bueno

1. 1.8: Estrategias para
Resolución de Problemas:
Hacer una Tabla o Buscar
un Patrón
Difficulty Level: At Grade Created by: CK-
12
Algebra Álgebra I - Edición
Española Ecuaciones y Funciones
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Objetivos del Aprendizaje
En esta lección aprenderás a:
• Leer y entender el enunciado un
problema dado.
• Desarrollar y utilizar la
estrategia Hacer una tabla.
• Desarrollar y utilizar la
estrategia Buscar patrones.
• Planificar y comparar diversos
enfoques para resolver un problema
• Resolver problemas del mundo real
por medio de estrategias seleccionadas,
dentro de un plan más general.
Introducción
En esta sección, aplicaremos el plan
general para resolución de problemas, que
aprendiste en la última sección, para
resolver varios problemas del mundo real.
También aprenderás a desarrollar y utilizar
los métodos hacer una tabla y buscar un
patrón. Revisemos otra vez nuestro plan
general para resolución de problemas.
Paso 1
Entender el problema Lee el problema
cuidadosamente. Una vez lo has leído, haz
una lista de todas las partes y datos que
están involucrados. Acá es donde deberás
asignar las variables que utilizarás.
Paso 2
Concebir un plan – Traducir
Crea un camino adecuado para resolver el
problema. Desarrolla y establece una
ecuación, haz un diagrama, dibuja un
gráfico o construye una tabla para
comenzar a resolver el problema.
Paso 3
Ejecutar el Plan – Resolver
Acá es donde resuelves la ecuación qaue
desarrollaste en el Paso 2.
Paso 4
Observar – Comprobar e Interpretar
Comprueba si usaste toda la información
necesaria. Luego observa y determina si la
respuesta tiene sentido.
Leer y Entender el Enunciado de
un Problema Dado
Las partes más difíciles en la resolución de
problemas son, a menudo, los dos primeros
pasos de nuestro plan general para resolver
problemas. En general, necesitarás leer el
enunciado del problema y asegurarte de
que entiendes lo que se te está
preguntando. Esto es necesario ya que si
no entiendes el enunciado ni la pregunta
que involucra, entonces no podrás resolver
el problema. Una vez entendido el
problema, puedes visualizar una estrategia
que utilice la información que se te ha
proporcionado para llegar a un resultado
correcto.
Apliquemos los primeros 2 pasos
mencionados al siguiente problema.
Ejemplo 1:
Seis amigos ordenan una pizza juntos y
quieren compartir valor total de la factura a
partes iguales. Luego que la ordenaron, uno
de los seis amigos tuvo que salir
repentinamente, antes de que llegara la
- 1 -

2. pizza. Todos los amigos que quedaron
tuvieron que pagar $1 extra cada uno.
¿Cuánto fue el valor total de la factura de la
pizza?
Paso 1
Entender
Queremos saber cuánto costó la pizza
Sabemos que cinco personas tuvieron que
pagar $1 extra cada uno, luego de que uno
de los seis amigos originales tuvo que salir.
Paso 2
Estrategia
Podemos comenzar por hacer una lista de
los valores posibles del total de la factura.
Dividimos la cantidad total entre seis y
también entre cinco. El total dividido entre
cinco debería ser $1 mayor que el total
dividido entre seis.
Busca en los números algún patron que
pudiera llevarte a la respuesta correcta.
En lo que resta de esta sección aprenderás
cómo hacer una tabla o bien, cómobuscar
un patrón para lograr encontrar una
solución a este tipo de problemas. Después
que termines de leer el resto de la sección,
puedes volver a esta sección y resolver este
problema, a modo de tarea que se te deja
en los Ejercicios de Repaso.
Desarrollar y Usar la
Estrategia: Hacer una Tabla
El método “Hacer una Tabla” es útil cuando
se resuelven problemas que tienen que ver
con relaciones numéricas. Cuando los datos
se organizan en una tabla, es más fácil
reconocer patrones y relaciones entre
números. Apliquemos esta estrategia al
siguiente ejemplo.
Ejemplo 2
Josie decide comenzar a practicar el trote
(jogging). Durante la primera semana, ella
trota 10 minutos cada día; en la segunda
semana, trota 12 minutos cada día. Cada
semana, ella quiere incrementar su tiempo
de trote diario en 2 minutos. Si ella trota 6
días cada semana, ¿Cuál será el tiempo
total de trote durante la sexta semana?
Solución
Paso 1
Entender
Sabemos que durante la primera semana
Josie trota 10 minutos cada dia, durante 6
días.
Sabemos que durante la segunda semana
Josie trota 12 minutos cada día, durante 6
días.
Cada semana, ella incrementa en 2 minutos
su tiempo de trote diario. Además, ella
siempre practica el trote 6 veces a la
semana.
Queremos conocer el tiempo total de trote
en la sexta semana.
Paso 2
Estrategia
Una buena estrategia es hacer colocar los
datos que nos proporciona el enunciado del
problema en un tabla. Luego debemos usar
la información proporcionada para encontrar
nueva información. Podemos hacer la tabla
con los siguientes encabezados.
Semana Minutos por día Minutos
El enunciado del problema nos dice que
Josie trota 10 minutos al día, por 6 días
durante la primera semana. También nos
dice que ella trota 12 minutos al día, por 6
días en la segunda semana. Podemos
entonces añadir toda esta información en
nuestra tabla:
Semana Minutos por día Minutos
1 10 60
2 12 72
El enunciado del problema te indica que,
cada semana, Josie incrementa su tiempo
diario de trote en 2 minutos cada semana y
que trota 6 veces por semana. Puedes
- 2 -

3. utilizar esta información para completar la
table hasta llegar a la sexta semana.
Semana Minutos por día Minutos por semana
1 10 60
2 12 72
3 14 84
4 16 96
5 18 108
6 20 120
Paso 3
Aplicar estrategia/Resolver
Para obtener la respuesta leemos la
cantidad de minutos por semana
correspondientes a la sexta semana.
Respuesta En la sexta semana, Josie trota
un total de 120 minutos.
Paso 4
Comprobar
Josie incrementa su tiempo de trote diario
en 2 minutos cada semana. Ella trota seis
días por semana.
Esto significa que, cada semana, ella
incrementa su tiempo de trote en 12
minutos cada semana.
En otras palabras, Josie comienza con 60
minutos por semana y luego ella incrementa
su tiempo de trote en 12 minutos por
semana, durante 5 semanas.
Esto significa que el tiempo total de trote
para la sexta
semana =60+12×5=120 minutos
La respuesta ha sido comprobada
Puedes ver que al hacer una tabla fuimos
capaces de organizar y clarificar la
información proporcionada por el enunciado
del problema. Dicha estrategia también nos
ayudó en los siguientes pasos del problema.
Este problema fue resuelto sencillamente a
través de una tabla que contenía la
información adecuada. En muchas
situaciones, esta estrategia puede ser
utilizada en conjunto con otras para
encontrar la solución apropiada a un
problema dado.
Desarrollar y Usar la
Estrategia: Buscar un Patrón
Buscar un Patrón es una estrategia que
puedes utilizar para buscar patrones en los
datos con la finalidad de resolver
problemas. La finalidad de dicha estrategia
es buscar datos o números que se repiten,
o bien buscar eventos que se repiten. El
siguiente problema puede resolverse a
través de la técnica de encontrar un patrón.
Ejemplo 3
Tu dispones pelotas de tenis en arreglos
triangulares, como se muestra. ¿Cuántas
pelotas habrán en un triángulo que tiene 8
filas de pelotas?
Solución
Paso 1
Entender
Sabemos que disponemos las pelotas de
tenis en arreglos triangulares como se
muestra.
Queremos saber cuántas pelotas hay en un
triángulo que tiene 8 filas de pelotas.
Paso 2
Estrategia
Una buena estrategia es hacer una tabla
que contenga una lista de cuántas pelotas
existen en triángulos que poseen diferentes
números de filas.
Una fila. Es simple observar que un
triángulo con una fila tiene solamente una
pelota.
Dos filas. Para un triangulo con 2 filas,
sumamos las pelotas de la fila superior con
- 3 -

4. las de la fila inferior. Es útil hacer un
bosquejo de las diferentes filas del triángulo.
=2+1=3
Tres filas Sumamos las pelotas del
triángulo superior con las pelotas de la fila
inferior.
=3+3=6
Podemos entonces completar las primeras
tres filas de la tabla.
Número de filas Número de pelotas
1 1
2 3
3 6
¡Podemos observar que existe un patrón!
Es decir:
Para crear el siguiente triángulo, añadimos
una nueva fila inferior al triángulo existente.
La nueva fila inferior tiene un número de
pelotas igual al número de filas existentes
en el nuevo triángulo (dicho número, por
supuesto, se debe tomar en cuenta la
nueva fila inferior).
- Un triángulo con 3 filas tiene 3 pelotas en
la fila inferior.
Para obtener el número total de pelotas
para el nuevo trángulo, sumamos el número
de pelotas del triángulo original al número
de pelotas de la nueva fila inferior.
dado que, como se mencionó arriba, el
número de pelotas de la nueva fila inferior
es igual al número total de filas del nuevo
triángulo, también se puede decir que
Para obtener el número total de pelotas
para el nuevo trángulo, sumamos el número
de pelotas del triángulo original al número
de filas del nuevo triángulo.
Paso 3
Aplicar la estrategia/resolver:
Podemos completar la tabla siguiendo el
patrón que hemos descubierto.
Número de pelotas = número de pelotas en
el triángulo original + número de filas del
nuevo triángulo
Número de filas Número de Pelo
1 1
2 3
3 6
4 6+4=10
5 10+5=15
6 15+6=21
7 21+7=28
8 28+8=36
Respuesta Hay 36 pelotas en un arreglo
triangular de 8 filas.
Paso 4
Comprobar
Cada fila de un triángulo tiene una pelota
más que la fila previa. Así, en un triángulo
de 8 filas,
la fila 1 tiene 1 pelota; la fila 2 tiene 2
pelotas; la fila 3 tiene 3 pelotas; la la fila 4
tiene 4 pelotas; la fila 5 has 5 balls; la fila 6
tiene 6 pelotas; la fila 7 tiene 7 pelotas; la
fila 8 tiene 8 pelotas.
Cuando sumamos todas estas cantidades,
tenemos: 1+2+3+4+5+6+7+8=36 pelotas
La respuesta se ha comprobado.
Nota que en este ejemplo hicimos tablas y
dibujamos diagramas para ayudarnos a
organizar la información y encontrar un
patrón. El uso simultáneo de varios métodos
es una práctica común y es muy útil para
resolver problemas.
Establecer y Comparar Enfoques
Alternativos para Resolver
Problemas
- 4 -

5. En esta sección, compararemos los
métodos “Hacer una tabla” y “Buscar un
Patrón” utilizando cada método a la vez
para resolver un problema dado.
Example 4
Andrew hace efectivo un cheque de $180 y
pide el dinero en billetes de $10 y de $20.
El cajero del banco le dá 12 billetes.
¿Cuántos billetes de cada denominación
recibe Andrew?
Solución
Método 1: Hacer una Tabla
Paso 1
Entender
Andrew le da al cajero del banco un cheque
de $180.
El cajero del banco le da a Andrew 12
billetes. Los billetes recibidos son una
combinación de billetes de $10 y billetes de
$20.
Queremos saber cuántos billetes de cada
denominación recibe Andrew.
Paso 2
Estrategia
Comencemos haciendo una tabla que
muestre las diferentes maneras en que
Andrew puede tener doce billetes con
denominaciones de $10 y $20. Al tener
todas las posibles combinaciones,
podríamos observar cuál, o cuáles, de ellas
nos dan la cantidad total correcta de $180.
Andrew podría tener doce billetes de $10 y
cero billetes de $20, o bien once billetes de
$10 y uno de $20 y así sucesivamente.
Podemos, luego, calcular la cantidadad total
de dinero para cada caso.
Paso 3
Aplicar la estrategia/resolver
Billetes de $10 Billetes de $20 Cantidad Total
12 0 $10(12)+$20(0)=$120
11 1 $10(11)+$20(1)=$130
10 2 $10(10)+$20(2)=$140
Billetes de $10 Billetes de $20 Cantida
9 3 $10(9)+
8 4 $10(8)+
7 5 $10(7)+
6 6 $10(6)+
5 7 $10(5)+
4 8 $10(4)+
3 9 $10(3)+
2 10 $10(2)+
1 11 $10(1)+
0 12 $10(0)+
En la tabla, se han presentado todas las
formas posibles de tener 12 billetes en
denominaciones de $10 y $20, así como la
cantidad total de dinero para cada
posibilidad. La cantidad total correcta se
obtiene cuando Andrew recibe seis billetes
de $10 y seis billetes de $20.
Respuesta: Andrew recibe seis billetes de
$10 y seis billetes de $20.
Paso 4
Comprobar
Seis billetes de $10 y seis billetes
de $20=6($10)+6($20)=$60+$120=$180.
La respuesta ha sido comprobada
Resolvamos el mismo problema utilizando
el método de “Buscar un Patrón.”
Método 2: Buscar un Patrón
Paso 1
Entender
Andrew le da al cajero del banco un cheque
de $180.
El cajero del banco le da a Andrew 12
billetes. Los billetes recibidos son una
combinación de billetes de $10 y billetes de
$20.
Queremos saber cuántos billetes de cada
denominación recibe Andrew.
Paso 2
- 5 -

6. Estrategia
Comencemos haciendo una tabla que
muestre las diferentes maneras en que
Andrew puede tener doce billetes con
denominaciones de $10 y $20. Al tener
todas las posibles combinaciones,
podríamos observar cuál, o cuáles, de ellas
nos dan la cantidad total correcta de $180.
Andrew podría tener doce billetes de $10 y
cero billetes de $20, o bien once billetes de
$10 y uno de $20 y así sucesivamente.
Podemos, luego, calcular la cantidadad total
de dinero para cada caso.
Entonces podemos buscar patrones que
aparecen en la tabla que pueden usarse
para encontrar la solución.
Paso 3
Aplicar la estrategia/Resolver
Completemos las filas de la tabla hasta que
veamos un patrón.
Billetes de $10 Billletes de $20 Cantidad Total
12 0 $10(12)+$20(0)=$120
11 1 $10(11)+$20(1)=$130
10 2 $10(10)+$20(2)=$140
Observamos que cuando se reduce en uno
el número de billetes de $10 y,
simultáneamente, se incrementa en uno el
número de billetes de $20, entonces la
cantidad total se incrementa en $10. El
último valor en la tabla da una cantidad total
de $140, de modo que nos falta lograr un
incremento de $40 para alcanzar nuestra
meta. Esto significa que deberíamos reducir
en cuatro el número de billetes de $10, a la
vez que debemos incrementar en cuatro el
número de billetes de $20. De este modo
tendremos:
Seis billetes de $10 y seis billetes de $20
6($10)+6($20)=$180
Respuesta: Andrew recibe seis billetes de
$10 y seis billetes de $20
Paso 4
Comprobar
Seis billetes de $10 y seis billetes
de $20=6($10)+6($20)=$60+$120=$180.
La respuesta se ha comprobado
Puedes observar que el segundo método
que usamos para resolver el problema fue
menos tedioso. Con el primer método,
hicimos una lista de todas las posibles
opciones y encontramos la respuesta que
buscábamos. Con el segundo método,
comenzamos haciendo una lista de las
opciones, pero buscamos un patrón que nos
ayudó a encontrar más rápidamente la
solución. Los métodos “Hacer una Tabla” y
“Buscar un patrón” son poderosos si se
utilizan conjuntamente con otros métodos
para resolución de problemas.
Resolver Problemas del Mundo
Real mediante Estrategias
Seleccionadas, dentro de un
Plan más General
Ejemplo 5:
Anne está haciendo una caja sin tapa. Ella
comienza a hacerla utilizando una pieza
cuadrada de cartón de 20 plg × 20 plg,
luego corta cuatro cuadrados iguales de
cada esquina de dicho cartón, como se
muestra en la imagen. Entonces ella dobla
los lados de la caja y junta los bordes
adayacentes usando pegamento. ¿Cuán
grandes deben ser los cuadrados que ella
corta de las esquinas para obtener la caja
con el máximo volumen posible?
Solución
Paso 1
- 6 -

7. Entender
Anne hace una caja a partir de una pieza de
cartón cuadrada de 20 plg×20 plg.
Ella corta cuaro cuadrados iguales de las
esquinas de la pieza de cartón.
Ella dobla los lados y pega sus bordes
adyacentes.
¿Cuán grandes deberán ser los cuadrados
que ella corta para hacer una caja con el
máximo volumen posible?
Paso 2
Estrategia
Necesitamos recordar la fórmula de una
caja
Volumen = Área de la base × altura
Volumen = ancho × longitud × altura
Hacer una tabla de valores seleccionando
diferentes valores para los lados de los
cuadrados que se van a cortar, para luego
calcular el volumen.
Paso 3
Aplicar la estrategia/resolver
Hagamos una caja cortando cuatro
cuadrados con lados de longitud igual a 1
pulgada. El diagrma luce como éste:
Puedes observar que cuando doblamos los
lados y los juntamos para hacer la caja, la
altura es 1 pulgada, el ancho es de 18
pulgadas mientras que la longitud la caja es
de 18 pulgadas.
VolumenVolumen=ancho×longitud×altura
=18×18×1=324 plg3
Hagamos una tabla que muestre el valor de
la caja para diferentes lados del cuadrado:
Lado del
Cuadrado
Altura de la
Caja
Ancho de la
Caja
Lon
Caja
1 1 18 18
2 2 16 16
3 3 14 14
4 4 12 12
5 5 10 10
6 6 8 8
7 7 6 6
8 8 4 4
9 9 2 2
10 10 0 0
Detenemos el proceso cuando el cuadrado
a cortar posee lados de 10 pulgadas porque
con estas medidas habremos cortado toda
el área disponible del cartón original,
probablemente porque finalmente
desistimos de hacer la caja. De la tabla
vemos que podemos hacer la caja con el
máximo volumen posible si cortamos
cuadrados cuyos lados tengan una longitud
de 3 pulgadas. Esto nos da un volumen de
588 plg3.
Respuesta La caja de máximo volumen
posible se obtiene cuando cortamos
cuadrados cuyos lados tienen una longitud
igual a 3 pulgadas.
Paso 4 Comprobar la Respuesta
Podemos observar que 588 plg3 es el
volumen de valor máximo que aparece en la
tabla. Se seleccionaron valores enteros
para los lados de los cuadrados que se iban
a cortar. ¿Es posible conseguir un volumen
aun mayor si escogemos valores no
enteros? Dado que conseguimos el máximo
volumen con cuadrados con lados de tres
pulgadas, hagamos otra tabla con valores
cercanos a tres pulgadas, la cual se divide
en incrementos más pequeños:
- 7 -

8. Lado del
Cuadrado
Altura de la
Caja
Ancho de la
Caja
Longitud de la
Caja
2.5 2.5 15 15
2.6 2.6 14.8 14.8
2.7 2.7 14.6 14.6
2.8 2.8 14.4 14.4
2.9 2.9 14.2 14.2
3 3 14 14
3.1 3.1 13.8 13.8
3.2 3.2 13.6 13.6
3.3 3.3 13.4 13.4
3.4 3.4 13.2 13.2
3.5 3.5 13 13
Nota que el máximo volumen no ocurre
cuando el lado del cuadrado es de tres
pulgadas, sino cuando el lado del cuadrado
es de 3.3 pulgadas.
Nuestra respuesta original no era incorrecta,
pero obviamente no era tan precisa como lo
podría ser. De hecho, puedes obtener una
respuesta aun más precisa si tomas
incrementos más pequeños que los de la
tabla anterior para la longitud de los lados
del cuadrado. Para este caso, podemos
utilizar medidas que son menores o
mayores que 3.3 pulgadas.
Por tanto, la respuesta queda comprobada
si la queremos redondeada a cero cifras
decimales, pero Una respuesta más
precisa es 3.3 pulgadas.
Ejercicios de Repaso
1. Regresa y encuentra la solución al
problema del Ejemplo 1.
2. Britt tiene $2.25 en monedas de
cinco y diez centavos. Si ella tiene 40
monedas en total ¿Cuántas monedas de
cada tipo tiene?
3. Un patrón de diagramas de
cuadrados se muestra a continuación.
¿Cuántos cuadrados hay en
el 12to diagrama?
4. Oswald está tratando de disminuir su
consumo de café. Su meta es bajar su
consumo hasta 6 tazas por semana. Si él
comienza con 24 tazas la primera
semana; luego baja su consumo a 21
tazas la segunda semana; y luego a 18
tazas la tercera semana ¿En cuántas
semanas alcanzará su meta?
5. Taylor prestó un libro en la biblioteca
y justo ahora tiene 5 días de retraso en
la devolución del mismo. El valor de la
multa por devolución tardía es de 10
centavos diarios. ¿Cúanto tiene que
pagar de multa si devolviera el libro
ahora?
6. ¿Cuántas horas le tomará a un
automóvil que avanza a 75 millas por
hora alcanzar a otro automóvil que viaja
a 55 millas por hora, si el automóvil más
lento arranca dos horas antes que el
más rápido?
7. Grace arranca en su bicicleta a una
velocidad de 12 millas por hora. Una
hora después, Dan arranca en la suya
una hora después a una velocidad de 15
millas por hora, siguiendo la misma ruta.
Suponiendo que las velocidades iniciales
de ambos se mantienen constantes
¿Cuánto le tomará a Dan alcanzar a
Grace?
- 8 -

9. 8. Lemuel quiere establecer los límites
de un terreno rectangular con una cerca.
El tiene material suficiente para construir
una cerca que tenga una longitud de 24
pies. ¿Cuál es la máxima área posible de
terreno que él puede encerrar con dicha
cerca?
Respuestas a los Ejercicios de
Repaso
1. $30
2. 5 monedas de diez centavos y 35
monedas de cinco centavos
3. 23 cuadrados
4. 7 semanas
5. 50 centavos
6. 5.5 horas
7. 5 horas
8. 36 pies2; el terreno cercado es un
cuadrado
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10. 8. Lemuel quiere establecer los límites
de un terreno rectangular con una cerca.
El tiene material suficiente para construir
una cerca que tenga una longitud de 24
pies. ¿Cuál es la máxima área posible de
terreno que él puede encerrar con dicha
cerca?
Respuestas a los Ejercicios de
Repaso
1. $30
2. 5 monedas de diez centavos y 35
monedas de cinco centavos
3. 23 cuadrados
4. 7 semanas
5. 50 centavos
6. 5.5 horas
7. 5 horas
8. 36 pies2; el terreno cercado es un
cuadrado
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