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Derivadas
El documento presenta conceptos fundamentales sobre el cálculo de derivadas. Explica la definición formal de derivada como un límite, y cómo se usa para determinar la pendiente de una curva en un punto y calcular la tangente. También cubre reglas para calcular derivadas, como la derivada de funciones constantes y compuestas, y el teorema de que la derivabilidad implica continuidad. Finalmente, incluye ejemplos detallados sobre cómo aplicar estas ideas para calcular derivadas a partir de su definición.
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- 1. CÁLCULO I P RO G R A M A A C A D É M I C O V I R T U A L Ciclo I Semestre 2020 - I Docente: Mg.: Miguel Ángel Tarazona Giraldo
- 2. 27/04/2020 El Matemáticode la web 2 LA DERIVADA 𝒇´ 𝒙 = 𝐥𝐢𝐦 𝒉→𝟎 𝒇 𝒙 𝟎 + 𝒉 − 𝒇(𝒙 𝟎 𝒉
- 3. EL MATEMATICO DELA WEBC U R S O D E C Á L C U L O I 27/04/2020 El Matemático de la web 3 Tangentes y la derivada en un punto Para determinar una tangente a una curva arbitraria, 𝑦 = 𝑓(𝑥 en el punto 𝑃 = 𝑥0, 𝑓(𝑥0 . Calculamos la pendiente de la secante que pasa por P y un punto cercano 𝑄 𝑥0 + ℎ, 𝑓(𝑥0 + ℎ . Luego investigamos el límite de la pendiente cuando ℎ → 0 (ver figura) Si el límite existe, le llamamos la pendiente de la curva en P y definimos la tangente en P como la recta que pasa por P y que tiene tal pendiente. Determinación de una tangente a la gráfica de una función DEFINICION: La pendiente de la curva 𝑦 = 𝑓(𝑥 en el punto 𝑃 = 𝑥0, 𝑓(𝑥0 es el número lim ℎ→0 𝑓 𝑥0 + ℎ − 𝑓(𝑥0 ℎ (Siempre que el límite exista). La recta tangente (o simplemente la tangente) a la curva en P es la recta que pasa por P y tiene dicha pendiente.
- 4. EL MATEMATICO DELA WEBC U R S O D E C Á L C U L O I 27/04/2020 El Matemático de la web 4 La Derivada La derivada como una función: En la sección anterior definimos la derivada de, 𝑦 = 𝑓(𝑥 en el punto 𝑥 = 𝑥0 como el límite lim ℎ→0 𝑓 𝑥0 + ℎ − 𝑓(𝑥0 ℎ , ℎ ≠ 0 siempre que este límite exista. Ahora estudiaremos la derivada como una función deducida a partir de f; para ello, consideremos el límite en cada punto x en el dominio de f. Definición: La derivada de la función f ´(x) con respecto a la variable x es la función f´ cuyo valor en x es 𝑓´ 𝑥 = lim ℎ→0 𝑓 𝑥0 + ℎ − 𝑓(𝑥0 ℎ , ℎ ≠ 0 siempre que el límite exista. Fórmula alternativa de la derivada 𝑓´ 𝑥 = lim 𝑧→𝑥 𝑓 𝑧 − 𝑓(𝑥 𝑧 − 𝑥
- 5. EL MATEMATICO DELA WEBC U R S O D E C Á L C U L O I 27/04/2020 El Matemático de la web 5 b) La pendiente de 𝑦 = 1/𝑥 en el punto donde 𝑥 = 𝑎 es − 1 𝑎2. Será igual a −1/4, siempre que − 1 𝑎2 = − 1 4 Tal ecuación es equivalente a 𝑎2 = 4, así que 𝑎 = 2 𝑜 𝑎 = −2. La curva tiene pendiente -1/4 en los dos puntos (2, 1/2) y (-2, -1/2). c) La pendiente − 1 𝑎2 siempre es negativa si 𝑎 ≠ 0. Cuando 𝑎 → 0+ , la pendiente tiende 𝑎 − ∞ y la tangente se hace cada vez más inclinada ver figura. Tal situación se presenta de nuevo cuando 𝑎 → 0−. Cuando a se aleja del origen, en cualquier dirección, la pendiente tiende a 0 y la tangente tiende a volverse horizontal.
- 6. EL MATEMATICO DELA WEBC U R S O D E C Á L C U L O I 27/04/2020 El Matemático de la web 6 a) Determine la pendiente de la curva 𝑦 = 1 𝑥 en cualquier punto 𝑥 = 0 ≠ 𝑎. ¿Cuál es la pendiente en el punto 𝑥 − 1? b) ¿En dónde la pendiente es igual a − 1 4 ? c) ¿Qué pasa con la tangente a la curva en el punto (𝑎, 1/𝑎 cuando a cambia? Solución Ejemplo 01: a) Aquí 𝑓 (𝑥 = 1/x. La pendiente en (𝑎, 1/𝑎 es lim ℎ→0 𝑓 𝑥0+ℎ −𝑓(𝑥0 ℎ = lim ℎ→0 1 𝑎+ℎ − 1 𝑎 ℎ = lim ℎ→0 1 ℎ 𝑎−(𝑎+ℎ 𝑎(𝑎+ℎ = lim ℎ→0 −ℎ ℎ𝑎(𝑎+ℎ = lim ℎ→0 −1 𝑎(𝑎+ℎ lim ℎ→0 𝑓 𝑥0 + ℎ − 𝑓(𝑥0 ℎ = −1 𝑎2 Observe: que a puede ser positivo o negativo ver figura.
- 7. EL MATEMATICO DELA WEBC U R S O D E C Á L C U L O I 27/04/2020 El Matemático de la web 7 Cálculo de derivadas a partir de la definición Ejemplo 02: Derive 𝑓 𝑥 = 𝑥 𝑥 − 1 Solución Utilizamos la definición de derivada, la cual requiere calcular 𝑓(𝑥 + ℎ y luego restar 𝑓(𝑥 para obtener el numerador en el cociente de diferencias. Tenemos 𝑓 𝑥 = 𝑥 𝑥 − 1 𝑦 𝑓 𝑥 = 𝑥 + ℎ 𝑥 + ℎ − 1 , Por lo que f´ x = lim h→0 f x + h − f(x h definición = 𝑙𝑖𝑚 ℎ→0 𝑥 + ℎ 𝑥 + ℎ − 1 − 𝑥 𝑥 − 1 ℎ = 𝑙𝑖𝑚 ℎ→0 1 ℎ ∙ 𝑥 + ℎ 𝑥 − 1 − (𝑥 + ℎ − 1 (𝑥 + ℎ − 1 (𝑥 − 1 = lim ℎ→0 1 ℎ ∙ −ℎ (𝑥 + ℎ − 1 (𝑥 − 1 = lim ℎ→0 −1 (𝑥 + ℎ − 1 (𝑥 − 1 = lim ℎ→0 −1 (𝑥 − 1 2 = −1 (𝑥 − 1 2 .
- 8. EL MATEMATICO DELA WEBC U R S O D E C Á L C U L O I 27/04/2020 El Matemático de la web 8 Ejemplo 03: a) Determine la derivada de 𝑓 𝑥 = 𝑥 para 𝑥 > 0. b) Determine la recta tangente a la curva 𝑦 = 𝑥 en 𝑥 = 4. Solución a) Utilizamos la fórmula alternativa para calcular f ´: 𝑓´ 𝑥 = lim 𝑧→𝑥 𝑓 𝑧 − 𝑓(𝑥 𝑧 − 𝑥 = lim 𝑧→𝑥 𝑧 − 𝑥 𝑧 − 𝑥 = lim 𝑧→𝑥 ( 𝑧 − 𝑥 ( 𝑧 + 𝑥 (𝑧 − 𝑥 ( 𝑧 + 𝑥 = lim 𝑧→𝑥 (𝑧 − 𝑥 (𝑧 − 𝑥 ( 𝑧 + 𝑥 = lim 𝑧→𝑥 1 ( 𝑧 + 𝑥 = lim 𝑧→𝑥 1 𝑥 + 𝑥 = lim 𝑧→𝑥 1 2 𝑥 = 1 2 𝑥 b) La pendiente de la curva en x=4 es 𝑓´ 4 = 1 2 4 = 1 4 . La tangente es la recta que pasa por el punto (4, 2) con pendiente 1/4.Notaciones 𝑓´ 𝑥 = 𝑦´ = 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑑𝑓 𝑑𝑥 = 𝑑 𝑑𝑥 𝑓 𝑥 = 𝐷 𝑓 𝑥 = 𝐷 𝑥 𝑓 𝑥 .
- 9. EL MATEMATICO DELA WEBC U R S O D E C Á L C U L O I 27/04/2020 El Matemático de la web 9 Derivabilidad en un intervalo; derivadas laterales Una función, 𝑦 = 𝑓(𝑥 es derivable en un intervalo abierto (finito o infinito) si tiene derivada en cada punto del intervalo. Es derivable en un intervalo cerrado 𝒂, 𝒃 si es derivable en el interior (a, b), y si los límites lim ℎ→0+ 𝑓 𝑎 + ℎ − 𝑓(𝑎 ℎ 𝐷𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑑𝑎 𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑎 𝑑𝑒𝑟𝑒𝑐ℎ𝑎 𝑒𝑛 𝑎 lim ℎ→0− 𝑓 𝑏 + ℎ − 𝑓(𝑏 ℎ 𝐷𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑑𝑎 𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑎 𝑖𝑧𝑞𝑢𝑖𝑒𝑟𝑑𝑎 𝑒𝑛 𝑎 existen en los extremos. Las derivadas por la derecha y por la izquierda pueden definirse en cualquier punto del dominio de una función. Se dice que una función tiene derivada en un punto si y sólo si ahí tiene derivadas por la izquierda y por la derecha, y tales derivadas laterales son iguales.
- 10. EL MATEMATICO DELA WEBC U R S O D E C Á L C U L O I 27/04/2020 El Matemático de la web 10 Ejemplo 04: Demuestre que la función 𝑦 = 𝑥 es derivable en −∞; 0 𝑦 0; +∞ , pero no tiene derivada en 𝑥 = 0. Prueba La derivada de 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏 es la pendiente m. Así, a la derecha del origen, 𝑑 𝑑𝑥 𝑥 = 𝑑 𝑑𝑥 𝑥 = 1 ∙ 𝑥 = 1. 𝑑 𝑑𝑥 𝑚𝑥 + 𝑏 = 𝑚, 𝑥 = 𝑥 A la izquierda del origen, 𝑑 𝑑𝑥 𝑥 = 𝑑 𝑑𝑥 −𝑥 = −1 ∙ 𝑥 = −1. 𝑥 = −𝑥 No hay derivada en el origen, ya que las derivadas laterales son diferentes ahí: Derivada por la derecha de 𝑥 en cero lim ℎ→0+ 0 + ℎ − 0 ℎ = lim ℎ→0+ ℎ ℎ = lim ℎ→0+ ℎ ℎ = lim ℎ→0+ 1 = 1 ℎ = ℎ 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 ℎ > 0 Derivada por la izquierda de 𝑥 en cero lim ℎ→0− 0 + ℎ − 0 ℎ = lim ℎ→0− ℎ ℎ = lim ℎ→0− −ℎ ℎ = lim ℎ→0− − 1 = −1 ℎ = −ℎ 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 ℎ < 0
- 11. EL MATEMATICO DELA WEBC U R S O D E C Á L C U L O I 27/04/2020 El Matemático de la web 11 Teorema 01: Derivabilidad implica continuidad Si 𝒇 tiene derivada en 𝒙 = 𝒄, entonces 𝒇 es continua en 𝒙 = 𝒄. Prueba Dado que f ´(c) existe, debemos mostrar que lim 𝑥→𝑐 𝑓 𝑥 = 𝑓 𝑐 , o de forma equivalente, el siguiente lim 𝑥→0 𝑓 𝑐 + ℎ = 𝑓 𝑐 , 𝑠𝑖 ℎ ≠ 0, entonces 𝑓 𝑐 + ℎ = 𝑓 𝑐 + (𝑓 𝑐 + ℎ − 𝑓(𝑐 = 𝑓 𝑐 + 𝑓 𝑐 + ℎ − 𝑓(𝑐 ℎ ∙ ℎ Ahora tomamos el límite cuando ℎ → 0. lim ℎ→0 𝑓 𝑐 + ℎ = lim ℎ→0 𝑓 𝑐 + lim ℎ→0 𝑓 𝑐 + ℎ − 𝑓(𝑐 ℎ ∙ lim ℎ→ℎ ℎ = 𝑓 𝑐 + 𝑓´ 𝑐 ∙ 0 = 𝑓 0 + 0 = 𝑓(𝑐 El teorema 01 indica que si una función tiene una discontinuidad en un punto (por ejemplo, una discontinuidad de salto), entonces no puede ser derivable ahí. El recíproco del teorema es falso.
- 12. EL MATEMATICO DELA WEBC U R S O D E C Á L C U L O I 27/04/2020 El Matemático de la web 12 Reglas de derivación Derivada de una función constante Si f tiene el valor constante 𝑓(𝑥 = 𝑐, entonces 𝑑𝑓 𝑑𝑥 = 𝑑 𝑑𝑥 𝑐 = 0 Prueba Aplicamos la definición de la derivada de 𝑓 (𝑥 = 𝑐, la función cuyos valores de salida tienen el valor constante c (figura). En cada valor de x, encontramos que 𝑓´ 𝑥 = lim ℎ→0 𝑓 𝑥 + ℎ − 𝑓(𝑥 ℎ = lim ℎ→0 𝑐 − 𝑐 ℎ = lim ℎ→0 0 = 0.
- 13. EL MATEMATICO DELA WEBC U R S O D E C Á L C U L O I 27/04/2020 El Matemático de la web 13 Regla de la potencia para enteros positivos: Si n es un entero positivo, entonces 𝑑𝑓 𝑑𝑥 = 𝑑 𝑑𝑥 𝑥 𝑛 = 𝑛𝑥 𝑛−1. Prueba De la regla para potencias enteras positivas La fórmula 𝑧 𝑛 − 𝑥 𝑛 = (𝑧 − 𝑥 (𝑧 𝑛−1 + 𝑧 𝑛−2 𝑥+ . . . +𝑧𝑥 𝑛−2 + 𝑥 𝑛−1 puede verificarse si se hace la multiplicación del lado derecho. Luego, de acuerdo con la fórmula alternativa para la definición de la derivada, 𝑓´ 𝑥 = lim 𝑧→𝑥 𝑓 𝑧 − 𝑓 𝑥 𝑧 − 𝑥 = lim 𝑧→𝑥 𝑧 𝑛 − 𝑥 𝑛 𝑧 − 𝑥 = lim 𝑧→𝑥 𝑧 𝑛−1 + 𝑧 𝑛−2 𝑥+ . . . +𝑧𝑥 𝑛−2 + 𝑥 𝑛−1 𝑛 𝑡é𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜𝑠 𝑓´ 𝑥 = 𝑛𝑥 𝑛−1 .
- 14. EL MATEMATICO DELA WEBC U R S O D E C Á L C U L O I 27/04/2020 El Matemático de la web 14 Regla de la potencia (versión general) Si n es cualquier número real, entonces 𝑑 𝑑𝑥 𝑥 𝑛 = 𝑛𝑥 𝑛−1 para toda x donde las potencias 𝑥 𝑛 y 𝑥 𝑛−1 estén definidas. Regla de la derivada de un múltiplo constante Si u es una función derivable de x, y c es una constante, entonces 𝑑 𝑑𝑥 𝑐𝑥 𝑛 = 𝑐 𝑑𝑢 𝑑𝑥 En particular, si n es cualquier número real, entonces 𝑑 𝑑𝑥 𝑐𝑥 𝑛 = 𝑐𝑛𝑥 𝑛−1 . Prueba 𝑑 𝑑𝑥 𝑐𝑢 = 𝑐𝑢 𝑥 + ℎ − 𝑐𝑢 𝑥 ℎ 𝐷𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑑𝑎 𝑐𝑜𝑛 𝑓 𝑥 = 𝑐𝑢(𝑥 = c ∙ lim ℎ→0 𝑢 𝑥 + ℎ − 𝑢(𝑥 ℎ 𝑃𝑟𝑜𝑝𝑖𝑒𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒𝑙 𝑙í𝑚𝑖𝑡𝑒 𝑑𝑒𝑙 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 = 𝑐 𝑑𝑢 𝑑𝑥 𝑢 𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑏𝑙𝑒
- 15. EL MATEMATICO DELA WEBC U R S O D E C Á L C U L O I 27/04/2020 El Matemático de la web 15 Regla de la derivada de una suma Si u y v son funciones derivables de x, entonces su suma 𝒖 + 𝒗 es derivable en cada punto donde tanto u como v son derivables. En tales puntos, 𝑑 𝑑𝑥 𝑢 + 𝑣 = 𝑑𝑢 𝑑𝑥 + 𝑑𝑣 𝑑𝑥 . Prueba Aplicamos la definición de la derivada a 𝑓 𝑥 = 𝑢 𝑥 + 𝑣 𝑥 : 𝑑 𝑑𝑥 𝑢(𝑥 + 𝑣(𝑥 = lim ℎ→0 𝑢 𝑥 + ℎ + 𝑣(𝑥 + ℎ − 𝑢 𝑥 − 𝑣(𝑥 ℎ = lim ℎ→0 𝑢 𝑥 + ℎ − 𝑢(𝑥 ℎ + 𝑣 𝑥 + ℎ − 𝑣(𝑥 ℎ lim ℎ→0 𝑢 𝑥 + ℎ − 𝑢(𝑥 ℎ + lim ℎ→0 𝑣 𝑥 + ℎ − 𝑣(𝑥 ℎ = 𝑑𝑢 𝑑𝑥 + 𝑑𝑣 𝑑𝑥 .
- 16. EL MATEMATICO DELA WEBC U R S O D E C Á L C U L O I 27/04/2020 El Matemático de la web 16 Regla de la derivada de un producto Si u y u son derivables en x, entonces también lo es su producto uv, y 𝑑 𝑑𝑥 𝑢𝑣 = 𝑢 𝑑𝑣 𝑑𝑥 + 𝑣 𝑑𝑢 𝑑𝑥 . En notación de funciones, 𝑑 𝑑𝑥 𝑓(𝑥 𝑔(𝑥 = 𝑓 𝑥 𝑔´ 𝑥 + 𝑔 𝑥 𝑓´ 𝑥 . Prueba Prueba de la regla de la derivada de un producto 𝑑 𝑑𝑥 𝑢𝑣 = lim ℎ→0 𝑢 𝑥 + ℎ 𝑣 𝑥 + ℎ − 𝑢(𝑥 𝑣(𝑥 ℎ Para cambiar esta fracción en una equivalente que contenga los cocientes de diferencias para las derivadas de u y v, en el numerador restamos y sumamos 𝑢(𝑥 + ℎ 𝑣(𝑥 : 𝑑 𝑑𝑥 𝑢𝑣 = lim ℎ→0 𝑢 𝑥 + ℎ 𝑣 𝑥 + ℎ − 𝑢 𝑥 + ℎ 𝑣 𝑥 + 𝑢 𝑥 + ℎ 𝑣 𝑥 − 𝑢(𝑥 𝑣(𝑥 ℎ
- 17. EL MATEMATICO DELA WEBC U R S O D E C Á L C U L O I 27/04/2020 El Matemático de la web 17 = lim ℎ→0 𝑢 𝑥 + ℎ 𝑣 𝑥 + ℎ − 𝑣 𝑥 ℎ + 𝑣(𝑥 𝑢 𝑥 + ℎ − 𝑢(𝑥 ℎ = lim 𝑥→0 𝑢 𝑥 + ℎ ∙ lim ℎ→0 𝑣 𝑥 + ℎ − 𝑣(𝑥 ℎ + 𝑣 𝑥 ∙ lim ℎ→0 𝑢 𝑥 + ℎ − 𝑢 𝑥 ℎ . Cuando h se aproxima a cero, 𝒖(𝒙 + 𝒉 tiende a 𝒖(𝒙 , ya que u, al ser derivable en x, es continua en x. Las dos fracciones tienden a los valores de dv/dx en x y a du/dx en x. En resumen, 𝑑 𝑑𝑥 𝑢𝑣 = 𝑢 𝑑𝑣 𝑑𝑥 + 𝑣 𝑑𝑢 𝑑𝑥 . Regla de la derivada de un cociente Si u y v son derivables en x y si 𝑣(𝑥 ≠ 0, entonces el cociente u/u es derivable en x y 𝑑 𝑑𝑥 𝑢 𝑣 = 𝑣 𝑑𝑢 𝑑𝑥 − 𝑢 𝑑𝑣 𝑑𝑥 𝑣2 . En notación de funciones,
- 18. EL MATEMATICO DELA WEBC U R S O D E C Á L C U L O I 27/04/2020 El Matemático de la web 18 𝑑 𝑑𝑥 𝑓(𝑥 𝑔(𝑥 = 𝑔 𝑥 𝑓´ 𝑥 − 𝑓 𝑥 𝑔´(𝑥 𝑔2(𝑥 . Prueba de la regla de la derivada de un cociente 𝑑 𝑑𝑥 𝑢 𝑣 = lim ℎ→0 𝑢(𝑥 + ℎ 𝑣(𝑥 + ℎ − 𝑢(𝑥 𝑣(𝑥 ℎ = lim ℎ→0 𝑣 𝑥 𝑢 𝑥 + ℎ − 𝑢(𝑥 𝑣(𝑥 + ℎ ℎ𝑣(𝑥 + ℎ 𝑣(𝑥 Para cambiar la última fracción en una equivalente que contenga los cocientes de diferencias para las derivadas de u y v, en el numerador restamos y sumamos v(x)u(x). De esta forma, obtenemos 𝑑 𝑑𝑥 𝑢 𝑣 = lim ℎ→0 𝑣 𝑥 𝑢 𝑥 + ℎ − 𝑣 𝑥 𝑢 𝑥 + 𝑣 𝑥 𝑢 𝑥 − 𝑢(𝑥 𝑣(𝑥 + ℎ ℎ𝑣(𝑥 + ℎ 𝑣(𝑥 = lim ℎ→0 𝑣 𝑥 𝑢 𝑥 + ℎ − 𝑢 𝑥 ℎ − 𝑢(𝑥 𝑣 𝑥 + ℎ − 𝑣(𝑥 ℎ 𝑣(𝑥 + ℎ 𝑣(𝑥 . Si tomamos los límites en el numerador y en el denominador, obtendremos ahora la regla del cociente.
- 19. EL MATEMATICO DELA WEBC U R S O D E C Á L C U L O I 27/04/2020 El Matemático de la web 19 Derivadas de segundo orden y de órdenes superiores Si 𝒚 = 𝒇 (𝒙 es una función derivable, entonces su derivada 𝒇´(𝒙 también es una función. Si 𝒇´ también es derivable, entonces podemos derivar a 𝒇´ para obtener una nueva función de 𝒙 denotada mediante 𝒇´´. Así, 𝒇´´ = (𝒇´ ´. La función 𝒇´´ se denomina segunda derivada de f, ya que es la derivada de la primera derivada. Se escribe de varias formas: 𝑓´´ 𝑥 = 𝑑2 𝑦 𝑑𝑥2 = 𝑑 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑦´´ = 𝐷2 𝑓 𝑥 = 𝐷 𝑥 2 𝑓 𝑥 . Si y´´ es derivable, su derivada, 𝑦´´´ = 𝑑3 𝑦/𝑑𝑥3, es la tercera derivada de y con respecto a x. Los nombres continúan como usted imaginará, con 𝑦(𝑛 = 𝑑 𝑑𝑥 𝑦(𝑛−1 = 𝑑 𝑛 𝑦 𝑑𝑥 𝑛 = 𝐷 𝑛 𝑦 denotando la n-ésima derivada de y con respecto a x para cualquier entero positivo n.
- 20. EL MATEMATICO DELA WEBC U R S O D E C Á L C U L O I 27/04/2020 El Matemático de la web 20 EJERCICIOS 01. Determine una ecuación para la tangente a la curva en el punto dado. Luego elabore un bosquejo de la curva y la tangente. a) 𝑦 = 4 − 𝑥2 , (−1, 3 b) 𝑦 = 2 𝑥, (1, 2 c) 𝑦 = 𝑥3 , (−2, −8 02.- determine la pendiente de la gráfica de la función en el punto dado. Luego determine también una ecuación para la recta tangente a la gráfica en ese punto. a) 𝑓 𝑥 = 𝑥2 + 1, (2, 5 b) 𝑔 𝑥 = 𝑥 𝑥−2 , (3, 3 c) ℎ 𝑥 = 𝑡3 , (2, 8 d) 𝑓 𝑥 = 𝑥 + 1, (8,3 03. Determine la pendiente de la curva en el punto que se indica. a) 𝑦 = 5𝑥2 , 𝑥 = −1 b) 𝑦 = 𝑥−1 𝑥+1 , 𝑥 = 0 04. Mediante la definición, calcule las derivadas de la funciones en los ejercicios i a iv. Luego determine los valores de las derivadas como se especifica. i. 𝑓 𝑥 = 4 − 𝑥2 ; 𝑓´ 3 , 𝑓´ 0 , 𝑓´(1 ii. 𝑔 𝑡 = 1 𝑡2 ; 𝑔´ −1 , 𝑔´ 2 , 𝑔´( 3 iii. 𝑝 𝜃 = 3𝜃; 𝑝´ 1 , 𝑝´ 3 , 𝑝´(2/3 iv. 𝑟 𝑠 = 2𝑠 + 1; 𝑟´ 0 , 𝑟´ 1 , 𝑟´(1/2
- 21. EL MATEMATICO DELA WEBC U R S O D E C Á L C U L O I 27/04/2020 El Matemático de la web 21 05. Determine las derivadas que se indican. a) 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑠𝑖 𝑦 = 2𝑥3 b) 𝑑𝑟 𝑑𝑠 𝑠𝑖 𝑟 = 𝑠3 − 2𝑠2 + 3 c) 𝑑𝑠 𝑑𝑡 𝑠𝑖 𝑠 = 𝑡 2𝑡+1 d) 𝑑𝑣 𝑑𝑡 𝑠𝑖 𝑣 = 𝑡 − 1 𝑡 e) 𝑑𝑝 𝑑𝑞 𝑠𝑖 𝑝 = 1 𝑞+1 f) 𝑑𝑧 𝑑𝑤 𝑠𝑖 𝑧 = 1 3𝑤−2 06. Derive las funciones. Luego determine una ecuación de la recta tangente en los puntos que se indican en la gráfica de la función. a) 𝑦 = 𝑓 𝑥 = 8 𝑥−2 , 𝑥, 𝑦 = (6, 4 b) 𝑤 = 𝑔 𝑧 = 1 + 4 − 𝑧, 𝑧, 𝑤 = (3,2 07. Determine los valores de las derivadas. a) 𝑑𝑠 𝑑𝑡 𝑡=−1 𝑠𝑖 𝑠 = 1 − 3𝑡2 b) 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑥= 3 𝑠𝑖 𝑦 = 1 − 1 𝑥 c) 𝑑𝑟 𝑑𝜃 𝜃=0 𝑠𝑖 𝑟 = 2 4−𝜃 d) 𝑑𝑤 𝑑𝑧 𝑧=4 𝑠𝑖 𝑤 = 𝑧 − 𝑧
- 22. EL MATEMATICO DELA WEBC U R S O D E C Á L C U L O I 27/04/2020 El Matemático de la web 22 08. Uso de la fórmula alternativa para derivadas Utilice la fórmula 𝑓´ 𝑥 = lim 𝑧→𝑥 𝑓 𝑧 − 𝑓(𝑥 𝑧 − 𝑥 para determinar la derivada de las funciones en los ejercicios. a) 𝑓 𝑥 = 1 𝑥+2 b) 𝑓 𝑥 = 𝑥2 − 3𝑥 + 4 c) 𝑔(𝑥 = 𝑥 𝑥−1 d) 𝑔 𝑥 = 1 + 𝑥 09. Derivadas laterales Calcule las derivadas por la derecha y por la izquierda como límites para mostrar que las funciones en los siguientes ejercicios no son derivables en el punto P.
- 23. EL MATEMATICO DELA WEBC U R S O D E C Á L C U L O I 27/04/2020 El Matemático de la web 23 10. Determine si la función definida por partes es derivable en el origen. 𝑎 𝑓 𝑥 = 2𝑥 − 1, 𝑥 ≥ 0 𝑥2 + 2𝑥 + 7, 𝑥 < 0 𝑏 𝑔 𝑥 = 𝑥2/3 , 𝑥 ≥ 0 𝑥1/3 , 𝑥 < 0 11. Derivabilidad y continuidad en un intervalo Cada figura presenta la gráfica de una función en el intervalo cerrado D. ¿En qué puntos del dominio la función parece ser a. derivable? b. continua, pero no derivable? c. ni continua ni derivable? Justifique sus respuestas.
- 24. EL MATEMATICO DELA WEBC U R S O D E C Á L C U L O I 27/04/2020 El Matemático de la web 24 12. Cálculo de derivadas Determine la primera y la segunda derivadas. a) 𝑦 = −𝑥2 + 3 b) 𝑠 = 5𝑡2 − 3𝑡5 c) 𝑦 = 4𝑥3 3 − 𝑥 d) 𝑤 = 3𝑧−2 − 1 𝑧 e) 𝑦 = 6𝑥2 − 10𝑥 − 5𝑥−2 f) 𝑟 = 12 𝜃 − 4 𝜃3 + 1 𝜃4 g) 𝑦 = 𝑒 𝑙𝑛𝑥 + 𝑥 𝑥−1 13. determine y´(a) aplicando la regla del producto y (b) multiplicando los factores para producir una suma de términos que resulte más fácil de derivar. a) 𝑦 = (3 − 𝑥2 𝑥3 − 𝑥 + 1 b) 𝑦 = 2𝑥 + 3 (5𝑥2 − 4𝑥 c) 𝑦 = (𝑥2 + 1 𝑥 + 5 + 1 𝑥 d) 𝑦 = (1 + 𝑥2 (𝑥 3 4 − 𝑥−3 14. Determine la primera y la segunda derivadas de las funciones en los siguientes ejercicios. a) 𝑦 = 𝑥3+7 𝑥 b) 𝑟 = (𝜃−1 (𝜃2+𝜃+1 𝜃3 c) 𝑝 = 𝑞2+3 12𝑞 𝑞4−1 𝑞3
- 25. EL MATEMATICO DELA WEBC U R S O D E C Á L C U L O I 27/04/2020 El Matemático de la web 25 15. Suponga que u y v son funciones de x que son derivables en 𝑥 = 0 y que 𝑢 0 = 5, 𝑢´ 0 = −3, 𝑣 0 = −1, 𝑣´ 0 = 2. Determine los valores de las siguientes derivadas en 𝑥 = 0 𝑎 𝑑 𝑑𝑥 𝑢𝑣 𝑏 𝑑 𝑑𝑥 𝑢 𝑣 𝑐 𝑑 𝑑𝑥 𝑣 𝑢 𝑑 𝑑 𝑑𝑥 7𝑣 − 2𝑢 16. Generalización de la regla del producto La regla de la derivada de un producto da la fórmula 𝑑 𝑑𝑥 𝑢 ∙ 𝑣 = 𝑢 𝑑𝑣 𝑑𝑥 + 𝑣 𝑑𝑢 𝑑𝑥 para la derivada del producto de dos funciones derivables de x. a. ¿Cuál es la fórmula análoga para la derivada del producto 𝑢 ∙ 𝑣 ∙ 𝑤 de tres funciones diferenciables de x? b. ¿Cuál es la fórmula para la derivada del producto 𝑢1 ∙ 𝑢2 ∙ 𝑢3∙ 𝑢4 de cuatro funciones diferenciables de x? c. ¿Cuál es la fórmula para la derivada de un producto 𝑢1 ∙ 𝑢2 ∙ 𝑢3 ∙ ⋯ un de un número finito n de funciones derivables de x?
- 26. EL MATEMATICO DELA WEB http://migueltarazonagiraldo.com/ 27/04/2020 El Matemático de la web 26