Este documento presenta conceptos básicos de lógica matemática, incluyendo definiciones de proposiciones lógicas, operadores lógicos como "y", "o", "si...entonces", tablas de verdad, tautologías, contradicciones y leyes lógicas como las leyes de De Morgan y la distribución.

1. Presentado Por : Jennifer
Estefanía Oviedo Reina.
Presentado A: Francisco
Góngora.

2. • La Lógica Matemática es la disciplina que trata de
métodos de razonamiento. En un nivel elemental, la
Lógica proporciona reglas y técnicas para determinar si
es o no valido un argumento dado.
Sopa de letras Sudoko. Cuadrados
mágicos

3. • En adelante cuando hablemos de proposiciones,
éstas serán lógicas. Si son abiertas, significará que
el conjunto de sustituciones está bien definido y la
harán verdadera o falsa. Para operar con las
proposiciones, éstas se clasifican en dos tipos:
Simples y Compuestas, dependiendo de como están
conformadas.
• EJEMPLOS:1) Carlos Fuentes es un
escritor. (Simple)
• 2) Sen(x) no es un número mayor que
1. (Compuesta)
• 3) El 14 y el 7 son factores del
42. (Simple)
• 4) El 14 es factor del 42 y el 7 también es factor del
42. (Compuesta)

4. • Existen conectores u operadores lógicas que permiten
formar proposiciones compuestas(formadas por varias
proposiciones). Los operadores o conectores básicos
son :
• Operador and (y) : Se utiliza para conectar dos
proposiciones que se deben cumplir para que se pueda
obtener un resultado verdadero. Si símbolo es: {Ù , un
punto (.), un paréntesis}. Se le conoce como la
multiplicación lógica:
EJEMPLO

5. • Sea el siguiente enunciado "El coche enciende cuando
tiene gasolina en el tanque y tiene corriente la batería.
• Sean:
• p: El coche enciende.
• q: Tiene gasolina el tanque.
• r: Tiene corriente la batería.
• De tal manera que la representación del enunciado
anterior usando simbología lógica escomo sigue:
• p = q Ù r

6. • Considera la siguiente proposición: "Si obtienes una A en
lógica, entonces te voy a comprar un Mustang amarillo."
Esta parece ser compuesta en dos oraciones más
simplemente:
• p: "Obtienes una A en lógica," y
• q: "Te voy a comprar un Mustang amarillo."
• La proposición original quiere decir lo siguiente: Si p es
verdad, entonces q es verdad, o, más
simple, si p, entonces q. También podemos escribir la
frase como p implica q, y escribimos p→q.
• La condicional p→q, que se lee "si p, entonces q" o "p
implica q," se define con la siguiente tabla de verdad.
SIGUE

7. • Tabla de la verdad.
• EJEMPLOS :
• 1-Si p y q son verdaderas, entonces p→q es
verdadera. Por ejemplo:
• Si 1+1 = 2 entonces el sol sale por el este.
• Aquí p: "1+1 = 2" y q: "El sol sale por el este.«
• 2-Si p es verdadera y q es falsa, entonces
p→q es falsa. Por ejemplo considera:
• *Cuando llueve, llevo un paraguas.*
• Aquí p: "Esta lloviendo," y q: "Llevo un
paraguas." En otras palabras, podemos
reformular la frase o oración como: "Si llueve
entonces llevo un paraguas." De hecho, es
frecuentemente el caso que llueve (p es
verdadera) y se me olvido traer mi paraguas
(q es falsa). En tal momento la proposición
p→q es claramente falsa.
p q p→q
V V V
V F F
F V V
F F V
SIGUE

8. • 3-Si p es falso, entonces p→q es verdadera, no inporta si
q es verdadera o no. Por ejemplo:
*Si la luna es hecha de queso verde, entonces soy el rey
de Inglaterra.*
Aquí p: "La luna es hecha de queso verde," que es falsa, y
q: "Soy el rey de Inglaterra." La proposición p→q es
verdadera, si o no el orador suele ser el rey de Inglaterra (o
si, lo que es más, aún hayun rey de Inglaterra).

9. • Ya vimos que p→q no es lo mismo que q→p. Puede
ocurrir, sin embargó, que ambos p→q y q→p son
verdaderas. Por ejemplo, si p: "0 = 1" y q: "1 = 2,"
entonces p→q y q→p ambas son verdaderas porque p y
q ambas son falsas. La proposición p↔q se define como
la proposición (p→q) (q→p). Por esta razón, la flecha de
doble cabeza ↔ se llama el bicondicional. Obtenemos
la tabla de verdad para p↔q construyendo la tabla para
(p→q) (q→p), que nos da lo siguiente.
• El bicondicional p↔q, que leemos "p si y solo si q" o "p
es equivalente a q," se define por la siguiente tabla de
verdad.
SIGE

10. • Tabla de la verdad.
• EJEMPLOS : (a) Verdad o
falsa? "1+1 = 3 si y solo
si Marte es un agujero negro."
(b) Reformula la oración:
"Enseño matemáticas si y solo si
me pagan una gran suma de
dinero."
• SOLUCION:(a) Verdadera. La
proposición dada tiene la forma
p↔q, dónde p: "1+1=3" y q:
"Marte es un agujero negro." Ya
que ambas proposiciones son
falsas, el bicondicional p↔q es
verdadera.
p q p↔q
V V V
V F F
F V F
F F V
SIGUE

11. • (b) Aquí están algunas maneras equivalentes de
expresar esta oración:
• « Enseñar matemática es necesario y suficiente para que
me paguen una gran suma de dinero.
• « Me pagan una gran suma de dinero si y solo si enseño
matemáticas.«

12. • Una tautología (del griego ταυτολογία, "decir lo mismo")
es una fórmula bien formada que resulta verdadera para
cualquier interpretación; es decir, para cualquier
asignación de valores de verdad que se haga a
sus fórmulas atómicas. La construcción de una tabla de
verdad es un método efectivo para determinar si una
fórmula cualquiera es una tautología o no.
• Ejemplos de tautología: Sean las siguientes
proposiciones:
• a: Voy al cine
• b: Voy a cenar
• c: Me quedo en casa
• Entonces la sentencia: (a^b) -> (a v ¬c)
sigue

13. • Si voy al cine y voy a cenar, entonces voy al cine o no
me quedo en casa.
• La proposición compuesta p v ¬p es una tautología.
• Sea p la proposición atómica “El auto es rojo” entonces
¬p queda “El auto no es rojo”

14. • En lógica, una contradicción es una incompatibilidad entre
dos o más proposiciones. Por ejemplo, las oraciones «llueve y
no llueve» y «ni llueve ni truena, pero llueve y truena»
expresan contradicciones.
• EJEMPLOS: No es caro, cuesta mucho dinero.
• La comida está salada, no tiene sal.
• La torta es dulce, no es dulce.
• La amo y la odio al mismo tiempo.
• El auto es blanco, pero negro.
• Juan es mi padre, pero no es mi padre.
• No es azul y rojo, es rojo y azul.
• Hay mucha neblina y excelente visibilidad.
• La tarea es fácil, y muy difícil.
• Los leones no son anaranjados, son anaranjados.
• El auto es verde, y el auto no es verde.

15. • En lógica, las declaraciones p y q son lógicamente
equivalentes si tienen el mismo contenido lógico. Este
es un concepto semántico, dos afirmaciones son
equivalentes si tienen el mismo valor de verdad en todos
los modelos (Mendelson 1979:56).
• EJEMPLOS: Si Lisa está en Francia, entonces ella está
en Europa
• Si Lisa no está en Europa, entonces ella no está en
Francia .
p∨(q∧r)≡(p∨q)∧(p∨r)
p∧(q∨r)≡(p∧q)∨(p∧r)
Leyes de distribución
﹁(p∧q)≡﹁p∨﹁q ﹁
(p∨q)≡﹁p∧﹁q
Leyes de De Morgan
p∨(p∧q)≡p p∧(p∨q)≡p Leyes de absorción
p∨﹁p≡T p∧﹁p≡F Leyes de negación

16. • Ley de doble negación: Dentro de un sistema de lógica
clásica, la doble negación, esto es, la negación de la
negación de una proposición p, es lógicamente
equivalente a p.
• Leyes de idempotencia: En matemática y lógica,
la idempotencia es la propiedad para realizar una acción
determinada varias veces y aun así conseguir el mismo
resultado que se obtendría si se realizase una sola vez.
• Leyes asociativas: Las "Leyes asociativas" quieren decir
que no importa cómo agrupes los números (o sea, qué
calculas primero) cuando sumas o cuando multiplicas.
• (a + b) + c = a + (b + c)
(a × b) × c = a × (b × c)
SIGUE

17. • Leyes conmutativas: Las "leyes conmutativas" sólo
quieren decir que puedes intercambiar los números
cuando sumas o cuando multiplicas y la respuesta va a
ser la misma.a
• + b = b + a
a × b = b × a
• Leyes distributivas: La "ley distributiva" es la MEJOR de
todas, pero hay que usarla con mucho cuidado Quiere
decir que la respuesta es la misma cuando:
• sumas varios números y el resultado lo multiplicas por algo, o
• haces cada multiplicación por separado y luego sumas los
resultados
• Así:
• (a + b) × c = a × c + b × c
SIGUE

18. • Leyes de De Morgan: En lógica proposicional y álgebra
de Boole, las leyes de De Morgan son un par de reglas
de transformación que son ambas reglas de
inferencia válidas. Las normas permiten la expresión de
las conjunciones y disyunciones puramente en términos
de sí vía negación. Las reglas se pueden expresar en
español como:
• La negación de la conjunción es la disyunción de las
negaciones.
La negación de la disyunción es la conjunción de las
negaciones.
• o informalmente como:
• "no (A y B)" es lo mismo que "(no A) o (no B)«
• y también.
• "no (A o B)" es lo mismo que "(no A) y (no B)"Las reglas
pueden ser expresadas en un lenguaje formal con dos
proposiciones P y Q, de esta forma:

19. • Las demostraciones son ejemplos de razonamiento
deductivo y se distinguen de argumentos inductivos
o empíricos; una demostración debe demostrar que una
afirmación es siempre verdadera (ocasionalmente al
listar todos los casos posibles y mostrar que es válida en
cada uno), más que enumerar muchos casos
confirmatorios. Una afirmación no probada que se cree
verdadera se conoce como conjetura.
• Demostración por contraposición (formalizado y utilizado
en los silogismos por Aristóteles).
• Demostración por reducción al absurdo (formalizado y
utilizado por Aristóteles) y, como caso
particular, descenso infinito
• Inducción matemática
• Inducción fuerte

20. • Una tabla de verdad, o tabla de valores de verdad, es
una tabla que muestra el valor de verdad de
una proposición compuesta, para cada combinación de
verdad que se pueda asignar.
• EJEMPLOS :

21. . .