4º

8
COLEGIO PREUNIVERSITARIO “Robert Letourneau” CUARTO AÑO
TEMA: RAZONES Y PROPORCIONES
RAZÓN
Se llama razón a la comparación de dos cantidades. Esta comparación
se puede hacer de dos maneras:
Razón Aritmética (r):
Es la comparación entre dos cantidades por medio de una diferencia.
. a – b .
a : Antecedente
b: Consecuente
Razón Geométrica (k):
Es la comparación entre dos cantidades por medio de un cociente.
.
b
a
.
a : Antecedente
b: Consecuente
PROPORCIÓN
Dado cuatro números diferentes de cero, en un cierto orden,
formarán, una proporción, si la razón de los primeros es igual a la razón
de los últimos. Esta proporción puede ser: aritmética, geométrico
armónico
Proporción Aritmética o Equidiferencia
Aritmética 1

Si a – b = r y c – d = r, entonces:
. a – b = c – d . . a + b = c + d .
Clases
• Discreta
Cuando todos los términos son diferentes entre sí donde:
. a – b = c – d . . d: 4ta diferencial .
• Continua
Cuando los términos medios son iguales:
. a – b = b – c . .
2
ca
b
+
= .
.
encialera. difer3c:
ritméticao media aiferencialb: media d
.
Proporción Geométrica o Equicociente:
Si:
b
a
= k y
d
c
= k entonces
Aritmética2

910
NOTA:
. a . d = b . c .
.
d
c
b
a
= .
Extremos:d,a
Medios:c,b
Clases
• Discreta
Cuando los términos son diferentes sí donde:
.
d
c
b
a
= . . d: 4ta proporcional .
• Continua
Cuando los términos medios son iguales
.
c
b
b
a
= .
NOTA:
. a . c = b2
. . c.ab = .
.
rcionalera. propo3c:
geométrical o mediaroporcionab: media p
.
SERIE DE RAZONES GEOMÉTRICAS EQUIVALENTES
Se denomina así al conjunto de más de dos razones que tiene el
mismo valor
Aritmética 3

1) . k
b.....bbb
a.....aaa
n321
n321
=
++++
++++
.
2) .
n
n321
n321
k
b............bbb
a.............aaa
=
××××
××××
.
Ejemplo: 1 / 2 = 2 / 4 = 3/ 6 = 4 / 8 = 0,5
En general definimos la serie:
. k
b
a
...............
b
a
b
a
a
a
n
n
3
3
2
2
2
1
===== .
donde:
a1, a2, a3, ......... an : Antecedentes
b1, b2, b3, ......... bn: Consecuentes
k : Constantes de proporcionalidad
Aritmética4

PROBLEMAS PARA LA CLASE
1. En una proporción
geométrica continua, el
producto de los 4 términos
es 10000. si la suma de los
antecedentes es 12. ¿Cuál
es la diferencia de los
consecuentes?
Rpta. 40
2. Dada la proporción:
d
c
b
a
= ;
a + b = 15
c + d = 25
b + d = 16
Hallar el valor de “a”
Rpta. 9
3. Cuánto se debe aumentar
simultáneamente a cada uno
de los números 44, 8, 62 y
14 para que constituyan una
proporción geométrica
Rpta. 10
4. El dinero que tiene Andrea
es al dinero que tiene
Cristina como 11 es a 7. si
Andrea da $ 40 a Cristina
ambas tendrían la misma
cantidad. ¿Cuánto tiene
Andrea?
Rpta. $ 220
5. Un padre tiene 45 años y su
hijo 21. ¿Cuántos años han
de transcurrir para que la
edad del hijo sea los 4/7 de
la edad del padre?
Rpta. 11
6. La suma de dos números es
270 y cuando se le agrega
65 a cada uno de ellos son
proporcional a 3/5. Hallar el
mayor
Rpta. 185
Aritmética 5

7. El sueldo de un empleado y
sus ahorros están en la
razón de 9 es a 4. Si en el
mes de marzo sus gastos
fueron S/. 390. ¿Cuál fue el
sueldo percibido por dicho
empleado?
Rpta. S/. 702
8. Si:
2
1
p
n
n
b
m
a
=== , además.
b + p = 15
m + n = 14, calcular: a . b . n
Rpta. 72
9. De un grupo de niños y niñas
se retiran 15 niñas quedando
2 niños por cada niñas
después se retiran 45 niños
y quedan entonces 5 niñas
por cada niño. Calcular el
número de niñas al comienzo.
Rpta. 40
10.En una granja el número de
gallinas es la número de
conejos como 2 es a 5 y el
número de pavos es al de
gallinas como 7 es a 3.
¿Cuántos conejos hay en la
granja si el número total de
patas de dichos animales es
900?
Rpta. 135
11.Dos números son entre sí
como 7 es a 13, si al menor
se le suma 140, para que el
valor de la razón no se
altere, el valor del otro
número debe quintuplicarse.
Hallar el mayor de los 2
números
Rpta. 65
12.Dos números son entre sí
como 5 a 8, si la suma de sus
cuadrados es 712 su
diferencia es:
Rpta. 6 2
Aritmética6

13.En una proporción
geométrica continua los
términos extremos son
entre sí como 4 es a 9. Si la
suma de los términos de la
primera razón es 40. hallar
la suma de los consecuentes
Rpta. 60
14.La suma, la diferencia y el
producto de dos números
están en la misma relación
que los números 11, 3 y 560.
hallar uno de los números
Rpta. 140
15.En una proporción
geométrica discreta la
diferencia entre los medios
14. Hallar uno de los
términos medios si se sabe
que el producto de los cuatro
términos de la proporción es
2601
Rpta. 3
Aritmética 7

PROBLEMAS PARA LA CASA
1. Dos números enteros son
ente si como 10 es a 9. Si la
suma de la mitad del mayor y
la tercera parte del menor
es 72. hallar el mayor de los
dos números
A) 80 B) 160 C) 90
D) 45 E) 40
2. Se tiene 3 números enteros
A, B y C tales que A es a B
como 4 es a 5 y B es a C
como 10 es a 11. Si la
diferencia entre A y C es 36.
¿Cuál es el mayor de estos
dos números?
A) 66 B) 55 C) 132
D) 121 E) 156
3. Se tiene la siguiente serie
de razones geométricas
iguales:
10
c
7
b
5
a
==
Hallar la suma de los
antecedentes
Si 3a + 2b – c = 76
A) 88 B) 78 C) 72
D) 66 E) 64
4. En una proporción continua; el
primer término es 1/9 del
cuarto término; si la suma de
los 4 términos de la proporción
es 64. hallar el término medio
de la proporción
A) 9 B) 8 C) 12
D) 15 E) 16
5. Una ciudad esta dividida en 2
bandos A y B, tales que la
población de A es a B como 7 es
a 3. si de uno de los 2 bandos
se pasa al otro 60 personas la
razón entre las poblaciones de
los dos bandos se invierte.
¿Cuáles la población de la
ciudad?
A) 80 B) 70 C) 100
D) 150 E) más de 150
6. Si el valor de la razón
aritmética y geométrica de dos
números es 5. ¿Cuál es la suma
de dichos números?
A) 30/8 B) 15/2 C) 20/3
D) 8 E) 15
Aritmética8

7. En una proporción
Aritmética, la suma de los
cuadrados de los términos
medios es 34 y la suma de
los extremos es 8. hallar la
diferencia entre los
términos medios.
A) 1 B) 2 C) 3
D) 4 E) 5
8. La razón de dos números
vale 3/4 y los 2/3 de su
producto es 1152. encontrar
el mayor de los dos números.
A) 12 B) 24 C) 36
D) 48 E) 60
9. Si:
7
c
8
b
2
a
== y a + b = 20.
Hallar: a . c + b
A) 22 B) 64 C) 71
D) 60 E) 72
10.Si se cumple:
2
f
e
d
24
c
b
3
a
====
Además:
(*) a + b = 24 (*) 3 + f = c +
d
calcular: b + d + f
A) 12 B) 24 C) 36
D) 48 E) 60
CLAVES
1. C
2. C
3. A
4. C
5. D
6. B
7. B
8. D
9. E
10. D
Aritmética 9

¿SABÍAS QUÉ...
LUIGI GALVANI (1737 – 98)
El científico italiano Luigi Galvani pasó la mayor parte de su
vida estudiando la electricidad. Descubrió que las patas de una rana
se contraían cuando se conectaban a una barra de hierro mediante
unas pinzas de hojalata. Creía que los músculos de la rana contenían
electricidad, lo que denominó electricidad animal.
Otro científico italiano, Alessandro Volta (1745–1827),
cuestionó esta idea. Éste creía que los dos metales habían
reaccionado y habían producido electricidad. Ninguna de las dos
teorías era completamente correcta.
Galvani llevó a cabo experimentos con cargas eléctricas. El
instrumento para medir la corriente eléctrica se llamó galvanómetro
en su honor.
TEMA: PROMEDIOS
Aritmética10

Cantidades representativas de un conjunto de valores (medidas de
tendencia central) dado:
a1 ≤ a2 ≤ a3 ≤ ……...... ≤ an
↓ ↓
MENOR VALOR ≤ PROMEDIO ≤ MAYOR VALOR
TIPOS DE PROMEDIO
Promedio Aritmético o Media Aritmética ( MA )
O simplemente promedio
.
datosdeNúmero
datosdeSuma
MA = .
• Dar la MA de: 7; 13 y 4
Resolución
3
4137 ++
= 8
OJO:
SEA “n” NÚMEROS Y “s” SUMA DE LOS NÚMEROS
⇒ . S = n . MA (“n” números) .
Promedios Geométricos o Media Geométrica ( MG )
. n datoslosdeoductoPrMG = .
n: número de datos
• Dar la MG de: 5; 15 y 45
Resolución
Aritmética 11

1545.15.53 =
Promedio Armónico o Media Armónica ( MH )
.
datoslosdeInversadeSuma
datosdeNúmero
MH = .
• Dar la MH de: 6; 2 y 3
Resolución
3
3
1
2
1
6
1
3
=
++
 Consideraciones importantes
• Para 2 cantidades “a” y “b”
.
2
ba
MA
+
= . . abMG = .
. ba
ab2
b
1
a
1
2
MH
+
=
+
=
.
• Dado:
0 < a1 ≤ a2 ≤ a3 ……….…. ≤ an
Aritmética12

Se verifica que:
.
PROMEDIOOPROMEDI
MENORMAYOR
0MHMGMAan
⇓⇓
>≥≥≥
.
• Si todos los valores son iguales
MHMGMA ==
• Para cantidades “a” y “b”
. MH.MAMG
2
= .
.
)MGMA(4
)ba(
MGMA
2
+
−
=− .
 LA ALTERACIÓN DE LA MEDIA ARITMÉTICA
Sean los números: 3, 5 y 10
⇒ 6
3
1053
MA =
++
=
Si aumentamos 7 unidades al 5 y disminuimos 4 al 10:
omedioPr
Nuevo
= 
VARIACIÓN
INICIAL
PROMEDIO
3
47
3
1053 −
+
++
= 7
IMPORTANTE
Aritmética 13







+





=





promedio
deliaciónvar
inical
promedio
promedio
nuevo
Donde:
Aritmética14

promedio
deliaciónvar
=
datosdeNúmero
uyemindis
sequetotal
aumenta
sequetotal






−





Promedio ponderado ( PP ) (Promedio de Promedios)
• Al dar 3 exámenes, obtengo 11, 17 y 13; siendo los pesos de cada
examen 2, 1 y 3 ¿Cuál será mi nota promedio?
Resolución:
NOTAS PESOS TOTAL
11 2 11 x 2
17 1 17 x 1
13 3 13 x 3
6 78
La nota promedio será:
Aritmética 15
+ +

13
6
78
312
3.131.172.11
==
++
++
En general:
.
n321
nn332211
P..........PPP
Pa..........PaPaPa
PP
+++
++++
= .
Donde:
an : enésimo de las notas, precios, … etc
Pn : enésimo de los promedios, peso frecuencias, créditos, ...... etc
1. Se tienen los siguientes
números –18, -16, -14, -11,
0, 0, 14, 10, 16, 22. luego,
de las siguientes
proposiciones cuáles son
correctas
I. La media de
los valores absolutos
de los números
negativos es mayor
que el promedio total.
II. La media de
los valores positivos
es 10,333.......
III. La media de
los números positivos
es mayor que la media
de los valores
absolutos de los
números negativos
IV. La media de
los números positivos
es mayor que el valor
absoluto de la media
de los números
negativos
V. Los dos
ceros no afectan a la
media de los números
Rpta. I, II y III
2. La nota promedio de un
examen es “P” el profesor
decide aumentar 2 puntos al
tercio superior de la clase, 1
punto al tercio central y
bajarle 1 punto al tercio
Aritmética16

inferior de la clase. ¿Cuál es
el nuevo promedio?
Rpta. P +
3
2
3. Se tiene 4 números. A la
añadir el promedio de 3 de
ellos al número restante, se
obtiene los números 17; 21;
23 y 29. Entonces, la suma
de los 4 números es igual a:
Rpta. 45
4. Para un curso de Química
se tiene alumnos de
primera matrícula y
alumnos de segunda
matrícula. Si la nota
promedio de la sección
fue de 15 puntos y el
grupo de alumnos de
primera matricula obtuvo
nota promedio de 17
puntos y los de segunda
matrícula obtuvieron en
promedio 12 puntos. ¿Qué
porcentaje de los alumnos
son de segunda matrícula?
Rpta. 40%
5. El promedio de las edades
de 3 personas es igual a
“x”. Y se agrega una
cuarta al promedio,
disminuye en 2. se puede
afirmar que:
I. La edad del
cuarto es mayor que
el promedio
II. La edad del
cuarto es menor que
el promedio
III. Por lo
menos una persona es
mayor que el cuarto
Rpta. II y III
6. El promedio de 50 números
es 62,1: se retiran 5
números cuyo promedio es
18. ¿En cuánto varía el
promedio?
Rpta. 4,9
7. El peso promedio de todos
los estudiantes de una clase
A es 68,4 y de todos los
estudiantes de la clase B es
71,2 si el peso promedio de
ambas clases combinadas es
Aritmética 17

70 y el número de
estudiantes en la clase B
excede a la de A en 16.
¿Cuántos estudiantes tiene
la clase B?
Rpta. 64
8. El promedio geométrico de
20 números es 8 y el
promedio geométrico de
otros 20 números es 18
¿Cuál es el promedio
geométrico de los 40
números?
Rpta. 14
9. El promedio de 50 números
es 62,1: se retiran 5
números cuyo promedio es
18. ¿En cuánto varía el
promedio?
Rpta. 4,9
10.El peso promedio de todos
los estudiantes de una clase
A es 68,4 y de todos los
estudiantes de la clase B es
71,2 si el peso promedio de
ambas clases combinadas es
70 y el número de
estudiantes en la clase B
excede a la de A en 16.
¿Cuántos estudiantes tiene
la clase B?
Rpta. 64
11.El promedio geométrico de
20 números es 8 y el
promedio geométrico de
otros 20 números es 18
¿Cuál es el promedio
geométrico de los 40
números?
Rpta. 14
12.El mayor de dos números
enteros es 40 y el menor
promedio es 30. hallar la
diferencia de los números
Rpta. 40
13.El promedio geométrico de 4
números enteros diferentes
es 2 2 . ¿Cuál es el
promedio aritmético de
estos números?
Rpta. 3.75
14.Hallar dos números enteros
cuyo producto es 600
Aritmética18

sabiendo que la media
aritmética y la media
armónica son dos números
consecutivos. Dar como
respuesta el número menor.
Rpta. 20
12.La media armónica de 36
números es 36. ¿Cuál es la
media armónica de sus
tercias?
Rpta. 12
13.El promedio de las edades de
“n” alumnos es “m” años. Si a
la cuarta parte de los
alumnos se le cambia con
alumnos que tienen 2 años
más cada uno y a la otra
cuarta parte se le cambia
con alumnos que tienen 1 año
más cada uno, entonces el
nuevo promedio aumentará
en:
Rpta. 0.75
14.El promedio de un conjunto
de valores es “P” si se
eliminan 31 números cuya
suma es 527 el promedio de
los restantes sigue siendo
“P” ¿Cuánto deberán sumar 7
números de tal manera que
agregando a los que habían
inicialmente tengan como
media aritmética a P?
Rpta. 119
15.La media aritmética de 200
números pares de tres
cifras es 699, la media
aritmética de otros 200
números pares de tres
cifras es 299. ¿Cuál es la
media aritmética de los
números pares de 3 cifras no
consideramos?
Rpta. 949
Aritmética 19

Aritmética20

1. El promedio de edad de 18
hombres es 16 años y la edad
promedio de 12 mujeres es
14 años. Calcular el promedio
del salón
A) 15 B) 16,2 C) 15,2
D) 15,1 E) 16,1
2. El promedio de las edades de
cinco personas res 48. si
ninguna de ellas tiene más de
56 años. ¿Cuál es la mínima
edad que puede tener una de
ellas?
A) 16 años B) 18 años C) 19 años
D) 21 años E) 24 años
3. Se tiene 60 objetos, cuyos
pesos son un número entero
de kilogramos. Sabiendo que
el promedio de los pesos es
50 kg. ¿Cuánto puede pesar
como máximo uno de ellos si
ninguno pesa menos de 48
kg.?
A) 168 kg B) 169 kg C) 170 kg
D) 171 kg E) 172 kg
4. La media aritmética de dos
enteros positivos es a la
media geométrica de los
mismos como 13 es a 12. el
número de dichos números
puede ser:
A) 2 B) 3 C) 4
D) 5 E) 6
5. Se tiene 100 números cuyo
promedio es 18,5. A los
primeros 20 números se les
aumenta 3 unidades a cada
uno, a los siguientes 50
números se les aumenta 8
unidades a cada uno y a los
restantes números se les
disminuye 2 unidades a cada
uno. Calcular el nuevo
promedio de los números que
se obtiene.
A) 23 B) 22,5 C) 20,5
D) 22 E) 21
6. La edad promedio de 25
personas es 22 años.
Aritmética 21

Calcular cuántas personas de
las que tienen 25 años deben
retirarse para que el
promedio de los restantes
sea de 20 años.
A) 10 B) 11 C) 20
D) 25 E) 15
7. La media aritmética de 15
impares de 2 cifras es 25 y
de otros 15 impares también
de 2 cifras es 75. ¿Cuál es la
media aritmética de los
impares de 2 cifras no
considerados?
A) 75 B) 60 C) 65
D) 55 E) 35
8. Hallar la media aritmética de
2, 4, 6, 8, 10
A) 3 B) 5 C) 6
D) 8 E) 10
9. Si: P. A = (2, 4, a) = 4
P. A = (8, b, 12) = 10
Hallar la media aritmética
de:
a y b
A) 6 B) 8 C) 10
D) 12 E) 14
10.Dados los números 12, 18 y
27. Calcular el error que se
comete al tomar el promedio
aritmético como promedio
geométrico.
A) 0,5 B) 1 C) 1,5
D) 0,3 E) 1,3
Aritmética22

CLAVES
1. C
2. E
3. A
4. C
5. B
6. A
7. C
8. C
9. B
10. B
Aritmética 23

“DEMUESTRA TUS CONOCIMIENTOS”
1. ¿Cuál es el número que
excede a la medida
armónica de su mitad y su
quinta parte es 50?
Rpta.
2. El mayor promedio de dos
números es 8, mientras que
su menor promedio es 6.
hallar la diferencia de dichos
números.
Rpta.
3. ¿Cuál es la medida
aritmética de 2 números, si
su media geométrica es 12 y
su media armónica es 4?
Rpta.
4. La media armónica de 2
la media aritmética es 20.
hallar la media geométrica
Rpta.
5. Hallar n, si el promedio
armónico de: 1, 1/2,
1/3, ....1/n, es 1/9
Rpta.
6. Si la MH y la MA de dos
cantidades están en la
relación de 4 a 9. ¿En que
relación se encuentra la MG y
la MH?
Rpta.
7. La MH de 20 números es 18 y
de otros 30 números
diferentes entre si y de los
anteriores es 54. hallar la
MH de los 50 números.
Rpta.
16. El mayor promedio de 2
su menor promedio es 36.
Hallar la diferencia de dichos
números.
Rpta.
Aritmética24

30
8. La MA de 4 enteros impares
positivos diferentes entre
si, es 6. ¿Cuánto puede ser
como máximo el mayor de los
números?
Rpta.
9. La MA de los cuadrados de
los “n” primeros números
naturales es 231/6. Hallar
“n”
Rpta.
12.Si la MH de dos números
naturales es a MG de los
mismos como 12 es a 13.
hallar la diferencia de los
números, si la suma es 117.
Rpta.
10.La MH de 3 cantidades es
1/5 y la MH de otras 5
cantidades es 1/3. ¿Cuál es
la MH de las 8 cantidades
juntas?
Rpta.
11.La MH y MA de dos enteros,
están en la relación de 48 es
a 49, hallar los números,
comprendiendo entre 41 y
47.
Rpta.
14.La MA de 3 números es 14,
la MG es par e igual a uno de
ellos y la MH 72/7. hallar el
menor de los números.
Rpta.
15.La diferencia de cuadrados
de 2 números es 144, además
sus promedios, armónico y
aritmético son entre si como
15 es a 16. hallar su MG
Rpta.
17.La MG de 2 números es 6
2 , sabiendo que su MH y
MA son dos enteros
consecutivos, hallar dichos
números pero sumados
Rpta.
18. En un aula del “Manuel
Scorza” de 60 alumnos, el
promedio de notas en
Aritmética 25

aritmética es 12, si 20 de
ellos tienen un promedio de
18. ¿Cuál es el promedio de
notas de los 40 restantes?
Rpta.
19. El promedio de 5 números es
85. Se considera un sexto
número y el promedio aumenta
en 15. hallar el sexto número.
Rpta.
20. En un salón de clase, “a”
alumnos tienen 14 años, “b”
alumnos tienen 11 años y “c”
alumnos tienen 13 años. Si el
promedio de todos es 12 años.
Hallar “a”
Rpta.
21. El promedio aritmético de los
cuadrados de 2 números
consecutivos es 380,5. hallar
el menor de ellos.
Rpta.
22. Un estudiante de ha obtenido
13, 14, 16, 12 y “a” en sus 5
exámenes, además el último
tiene doble peso que los otros.
Determine el valor de “a” si el
promedio ponderado es 13,5
Rpta.
23. El promedio de 50 números es
30. si se retiren 4 números
cuyo promedio es 48. ¿En
cuánto disminuye el promedio?
Rpta.
24. El promedio de las edades de 5
hombres es 28 años, además
ninguno de ellos es menor de
25 años. ¿Cuál es la máxima
edad que podría tener uno de
ellos?
Rpta.
25. La suma de 2 números es 18 y
sus promedios aritmético y
armónico son consecutivos
hallar la diferencia de dichos
números.
Rpta.
26.El doble del promedio
aritmético de 2 números es
igual al cuadrado de su
promedio geométrico, más 1.
Aritmética26

si uno de los números es 120.
¿Cuál es el otro?
Rpta.
27.El promedio armónico de 40
números es 16 y el de otros
30 números es 12. Halle el
promedio armónico de los 70
números.
Rpta.
28.El promedio armónico de 3
números es 180/27, uno de
los números es 5 y el
promedio geométrico de los
otros 2 números es 6. dar
como respuesta el menor de
estos 3 números.
Rpta.
29.El promedio geométrico de 2
números es 12 y la suma de
sus promedios, aritmético y
armónico es 26. ¿Cuál es la
suma de dichos números?
Rpta.
Aritmética 27

¿SABÍAS QUÉ...
LA CARRERA PROFESIONAL DE QUÍMICA
El químico realiza experimentos y análisis químicos para
determinar la composición, propiedades y posibles
transformaciones de la materia, mediante el uso de modernas
técnicas experimentales. El químico realiza labores de control
de calidad, aseguramiento de calidad, gerencia laboratorios
de calidad e investigación en industrias tales como:
farmacéutica, metalúrgica, de alimentos, petroquímica,
cerámica, del cemento, plásticos, colorantes y otros.
Ámbito de trabajo:
Laboratorios de control de calidad e investigación en las
diferentes industrias químicas y en centros de educación.
Aritmética28

TEMA: MAGNITUDES PROPORCIONALES
MAGNITUD
Es todo aquello susceptible a ser medido y que puede ser percibido
por algún medio. Una característica de las magnitudes es el poder
aumentar o disminuir. A un niño se le podría medir: su peso, estatura,
presión arterial,.....etc.
CANTIDAD (Valor):
Resultado de medir el cambio o variación que experimenta la
magnitud.
MAGNITUD CANTIDAD
Longitud 2km
Tiempo 7 días
# de obreros 12 obreros
RELACIONES ENTRE 2 MAGNITUDES
Dos magnitudes son proporcionales, cuando al variar el valor de una
de ellas, el valor correspondiente de la otra magnitud cambia en la misma
proporción. Se pueden relacionar de 2 maneras.
Magnitudes Directamente Proporcionales (DP)
Ejemplo Ilustrativo:
• Si compramos libros cada uno a S/. 2 (Precio constante); al
analizar como varia el valor de costo total, cuando el número de libros
varía, se tendrá:
Aritmética 29

⇒ (Costo total) DP (# de libros)
Se observo:
En General:
Decimos que las magnitudes “A” y “B” son directamente
proporcionales; si al aumentar o disminuir los valores de la magnitud
de “A”, el valor de “B” también aumenta o disminuye (en ese orden) en
la misma proporción.
La condición necesaria y suficiente para que dos magnitudes sean D.P.
es que el cociente de cada par de sus valores correspondientes, sea
una constante.
OJO:
DEBEMOS CONSIDERAR QUE AL RELACIONAR 2 MAGNITUDES, LAS
DEMÁS NO DEBEN VARIAR DEL EJEMPLO ANTERIOR, EL PRECIO DE
CADA LIBRO, NO VARÍA (PERMANECE CONSTANTE)
SI:
. “A” DP “B” ↔
( )
( )
tetanconsk
Bdevalor
Adevalor
→= .
Interpretación Geométrica
Aritmética30

IMPORTANTE:
I) LA GRÁFICA DE 2 MAGNITUDES D.P ES
UNA RECTA QUE PASA POR EL ORIGEN DE COORDENADAS
II) EN CUALQUIER PUNTO DE LA GRÁFICA
(EXCEPTO EL ORIGEN DE COORDENADAS) EL CONCIENTE DE CADA
PAR DE VALORES CORRESPONDIENTES RESULTA UNA CONSTANTE.
III) SI TENEMOS QUE “A” DP “B”
VALORES CORRESPONDIENTES
MAGNITUD A a1 a2 a3 ....... an
MAGNITUD B b1 b2 b3 …… bn
SE VERIFICA:
k
b
a
...
b
a
b
a
b
a
n
n
3
3
2
2
1
1
=====
IV) SI TENEMOS QUE “A” DP “B”
. F(x) = mx .
m: pendiente (constante)
MAGNITUDES INVERSAMENTE PROPORCIONALES (I.P)
Ejemplo ilustrativo:
• Para pintar las 60 habitaciones idénticas de un edificio se desea
contratar obreros que pinten una habitación. Al analizar cómo varía el
tiempo según el número de pintores contratados, se tendrá:
Aritmética 31

⇒ (# de pintores) IP (# días)
Se Observa: (# de pintores) IP (# días)
Se Observa:
(# de pintores) (# días) = 1 . 60 = 2 . 30 = 6 . 10 = 30 . 2 = 60
Constante
En general:
Se dice que “A” y “B” son inversamente proporcionales, si al aumentar
o disminuir el valor de A, el respectivo valor de “B” disminuye o
aumenta en la mismas proporción respectivamente.
La condición necesaria y suficiente para que dos magnitudes sean IP
es que el producto de cada par de sus valores correspondientes sea
una constante.
. A I.P.B ↔ (valor de A)(valor de B) = cte .
Interpretación Geométrica
Aritmética32

IMPORTANTE:
I) LA GRÁFICA DE DOS MAGNITUDES IP ES
UNA RAMA DE HIPÉRBOLA EQUILÁTERA.
II) EN CUALQUIER PUNTO DE LA GRÁFICA EL
PRODUCTO DE CADA PAR DE VALORES CORRESPONDIENTES RESULTA
UNA CONSTANTE.
III) LA FUNCIÓN DE PROPORCIONALIDAD
INVERSA SERÁ:
. ( )
x
m
xF = .
M : CONSTANTE






curvalabajo
gulotanrecdelárea
IV) SI TENEMOS QUE “A” I.P “B”
VALORES CORRESPONDIENTES
MAGNITUD A a1 a2 a3 ....... an
MAGNITUD B b1 B2 …… bn
SE VERIFICA:
a1 . b1 = a2 . b2 = a3 . b3 = . . . = an . bn = k
Propiedades de las Magnitudes
A. Para 2 magnitudes A y B se cumple:
1.



⇔
⇔
A.P.IBB.P.IA*
A.P.DBB.P.DA*
Aritmética 33

2.




⇔
⇔
nn
nn
B.P.IAB.P.IA*
B.P.DAB.P.DA*
3.






⇔
⇔
B
1
.P.DAB.P.IA*
B
1
.P.IA.B.P.DA*
B. Para 3 magnitudes A, B y C se cumple:
Si: A D. P. B (C es constante)
A D. P. C (B es constante)
⇒ A D. P. (B . C)
C.B
A
∴ = cte
Luego en los problemas. Sean las magnitudes: A, B, C, D y E







E.P.DA
D.P.AA
C.P.IA
B.P.DA
⇒ . Cte
E.D.B
C.A
= .
OJO:
CUANDO RELACIONAMOS LOS VALORES DE 2 MAGNITUDES, ENTONCES
LOS VALORES DE LAS OTRAS MAGNITUDES PERMANECEN CONSTANTES.
Aplicaciones comunes:
Aritmética34

• (N° de obreros) DP (obra)
• (N° de obreros) IP (eficiencia)
• (N° de obreros) IP (N° de días)
• (N° de obreros) IP (horas diarias)
• (velocidades) IP (Tiempo)
• (N° de obreros) D P (Dificultad)
• (N° de dientes) I P (N° de vueltas)
Aritmética 35

.
tetanncos
)dificultad)(obra(
)ientodimren(
días
de#
díapor
Horas
obreros
de#
=
























.
Aritmética36

1. El precio de una casa es
directamente proporcional al
área e inveramente
proporcional a la distancia
de Lima. Si una casa ubicada
a 75km cuesta S/. 45000.
¿cuánto costará una casa del
mismo material, si su área es
el doble y se encuentra a
150 km de distancia?
Rpta. 45 000
2. Dos ruedas de 24 y 45
dientes están concatenados.
En el transcurso de 4
minutos una da 70 vueltas
más que la otra. Hallar la
velocidad menor en rev/min.
Rpta. 20
3. En una joyería se sabe que
el precio de cualquier
diamante es proporcional
cuadrado de su peso y que la
constante de
proporcionalidad es la misma
para todos los diamantes. Un
diamante que cuesta 360000
dólares se rompe en dos
partes, de las cuales el peso
de una de ellas es el doble de
la otra. Si las dos partes son
vendidas entonces podemos
afirmar que:
Rpta. Se perdió 160 000
dólares
4. Se sabe que:
A.D.P. B2
(cuando “C” no
varía)
A.I.P C (cuando “B” no
varía)
Si el valor de B disminuye en
sus 2/5 y su
correspondiente valor de “C”
disminuye en sus 9/25. ¿En
cuánto varía el valor de A,
respecto a su valor anterior?
Rpta.
20
11
5. Dos veteranos de una
guerra tienen concebidas
sendas de pensiones, que son
directamente proporcionales
a las raíces cuadradas del
Aritmética 37

número de balazos que
recibieron. Si el primero
recibió 24 balazos más que
el segundo y sus pensiones
están en la razón de 91 a 65.
¿Cuántos balazos recibió el
segundo?
Rpta. 25
6. El nivel de polución del aire
en una cierta ciudad, varía
D.P con el cuadrado de la
población, son el número de e
I.P fábricas y con la raíz
cuadrada del área de
parques y jardines. Si los
incrementos de población,
número de fábricas y áreas
verdes son 20%, 30% y 44%
respectivamente. ¿En qué
porcentaje se incrementará
la polución?
Rpta. 17%
7. Las magnitudes A, B y C
guardan las siguientes
relaciones
Con C = constante
A 1 8 27 64
B 1 0,5 0,3... 0.25
Con B = constante
A 1 2 3 4
C 0,25 1 2,25 4
Si cuando: A = 4 y B = 9, C es
16
Hallar A cuando B = 3 y C = 4
Rpta. 54
8. En la siguiente gráfica A y B
son magnitudes que se
relacionan en forma
proporcional
Hallar el área de la región
sombreada
Rpta. 3
9. Por defectos del fenómeno
del niño, la temperatura
promedio en el actual verano
Aritmética38

es media vez más que la del
verano anterior (año
pasado). Si la producción
agrícola es I.P al cuadrado
de la temperatura, ¿cuál es
la producción del presente
año, si el año anterior fue de
3600 toneladas?
Rpta. 1600
11. De un estudio efectuando
en el departamento de
logístico de una guarnición
militar, se encontro que la
cantidad de víveres (en kg.)
para un batallón es IP al
número de soldados y DP al
cuadrado del números de
bajas de una guerra. Si se
sabe que en una guerra, 1000
kg de víveres sirven para
500 soldados con un número
de bajas de 10. ¿Qué
cantidad de víveres serán
necesarios para 1000
soldados, si se proyectan 50
bajas?
Rpta. 1250
10. En una agencia de turismo
se ha notado que el número
de turistas que viajan a un
determinado lugar varía DP a
la capacidad de cada
ómnibus, al número de horas
de trabajo de éstos, a la
velocidad que utilizan y el
número de ómnibus que se
utilizan e IP a la distancia
que debe recorrer. Se sabe
que 1 ómnibus de 20
pasajeros puede llevar 180
pasajeros en 80 horas de
trabajo recorriendo 60km/h
cuando van hacia un lugar
ubicado a 200km, de la
agencia. Se ha edificado un
hotel a 360km de la agencia,
con una capacidad de 5000
huéspedes. ¿Cuántos
ómnibus con capacidad para
30 pasajeros serán
necesarios para que en 60
horas de trabajo usando una
velocidad de 20 km/h pueda
cubrir el 90% de la
capacidad de dicho hotel?
Rpta. 45
Aritmética 39

12. La siguiente figura muestra
la gráfica de dos magnitudes
directamente
proporcionales; la producción
de una fábrica respecto al
número de obreros. La
primera recta se ha obtenido
con obreros experimentados
y la segunda con obreros
nuevos. La gerencia desea
averiguar en primer lugar.
¿Cuál sería su producción de
60 obreros experimentados;
en segundo lugar, cuántos
obreros nuevos fueron
necesarios para producir con
ellos 1760 artículos?
Rpta. 1560; 80
13. Según la ley de Boyle, la
presión es inversamente
proporcional ala volumen que
contiene determinada
cantidad de gas. ¿A qué
presión está sometido un gas
si al aumentar esta presión
en 2 atmósferas, el volumen
varía en un 40%?
Rpta. 3
14.Si dos cantidades P y Q son
inversamente proporcionales
con constante de
proporcionales a k. ¿cuánto
vale k si la constante de
proporcionalidad entre la
suma y diferencia de P y 1/Q
vale 6?
Rpta. 7/5
15.Se sabe que un cuerpo que
cae libremente recorre una
distancia proporcional al
cuadrado del tiempo. Una
piedra recorre 9.80 m en 1 .
4 seg. Determinar la
profundidad del pozo. Si se
sabe que al soltar la piedra
esta llega al fondo en dos
segundos
Rpta. 20
Aritmética40

1. La magnitud A es D.P. a la
magnitud B cuando A = 51; B = 3.
hallar el valor que toma B,
cuando A = 34
A) 19 B) 2 C) 5
D) 13 E) 17
2. Para abrir una zanja de 200 m
de largo se emplearon cierto
número de obreros, si la zanja
fuese 150 m, más larga, se
necesitarían 9 obreros más.
¿Cuántos obreros se
emplearon?
A) 12 B) 9 C) 21
D) 13 E) 18
3. Del siguiente gráfico de
magnitudes proporcionales.
Calcular a + b
A) 10 B) 43 C) 64
D) 46 E) 34
4. Si se cumple que F (12) = 18
Calcular: S = F (5) + F (1)
Sabiendo que F(x) es una
función de proporcionalidad
directa
A) 7 B) 8 C) 71
D) 2 E) 9
5. La magnitud A es I.P a B
además cuando A es igual a 6
entonces B es igual a 16.
Hallar b cuando A es igual a
4
A) 16 B) 36 C) 24
D) 12 E) 18
6. Un grupo de vacas tienen
alimento para 15 días, pero si
hubiesen 2 vacas más, los
alimentos sólo durarían 12
días. ¿Cuántas vacas tiene?
A) 8 B) 10 C) 6
D) 12 E) 15
Aritmética 41

7. Según el gráfico A es IP a B.
Hallar a + b
A) 48 B) 112 C) 56
D) 94 E) 80
8. Se ha comprobado
experimentar que una
magnitud “A” es
directamente proporcional a
otra “B”. por ejemplo cuando
“B” vale 4, “A” toma el valor
de 2,4. hallar el valor de “B”
que hace que “A” valga 48.
A) 10 B) 100 C) 20
D) 40 E) 80
9. El sueldo de un empleado es
proporcional al cuadrado de
la edad que tiene. Si
actualmente tiene 18 años.
¿Dentro de cuántos años
cuadruplicará su sueldo?
A) 14 B) 12 C) 15
D) 21 E) 18
10.Se tienen dos poleas
unidades mediante una faja
de trasmisión tal como indica
la figura. ¿Cuántas vueltas
dará la segunda cuando la
primera de 30 vueltas?
A) 22½
vueltas
B) 40 vueltas
C) 60 vueltas D) 20
vueltas
E) 30 vueltas
Aritmética42

HAY GRANDES HOMBRES QUE HACEN A
LOS DEMÁS SENTIRSE PEQUEÑOS. PERO
LA VERDADERA GRANDEZA CONSISTE EN
HACER QUE TODOS SE SIENTAN
GRANDES.
CHARLES DICKENS
CLAVES
1. B
2. C
3. D
4. E
5. B
6. A
7. B
8. E
9. E
10. A
Aritmética 43

¿SABÍAS QUÉ...
LA CARRERA PROFESIONAL DE
CIENCIAS BIOLÓGICAS
El biólogo, con mención en Zoología, Botánica e Hidrobiología y
Pesquería estudia los organismos vivos y sus interrelaciones
considerando los aspectos morfológicos, bioquímicos, moleculares,
ecológicos, taxonómicos, etc. Investiga en laboratorios y en
condiciones naturales la estructura genética, fisiología, ecología y
otros aspectos fundamentales de las plantas, animales, y los
recursos pesqueros. Participa en la evaluación, conservación,
mejoramiento, control biológico y aprovechamiento racional de los
recursos naturales renovables.
Ámbito de Trabajo:
Centros de investigación y producción, centros superiores de
enseñanza, laboratorios y servicios biológicos especializados,
asesoramiento en materia de recursos naturales, ecología y
conservación.
Aritmética44

TEMA: REPARTO PROPORCIONAL SIMPLE
oporcionalPr
partoRe








Compuesto*
inverso
Directo
Simple*
COMO UNA APLICACIÓN DE PROPORCIONALIDAD CONSISTE EN
REPARTIR UNA CANTIDAD EN PARTES DIRECTAS O INVERSAMENTE
PROPORCIONALES A CIERTAS CANTIDADES LLAMADOS “ÍNDICE”
Problema General:
• Repartir “N” en partes P1 P2 P3........... Pn que sean D.P
a a1 a2 a3 a4 ................. an. Determinar cada una de las partes
Partes P1 P2 P3............... Pn
Indices a1 a2 a3 a4............ an
Condición P1 P2 P3............... Pn D. P a1 a2 a3 a4 ............ an
. k
a
P
...........
a
P
a
P
a
P
n
n
3
3
2
2
1
1
==== .
k (constante de proporcionalidad)
Propiedad:
Aritmética 45

k =
n321
n321
a..........aaa
P...........PPP
+++
+++
o .
S
N
k = .
Donde S1 = Suma de índices
N = Cantidad a repartir
Luego: P1 = a1k
P2 = a2k
P3 = a3k
 
Pn = ank
Ejemplos:
1. Repartir 750 en forma D.P a los números 6; 7 y 12
D.P
25
12
7
6
750





. 30
25
750
k == .
Luego: 6(30) = 180
7(30) = 210
12(30) = 360
2. Repartir 450 en partes I.P a los números 3; 6 y 8
Aritmética46

. 30
15
450
k == .
Luego: 8(30) = 240
4(30) = 120
3(30) = 90
3. Repartir 648 en forma D. P a los números 4 y 6; y a la vez en
forma I.P a los números 3 y 9
. 108
6
648
k == .
Luego: 4(108) = 432
2(108) = 296
Aritmética 47

1. Repartir 1491 en 3 partes
de manera que la primera
tenga 2/3 más que la
segunda y la segunda 2/5
más que la tercera. Una de
dichas partes es:
Rpta. 735
2. Se reparte una cantidad
proporcionalmente 1; 2; 3 y 4
pero luego se decide hacerlo
proporcionalmente a 2; 3; 4
y 6 motivo por el cual una de
la partes disminuye 170
unidades. ¿Cuánto le
corresponde al cuarto?
Rpta. 2040
3. El número 7200 se reparte
directamente proporcional a
175y112,63 . ¿Cuál
es el producto de las cifras
que conforman la mayor
parte obtenida?
Rpta. 0
4. Dividir 18500 D.P a los
números 347
; 349
y 350
. Dar
como respuesta la suma de
las cifras de la mayor parte
Rpta. 9
5. La suma de 3 números es
2832 y sus cuadrados son
proporcionales a los números
98
1
y
50
1
;
8
1
. ¿cuál es la
suma de cifras del mayor
número?
Rpta. 15
6. A y B tiene 80 y 55
bizcochuelos
respectivamente. Llega C
hambriento y se reparten los
135 bizcochuelos en partes
iguales, luego de
comérselos; “C” le entrega
S/. 45 como recompensa.
¿Cuánto de más recibe A con
respecto a B?
Rpta. 20
Aritmética48

7. Se reparte 180 kilogramos,
de un producto entre 5
personas, según una
progresión aritmética, donde
la suma de los dos primeros
términos resulta ser la quinta
parte de la suma de los tres
términos. ¿Cuánto kilogramos
reciben la primera y la quinta
persona juntas?
Rpta. 72
8. Tres ciclistas deben correr
una misma distancia y se
ponen de acuerdo para
repartirse
$ 94 500 en forma D.P a sus
velocidades. Efectuando el
recorrido resulta que el
primero tardó 3 horas, el
segundo 5 horas, y el tercero
6 horas. ¿Cuánto recibió el
más veloz?
Rpta. 45 000
9. Se hizo un reparto I.P a
ciertos números obteniéndose
18 000; 14 400 y 12 000. Si el
reparto hubiera a los mismos
números una de las partes
sería:
Rpta. 17 760
10. Se desea repartir una
cierta cantidad (N3
- N) en
razón directa a los números:
2; 4; 6; 8; 10 ...... (2N). Si la
menor de las partes
obtenidas es
(N + 7). Hallar N.
Rpta. 9
11. Repartir 9900 en tres
parte A, B y C de manera que
A es a B como 3 es a 2 Y B
es a C como 5 es a 4. Dar
como respuesta la suma de
cifras de la mayor parte
obtenida
Rpta. 9
12. Se reparten “N” en partes
D.P a los números: 24; 15 y
20 e I.P a los números 40;
Aritmética 49

24; 25. se obtiene que entre
las 2 primeras exceden a la
tercera en 765. indicar la
suma de cifras de “N”
Rpta. 18
13. Repartir 25038 en partes
I.P alas inversas de 154
; 452
y 753
. dar como respuesta la
parte menor
Rpta. 108
14. A; B y C poseen un campo
siendo sus partes
proporcionales a los
números 4; 2; 5 y 1,5. “A”
vende la mitad de su parte a
“C” y este vende 100 m2
a “B”
así las partes de “B” y “C”
son iguales. ¿Cuántos m2
poseía “A” al principio?
Rpta. 800
15. La repartir $ 5700 entre 3
personas; B y C se hace el
reparto proporcionales a 3
números consecutivos
crecientes. ¿Luego del
reparto se tiene que 1/5 de
lo que le tocó a B más lo que
le tocó a “A” y hacen lo que
le tocó a “C”. ¿Cuánto le
toco a esta última persona?
Rpta. 2090
Aritmética50

1. Un profesor decidió premiar
a sus 3 mejores alumnos
regalándoles S/. 9200 en
forma directamente
proporcional al números de
problemas que resuelven de
la guía. El primero resolvió
17 problemas, el segundo 15
y el tercero 14. Indicar
cuánto le tocó al segundo.
A) 3000 B) 3400 C) 2800
D) 3500 E) 4000
2. Repartir 750 en forma D.P a
los números 6; 7 y 12; y dar
como respuesta la menor
parte.
A) 360 B) 270 C) 210
D) 180 E) 150
3. Repartir 594 en forma I.P a
los números 2; 3; 6 y 10; y
dar como respuesta la mayor
parte.
A) 64 B) 90 C) 180
D) 360 E) 270
4. Repartir 940 en 3 partes
que sean proporcionales a los
números
4
3
y
8
3
;
6
5
e
indicar el valor de la parte
intermedia
A) 400 B) 360 C) 210
D) 180 E) 240
5. Repartir 648 en forma D.P a
4 y 6 a la vez en forma I.P a
3 y 9. dar como respuesta la
parte menor
A) 432 B) 360 C) 240
D) 216 E) 200
6. Tres obreros A, B trabajan
10; 12 y 15 días
respectivamente en una
obra. Si en total ganaron
1330 dólares. ¿Cuánto ganó
B si el jornal de los obreros
están en la relación de 4; 5 y
6?
A) 420 B) 280 C) 360
D) 430 E) 450
Aritmética 51

7. Dividir el número 3024 D.P a
tres números de manera que
el primero y el segundo
están en la relación de 3 a 4
y el segundo con el tercero
en la relación de 5 a 7.
Indicar la mayor cifra del
mayor de los números.
A) 4 B) 6 C) 7
D) 5 E) 9
8. Repartir 3430 D.P a los
números 228
, 229
y 230
.
Indicar como respuesta la
parte intermedia
A) 960 B) 940 C) 850
D) 980 E) 290
9. Descomponer 529 en tres
partes que sean D.P a los
números
2
1
y
5
2
;
4
1
. Dar
como respuesta la mayor de
dichas partes
A) 115 B) 184 C) 230
D) 460 E) 320
10.Repartir 2040
proporcionalmente a los
números 5/8; 0,6 y 0,05.
indicar la mayor parte.
A) 1000 B) 1020 C) 920
D) 720 E) 960
Aritmética52

PARA TENER UNA IDEA DE LO QUE ES LA PACIENCIA, BASTA
CON OBSERVAR A UN NIÑO QUE APRENDE A CAMINAR. SE
CAE, VUELVE A CAER, UNA Y OTRA VEZ, Y SIN EMBARGO
SIGUE ENSAYANDO ¿, MEJORANDO HASTA QUE UN DÍA
CAMINA SIN CAERSE. ¡QUÉ NO PODRÍA LOGRAR LA PERSONA
ADULTA SI TUVIERA LA PACIENCIA DEL NIÑO Y SU
CONCENTRACIÓN EN LOS FINES QUE SON IMPORTANTES
PARA ÉL!
ERICH FROMM
CLAVES
1. A
2. D
3. E
4. D
5. D
6. A
7. A
8. D
9. C
10. A
Aritmética 53

¿SABÍAS QUÉ...
LA CARRERA PROFESIONAL DE
CIENCIAS FÍSICAS
El físico estudia fenómenos físicos de la naturaleza, la
estructura y propiedades de la materia. Elabora modelos teóricos y
experimentales para explicar cualitativa y cuantitativamente el
comportamiento de la materia. Diseña experimentos, construye
prototipos, máquinas, patrones e instrumentos de medida, aplicando
sus principios en la solución de problemas relacionados con los
procesos industriales de la tecnología diversa. Se busca desarrollar
habilidades sobre bases sólidas, capacidad analítica y crítica que le
permita al futuro físico tomar decisiones adecuadas al mundo
globalizado en que vivimos normalmente. La formación que recibe un
físico, tanto en física como en matemática y en otras ciencias
básicas, lo capacita para dedicarse a una carrera en investigación
científica y actividad profesional en física del medio ambiente,
física, ciencias de la salud y áreas tecnológicas afines, incluyendo
áreas alejadas como telemática y finanzas.
Aritmética54

TEMA: REGLA DE TRES
Es un procedimiento aritmético que consiste en hallar un valor
desconocido de una magnitud, mediante la comparación de dos o más
magnitudes; las que guardan una relación de proporcionalidad.
REGLA DE TRES SIMPLE
Resulta de comprar dos magnitudes, así tenemos:
Regla de Tres Simple Directamente proporcional
Si tenemos las magnitudes A y B que son directamente
proporcionales y x es un valor desconocido de la magnitud B.
.
1
2
1
a
a
.bx = .
EJEMPLO:
1. Un grupo de 30 obreros hacen una obra en 20 días. ¿Cuántos días
tardarán en terminar 15 obreros?
Resolución:
15
30
.20x = x = 40 días
Regla de Tres Simple Inversamente Proporcional
Si tenemos las magnitudes A y B que son inversamente proporcional y
x es un valor desconocido de la magnitud B.
Aritmética 55

.
2
1
1
a
a
.bx = .
EJEMPLO:
1. Una cuadrilla de obreros hace una obra si la obra se cuadriplica.
¿Que sucede con la cuadrilla?
Resolución:
1
4
.hx = x = 4 h
REGLA DE TRES COMPUESTA
Resulta de comprar más de 2 magnitudes, donde la magnitud que
tiene el valor desconocido se compara con las demás. Así podemos tener:
⇒ .
2
1
1
2
2
1
1
2
1
e
e
.
c
c
.
b
b
.
a
a
.dx = .
EJEMPLO:
1. Una cuadrilla de 30 dólares hacen una obra de 20m2
en 20 días
trabajando 6h/d. ¿Cuántos obreros se aumentarán, si se hace una
obra de 600m2
en 15 días trabajando 4h/d?
Aritmética56

→ x + 30 = 30 .
200
600
.
4
6
.
15
20
→ x + 30 = 180 → x = 150
PROBLEMAS RESUELTOS
Problema 1: Un automóvil tarda 8 horas en recorre un trayecto yendo a
90km/h. ¿Cuánto tardará en recorrer el mismo trayecto yendo a
60km/h?
Resolución
I
Yendo a: 90km/h tarda 8 horas
Yendo a: 60km/h tarda x horas
La duración del trayecto es inversamente proporcional a la velocidad, lo
que se indica por I colocada encima de la columna de la velocidades.
Por tanto:
860
90 x
= ; de donde: x =
60
8.90
= 12
Rpta. . x = 12 horas .
Problema 2:
Si 12 metros de cable cuestan 42 soles. ¿Cuánto costarán 16 metros del
mismo cable?
Resolución
D
12m cuestan S/. 42.
Si:
16m cuestan S/. x
El costo es directamente proporcional al número de metros lo que se
indica por la letra D encima de la columna metros.
Aritmética 57

Por tanto:
x
42
16
12
= ; donde: x =
12
16.42
= 56 soles
Rpta. . x = 56 soles .
Problema 3:
Una obra puede ser hecha por 20 obreros en 14. ¿Cuántos obreros hay
que añadir para que la obre se termine en 8 días?
Resolución
Sea: x = # de obreros que hay que añadir para que la obra se termine en
8 días.
I
Luego: Si: 20 obreros 14 días
(20 + x) obreros 8 días
El número de obreros es inversamente proporcional al número de días.
(Quiere decir a más obreros menos días), lo que se indica por la letra
I encima de la columna días.
Por tanto:
20
20
8
14 x+
= ; donde: 20 + x =
8
14.20
20 + x = 35
Rpta . x = 15 obreros .
Problema 4: Un ganadero tiene 640 corderos que puede alimentar
durante 65 días. ¿Cuántos corderos debe vender si quiere alimentar su
rebaño por 15 días más dando la misma ración?
Resolución:
Sea: x = # de corderos que debe vender
I
Luego: Si: 640 corderos 65 días
Aritmética58

(640 - x) corderos (65 + 15) = días = 80 días
El número de corderos es inversamente proporcional al número de días.
(Quiere decir que a menos corderos tendrán para más días), lo que se
indica por la letra I encima de la columna días.
Por tanto:
340
640
80
65 x−
= ; de donde: 640 - x =
85
65.640
640 – x = 520
Rpta. . x = 120 corderos .
Problema 5:Manuel y Sara recorren cierta distancia, y los tiempos que
emplean están en la razón
21
15
. La velocidad de Manuel es de 56km/h.
¿Cuál es la velocidad de Sara?
Resolución:
I
Tiempos velocidades
Manuel : 15 56km/h ⇒
Sara : 21 x km/h
Por tanto:
5621
15 x
= ; de donde: x =
21
56.15
= 40
Rpta. . x = 40 km/h .
Aritmética 59
El tiempo es inversamente
proporcional a la velocidad
(Quiere decir a mayor
velocidad menos tiempo); lo
que se indica por la letra I
encima de la columna tiempo.

Problema 6
DOS RUEDAS CUYOS DIÁMETROS, SON 1,5CM Y 2,4M ESTÁN
MOVIDAS POR UNA CORREA, CUANDO LA MENOR DÁ 220
REVOLUCIONES. ¿CUÁNTAS REVOLUCIONES DÁ LA MAYOR?
Resolución:
I
1,5 m 220 Rev.
2,4 m x Rev
• Los diámetros son inversamente proporcionales al número de
revoluciones. (Quiere decir que a menor diámetro la rueda dará más
vueltas o resoluciones). Lo que se indica por la letra I encima de la
columna metros.
Por tanto:
2204,2
5,1 x
= ; de donde: x =
4,2
220.5,1
Rpta . x = 137,5 rev .
Aritmética60

Problema 7: Nataly demora 6 horas en construir un cubo compacto de
4cm de arista, después de 54 horas de trabajo. ¿Qué parte de un cubo de
12cm de arista habrá construido?
Resolución:
LA RELACIÓN QUE DEBEMOS TENER PRESENTE, ES ENTRE EL
VOLUMEN Y EL TIEMPO; PUESTO QUE NATALY CONSTRUYE UN
CUBO; VEAMOS:
Para construir este cubo de 4 cm de arista
demora 6 horas, o sea:
En 6 horas → (4cm)3
. . . . (1)
Luego: Sea “x” número de horas que demoraría en construir un cubo de 12
cm de arista.
O sea: en x horas → (12 cm)3
...... (2)
D
De las expresiones (1) y (2); obtenemos: En 6 horas (4cm)3
En x horas (12 cm)3
Tiempos Volúmenes
• Los volúmenes son directamente proporcionales a los
tiempos (Quiere decir que a más volumen, más tiempo). Lo que se
indica por la letra D encima de la columna volúmenes.
Por tanto: 3
3
)12(
)4(6
cm
cm
x
= ; de donde: x =
x = 6 . (27) ∴ . x = 162 horas .
Aritmética 61

Entonces: En 54 horas habrá hecho:
Rpta. Después de 54 horas de trabajo, del cubo de 12cm de arita habrá
construido un 1/3.
Problema 8: 12 obreros pueden hacer una obra en 29 días. Después de 8
días de trabajo se retiran 5 obreros. ¿Con cuántos días de retraso se
entregará la obra?
Resolución:
ANALIZANDO EL PROBLEMA LLEGAMOS A LA CONCLUSIÓN QUE
LUEGO DEL OCTAVO DÍA LOS 12 OBREROS TENDRÍAN 21 DÍAS PARA
COMPLETAR LA OBRA. PERO COMO SON SÓLO 7 OBREROS AHORA
EN CUÁNTOS DÍAS MÁS TERMINARÁN LA OBRA.
Luego:
I
Si: 12 obreros 21 días
⇒
7 obreros x días
Por tanto:
217
12 x
= de donde : x =
7
21.12
= 36 ⇒ ∴ . x = 36 días
.
Los 7 obreros que quedan demorarán 36 días en terminar la obra
(Tiempo total empleado por
Aritmética62
El número de obreros es
inversamente proporcional al
tiempo (Quiere decir a menos
obreros más tiempo); lo que se
indica por la letra I encima
de la columna obreros.

los 7 obreros en hacer la obra) = 8 + 36 = . 44 días .
El retraso será: 44 días - 29 días = 15 días
Rpta. . La obra se entregará con un retraso de 15 días .
Problema 9: Percy es el doble de rápido que Miguel y éste es el triple de
rápido que Franklin. Si entre los tres pueden terminar una tarea de
Rozamiento Matemático en 16 días. ¿En cuántos días Miguel con Franklin
harán la misma tarea?
Resolución:
• Del enunciado del problema , planteamos:
rapidez10
Total
1rapidez:Franklin
3rapidez:Miguel
6rapidez:Percy
=





SI:
I
Entre los tres: 10 rapidez 16 días
Entre Miguel 4 rapidez x días
y Franklin
La rapidez es inversamente proporcional al tiempo (quiere decir que a
menos rapidez más tiempo). Lo que se indica por la letra I de la columna
rapidez.
Aritmética 63

Por tanto:
164
10 x
= ; de donde: x =
4
16.10
= 40 ⇒ ∴ . x = 40 días
.
Rpta. . Miguel con Franklin, harán la misma tarea en 40 días .
Problema 10: Sabiendo que un venado atado a una cuerda de 3m de largo,
tarda 5 días en comerse todo el pasto a su alcance. ¿Cuánto tardaría si la
cuerda fuera 6m?
Resolución:
Analizando el problema,
llegamos a la conclusión que el
buey al comer el pasto que
está a su alcance determina un
circulo (área del circulo (πr2
)
Luego:
D
Áreas Tiempos
π (3m)2
5 días
π (6m)2
x días
• Las áreas son directamente proporcionales a los
tiempos. (quiere decir que a más área más tiempo). Lo que se indica
por la letra D encima de la columna áreas
Por tanto:
xm
m 5
)6(
)3(
2
2
=
π
π
; de donde: x = 5 ⇒ ∴ . x = 20 días
.
Aritmética64

Rpta. Si la cuerda fuera de 6m, el buey tardaría 20 días en
comerse todo el pasto que esta a su alcance
1. Veinte obreros tienen
provisiones para 40 días. Si
se retiran 10 obreros. ¿Para
cuántos días alcanzarán las
provisiones?
Rpta. 80
2. ¿Cuantos pares de medias
podré comprar con S/. 800
si cada media cuesta S/. 4?
Rpta. 100
3. El conejo salta 3 veces en
2s. ¿Cuánto tardará en
saltar 126 veces?
Rpta. 84
4. La tercera parte de un
trabajo realizo en 5 días, lo
que me falta lo termino en:
Rpta. 10
5. Si: A = obras, B = días, C =
eficiencia, D = obreros, ¿cuál
es la alternativa correcta?
a. D y C son DP
b. A y B son IP
c. C y B son DP
d. A y D son IP
e. C y D son IP
6. El kilogramo de yuca cuesta
S/. 2 ¿Cuánto costará 7kg
de yuca de igual calidad?
Rpta. S/. 14
Aritmética 65

7. Un móvil a velocidad
constante recorre unos
400m en 8s. ¿cuántos
metros recorrerá 20s?
Rpta. 1000m
8. En 1/3 día se consume 2/7
de la carga de una pila.
¿Cuánto de carga se
consumirá en 7/12 de día?
Rpta. ½
9. Los 2/7 de una obra los
realizó en 18 días. ¿En
cuántos días podré terminar
los que falta?
Rpta. 45 días
10. 4 polos en un cordel se
secan en 4min. ¿Cuánto
demorarán en secarse 8
polos?
Rpta. 4 min
11. 40 obreros tienen
provisiones para 60 días, si
se retiran 10 obreros. ¿Para
cuántos días alcanzaran las
provisiones?
Rpta. 80
12. 5 obreros hacen una obra
en 8 días, 32 obreros. ¿En
cuantos días harán la misma
obra?
Rpta. 5/4 días
11.Un par de zapatillas cuesta
S/. 160. ¿Cuánto costarán 12
zapatillas?
Rpta. S/. 960
12.En un cubo de aristas 2m se
puede almacenar 200kg de
arroz ¿Cuántos kilogramos
más de arroz se almacenan
en un cubo de arista 3m?
Rpta. 475
13.Sabiendo que 10 campesinos
siembran terreno cuadrado
de 15m de lado en 12 días
Aritmética66

¿en que tiempo 20
campesinos sembrarán un
terreno de 30m de lado?
Rpta. 24
Aritmética 67

1. Dos panes cuestan S/. 0,20
¿cuánto costarán 4 panes?
A) S/. 0, 10 B) S/. 0,20
C) S/. 0, 30 D) S/. 0,40
E) S/. 0,40
2. Si un móvil que viaja a velocidad
constante en 5 horas recorre
600km. ¿Qué distancia
recorrerá al cabo de 8 horas?
A) 840km B) 960km C) 690km
D) 900km E) 720km
3. Catorce obreros hacen una
misma obra en 9 días ¿Cuántos
obreros harán la misma obra en
7 días?
A) 15 B) 18 C) 17
D) 16 E) 14
4. Un obrero limpia 5 tubos en 20
minutos. ¿En cuántos minutos
limpiará 20 tubos?
A) 40 B) 60 C) 80
D) 90 E) 30
5. En 16 días se consume 1/8 de
la carga de una batería.
¿Cuántos se consumirá en 48
días?
A) 3/5 B) 2/7 C) 3/8
D) 1/8 E) 1/5
6. Sabiendo que 5 soldados
fuman 5 cigarrillos en 5 min.
¿En que tiempo 6 soldados
fumarán 6 cigarrillos?
A) 1min B) 2min C) 3min
D) 4min E) 5min
7. Para terminar la reparación
de un pozo en 8 días se
necesitan 15 obreros
¿Cuántos obreros más se
necesitan si se quiere
terminar en 5 días?
A) 8 B) 7 C) 9
D) 5 E) 10
8. Un hombre puede leer un
libro de “p” páginas en “d”
Aritmética68

días. ¿Cuántos días se
demorará en leer “L” libros
de “S” páginas cada uno?
A) d, L. S
B)
S.L.d
P
C) L.S
D)
P
S.L.d
E) p. L. S
9. Veinte trabajadores pueden
hacer una zanja de 40m de
profundidad en 24 días, 36
trabajadores en 18 días,
¿Qué profundidad cavarán?
A) 50 B) 52 C) 53
D) 54 E) 51
10.Trabajando 10h/d, durante
15 días, 5 hornos consumen
50 toneladas de carbón.
¿Cuántas toneladas serán
necesarias para mantener
trabajando 9h/d durante 25
días a 3 hornos más?
A) 100 B) 120 C) 153
D) 160 E) 140
Aritmética 69

UN NIÑO SIEMPRE PUEDE ENSEÑAR TRES
COSAS A UN ADULTO; A ALEGRARSE SIN
MOTIVO, A ESTAR SIEMPRE OCUPADO CON
ALGO Y A SABER EXIGIR CON TODAS SUS
FUERZAS AQUELLO QUE DESEA
PAUL COELHO
CLAVES
1. D
2. B
3. B
4. C
5. C
6. E
7. C
8. D
9. D
10. B
Aritmética70

TEMA: REGLA DE INTERÉS
INTERÉS
Es la ganancia o beneficio al prestar un capital durante cierto tiempo
y bajo una tasa a considerarse. Si el interés es anual se le llama renta.
Interés (I) : Crédito, renta (anual)
Capital (C) : Dinero, acciones, propiedades, etc.
Tiempo (T) : Año, meses, días
OBSERVACIONES:
EL AÑO CONSIDERADO ES EL COMERCIAL, AQUEL QUE TIENE 12 MESES
DE 30 DÍAS CADA UNO
Tasa (r): Es el porcentaje anual, considerado como tasa de interés.
OBSERVACIONES:
POR EJEMPLO, TENEMOS:
3 % MENSUAL ≡ 36% ANUAL
12% BIMENSUAL ≡ 72% ANUAL
10% QUINCENAL ≡ 240% ANUAL
Monto (M) : Viene a ser la suma del capital con su interés Asi:
. M = C + 1 .
Fórmulas para calcular el interés simple:
. 1 =
100
t.r.C
, “t” en años .
. 1 =
1200
t.r.C
, “t” meses .
Aritmética 71

. 1 =
1200
t.r.C
, “t” en días. .
Ejemplo:
Pedro deposita 4000 soles bajo una tasa de 12% semestral durante 15
meses. ¿Cuál es el monto que obtiene?
Resolución:
C = S/. 4000
r = 12% semestral ≡ 24 % anual
t = 15 meses
I =
1200
t.r..C
=
1200
15.24.4000
= 1200
Y como M = C + I
M = 4000 + 1200
M = 5200
SE ATREVIDO Y VALIENTE. CUANDO VUELVAS
LA VISTA ATRÁS, LAMENTARÁS MÁS LAS
COSAS QUE NO HAYAS HECHOS QUE
AQUELLAS QUE HICISTE.
MARDEN
Aritmética72

1. ¿Qué interés un capital de
S/. 3000 impuestos al 20%
en 5 meses?
Rpta. S/. 250
2. ¿Que interés produce S/.
120000 en 2 meses y 10 días
al 16% cuatrimestral?
Rpta. S/. 11200
3. ¿Cuál es la capital que al
4% anual y durante 10 meses
ha producido interés de S/.
12?
Rpta. S/. 360
4. ¿En cuánto se convierte un
capital de S/. 3000 que fue
impuesto al 3% bimestral
durante 2 años?
Rpta. S/. 4080
5. Los 5/7 de un capital
colocado al 3% produce
anualmente S/. 420 más que
el resto colocado al 4% ¿Cuál
es el capital?
Rpta. S/. 42000
6. ¿A qué porcentaje anual se
ha impuesto un capital de
S/. 80000 que en 10 años se
ha triplicado?
Rpta. 20%
7. ¿Que tiempo ha estado
impuesto S/. 500 para que al
2% anual se haya convertido
en S/. 600?
Rpta. 10 años
8. Un capital prestado a una
cierta tasa produce un
determinado interés anual. Si
el capital fuese S/. 2000
mayor, el interés aumentaría
en S/. 4000. Determinar la
tasa.
Rpta. 20%
Aritmética 73

9. Tres hermanos Isidoro,
Fortunato y Guillermo
depositan en un banco 600;
1000 y 800 soles
respectivamente. Al cobrar
sus intereses, Fortunato
recibe 100 soles más que
Isidoro. ¿Cuánto le
corresponde a Guillermo?
Rpta. 200 soles
10. El menor de 2 capitales se
coloca al 20% de interés
simple durante 3 años y el
otro al 25% durante 2 años,
siendo la relación de montos,
en ese orden de 4 es a 5.
determinar el mayor capital,
sabiendo que la suma de
ambos capitales es 4200
Rpta. 2400
11. Se coloca S/. 1000 al 5%
durante un cierto número de
años y el capital se duplica.
Si colocamos los S/. 1000 al
5% durante un tiempo que es
8 años mayor que el anterior,
¿Qué interés producirá?
Rpta. S/. 1400
12. Los intereses generados
por dos capitales en el mismo
tiempo, con tasa del 13%
bimestral 91% semestral
respectivamente se
encuentra en la misma
relación que 11 y 19. Si la
diferencia de dichos
capitales es 600. calcular la
suma de ellos.
Rpta. 4020
13. ¿Durante 2/3 cuánto
tiempo se debe colocar un
capital al 60% semestral
para que el monto sea el
180% del capital?
Rpta. 8 meses
14. El capital de Walter es el
10% del capital de Juan. ¿A
qué tasa deberá imponer
Walter su capital para que
después de 10 años el monto
obtenido por él sea el 20%
del monto obtenido por Juan
que presta su dinero al 5%
durante el mismo tiempo?
Rpta. 20%
Aritmética74

15. Una persona tiene S/.
16000 que presta al 5%
trimestral y otra S/.
20000 que presta al 5%
cuatrimestral. ¿Dentro de
cuanto tiempo los montos
serán iguales?
Rpta. 20 años
Aritmética 75

1. Hallar el interés anual de S/.
1580 al 20%
A) S/. 815 B) S/. 518
C) S/. 316 D) 613
E) S/. 340
2. Un capital prestado a una
cierta tasa produce un
determinado interés anual.
Si el capital fuese S/. 60000
mayor, el interés aumentaría
en S/. 1800. Determinar la
tasa
A) 3% B) 4% C) 5%
D) 6% E) 7%
3. Calcular el interés generado
por depositar S/. 1200 al
10% trimestral durante 6
meses
A) S/.
120
B) S/. 150 C) S/. 180
D) S/. 210 E) S/.
240
4. ¿Durante cuánto tiempo
estuvo depositado un capital
al 5% de interés anual, si los
intereses producido alcanzan
al 60% del valor del capital?
A) 1 año B) 10 años
C) 12 años D) 6 años
E) 9 años
5. ¿En cuánto años un capital
impuesto al 8% produce un
interés igual a 2/3 del
monto?
A) 20 B) 22 C) 24
D) 25 E) 26
6. ¿En cuánto se convertirán
S/. 84 000 al 1,5% mensual
durante 18 días?
A) S/.
88765
B) S/ 82756
C) S/. 83756 D) S/.85756
E) S/. 84756
7. Una persona deposita hoy
cierto capital interés simple.
Aritmética76

Luego de 2 meses del monto
será S/. 3600 y 3 meses
después a este primer
tiempo será S/. 4350. ¿Cuál
es el capital depositado hoy?
A) S/. 3100 B) S/. 3050
C) S/. 3000 D) S/. 3150
E) S/. 3250
8. Determine las tasas
equivalentes
I. 5% mensual
II. 10%
bimestral
III. 2,5%
quincenal
IV. 30%
semestral
A) I y II B) II y IV
C) III y I D) I; II y III
E) I; II: III y IV
9. Un capital impuesto a un
interés simple durante 7
meses, produjo un monto de
S/. 41040. si el mismo
capital se hubiera impuesto
a la mismas tasa de interés
por 10 meses el monto
resultaría S/. 43200. Hallar
la tasa
A) 6% B) 12% C) 18%
D) 24% E) 30%
10.Si un capital se triplicase y
la tasa de interés fuera la
mitad, el interés en el mismo
sería S/. 840 más ¿Cuál fue
el interés original?
A) S/. 1480 B) S/. 1580
C) S/. 1680 D) S/. 1780
E) S/. 1880
DEBEN SABER, AMIGOS MÍOS, QUE UNA DE
LAS FUENTES MÁS PURAS DE LA FELICIDAD,
LA TIENEN EN SU CASA, ENTRE LA FAMILIA,
ENTRE SUS MUEBLES, ENTRE SUS LIBROS.
W. STEVENS
Aritmética 77

CLAVES
1. C
2. A
3. E
4. C
5. D
6. E
7. A
8. E
9. D
10. C
Aritmética78

ÍNDICE
PÁG.
RAZONES Y PROPORCIONES 7
PROMEDIOS 17
MAGNITUDES PROPORCIONALES 33
REPARTO PROPORCIONAL SIMPLE 48
REGLA DE TRES 57
REGLA DE INTERÉS 72
Aritmética 79

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