Este documento presenta 12 ejercicios relacionados con el muestreo y reconstrucción de señales. Los ejercicios cubren temas como la frecuencia de Nyquist, frecuencia de muestreo, aliasing y cuantificación de señales. Se proveen soluciones detalladas a cada ejercicio que involucran cálculos matemáticos para determinar frecuencias clave y representaciones gráficas de señales muestreadas.

1. Ejercicio 9
Una se˜al continua de electrocardiograma (ECG) contiene frecuencias utiles
n ´
hasta 100Hz
1 ¿Cu´l es la frecuencia de Nyquist de esta se˜al?
a n
2 Suponga que muestreamos esta se˜al a una tasa de 250muestras/s ¿Cu´l
n a
es la frecuencia m´s alta que puede representarse de forma un´
a ıvoca para
esta tasa de muestreo?.
Soluci´n:
o
1 Se tiene que Fmax = 100Hz, entonces F( N yquist) = 2Fmax = 200Hz
2 Del enunciado del ejercicio se tiene que Fs = 250muestras/s, entonces la
frecuencia m´xima que se puede representar es F = Fs /2 = 125Hz
a
Jorge A. Rodr´
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2. Ejercicio 10
Sea una se˜al an´loga x(t) = sen(480πt) + 3sen(720πt) se muestrea 600 veces
n a
por segundo.
1 Determine la frecuencia de muestreo de x(t)
2 Determine la frecuencia de solapamiento.
3 ¿Cu´les son las frecuencias en radianes de la se˜al discreta en el tiempo
a n
resultante x[n]?
4 Si x[n] se pasa a trav´s de un convertidor ideal D/A, ¿C´mo es la se˜al
e o n
reconstruida y(t)?
Jorge A. Rodr´
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3. Soluci´n:
o
′
1 Fmax = 360Hz de donde Fs = 2Fmax = 720muestras/s
2 La frecuencia de solapamiento o m´xima que se puede representar con
a
esta frecuencia de muestreo es Fs /2 = 300Hz
3
x[n] = x(nT ) = x(n/Fs )
n n
= sen 480π + 3sen 720π
600 600
2 2
= sen 2πn + 3sen 2πn 1 −
5 5
2 2
= sen 2πn − 3sen 2πn
5 5
2
= −2sen 2πn
5
4π
Por consiguiente, ω = 5
4 y(t) = x[Fs t] = −2sen(480πt)
Jorge A. Rodr´
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4. Ejercicio 11
Un enlace de comunicaciones digital transporta palabras codificadas en binario
que representan muestras de una se˜al de entrada
n
x(t) = 3cos(600πt) + 2cos(1800πt)
El enlace trabaja con una velocidad de 10000bits/s y cada muestra de entrada
la cuantifica en 1024 niveles de tensi´n distintos.
o
1 Determine las frecuencias de muestreo y de solapamiento.
2 ¿Cu´l es la frecuencia de Nyquist de la se˜al x(t)?
a n
3 ¿Cu´les son las frecuencias de la se˜al discreta en el tiempo resultante
a n
x[n]?
4 ¿Cu´l es la resoluci´n ∆?
a o
Jorge A. Rodr´
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5. Soluci´n:
o
1 El n´mero de bits que se necesitan para representar una muestra es
u
Nb its/muestra = log2 (1024) = 10 Entonces la frecuencia de muestreo es
Fs = total de bits/(Nb its/muestra)
10000bits/s
Fs = = 1000muestras/s
10bits/muestra
Ff old = Fs /2 = 500Hz
2 Fmax = 900Hz, de donde FN yquist = 2Fmax = 1800Hz
3
F1 3
f1 = =
Fs 10
F2 9
f2 = =
Fs 10
Como f2 > 1/2 entonces f2 = 1 − 1/10, de lo anterior se tiene
3 1
x[n] = 3cos 2π n + 2cos 2π n
10 10
Entonces las frecuencias son: f1 = 0,3ciclos/muestra y f2 = 0,1ciclos/muestra
4
xmax − xmin 5 − (−5) 10
∆= = =
m−1 1024 − 1 1023
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6. Ejercicio 12
Considere la siguiente se˜al sinusoidal continua en el tiempo
n
x(t) = sen(2πF0 t), −∞ < t < ∞
Puesto que x(t) est´ descrita de forma matem´tica, su versi´n muestreada puede
a a o
describirse mediante sus valores cada T segundos. La se˜al muestreada se de-
n
scribe mediante la f´rmula siguiente
o
F0
x[n] = x(nT ) = sen 2π n , −∞ < n < ∞
Fs
Donde Fs = 1/T es la frecuencia de muestreo.
1 Represente gr´ficamente la se˜al x[n], 0 ≤ n ≤ 99 para Fs = 5KHz y
a n
F0 = 0,5; 2; 3 y 4,5KHz Explique las similitudes y diferencias entre
distintas representaciones.
2 Suponga que F0 = 2KHz y Fs = 50KHz
1 Represente gr´ficamente la se˜al x[n]. ¿Cu´l es la frecuencia f0 de la se˜al
a n a n
x[n]?
2 Represente gr´ficamente la se˜al y[n] obtenida tomando las muestras pares
a n
de x[n]. ¿Es una se˜al sinusoidal? ¿Por qu´? En caso afirmativo, ¿cu´l es
n e a
su frecuencia?.
Jorge A. Rodr´
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7. Soluci´n:
o
Fs = 5KHz F0 = 500Hz Fs = 5KHz F0 = 2000Hz
1 1
0.5 0.5
x[n]
0 0
-0.5 -0.5
-1 -1
0 20 40 60 80 100 0 20 40 60 80 100
muestra(n) muestra(n)
Fs = 5KHz F0 = 3000Hz Fs = 5KHz F0 = 4500Hz
1 1
0.5 0.5
x[n]
0 0
-0.5 -0.5
-1 -1
0 20 40 60 80 100 0 20 40 60 80 100
muestra(n) muestra(n)
Figura: Se˜al con diferentes frecuencias
n
Jorge A. Rodr´
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8. 1 De la figura 1 se puede ver que la se˜al de 500Hz y la de la se˜al de 4500Hz
n n
son id´nticas, esto se debe a que la se˜al de 4500Hz es un alias de la de 500Hz,
e n
lo mismo pasa con las otras dos frecuencias.
2
Figura: Se˜al con F0 = 2KHz a) Fs = 50KHz b)Fs = 25KHz
n
1
1 La representaci´n es la figura 2 a) su frecuencia f0 = 25
o
2 La representaci´n de la se˜al y[n] se muestra en la figura 2 b), la se˜al es
o n n
sinusoidal ya que la frecuencia de muestreo (Fs = 25KHz es mucho mayor
2
a la frecuencia de Nyquist, y su frecuencia es f0 = 25
Jorge A. Rodr´
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