Este documento describe varias pruebas estadísticas no paramétricas como la prueba de signos, la prueba de rangos con signos y la prueba H de Kruskal-Wallis. Explica cómo calcular estadísticos de prueba y valores p para estas pruebas no paramétricas y cómo decidir si rechazar o no la hipótesis nula basado en los resultados. También presenta un ejemplo numérico de cómo aplicar la prueba H de Kruskal-Wallis.

2. ESTAD´ISTICA NO PARAM ´ETRICA
Adriana Quintero Palomino
Departamento de Matem´aticas, F´ısica e Estad´ıstica
Universidad de La Sabana

3. PRUEBA DE LOS SIGNOS
ESTAD´ISTICA NO PARAM ´ETRICA
INTRODUCCI ´ON: PRUEBA DE LOS SIGNOS
La prueba de signo se utiliza para probar hip´otesis sobre una mediana de la
poblaci´on. En el caso de muchos de los procedimientos no param´etricos, la
media es reemplazada por la mediana como el par´ametro de ubicaci´on
pertinente a probar.
DESCRIPCI ´ON: PRUEBA DE LOS SIGNOS
El estad´ıstico de prueba adecuado para la prueba de signo es la variable
aleatoria binomial X, que representa el n´umero de signos m´as en la muestra
aleatoria. Si la hip´otesis nula de que ˜µ = ˜µ0 es verdadera, la probabilidad de
que un valor muestral d´e como resultado un signo m´as o uno menos es igual a
1/2. Por lo tanto, para probar la hip´otesis nula de que ˜µ = ˜µ0, en realidad
probamos la hip´otesis nula de que el n´umero de signos m´as es un valor de una
variable aleatoria que tiene una distribuci´on binomial con el par´ametro
p = 1/2.

4. PRUEBA DE LOS SIGNOS
ESTAD´ISTICA NO PARAM ´ETRICA
DESCRIPCI ´ON: PRUEBA DE LOS SIGNOS
Por lo tanto, los valores P para las alternativas unilateral y bilateral se pueden
calcular usando esta distribuci´on binomial. Por ejemplo:
Probando
H0 : ˜µ = ˜µ0
H1 : ˜µ < ˜µ0
se rechaza H0 a favor de H1 s´olo si la proporci´on de signos m´as es lo
suficientemente menor que 1/2, es decir, cuando el valor x de la variable
aleatoria es peque˜no.
Para probar la hip´otesis
H0 : ˜µ = ˜µ0
H1 : ˜µ > ˜µ0
se rechaza H0 a favor de H1 s´olo si la proporci´on de signos m´as es
suficientemente mayor que 1/2, es decir, cuando x es grande.

5. PRUEBA DE LOS SIGNOS
ESTAD´ISTICA NO PARAM ´ETRICA
DESCRIPCI ´ON: PRUEBA DE LOS SIGNOS
Probando
H0 : ˜µ = ˜µ0
H1 : ˜µ = ˜µ0
se rechaza H0 a favor de H1 cuando la proporci´on de signos m´as es
significativamente menor o mayor que 1/2. Esto, por supuesto, es
equivalente a que x sea tan peque˜na o tan grande como se requiere.
DESCRIPCI ´ON: PRUEBA DE LOS SIGNOS
Siempre que n > 10, las probabilidades binomiales con p = 1/2 se pueden
aproximar a partir de la curva normal, ya que np = nq > 5.
En este caso ˜µ = np y σ =
√
npq.

6. PRUEBA DE LOS SIGNOS
ESTAD´ISTICA NO PARAM ´ETRICA
DESCRIPCI ´ON: PRUEBA DE RANGOS CON SIGNOS
Con el fin de probar la hip´otesis nula de que se toman muestras de dos
poblaciones sim´etricas continuas con ˜µ1 = ˜µ2 para el caso de muestras en
pares, se ordenan las diferencias de las observaciones en pares sin importar el
signo y se procede como en el caso de una sola muestra. Los diversos
procedimientos de prueba para los casos de una sola muestra y de muestras en
pares se resumen en la siguiente tabla:
H0 H1 Calcular
˜µ < ˜µ0 ω+
˜µ = ˜µ0 ˜µ > ˜µ0 ω−
˜µ = ˜µ0 ω
˜µ1 < ˜µ2 ω+
˜µ1 = ˜µ2 ˜µ1 > ˜µ2 ω−
˜µ1 = ˜µ2 ω

7. PRUEBA DE LOS SIGNOS
ESTAD´ISTICA NO PARAM ´ETRICA
DESCRIPCI ´ON: PRUEBA DE LOS SIGNOS
Se rechaza la hip´otesis nula si el valor calculadoω+, ω− o ω es menor o igual
que el valor tabulado apropiado.

8. PRUEBA DE LOS SIGNOS
ESTAD´ISTICA NO PARAM ´ETRICA
DESCRIPCI ´ON: PRUEBA H DE KRUSKAL-WALLIS
La prueba de Kruskal-Wallis, tambi´en llamada prueba H de Kruskal-Wallis,
se utiliza para probar la hip´otesis nula H0 de que k muestras independientes
provienen de poblaciones id´enticas. La prueba constituye un procedimiento
no param´etrico para probar la igualdad de las medias, en el an´alisis de
varianza de un factor, cuando el experimentador desea evitar la suposici´on de
que las muestras se seleccionaron de poblaciones normales.

9. PRUEBA DE LOS SIGNOS
ESTAD´ISTICA NO PARAM ´ETRICA
PRUEBA H DE KRUSKAL-WALLIS
Para probar la hip´otesis nula H0 de que k muestras independientes provienen
de poblaciones id´enticas se calcula
h =
12
n(n + 1)
k
i=1
r2
i
ni
− 3(n + 1)
donde ri es el valor supuesto de Ri para i = 1, 2, . . . , k. Si h cae en la regi´on
cr´ıtica H > χ2
α con v = k − 1 grados de libertad, se rechaza H0 al nivel de
significancia α; de otra manera no se rechaza H0.

10. PRUEBA DE LOS SIGNOS
ESTAD´ISTICA NO PARAM ´ETRICA
EJEMPLO: PRUEBA H DE KRUSKAL-WALLIS
En un experimento para determinar cu´al de tres diferentes sistemas de misiles
es preferible, se mide la tasa de combusti´on del propulsor. Los datos, despu´es
de codifi carlos, se presentan en la tabla. Utilice la prueba de Kruskal-Wallis y
un nivel de significancia de α = 0,05 para probar la hip´otesis de que las tasas
de combusti´on del propulsor son iguales para los tres sistemas de misiles.
Sistema de misiles
1 2 3
24.0 16.7 22.8 23.2 19.8 18.1 18.4 19.1 17.3
19.8 18.9 17.6 20.2 17.8 17.3 19.7 18.9
18.8 19.3

11. PRUEBA DE LOS SIGNOS
ESTAD´ISTICA NO PARAM ´ETRICA
Soluci´on:
Planteamiento de hip´otesis:
H0 : µ1 = µ2 = µ3
H1: las tres medias son diferentes.
Nivel de significancia: α = 0,05
Regi´on cr´ıtica: h > χ2
0,05 = 5,991, para v = 2 grados de libertad.

12. PRUEBA DE LOS SIGNOS
C´alculos: Convertimos las 19 observaciones a rangos y sumamos los
rangos para cada sistema de misiles.
Sistema de misiles
1 2 3
19 18 7
1 14.5 11
17 6 2.5
14.5 4 2.5
9.5 16 13
r1 = 61,9 5 9.5
r2 = 63,5 8
12
r3 = 65,5
Ahora, al sustituir n1 = 5, n2 = 6, n3 = 8 y r1 = 61,0, r2 = 63,5,
r3 = 65,5, el estad´ıstico de prueba H toma el valor
h =
12
(19)(20)
612
5
+
63,52
6
+
65,52
8
− (3)(20)) = 1,66

13. PRUEBA DE LOS SIGNOS
Decisi´on: Como h = 1,66 no cae en la regi´on cr´ıtica h > 5,991, no hay
evidencia suficiente para rechazar la hip´otesis de que las tasas de
combusti´on del propulsor son iguales para los tres sistemas de misiles.

14. PRUEBA DE LOS SIGNOS
ESTAD´ISTICA NO PARAM ´ETRICA
INTRODUCCI ´ON: PRUEBA DE RACHAS
Las pruebas de rachas, que se basan en el orden en el que se obtienen las
observaciones muestrales, constituyen una t´ecnica ´util para probar la hip´otesis
nula H0 de que las observaciones en realidad se obtuvieron al azar.
DEFINICI ´ON: RACHA
Una racha es una subsecuencia de uno o m´as s´ımbolos id´enticos que
representan una propiedad com´un de los datos.

15. PRUEBA DE LOS SIGNOS
ESTAD´ISTICA NO PARAM ´ETRICA
CARACTER´ISTICAS: PRUEBA DE RACHAS
Sin importar si las mediciones de la muestra representan datos cualitativos o
cuantitativos, la prueba de rachas divide los datos en dos categor´ıas
mutuamente excluyentes: hombre o mujer, defectuoso o no defectuoso, cara o
cruz, arriba o abajo de la mediana, etc´etera. En consecuencia, una secuencia
siempre estar´a limitada a dos s´ımbolos distintos. Sea n1 el n´umero de
s´ımbolos asociados con la categor´ıa de menor ocurrencia, y n2 el n´umero de
s´ımbolos que pertenecen a la otra categor´ıa. Entonces, el tama˜no de la
muestra n = n1 + n2.

16. PRUEBA DE LOS SIGNOS
BIBLIOGRAF´IA
Walpole, Ronald E and Myers, Raymond H and Myers, Sharon L.
Probabilidad y estad´ıstica para ingenier´ıa y ciencias. Pearson Educaci´on.
Novena edici´on. 2012.
Navidi, William Cyrus. Statistics for engineers and scientists.
McGraw-Hill Higher Education. Third edition. 2011.