Este documento describe el método de la bisección para encontrar raíces de una ecuación. El método involucra iterativamente dividir el intervalo inicial en dos partes iguales basado en si el valor de la función es positivo o negativo en el punto medio, hasta que el intervalo sea menor a un error especificado. El documento provee detalles sobre cómo calcular el número de iteraciones necesarias y presenta un ejemplo numérico para ilustrar el método.
Resolución del examen de selectividad de matemáticas II de Andalucía, convocatoria de junio 2023. Algunas resoluciones están incompletas: se actualizará el documento próximamente.
La suma de riemann es la base de la integral, tambièn conocida como la integral definida, esta posee una interpretación geométrica, situaciones problemàticas y una actividad para pensar son los temas mencionados en el PowerPoint.
Documento utilizado en la Facultad de ciencias exactas de la universidad nacional de misiones argentina, para las carreras de ingenierìa quimica, en alimentos y la licenciatura en analisis quimicos y bromàticos.
La Unidad Eudista de Espiritualidad se complace en poner a su disposición el siguiente Triduo Eudista, que tiene como propósito ofrecer tres breves meditaciones sobre Jesucristo Sumo y Eterno Sacerdote, el Sagrado Corazón de Jesús y el Inmaculado Corazón de María. En cada día encuentran una oración inicial, una meditación y una oración final.
IMÁGENES SUBLIMINALES EN LAS PUBLICACIONES DE LOS TESTIGOS DE JEHOVÁClaude LaCombe
Recuerdo perfectamente la primera vez que oí hablar de las imágenes subliminales de los Testigos de Jehová. Fue en los primeros años del foro de religión “Yahoo respuestas” (que, por cierto, desapareció definitivamente el 30 de junio de 2021). El tema del debate era el “arte religioso”. Todos compartíamos nuestros puntos de vista sobre cuadros como “La Mona Lisa” o el arte apocalíptico de los adventistas, cuando repentinamente uno de los participantes dijo que en las publicaciones de los Testigos de Jehová se ocultaban imágenes subliminales demoniacas.
Lo que pasó después se halla plasmado en la presente obra.
LA PEDAGOGIA AUTOGESTONARIA EN EL PROCESO DE ENSEÑANZA APRENDIZAJEjecgjv
La Pedagogía Autogestionaria es un enfoque educativo que busca transformar la educación mediante la participación directa de estudiantes, profesores y padres en la gestión de todas las esferas de la vida escolar.
ROMPECABEZAS DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO OLIMPIADA DE PARÍS 2024. Por JAVIE...JAVIER SOLIS NOYOLA
El Mtro. JAVIER SOLIS NOYOLA crea y desarrolla el “ROMPECABEZAS DE ECUACIONES DE 1ER. GRADO OLIMPIADA DE PARÍS 2024”. Esta actividad de aprendizaje propone retos de cálculo algebraico mediante ecuaciones de 1er. grado, y viso-espacialidad, lo cual dará la oportunidad de formar un rompecabezas. La intención didáctica de esta actividad de aprendizaje es, promover los pensamientos lógicos (convergente) y creativo (divergente o lateral), mediante modelos mentales de: atención, memoria, imaginación, percepción (Geométrica y conceptual), perspicacia, inferencia, viso-espacialidad. Esta actividad de aprendizaje es de enfoques lúdico y transversal, ya que integra diversas áreas del conocimiento, entre ellas: matemático, artístico, lenguaje, historia, y las neurociencias.
2. MÉTODO DE LA BISECCIÓN
• El método de la bisección es muy similar al de la posición falsa,
aunque algo mas simple. Como en el de la posición falsa, en
este método también se requieren dos valores iniciales para
ambos lados de la raíz, y que sus valores funcionales
correspondientes sean de signos opuestos.
3. MÉTODO DE LA BISECCIÓN
• En este caso, el valor de 𝑥 𝑚 se obtiene como el punto medio entre
𝑥𝑙 𝑦 𝑥 𝑑
• 𝑥 𝑚 = 𝑥𝑙 + 𝑥 𝑑 /2
• Dependiendo de la función que se tenga en particular, el método de
la bisección puede converger ligeramente mas rápido o mas lento
que el método de la posición falsa. Su gran ventaja sobre el de
posición falsa es que proporcionan el tamaño exacto del intervalo en
cada iteración (en ausencia en errores de redondeo).
4. MÉTODO DE LA BISECCIÓN
• Para aclarar esto, nótese que en este método, después de cada
iteración, el tamaño del intervalo se reduce a la mitad, después de n
iteraciones, el intervalo original se habrá reducido 2 𝑛 veces.
• Por lo anterior, si el intervalo original es del tamaño 𝑎 y el criterio de
convergencia aplicado al valor absoluto de la diferencia de dos 𝑥 𝑚
consecutivas es 𝜀, entonces se requerirán 𝑛 iteraciones, donde 𝑛 se
calcula con la igualdad de la expresión:
• 𝑎
2 𝑛 ≤ 𝜀
5. MÉTODO DE LA BISECCIÓN
• De donde
• 𝑛 =
ln 𝑎 −ln 𝜀
ln 2
• Por esto se dice que se puede saber de antemano cuantas
iteraciones se requieren.
6. CONVERGENCIA DEL MÉTODO DE LA
BISECCIÓN
• Algoritmo del método de la bisección
• Calcular una raíz 𝑟 real de la ecuación 𝑓 𝑥 𝑚 = 0 con
precisión 𝐸. 𝑓 es continua en un intervalo 𝑥𝑙, 𝑥 𝑑 tal
que 𝑓 𝑥𝑙 𝑦 𝑓(𝑥 𝑑) tienen signos diferentes.
1. Defina 𝑓, el intervalo inicial 𝑥𝑙, 𝑥 𝑑 y la precisión
requerida 𝐸
2. Calcule el punto central del intervalo: 𝑥 𝑚 = (𝑥𝑙 + 𝑥 𝑑)/2
7. CONVERGENCIA DEL MÉTODO DE LA
BISECCIÓN
3. Si 𝑓 𝑐 = 0, 𝑐 es la raíz y termine.
4. Si la raíz se encuentra en el intervalo 𝑥𝑙, 𝑥 𝑚 ,
sustituya 𝑏 𝑝𝑜𝑟 𝑐
5. Si la raíz se encuentra en el intervalo 𝑥 𝑚, 𝑥 𝑑 sustituya
𝑎 𝑝𝑜𝑟 𝑐
6. Repita los pasos 2, 3, 4 y 5 hasta que la longitud del
intervalo 𝑥𝑙, 𝑥 𝑑 sea menor que 𝐸.
8. CONVERGENCIA DEL MÉTODO DE LA
BISECCIÓN
•El ultimo valor calculado 𝑐 estará al menos a
una distancia 𝐸 de la raíz.
9. EJEMPLO DEL MÉTODO DE LA BISECCIÓN
• Utilice el método de la bisección para obtener una raíz del
polinomio
• 𝑓 𝑥 = 𝑥3
+ 2𝑥2
+ 10𝑥 − 20
10. SOLUCIÓN
• Primero graficamos en Matlab para verificar donde existen los
cambios de signo y establecer nuestro intervalo de análisis
11. SOLUCIÓN
• La función MATLAB fzero
• La función fzero puede encontrar la raíz de una ecuación trascendente 𝑓(𝑥) = 0.
Su sintaxis es
• fzero(funcion,x0)
• Donde función es el nombre de la función cuyas raíces queremos determinar y
𝑥0 es el intervalo [𝑎, 𝑏] donde la función cambia de signo, es decir, el signo de
𝑓(𝑎) es distinto al signo de 𝑓(𝑏). 𝑥0 puede ser también un valor cercano a la raíz
es decir, una primera aproximación. Podemos definir una función anónima y
guardarla en el manejador func. Le pasamos la función anónima func a fzero.
12. SOLUCIÓN
• Paso 1
• Introducimos lo siguiente en la ventana de comando de Matlab
• func=@(x) x^3 + 2*x^2 + 10*x -20;
• ezplot(func,[0,4])
19. SOLUCIÓN
• Como 𝑓 𝑥 𝑚 > 0 se reemplaza el valor de 𝑥 𝑑 con el de 𝑥 𝑚, con lo
cual queda un nuevo intervalo (1,1,5). Entonces:
• 𝑥 𝑑 = 1; 𝑓 𝑥 𝑑 = −7
• 𝑥 𝑑 = 1,5; 𝑓 𝑥 𝑑 = 2.88
20. SOLUCIÓN
• Segunda iteración
• Se reemplaza el valor de 𝑥 𝑑 con el valor de la nueva 𝑥 𝑚
• 𝑥 𝑚 = 𝑥𝑙 + 𝑥 𝑑 /2
• 𝑥 𝑚 =
1+1.5
2
= 1.25, 𝑓 𝑥 𝑚 = 𝑥3
+ 2𝑥2
+ 10𝑥 − 20
• 𝑓 1.25 = (1.25)3
+2(1.25)2
+10(1.25) − 20
• 𝑓 1.25 = −2.42
21. SOLUCIÓN
• Como ahora 𝑓 𝑥 𝑚 < 0 se reemplaza el valor de 𝑥𝑙 con el valor
de la nueva 𝑥 𝑚; de esta manera queda como intervalo 1.25, 1.5
22. SOLUCIÓN
• Tercera iteración
• Se reemplaza el valor de 𝑥𝑙 con el valor de la nueva 𝑥 𝑚
• 𝑥 𝑚 = 𝑥𝑙 + 𝑥 𝑑 /2
• 𝑥 𝑚 =
1,25+1,5
2
= 1.375, 𝑓 𝑥 𝑚 = 𝑥3
+ 2𝑥2
+ 10𝑥 − 20
• 𝑓 1.375 = (1.375)3+2(1.375)2+10(1.375) − 20
• 𝑓 1.375 = 2,599609375 + 3,78125 + 13,75 − 20 → 𝑓 1.125 = 0,130859375
23. SOLUCIÓN
• Como ahora 𝑓 𝑥 𝑚 > 0 se reemplaza el valor de 𝑥 𝑑 con el valor
de la nueva 𝑥 𝑚 ; de esta manera queda como intervalo
1.25, 1.375
24. SOLUCIÓN
• Cuarta iteración
• Se reemplaza el valor de 𝑥 𝑑 con el valor de la nueva 𝑥 𝑚
• 𝑥 𝑚 = 𝑥𝑙 + 𝑥 𝑑 /2
• 𝑥 𝑚 =
1,25+1,375
2
= 1,3125, 𝑓 𝑥 𝑚 = 𝑥3
+ 2𝑥2
+ 10𝑥 − 20
• 𝑓 1.25 = (1,3125)3+2(1,3125)2+10(1,3125) − 20
• 𝑓 1.25 = 2,260986328125 + 3,4453125 + 13,125 − 20 →
• 𝑓 1,25 = −1,168701171875
25. SOLUCIÓN
• Como ahora 𝑓 𝑥 𝑚 < 0 se reemplaza el valor de 𝑥𝑙 con el valor
de la nueva 𝑥 𝑚 ; de esta manera queda como intervalo
1,31250, 1.375
26. SOLUCIÓN
• La tabla muestra los cálculos llevados a cabo 13 veces, a fin de
hacer ciertas observaciones.