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- 2. Competencias Numéri- cas PreCálculo Números Raciona- les Operaciones Ecuaciones Lineales Solución Razonamiento Algebrai- co Razonamiento Abstracto Regla de tres Repartos Propor- cionales Números Racionales Ecuaciones Lineales Razonamiento Algebraico Razonamiento Abstracto Regla de tres Repartos Proporcionales Competencias Numéricas Adriana Quintero Palomino Departamento de Matemáticas, Física y Estadística Universidad de La Sabana 16 de julio de 2017 PreCálculo Competencias Numéricas
- 3. Competencias Numéri- cas PreCálculo Números Raciona- les Operaciones Ecuaciones Lineales Solución Razonamiento Algebrai- co Razonamiento Abstracto Regla de tres Repartos Propor- cionales Números Racionales Ecuaciones Lineales Razonamiento Algebraico Razonamiento Abstracto Regla de tres Repartos Proporcionales Operaciones Denición: Número Racional Es el que expresa una o varias partes iguales de la unidad principal. Un fraccionario consta de 2 términos, llamados numerador y denominador. Denominador: Indica en cuántas partes iguales se ha dividido la unidad principal. Numerador: Indica cuántas de esas partes se han tomado. Ejemplo: Números Racionales En la imagen se observa que la gura ha sido dividida en 8 partes iguales (denominador 8), de las cuales se han tomado 5 (numerador 5), lo anterior se escribe como: 5 8 Uso en contexto: Números Racionales La torta consta de 4 partes iguales, se ha tomado 1.PreCálculo Competencias Numéricas
- 4. Competencias Numéri- cas PreCálculo Números Raciona- les Operaciones Ecuaciones Lineales Solución Razonamiento Algebrai- co Razonamiento Abstracto Regla de tres Repartos Propor- cionales Números Racionales Ecuaciones Lineales Razonamiento Algebraico Razonamiento Abstracto Regla de tres Repartos Proporcionales Operaciones Denición: Fracciones Homogeneas Un par de fracciones se denominan homogeneas, si tienen el mismo denominador. a b homegenea con c b Ejemplos Las anteriores fracciones representan de izquierda a derecha: 2 6 , 3 6 y 4 6 La cuales se pueden escribir como: 1 3 , 1 2 y 2 3 PreCálculo Competencias Numéricas
- 5. Competencias Numéri- cas PreCálculo Números Raciona- les Operaciones Ecuaciones Lineales Solución Razonamiento Algebrai- co Razonamiento Abstracto Regla de tres Repartos Propor- cionales Números Racionales Ecuaciones Lineales Razonamiento Algebraico Razonamiento Abstracto Regla de tres Repartos Proporcionales Operaciones Suma y resta: Fracciones Homogenas El proceso para sumar y/o restar fracciones homogeneas es como se describe a continuación: a b + c b = a + c b a b − c b = a − c b Ejemplo Sean las fracciones 4 3 y 7 3 , se tiene: 7 3 + 4 3 = 7 + 4 3 = 11 3 4 3 − 7 3 = 4 − 7 3 = −3 3 = −1 PreCálculo Competencias Numéricas
- 6. Competencias Numéri- cas PreCálculo Números Raciona- les Operaciones Ecuaciones Lineales Solución Razonamiento Algebrai- co Razonamiento Abstracto Regla de tres Repartos Propor- cionales Números Racionales Ecuaciones Lineales Razonamiento Algebraico Razonamiento Abstracto Regla de tres Repartos Proporcionales Operaciones Suma y resta: Fracciones Heterogeneas El proceso para sumar y/o restar fracciones heterogeneas es como se describe a continuación: a b + c d = ad + bc bd a b − c d = ad − bc bd Ejemplo Sean las fracciones 7 5 y 8 9 , se tiene: 8 9 + 7 5 = 40 + 63 45 = 103 45 7 5 − 8 9 = 63 − 40 45 = 23 45 PreCálculo Competencias Numéricas
- 7. Competencias Numéri- cas PreCálculo Números Raciona- les Operaciones Ecuaciones Lineales Solución Razonamiento Algebrai- co Razonamiento Abstracto Regla de tres Repartos Propor- cionales Números Racionales Ecuaciones Lineales Razonamiento Algebraico Razonamiento Abstracto Regla de tres Repartos Proporcionales Operaciones Producto El proceso para multiplicar fracciones, sean estas homogeneas o heterogeneas es como se describe a continuación: a b ∗ c d = ac bd Ejemplo Sean las fracciones 2 7 y 3 2 , se tiene: 2 7 ∗ 3 2 = 6 14 = 3 7 PreCálculo Competencias Numéricas
- 8. Competencias Numéri- cas PreCálculo Números Raciona- les Operaciones Ecuaciones Lineales Solución Razonamiento Algebrai- co Razonamiento Abstracto Regla de tres Repartos Propor- cionales Números Racionales Ecuaciones Lineales Razonamiento Algebraico Razonamiento Abstracto Regla de tres Repartos Proporcionales Operaciones Cociente El proceso para dividir fracciones, sean estas homogeneas o heterogeneas es como se describe a continuación: a b ÷ c d = ad bc Ejemplo Sean las fracciones 3 5 y 4 11 , se tiene: 3 5 ÷ 4 11 = 44 15 PreCálculo Competencias Numéricas
- 9. Competencias Numéri- cas PreCálculo Números Raciona- les Operaciones Ecuaciones Lineales Solución Razonamiento Algebrai- co Razonamiento Abstracto Regla de tres Repartos Propor- cionales Números Racionales Ecuaciones Lineales Razonamiento Algebraico Razonamiento Abstracto Regla de tres Repartos Proporcionales Solución Denición: Ecuación Algebraica Una ecuación se denomina algebraica en la variable x si contiene expresiones algebraicas en esta variable, tales como polinomios expresiones racionales, radicales y otros. Ésta se denomina condicional si existen valores para x en el conjunto de los números reales que hagan que esta no sea cierta. Denición: Ecuación Lineal en x Se denomina ecuación lineal en x a la ecuación que se puede escribir de la forma: ax + b = 0 donde a = 0, a, b ∈ R Ejemplo: Ecuación Lineal en x 15x + 4 = 2 − 6x Expresión Algebraica 1: 15x + 4 Expresión Algebraica 2: 6 − 6x PreCálculo Competencias Numéricas
- 10. Competencias Numéri- cas PreCálculo Números Raciona- les Operaciones Ecuaciones Lineales Solución Razonamiento Algebrai- co Razonamiento Abstracto Regla de tres Repartos Propor- cionales Números Racionales Ecuaciones Lineales Razonamiento Algebraico Razonamiento Abstracto Regla de tres Repartos Proporcionales Solución Proceso de Solución A continuación se describe el proceso de solución de una ecuación lineal: 3x − 5 4 = 7 − 2x 3 4 ∗ 3x − 5 4 = 4 ∗ 7 − 2x 3 3x − 5 = 28 − 8x 3 3 ∗ (3x − 5) = 3 ∗ 28 − 8x 3 9x − 15 = 28 − 8x 9x − 15 + 15 = 28 − 8x + 15 9x = 43 − 8x 9x + 8x = 43 − 8x + 8x PreCálculo Competencias Numéricas
- 11. Competencias Numéri- cas PreCálculo Números Raciona- les Operaciones Ecuaciones Lineales Solución Razonamiento Algebrai- co Razonamiento Abstracto Regla de tres Repartos Propor- cionales Números Racionales Ecuaciones Lineales Razonamiento Algebraico Razonamiento Abstracto Regla de tres Repartos Proporcionales Solución Proceso de Solución A continusción se describe el proceso de solución de una ecuación lineal: 17x = 43 17x 17 = 43 17 x = 43 17 Se obtuvo el valor de x que satisface la igualdad de expresiones algebraicas dadas, denominada Ecuación. PreCálculo Competencias Numéricas
- 12. Competencias Numéri- cas PreCálculo Números Raciona- les Operaciones Ecuaciones Lineales Solución Razonamiento Algebrai- co Razonamiento Abstracto Regla de tres Repartos Propor- cionales Números Racionales Ecuaciones Lineales Razonamiento Algebraico Razonamiento Abstracto Regla de tres Repartos Proporcionales Uso en el módulo El Razonamiento Algebraico en este módulo se enfocará hacía el despeje de variables en fórmulas matemáticas de uso generalizado, para la práctica de jerarquización de operaciones. Denición El razonamiento algebraico implica representar, generalizar y formalizar patrones y regularidades en cualquier aspecto de las matemáticas. A medida que se desarrolla este razonamiento, se va progresando en el uso del lenguaje y el simbolismo necesario para apoyar y comunicar el pensamiento algebraico, especialmente las ecuaciones, las variables y las funciones. Este tipo de razonamiento está en el corazón de las matemáticas concebida como la ciencia de los patrones y el orden, ya que es difícil encontrar un área de las matemáticas en la que formalizar y generalizar no sea central. PreCálculo Competencias Numéricas
- 13. Competencias Numéri- cas PreCálculo Números Raciona- les Operaciones Ecuaciones Lineales Solución Razonamiento Algebrai- co Razonamiento Abstracto Regla de tres Repartos Propor- cionales Números Racionales Ecuaciones Lineales Razonamiento Algebraico Razonamiento Abstracto Regla de tres Repartos Proporcionales Ejemplo Despeje de la siguiente fórmula la variable V0 V 2 f = V 2 0 + 2ax Proceso V 2 f = V 2 0 + 2ax V 2 f − 2ax = V 2 0 V 2 f − 2ax = V0 V0 = V 2 f − 2ax PreCálculo Competencias Numéricas
- 14. Competencias Numéri- cas PreCálculo Números Raciona- les Operaciones Ecuaciones Lineales Solución Razonamiento Algebrai- co Razonamiento Abstracto Regla de tres Repartos Propor- cionales Números Racionales Ecuaciones Lineales Razonamiento Algebraico Razonamiento Abstracto Regla de tres Repartos Proporcionales Denición: Razonamiento Abstracto. Capacidad o aptitud para resolver problemas lógicos, deduciendo ciertas consecuencias de la situación planteada. Ejemplo: Razonamiento Abstracto PreCálculo Competencias Numéricas
- 15. Competencias Numéri- cas PreCálculo Números Raciona- les Operaciones Ecuaciones Lineales Solución Razonamiento Algebrai- co Razonamiento Abstracto Regla de tres Repartos Propor- cionales Números Racionales Ecuaciones Lineales Razonamiento Algebraico Razonamiento Abstracto Regla de tres Repartos Proporcionales Denición: Aplicaciones de la proporcionalidad La regla de tres es una operación que tiene por objeto hallar el cuarto término de una proporción, cuando se conocen 3. Puede ser simple o compuesta. Denición: Regla de tres simple La regla de tres se denomina simple cuando en ella solamente intervienen 2 magnitudes. Denición: Regla de tres compuesta La regla de tres se denomina compuesta cuando en ella intervienen 3 o más magnitudes. PreCálculo Competencias Numéricas
- 16. Competencias Numéri- cas PreCálculo Números Raciona- les Operaciones Ecuaciones Lineales Solución Razonamiento Algebrai- co Razonamiento Abstracto Regla de tres Repartos Propor- cionales Números Racionales Ecuaciones Lineales Razonamiento Algebraico Razonamiento Abstracto Regla de tres Repartos Proporcionales Regla de tres simple directa Si 4 libros cuestan $8, ¾Cuánto costarán 15 libros? Supuesto: 4 libros cuestan $8 Pregunta: ¾Cuánto costarán 15 libros? 1 libro costará $8 4 = $2, 15 libros costarán 15 ∗ $2 = $30. Regla de tres simple inversa 4 hombres hacen una obra en 12 días, ¾En cuántos días podrán hacer la misma obra 7 hombres? Supuesto: 4 hombres hacen una obra en 12 días Pregunta: ¾En cuántos días podrán hacer la misma obra 7 hombres? 1 hombres hace 1 4 de la obra en 12 días, por tanto realizará 1 4 ÷ 12 cada día que corresponde a 1 48 . 7 hombres realizarán cada día 7 ∗ 1 48 = 7 48 , de donde se puede plantear: PreCálculo Competencias Numéricas
- 17. Competencias Numéri- cas PreCálculo Números Raciona- les Operaciones Ecuaciones Lineales Solución Razonamiento Algebrai- co Razonamiento Abstracto Regla de tres Repartos Propor- cionales Números Racionales Ecuaciones Lineales Razonamiento Algebraico Razonamiento Abstracto Regla de tres Repartos Proporcionales Solución 7 48 x = 1 x = 48 7 x = 6 6 48 Regla de tres compuesta 3 hombres trabajando 8 horas diarias han hecho 80 metros de una obra en 10 días. ¾Cuántos días necesitarán 5 hombres, trabajando 6 horas diarias, para hacer 60 metros de la misma obra? Supestos: 3 hombres 8 horas diarias, 80 metros 10 días. Pregunta: 5 hombres 6 horas diarias, 60 metros x días. PreCálculo Competencias Numéricas
- 18. Competencias Numéri- cas PreCálculo Números Raciona- les Operaciones Ecuaciones Lineales Solución Razonamiento Algebrai- co Razonamiento Abstracto Regla de tres Repartos Propor- cionales Números Racionales Ecuaciones Lineales Razonamiento Algebraico Razonamiento Abstracto Regla de tres Repartos Proporcionales Soución • 3 hombres trabajando 8 horas diarias han hecho 80 metros de una obra en 10 días, 1 hombre tardará 3 veces más y 5 hombres, 5 veces menos: 10×3 5 días. • Si trabajaran una hora diaria, tardarían 8 veces más y trabajando 6 horas diarias, tardaría 6 veces menos: 10×3×8 5×6 días. • Si en lugar de hacer 80 metros hicieran 1 metro, tardarían 80 veces menos y para hacer 60 metros tardaría 60 veces más: 10×3×8×60 5×6×80 días. Luego x = 10 × 3 × 8 × 60 5 × 6 × 80 = 6 Por tanto, serán 6 días. PreCálculo Competencias Numéricas
- 19. Competencias Numéri- cas PreCálculo Números Raciona- les Operaciones Ecuaciones Lineales Solución Razonamiento Algebrai- co Razonamiento Abstracto Regla de tres Repartos Propor- cionales Números Racionales Ecuaciones Lineales Razonamiento Algebraico Razonamiento Abstracto Regla de tres Repartos Proporcionales Dención: Reparto proporcional. Dividir un número en partes proporcionales a otros varios. Regla: Para repartir un número en partes proporcionales a otros varios se multiplica el número que se quiere repartir por cada uno de los otros números y se divide entre la suma de éstos. Dención: Clases de Reparto proporcional. • Reparto proporcional directo: Repartir un número en partes directamente proporcionales a varios números. Se multiplica el número que se quiere repartir por cada uno de los otros números y se divide entre la suma de éstos. • Reparto proporcional inverso: Repartir un número en partes inversamente proporcionales a varios números. Se invierten los números dados y se reparte el número que se quiere dividir en partes directamente proprcionales a estos inversos. • Reparto Compuesto: Es aquel en el que hay que repartir una cantidad en partes proporcionales a varios números. PreCálculo Competencias Numéricas