few years. Some of the reviewers’ comments on the article are addressed in the second article in this document, “Comments on ‘Ostwald Ripening Growth Rate for Nonideal Systems with Significant Mutual Solubility’”.
Modelando matemáticamente, el "Slinky'' en caída libreJames Smith
(Véase también http://www.slideshare.net/JamesSmith245/las-ellezas-matemticas-del-slinky, y Véase también, el video https://www.youtube.com/watch?v=2dU5R0ISWcw.)
En este documento, se intentó obtener soluciones analíticas para el "Slinky en caída libre". Los primeros dos, que usaron la ecuación de la onda, fracasaron por razones distintas. El primer intento usó las series Fourier, pero no pudo cumplir las condiciones de frontera. El segundo usó trasformadas Laplace; de esa forma sí, cumplió las condiciones iniciales y de frontera, y predijo, con corrección, que la aceleración del baricentro del Slinky debe ser igual a g, (la aceleración gravitatoria ). Sin embargo, se equivicó en cuanto predijo que el extremo superior del Slinky caería a través de la parte del Slinky que está en reposo. Esta predicción no fue un defecto de las trasformadas Laplace; sino un artefacto del uso de la ecuación de la onda para un resorte de tensión en este caso específico, que trata de una onda de choque.
El tercer intento usó el teorema impulso-momento. Hizo predicciones coherentes entre sí, y que concuerdan con observaciones empíricas.
Cabe señalar que la modelación del Slinky en caída libre presentada aquí trata solamente su movimiento en la dirección vertical, haciendo caso omiso a su rotación.
Construcciones para encontrar la raíz cuadrada y resolver ecuaciones cuadráticasJames Smith
Se presentan y explican construcciones geométricas (realizadas con regla y compás) para encontrar la raíz cuadrada de un número, y resolver ecuaciones cuadráticas.
Hablando francamente, la suma y resta de fracciones algebraicas suele ser muy molesto. Eso porque la realización de una sola suma puede requerir muchos pasos. Sin embargo, la lógica en la que cada paso se fundamenta, se entiende fácilmente relacionándola con los pasos análogos que se efectúan al sumar fracciones “normales”.
A Solution to the Problem of Apollonius Using Vector Dot ProductsJames Smith
The document presents a solution to the Problem of Apollonius, which is to construct circles tangent to three given coplanar circles, using only vector dot products. It defines variables to represent the circles and derives equations that lead to an expression for the radius of the solution circle that encloses none of the three given circles. The solution method finds the points of tangency of two tangent circles, one enclosing and one not enclosing the three initial circles.
Tú sí, puedes, con las ecuaciones simultáneas linealesJames Smith
Este documento presenta un resumen de las ecuaciones simultáneas lineales y varias técnicas para resolverlas, incluyendo gráfica, igualación, sustitución y reducción. Explica qué son las ecuaciones simultáneas y cómo se generan a partir de problemas que involucran múltiples condiciones. También provee ejemplos para ilustrar cada técnica de resolución.
Additional Solutions of the Limiting Case "CLP" of the Problem of Apollonius ...James Smith
This document uses geometric algebra to solve the limiting case of the Problem of Apollonius known as the Circle-Line-Point problem. It presents three solutions: one using only rotations, one using a combination of reflections and rotations, and one in the appendix using only rotations. The solutions identify either the points of tangency between the solution circles and the given circle, or the points of tangency between the solution circles and the given line. The document reviews reflections and rotations in geometric algebra to establish the necessary foundations before presenting the solutions.
Solution Strategies for Equations that Arise in Geometric (Clifford) AlgebraJames Smith
Drawing mainly upon exercises from Hestenes's New Foundations for Classical Mechanics, this document presents, explains, and discusses common solution strategies. Included are a list of formulas and a guide to nomenclature.
See also:
http://www.slideshare.net/JamesSmith245/rotations-of-vectors-via-geometric-algebra-explanation-and-usage-in-solving-classic-geometric-construction-problems-version-of-11-february-2016 ;
http://www.slideshare.net/JamesSmith245/resoluciones-de-problemas-de-construccin-geomtricos-por-medio-de-la-geometra-clsica-y-el-lgebra-geomtrica-vectorial ;
http://www.slideshare.net/JamesSmith245/solution-of-the-special-case-clp-of-the-problem-of-apollonius-via-vector-rotations-using-geometric-algebra ;
http://www.slideshare.net/JamesSmith245/solution-of-the-ccp-case-of-the-problem-of-apollonius-via-geometric-clifford-algebra ;
http://www.slideshare.net/JamesSmith245/a-very-brief-introduction-to-reflections-in-2d-geometric-algebra-and-their-use-in-solving-construction-problems ;
http://www.slideshare.net/JamesSmith245/solution-of-the-llp-limiting-case-of-the-problem-of-apollonius-via-geometric-algebra-using-reflections-and-rotations ;
http://www.slideshare.net/JamesSmith245/simplied-solutions-of-the-clp-and-ccp-limiting-cases-of-the-problem-of-apollonius-via-vector-rotations-using-geometric-algebra ;
http://www.slideshare.net/JamesSmith245/additional-solutions-of-the-limiting-case-clp-of-the-problem-of-apollonius-via-vector-rotations-using-geometric-algebra ;
http://www.slideshare.net/JamesSmith245/an-additional-brief-solution-of-the-cpp-limiting-case-of-the-problem-of-apollonius-via-geometric-algebra-ga .
Cómo resolver problemas con "triángulos rectángulos simultáneos"James Smith
Este documento presenta la resolución de un problema de triángulos rectángulos simultáneos para encontrar las longitudes desconocidas h y c. Se establecen dos ecuaciones con las relaciones trigonométricas y se combinan para obtener una ecuación con una sola incógnita, d. Esto permite calcular d = 10.9 m. Luego, se usa este valor para calcular c = 15.5 m. El documento concluye analizando las fórmulas obtenidas y sugiriendo repasar la solución.
An additional brief solution of the CPP limiting case of the Problem of Apoll...James Smith
This document adds to the collection of GA solutions to plane-geometry problems, most of them dealing with tangency, that are presented in References 1-7. Reference 1 presented several ways of solving the CPP limiting case of the Problem of Apollonius. Here, we use ideas from Reference 6 to solve that case in yet another way.
Cambios de óptica en el curso de un despejeJames Smith
El documento describe los cambios en la perspectiva del autor al resolver una ecuación algebraica. Inicialmente, el autor voltea la ecuación para poner la incógnita en el lado izquierdo. Luego, el autor concibe el término "2v" como un solo número y más tarde como un número negativo "-2v". Finalmente, el autor resuelve la ecuación para encontrar el valor de la incógnita v.
(Véase también http://www.slideshare.net/JamesSmith245/modelando-matemticamente-el-slinky-en-cada-libre .)
El Slinky es un divertido juguete infantil en forma de un resorte de baja resistencia. En este documento, doy énfasis a las bellezas matemáticas de su comportamiento. Claro que mucha de sus matemáticas son avanzadas, pero lo importante es que sí, hasta en las cosas más sencillas se encuentra mucha belleza, que se manifiesta en su matemática. Así que explico detalladamente algunas ideas sencillas, mientras en otras ocasiones presento temas matemáticas avanzadas con poca explicación.
Empiezo por analizar la extensión provocada por su propio peso de un Slinky colgado. Después, se analiza el movimiento vibratorio de un Slinky colgado. Por medio de eses análi-sis, derivo ecuaciones que predicen (1) cuánto se estirará un Slinky bajo su propio peso; (2) el periodo de la vibración de un Slinky colgado; y (3) cómo se relacionan (1) y (2).
Por fin, se examinan los datos empíricos obtenidos de experimentos con Slinkies de acero y de plástico, comparando eses datos con el comportamiento predicho por medio de los aná-lisis matemáticos. Como parte de la comparación, se calcula la aceleración gravitatoria a partir de los datos empíricos.
Proporciones de los radios y distancias en una "cadena de Steiner" de 6 circu...James Smith
Si una circunferencia de radio r1 encierre a otra circunferencia menor, el espacio entre el exterior de la menor y el interior de la mayor se puede llenar de una cadena de circunferencias tangentes a ambas, y también entre sí. Una cadena tal se llama un "Cadena de Steiner". Los puntos de de tangencia entre las circunferencias pertenecientes a la cadena yacen sobre una circunferencia de algún radio "r*", cuyo centro queda a alguna distancia "q" del centro de la circunferencia mayor.
En este documento, se identifica la relación entre r*, q , y r tal que haya exactamente seis circunferencias en la cadena.
Simplified Solutions of the CLP and CCP Limiting Cases of the Problem of Apo...James Smith
The new solutions presented herein for the CLP and CCP limiting cases of the Problem of Apollonius are much shorter and more easily understood than those provided by the same author in References [1] and [2]. These improvements result from (1) a better selection of angle relationships as a starting point for the solution process; and (2) better use of GA identities to avoid forming troublesome combinations of terms within the resulting equations.
Cómo entender el uso de escalas logarítmicasJames Smith
Hojas con escalas logarítmicas son herramientas visuales muy poderosas para el análisis de datos, pero pueden ser una fuente de confusión también. Como es el caso para muchas herramientas, la confusión se minimiza o elimina cuando, al aprender su uso, tomamos la siguiente postura:
“Esta herramienta fue inventada para facilitar la resolución de
alg ún tipo problema. Entonces, ¿cuál fue?”
Similar a Modelación matemática de una rueda y eje con momento de incercia variable para diseñar experimentos para identificar las masas de sus componentes ajustables
Este documento presenta un experimento para verificar la segunda ley de Newton utilizando un montaje con un deslizador de masa m y un portapesas de masa ma conectados por una cuerda. Se midieron los tiempos que tarda el deslizador en cruzar dos fotoceldas separadas una distancia D para diferentes masas m. Los resultados muestran una relación lineal inversa entre la aceleración a y la masa m, verificando la proporcionalidad de la segunda ley de Newton, F=ma. Adicionalmente, se determinó experimentalmente el valor
El documento presenta varios problemas de física relacionados con movimiento circular y cinemática. Incluye problemas sobre un cilindro giratorio en un parque de atracciones, un bloque sobre una mesa giratoria, y una pequeña arandela deslizándose a lo largo de un alambre giratorio. Proporciona las soluciones con cálculos detallados para determinar períodos, velocidades, aceleraciones y tensiones.
Este documento describe los conceptos básicos de la cinemática del movimiento rectilíneo y curvilíneo. Explica elementos como posición, velocidad, aceleración y sus componentes para movimiento en línea recta y curva. También presenta ecuaciones para calcular estas cantidades en diferentes situaciones y gráficas que representan el movimiento rectilíneo.
Este documento presenta la solución a dos ejercicios de física. El primero calcula el radio de un aro delgado que oscila una vez cada 2 segundos cuando cuelga de un clavo horizontal. El segundo encuentra la ecuación del movimiento resultante de la superposición de dos movimientos armónicos simples paralelos y representa gráficamente los movimientos individuales y el resultado.
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integral de linea , integral de superficie y aplicaciones (2).pdfOSCONEYRALEIBNIZ
El documento presenta una introducción a la integral de línea. Define la integral de línea como la integral de una función continua a lo largo de una curva paramétrica suave con respecto a la longitud de arco. Explica cómo la integral de línea puede usarse para calcular la masa, el centro de gravedad y otros conceptos mecánicos. También introduce la relación entre la integral de línea y el trabajo realizado por un campo de fuerzas al mover una partícula a lo largo de una trayectoria.
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1) El documento presenta problemas de mecánica clásica extraídos de un libro de texto.
2) El problema 5 trata sobre dos rines montados en extremos de un eje común que ruedan independientemente sobre una superficie. Se demuestra que hay dos ecuaciones de restricción no holonómicas y una ecuación de restricción holonómica.
3) El problema 6 trata sobre una partícula que se mueve en el plano xy bajo la restricción de que su velocidad apunte siempre hacia un punto en el eje x cu
Para realizar la práctica, se utilizaron instrumentos como un riel de aire, bomba, deslizador y foto celdas. Se tomaron medidas de altura, distancia, tiempo y masa. Con estos datos se calcularon las energías cinética y potencial. Finalmente, se determinó que no se conservó la energía mecánica debido a errores en las medidas.
Power guia TP 1.pptx. magnitudes y unidadesysigotto
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2. Explica nociones de cinemática como movimiento rectilíneo uniforme y variado, caída libre, tiro vertical y movimiento parabólico.
3. Define biomecánica como el estudio de las palancas anatómicas, fuerzas que actúan sobre los huesos y equilibrio del cuerpo humano en movimiento.
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El documento presenta el desarrollo de dos ejercicios de dinámica y energía de una asignatura de física general. En el primer ejercicio, se analiza el movimiento de dos bloques unidos por una cuerda que pasa por una polea, bajo la acción de una fuerza horizontal. En el segundo ejercicio, se estudia la trayectoria de un bloque que se desliza por una pendiente inclinada. El documento incluye cálculos, diagramas y explicaciones para resolver ambos problemas.
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Este documento presenta una introducción a la cinemática de partículas. Explica conceptos clave como posición, velocidad, aceleración y movimiento rectilíneo. También presenta ecuaciones para el movimiento de una partícula y ejemplos numéricos de problemas de cinemática.
Este documento describe el movimiento de cohetes mediante ecuaciones diferenciales que representan las fuerzas que actúan sobre el cohete, como la gravedad y la fuerza de empuje. Se resuelve el sistema de ecuaciones numéricamente usando Matlab para calcular la trayectoria y velocidad de cohetes como función del tiempo, la masa y otras variables. Se incluyen ejemplos numéricos para ilustrar los cálculos.
1) El documento describe las leyes de la gravitación universal de Newton, incluyendo la ley de la gravitación, la constante de gravitación, y ejemplos de su aplicación. 2) También describe las leyes de Kepler del movimiento planetario, derivadas de la ley de gravitación newtoniana. 3) Explica conceptos como la energía potencial gravitacional, la velocidad de escape, y la masa reducida, importantes para entender la dinámica de sistemas gravitatorios.
Este documento describe conceptos básicos de la cinemática y la cinética. La cinemática estudia la geometría del movimiento sin considerar las causas, mientras que la cinética estudia la relación entre fuerzas, masa y movimiento. También define la mecánica como la rama de la física que describe y predice el movimiento de cuerpos bajo la acción de fuerzas. Explica conceptos clave como posición, velocidad, aceleración y fuerzas.
Similar a Modelación matemática de una rueda y eje con momento de incercia variable para diseñar experimentos para identificar las masas de sus componentes ajustables (20)
Using a Common Theme to Find Intersections of Spheres with Lines and Planes v...James Smith
After reviewing the sorts of calculations for which Geometric Algebra (GA) is especially convenient, we identify a common theme through which those types of calculations can be used to find the intersections of spheres with lines, planes, and other spheres.
Via Geometric Algebra: Direction and Distance between Two Points on a Spheric...James Smith
As a high-school-level example of solving a problem via Geometric (Clifford) Algebra, we show how to calculate the distance and direction between two points on Earth, given the locations' latitudes and longitudes. We validate the results by comparing them to those obtained from online calculators. This example invites a discussion of the benefits of teaching spherical trigonometry (the usual way of solving such problems) at the high-school level versus teaching how to use Geometric Algebra for the same purpose.
Solution of a Vector-Triangle Problem Via Geometric (Clifford) AlgebraJames Smith
As a high-school-level application of Geometric Algebra (GA), we show how to solve a simple vector-triangle problem. Our method highlights the use of outer products and inverses of bivectors.
Via Geometric (Clifford) Algebra: Equation for Line of Intersection of Two Pl...James Smith
As a high-school-level example of solving a problem via Geometric Algebra (GA), we show how to derive an equation for the line of intersection between two given planes. The solution method that we use emphasizes GA's capabilities for expressing and manipulating projections and rotations of vectors.
Solution of a Sangaku ``Tangency" Problem via Geometric AlgebraJames Smith
Because the shortage of worked-out examples at introductory levels is an obstacle to widespread adoption of Geometric Algebra (GA), we use GA to solve one of the beautiful \emph{sangaku} problems from 19th-Century Japan. Among the GA operations that prove useful is the rotation of vectors via the unit bivector
Un acercamiento a los determinantes e inversos de matricesJames Smith
Este documento presenta un resumen de tres oraciones sobre los determinantes e inversos de matrices. Introduce los conceptos de matrices y sistemas de ecuaciones lineales, y explica cómo la resolución de sistemas lleva a las ideas de determinantes de matrices y la inversa de una matriz. Finalmente, compara las versiones matricial y no matricial de resolver sistemas lineales.
Understanding the "Chain Rule" for Derivatives by Deriving Your Own VersionJames Smith
Because the Chain Rule can confuse students as much as it helps them solve real problems, we put ourselves in the shoes of the mathematicians who derived it, so that students may understand the motivation for the rule; its limitations; and why textbooks present it in its customary form. We begin by finding the derivative of sin2x without using the Chain Rule. That exercise, having shown that even a comparatively simple compound function can be bothersome to differentiate using the definition of the derivative as a limit, provides the motivation for developing our own formula for the derivative of the general compound function g[f(x)]. In the course of that development, we see why the function f must be continuous at any value of x to which the formula is applied. We finish by comparing our formula to that which is commonly given.
As a demonstration of the coherence of Geometric Algebra's (GA's) geometric and algebraic concepts of bivectors, we add three geometric bivectors according to the procedure described by Hestenes and Macdonald, then use bivector identities to determine, from the result, two vectors whose outer product is equal to the initial sum. In this way, we show that the procedure that GA's inventors defined for adding geometric bivectors is precisely that which is needed to give results that coincide with those obtained by calculating outer products of vectors that are expressed in terms of a 3D basis. We explain that that accomplishment is no coincidence: it is a consequence of the attributes that GA's designers assigned (or didn't) to bivectors.
Learning Geometric Algebra by Modeling Motions of the Earth and Shadows of Gn...James Smith
Because the shortage of worked-out examples at introductory levels is an obstacle to widespread adoption of Geometric Algebra (GA), we use GA to calculate Solar azimuths and altitudes as a function of time via the heliocentric model. We begin by representing the Earth's motions in GA terms. Our representation incorporates an estimate of the time at which the Earth would have reached perihelion in 2017 if not affected by the Moon's gravity. Using the geometry of the December 2016 solstice as a starting point, we then employ GA's capacities for handling rotations to determine the orientation of a gnomon at any given latitude and longitude during the period between the December solstices of 2016 and 2017. Subsequently, we derive equations for two angles: that between the Sun's rays and the gnomon's shaft, and that between the gnomon's shadow and the direction ``north" as traced on the ground at the gnomon's location. To validate our equations, we convert those angles to Solar azimuths and altitudes for comparison with simulations made by the program Stellarium. As further validation, we analyze our equations algebraically to predict (for example) the precise timings and locations of sunrises, sunsets, and Solar zeniths on the solstices and equinoxes. We emphasize that the accuracy of the results is only to be expected, given the high accuracy of the heliocentric model itself, and that the relevance of this work is the efficiency with which that model can be implemented via GA for teaching at the introductory level. On that point, comments and debate are encouraged and welcome.
Solution of a High-School Algebra Problem to Illustrate the Use of Elementary...James Smith
This document is the first in what is intended to be a collection of solutions of high-school-level problems via Geometric Algebra (GA). GA is very much "overpowered" for such problems, but students at that level who plan to go into more-advanced math and science courses will benefit from seeing how to "see" basic problems in GA terms, and to then solve those problems using GA identities and common techniques.
Nuevo Manual de la UNESCO para la Enseñanza de CienciasJames Smith
Este documento presenta el prefacio de una nueva edición del Manual de la Unesco para la Enseñanza de las Ciencias. Explica que la nueva edición actualiza el contenido y proporciona más material científico para cursos introductorios de ciencias. Detalla el proceso de revisión llevado a cabo por expertos de varios países bajo la coordinación de la Universidad de Maryland. El objetivo del manual es proveer ideas y recursos para que los maestros puedan enseñar ciencias de manera práctica utilizando materiales disponibles local
Calculating the Angle between Projections of Vectors via Geometric (Clifford)...James Smith
We express a problem from visual astronomy in terms of Geometric (Clifford) Algebra, then solve the problem by deriving expressions for the sine and cosine of the angle between projections of two vectors upon a plane. Geometric Algebra enables us to do so without deriving expressions for the projections themselves.
Estimation of the Earth's "Unperturbed" Perihelion from Times of Solstices an...James Smith
Published times of the Earth's perihelions do not refer to the perihelions of the orbit that the Earth would follow if unaffected by other bodies such as the Moon. To estimate the timing of that ``unperturbed" perihelion, we fit an unperturbed Kepler orbit to the timings of the year 2017's equinoxes and solstices. We find that the unperturbed 2017 perihelion, defined in that way, would occur 12.93 days after the December 2016 solstice. Using that result, calculated times of the year 2017's solstices and equinoxes differ from published values by less than five minutes. That degree of accuracy is sufficient for the intended use of the result.
Projection of a Vector upon a Plane from an Arbitrary Angle, via Geometric (C...James Smith
We show how to calculate the projection of a vector, from an arbitrary direction, upon a given plane whose orientation is characterized by its normal vector, and by a bivector to which the plane is parallel. The resulting solutions are tested by means of an interactive GeoGebra construction.
Formulas and Spreadsheets for Simple, Composite, and Complex Rotations of Vec...James Smith
We show how to express the representations of single, composite, and "rotated" rotations in GA terms that allow rotations to be calculated conveniently via spreadsheets. Worked examples include rotation of a single vector by a bivector angle; rotation of a vector about an axis; composite rotation of a vector; rotation of a bivector; and the "rotation of a rotation". Spreadsheets for doing the calculations are made available via live links.
Trampas comunes en los exámenes de se selección sobre matemáticasJames Smith
El documento describe dos ejemplos comunes de trampas en exámenes de selección. El primero involucra encontrar el valor de x a partir de una ecuación y elegir la respuesta incorrecta que coincide con el valor de x. El segundo involucra calcular las medidas de ángulos en un diagrama y elegir una respuesta que no corresponde con la diferencia requerida por la pregunta. El documento concluye aconsejando volver a leer la pregunta antes de responder.
Why Does the Atmosphere Rotate? Trajectory of a desorbed moleculeJames Smith
As a step toward understanding why the Earth's atmosphere "rotates" with the Earth, we use using Geometric (Clifford) Algebra to investigate the trajectory of a single molecule that desorbs vertically upward from the Equator, then falls back to Earth without colliding with any other molecules. Sample calculations are presented for a molecule whose vertical velocity is equal to the surface velocity of the Earth at the Equator (463 m/s) and for one with a vertical velocity three times as high. The latter velocity is sufficient for the molecule to reach the Kármán Line (100,000 m). We find that both molecules fall to Earth behind the point from which they desorbed: by 0.25 degrees of latitude for the higher vertical velocity, but by only 0.001 degrees for the lower.
Kepler and Newton vs. Geocentrism, Flat Earth, and the "Vortex"James Smith
This presentation compares predictions of Kepler's 3rd Law to data from almost all of the orbital systems in the Solar System (including orbits of Pluto's moons), then predicts the height of a geostationary orbit.
El documento contiene 19 problemas de geometría que involucran figuras como rectángulos, triángulos, círculos y trapecios. Los problemas piden calcular perímetros, áreas y longitudes de lados y diagonales de las figuras dadas, y determinar cuál figura tiene el mayor área.
José Luis Jiménez Rodríguez
Junio 2024.
“La pedagogía es la metodología de la educación. Constituye una problemática de medios y fines, y en esa problemática estudia las situaciones educativas, las selecciona y luego organiza y asegura su explotación situacional”. Louis Not. 1993.
Modelación matemática de una rueda y eje con momento de incercia variable para diseñar experimentos para identificar las masas de sus componentes ajustables
1. Modelación matemática de
Una rueda y eje con J variable
para diseñar experimentos para identificar
las masas de sus componentes ajustables
James Smith
19 octubre 2016
Resumen
Se describe un aparato que consiste en un eje, más una rueda que cuenta con seis masas
cuya distancia puede ajustarse para variar el momento de inercia polar del aparato. Se
analiza un experimento en el que dicho aparato se cuelga de un soporte, mediante
cuerdas fijadas en los dos extremos del eje. Rotando el aparato de manera que cada
cuerda se enrede alrededor del extremo al que está fijado, se sube el aparato. Acto
seguido, se permite que el aparato descienda, girando libremente. Para un rango de
distancias entre las masas y el eje, se mide cuanto tiempo el aparato tarda en descender
una distancia predeterminada.
Tras análisis basados en la dinámica y en la conservación de energía, identificamos
que el experimento arriba descrito no es suficiente para identificar la masa total de las
seis masas. En cambio, es necesario contrastar los resultados de ese experimento, con
(por ejemplo) uno que emplee una masa auxiliar conocida.
1
2. 1 Introducción
Este documento se elaboró para que alumnos vieran cómo un fenómeno puede ser
modelado matemáticamente, para poder identificar y cuantificar los elementos que lo
afecta. El proceso de la modelación combina conocimientos matemáticos y de la física.
Para validar el modelo que resulta, se propone un experimento a través del cual se podrá
predecir la masa total de las seis masas ajustables que se usan para variar el momento
de inercia polar del aparato. Después de hacer su predicción, los alumnos podrán medir
dicha masa total y discutir con qué grado de precisión el modelo matemático describe
el fenómeno.
2 Descripción del aparato
El aparato (Figs. 1 y 2) es una rueda y eje, con seis masas que se pueden colocar a
distancias variables, desde el eje. Se enrolla un hilo alrededor de cada extremo del eje.
El aparato se descenderá, debido a su propio peso, si los usuarios no lo sostienen.
Figure 1: Diagrama esquemático del aparato “eje y rueda con masas" suspendido de
sus hilos. Las seis masas (círculos anaranjados) se colocan todas a la misma distancia
desde el eje, pero dicha distancia se variará en el curso del experimento.
3 Descripción (breve) del experimento
Se varia la distancia entre las seis masas y el eje para investigar cómo este parámetro
afecta cuánto tiempo el aparato tarda en recorrer una distancia predeterminada.
4 Modelación del comportamiento
4.1 Notación
Ver también las Figuras 2 y 3.
2
3. Figure 2: Identificación de las dimensiones claves, del aparato. Las líneas gruesas y
negras representan ranuras a lo largo de las cuales las seis masas pueden ser desliadas
para variar rm en el curso del experimento.
.
M Masa del eje + rueda, sin las seis masas.
m Masa total, de las seis masas.
J0 Momento de inercia polar del eje + rueda, sin las seis masas.
t Tiempo trascurrido desde que se dejó de sostener al aparato, para que comenzara
su descenso.
x Ubicación del centro del eje. En t = 0, x = 0.
En vez de usar ranuras para
ajustar la posición de las seis
masas, se puede usar
perforaciones a varias
distancias.
4.2 Modelación del comportamiento del aparato mismo
Para más información acerca de la dinámica de rotaciones, ver Referencias [1] y [2].
4.2.1 A partir de la conservación de energía
La suma de las energías cinética y potencial (gravitatoria) del aparato es constante:
Energ´ia potencial gravitatoria
Eg
+ Energ´ia cin´etica
Ec
= constante.
Por lo tanto, cuando el aparato desciende alguna distancia d,
−∆Eg = ∆Ec
∴ [(M + m) g] d =
1
2
(M + m) v2
+
1
2
Jω2
, (4.1)
donde ω es la velocidad angular del aparato en el instante cuando x = d, y v =
dx
dt
(x = d) = re [ω (x = d)].
3
4. Figure 3: El aparato en su posición inicial, suspendido de sus hilos, antes de soltarlo.
Nótese la definición de la dirección positiva de x, y del origen (o sea, donde x = 0).
Antes de que sigamos, hagamos una pausa para reconocer que no hemos supuesto
nada acerca de la distancia d, aparte de que d es un número positivo. Entonces, por La
Regla de la Generalización Universal, la Ec. (4.1) se verifica para todo valor positivo,
de x. Por lo tanto, reescribimos dicha ecuación de la forma más convencional, usando
el símbolo x en vez de d, con el entendido de que los valores de
dx
dt
y ω son aquellos
que resultan cuando el aparato desciende la distancia x:
[(M + m) g] x =
1
2
(M + m) v2
+
1
2
Jω2
. (4.2)
La Regla de la
Generalización Universal
Para nuestros fines, ésta dice
que si se puede demostrar que
una fórmula es cierta para un
objeto elegido en forma
arbitraria de una clase,
entonces la fórmula es cierta
para todo objeto que le
pertenece a la clase. La
referencia [3] demuestra su
uso en un contexto como el
presente.
En cuanto al momento de inercia, J, éste depende de la posición de las seis masas
con respecto al eje:
J = J0 + mr2
m. (4.3)
Sustituyendo J por esta expresión en la Ec. (4.2),
[(M + m) g] x =
1
2
(M + m) v2
+
1
2
J0 + mr2
m ω2
=
1
2
(M + m) v2
+
1
2
J0 + mr2
m
v
re
2
=
1
2
M + m +
J0 + mr2
m
r2
e
Llammosla “B”: Es un constante.
v2
=
1
2
B
dx
dt
2
.
“B" es un constante en cuanto
es independiente de t. Pero sí,
varía con rm.
4
5. Para obtener una ecuación diferencial que se pueda resolver, despejamos al
dx
dt
:
dx
dt
=
2 (M + m) x
B
x1/2
; (4.4)
∴
dx
x1/2
=
2 (M + m) x
B
dt. (4.5)
Por fin, integramos ambos lados de la Ec. (4.4) para encontrar la distancia x (τ)
que el aparato cae durante el intervalo 0 ≤ t ≤ τ, siendo τ un número arbitrario. Se
toma en cuenta que x = 0 en t = 0:
x(τ)
x=0
dx
x1/2
=
2 (M + m) x
B
τ
t=0
dt
2 x (τ) =
2 (M + m) x
B
τ
τ2
= 2
B
(M + m) g
x (τ)
= 2
(M + m) r2
e + J0 + mr2
m
(M + m) gr2
e
x (τ) . (4.6)
Esta maniobra—la de integrar
el lado derecho de la Ec. (4.4)
entre t = 0 y t = τ, y el lado
izquierdo entre x (t = 0) y
x (t = τ)—se apoya en los
mismos teoremas que “el
cambio de variable" en la
integración ([4], [5]). Dicha
maniobra es útil en muchos
problemas de este índole.
Ya que el tiempo τ fue un número arbitrario, este resultado se verifica para todos
los valores de t (ver la página 4). Así que lo escribimos de la forma más convencional,
con t en lugar de τ:
t2
= 2
(M + m) r2
e + J0 + mr2
m
(M + m) gr2
e
x (t) . (4.7)
4.2.2 A partir de un análisis dinámico
En este análisis, identificamos primero cuánto rota el aparato al descender por un in-
tervalo t. Después, convertimos dicha rotación en la distancia caída durante el mismo
intervalo.
La “aceleración" que figura en
este análisis, es aquella al
respecto del soporte (Fig. 3).
A partir de un análisis de la Figura 4, escribimos ecuaciones para el movimiento
en la dirección x, y para la rotación:
(M + m) × aceleraci´on en la direcci´on x = Fuerzas en la direcci´on x
(M + m) a = (M + m) g − Thilo.
(aceleraci´on angular) × J = Momentos
αJ = (Thilo) re
∴ Thilo =
αJ
re
.
También, a = reα. Entonces,
(M + m) reα = (M + m) g −
αJ
re
, y
α =
(M + m) gre
(M + m) gr2
e + J
. (4.8)
5
6. Figure 4: Diagrama del cuerpo libre, para el aparato ya soltado. Note la definición del
sentido positivo, de la rotación.
Examinando la Ec. (4.8), vemos que α es una constante: es independiente de
t. Tomando este hecho en cuenta, y reconociendo que α =
dω
dt
; dω = αdt ; y
ω (t = 0) = 0, escribimos
τ
0
αdt =
ω(τ)
0
dω
∴ ω (τ) =
(M + m) gre
(M + m) gr2
e + J
τ.
Queremos encontrar θ: la rotación total del aparato durante el intervalo de tiempo
0 ≤ t ≤ τ. Ya que ω =
dθ
dt
,
θ (τ) =
τ
t=0
ω (t) dt
=
τ
t=0
(M + m) gre
(M + m) gr2
e + J
tdt
=
1
2
(M + m) gre
(M + m) gr2
e + J
τ2
. (4.9)
Pero x (τ) = reθ (τ), y J = J0 + mr2
m (Ec. (4.3)). Entonces,
t2
= 2
(M + m) r2
e + J0 + mr2
m
(M + m) gr2
e
x (t) , (4.10)
la cual coincide con la Ec. (4.7).
4.3 Modelación del comportamiento del aparato con una masa aux-
iliar
El uso de la masa auxiliar se demuestra en las Figuras 5 y 6 .
6
7. Figure 5: La masa auxiliar (pelota roja) y la cuerda que la conecta al eje. Al dejarse
descender el aparato, la masa auxiliar contribuye a su rotación.
Figure 6: El aparato más la masa presentados en la Fig. 6, desde otra perspectiva.
4.3.1 A partir de la conservación de energía
Un aspecto clave de este análisis, es que cuando el eje caiga la distancia d, el eje rota
tras el ángulo θ =
d
re
. Esta rotación ocasiona que la masa auxiliar cae la distancia
reθ con respecto al eje. Por lo tanto, al caerse el eje una distancia x, la masa auxiliar
cae 2d. Razonando de una forma parecida, vemos que la velocidad vertical de la masa
auxiliar es, en todo momento, el doble de la velocidad vertical del eje. Hilando estas
ideas, la energía gravitatoria perdida por la combinación de aparato y masa auxiliar es
de (M + m) gd + 2µgd.
7
8. Reconociendo que la velocidad vertical del eje es de v = reω,
Energ´a cin´etica =
1
2
(M + m) v2
+
1
2
µ (2v)
2
+
1
2
Jω2
=
1
2
M + m + 4µ +
J
r2
e
v2
. (4.11)
Igualando la energía gravitatoria perdida y la energía cinética, y usando v =
dx
dt
,
(M + m + 2µ) gd =
1
2
M + m + 4µ +
J
r2
e
dx
dt
2
. (4.12)
Apoyándonos en La Regla de la Generalización Universal (página 4), sustituimos d
por la variable x, y seguimos adelante:
(M + m + 2µ) gx =
1
2
M + m + 4µ +
J
r2
e
dx
dt
2
,
dx
x1/2
=
2 (M + m + 2µ) g
M + m + 4µ +
J
r2
e
dt,
x(τ)
x=0
dx
x1/2
=
τ
t=0
2 (M + m + 2µ) g
M + m + 4µ +
J
r2
e
dt,
2 [x (τ)]
2
=
τ
t=0
2 (M + m + 2µ) g
M + m + 4µ +
J
r2
e
τ,
∴ τ2
= 2
(M + m + 4µ) r2
e + J
(M + m + 2µ) gr2
e
x (τ) .
Sustituyendo τ por t, y usando J = J0 + mr2
m,
t2
= 2
(M + m + 4µ) r2
e + J0 + +mr2
m
(M + m + 2µ) gr2
e
x (t) . (4.13)
4.3.2 A partir de un análisis dinámico
Este análisis requiere de dos diagramas de cuerpo libre: uno para el aparato mismo, y
uno para la masa auxiliar (Figura 7).
Análisis dinámico del movimiento de la masa auxiliar La aceleración de la masa
auxiliar con respecto al soporte, es la suma de a (la aceleración del eje con respecto al
soporte) y la aceleración de la masa con respecto al eje. Esta última es de reα, donde
α es la aceleración angular del eje:
Aceleraci´on de la masa auxiliar con respecto al soporte = a + reα.
Igualando la suma vectorial de fuerzas, al producto de la masa µ y su aceleración,
µg − Tµ = (a + reα) µ;
∴ Tµ = (g − reα − a) µ (4.14)
8
9. Figure 7: Diagramas de cuerpo libre, para el aparato y para la masa auxiliar .
Análisis dinámico del movimiento del eje y de la rueda A modo de un contraste
con la ruta que seguimos en el Apartado 4.2.2, desarrollemos la ecuación para este
movimiento en función de la aceleración a, en vez de α. Examinando las fuerzas que
actúan el la dirección x en el diagrama de cuerpo libre para el eje y rueda, escribimos
(M + m) a = Tµ + (M + m) g − Thilo. (4.15)
Examinando las torsiones,
Tµre + Thilore = Jα.
Para seguir adelante, notamos que α = a/re, de manera que
Thilo =
J
r2
e
a − Tµ. (4.16)
y (trasformando la Ec. (4.14) )
Tµ = (g − 2a) µ. (4.17)
Ya tenemos los elementos para desarrollar una ecuación para a. Partimos de la Ec.(4.8):
(M + m) a = Tµ + (M + m) g − Thilo
= Tµ + (M + m) g −
J
r2
e
a − Tµ (Ec.(4.16))
= 2Tµ + (M + m) g −
J
r2
e
a
= 2 [(g − 2a) µ] + (M + m) g −
J
r2
e
a (Ec.(4.17))
a =
(M + m + 4µ) r2
e + J0 + +mr2
m
(M + m + 2µ) gr2
e
∴ t2
= 2
(M + m + 4µ) r2
e + J0 + +mr2
m
(M + m + 2µ) gr2
e
[x (t)] . (4.18)
Éste es el mismo resultado que obtuvimos partiendo de la conservación de energía (Ec.
(4.13) ).
9
10. 5 Diseño de experimentos y análisis de los datos
5.1 Resumen del propósito de este análisis, y cómo pensamos lo-
grarlo
Para validar nuestros análisis y las ecuaciones de de ellos resultaron, queremos iden-
tificar la masa m sin usar una balanza, a través de experimentos en los que se analice
cómo varía t en función de rm, para x dado. Por ejemplo, experimentos en los que se
mide cuánto tiempo el aparato tarda en descender una distancia D, fija. Se nos permite
medir re, pero ninguna otra característica del aparato.
5.2 Resumen, examinación, y linearización de las ecuaciones que
resultaron de nuestros análisis
Bajo estas restricciones, las Ecs. (4.7) y (4.10) tienen tres incógnitas: M, m, y J0:
t2
= 2
(M + m) r2
e + J0 + mr2
m
(M + m) gr2
e
x (t) (5.1)
Si linearizamos dichas ecuaciones, haciendo de r2
m la variable independiente, se
obtiene, para x = D, fijo,
t2
2D
=
m
(M + m) gr2
e
P endiente
r2
m +
(M + m) r2
e + J0
(M + m) gr2
e
Intercepto
. (5.2)
Encontrando el valor de la pendiente y del intercepto a través de experimentos, ten-
dremos dos ecuaciones, con las tres incógnitas arriba mencionadas:
Pendiente sin la masa auxiliar =
m
(M + m) gr2
e
Intercepto sin la masa auxiliar =
(M + m) r2
e + J0
(M + m) gr2
e
.
(5.3)
Lo mismo es cierto en cuanto a la ecuación para el aparato con la masa auxiliar. En
este caso, la ecuación (Ecs. (4.7) y (4.10)) es
t2
= 2
(M + m + 4µ) r2
e + J0 + +mr2
m
(M + m + 2µ) gr2
e
[x (t)] . (5.4)
Linearizándola, al estilo de la Ec. (5.2),
t2
2D
=
m
(M + m + 2µ) gr2
e
P endiente
r2
m +
(M + m + 4µ) r2
e + J0
(M + m + +2µ) gr2
e
Intercepto
. (5.5)
Entonces,
Pendiente CON la masa auxiliar =
m
(M + m + 2µ) gr2
e
Intercepto CON la masa auxiliar =
(M + m + 4µ) r2
e + J0
(M + m + 2µ) gr2
e
.
(5.6)
Un tema lejanamente
vinculado: ¿Cómo se pesan
los planetas? (Ver Referencia
[6].)
Bueno, ni el uno ni el otro de los experimentos, en sí, puede determinar la masa m.
Pero juntos, sí, lo pueden, como veremos a continuación.
10
11. 5.3 Calculando m a partir de los resultados de experimentos
Sería interesante idear otros
combinaciones de
experimentos que puedan, en
combinación con el
experimento sin la masa
auxiliar, determinar m.
Entre las Ecs. (5.4) y (5.5), tenemos cuatro ecuaciones en tres incógnitas. En-
tonces, bastan para determinarlas.
5.3.1 Determinar m
Examinando las Ecuaciones (5.3) y (5.6), notamos que
1
Pendiente CON la masa auxiliar
=
(M + m + 2µ) gre
2
m
, y
1
Pendiente sin la masa auxiliar
=
(M + m) gre
2
m
.
Por lo tanto,
m =
2µgre
2
1
Pendiente CON
-
1
Pendiente sin
. (5.7)
Una ruta más complicada es la siguiente. Primero, formamos los cocientes
βcon =
Intercepto con masa auxiliar
Pendiente con masa auxiliar
=
(M + m + 4µ) r2
e + J0
m
βsin =
Intercepto sin masa auxiliar
Pendiente sin masa auxiliar
=
(M + m+) r2
e + J0
m
.
(5.8)
Ahora, reconocemos que
βcon − βsin =
4µr2
e
m
;
∴ m =
4µr2
e
βcon − βsin
.
(5.9)
5.4 Comprobar el resultado
Una vez calculada la masa m, los alumnos pueden quitar las seis masas del aparato,
para medir su peso total y compararla con el valor calculado de m. También, se puede
usar el valor calculado de m y el valor experimental de βsin para calcular J0, para
luego calcular (y verificar por medio de un experimento) cuánto tiempo el eje y rueda,
sin las seis masas, tardará en descender una distancia determinada.
6 Conclusiones
Para determinar la masa m, no es suficiente hacer el uno o el otro de los dos experimen-
tos. O sea, solamente el experimento con la masa auxiliar, o solamente el experimento
sin la masa auxiliar. Pero los dos, juntos, sí son suficientes. Sería interesante idear
otros combinaciones de experimentos que puedan, en combinación con el experimento
sin la masa auxiliar, determinar m.
11
12. Deberíamos notar, también, que las cuatro ecuaciones en Ecs. (5.4) y (5.5) bastan y
sobran para encontrar las tres incógnitas M, m, y J0. Entonces, aunque no lo hicimos
en este documento, podríamos calcular los valores de éstas de otras maneras, para que
comparáramos, el uno contra el otro, los valores obtenidos.
References
[1] Escuela de Ingeniería de Gipuzkoa, sin fecha, “Dinámica de rotación y balance
energético", http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/solido/dinamica/dinamica.htm
[2] Escuela de Ingeniería de Gipuzkoa, sin fecha, “Ecuación de la dinámica de
rotación", http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/solido/teoria/teoria.htm
[3] J. Smith, sin fecha, “Unas cuantas características de los triángulos equi-
láteros(Con una introducción breve a las técnicas para hacer demostra-
ciones matemáticas)", http://www.slideshare.net/JamesSmith245/tcnicas-para-
demostraciones-usando-tringulos-equilateros
[4] https://sites.google.com/site/calculointegralupaep/cambio-de-variable
[5] http://www.mat.ucm.es/ dazagrar/docencia/cap7.pdf.
[6] NASA, sin fecha, “¿Cómo se pesan los planetas?",
http://spaceplace.nasa.gov/review/dr-marc-solar-system/planet-
weights.sp.html .
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