Este documento presenta varios métodos numéricos para resolver ecuaciones no lineales y sistemas de ecuaciones, incluyendo bisección, interpolación lineal, método de la secante, Newton-Raphson, punto fijo y división sintética. Explica cada método y proporciona ejemplos de su aplicación para aproximar las raíces de funciones y resolver sistemas de ecuaciones no lineales. El objetivo general es aprender sobre la teoría y uso práctico de estos métodos numéricos.

1. REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA EDUCACIÓN
INSTITUTO UNIVERSITARIO POLITÉCNICO SANTIAGO MARIÑO
BARCELONA-ESTADO ANZOÁTEGUI
PROCESOS DE MANUFACTURAS
AUTOR:J
ULIO FIGUERA
25.879.261 S1
BARCELONA JUNIO DE 2019

2. CONTENIDO
Ecuaciones no lineales.
Bisección.
Interpolación lineal. Secante.
Newton – Raspón.
Punto fijo.
Baisr-trow.
División sintética.

3. CONTENIDO
Un sistema de ecuaciones es un conjunto de dos o más ecuaciones
que comparten dos o más incógnitas. Las soluciones de un sistema de
ecuaciones son todos los valores que son válidos para todas las
ecuaciones, o los puntos donde las gráficas de las ecuaciones se
intersectan.
Podemos resolver un sistema de ecuaciones lineales graficando, por
sustitución y por combinación lineal. Los sistemas de funciones no
lineales, como ecuaciones cuadráticas o exponenciales, pueden ser
manejados con las mismas técnicas.

4. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Y
CUADRÁTICAS
Empecemos por hablar sobre dos ecuaciones lineales. La solución de
este tipo de sistema es el punto de intersección entre las dos rectas, o el
lugar donde las dos ecuaciones tienen los mismos valores de x y de y.
Puede haber más de una solución, no solución, o un número infinito de
soluciones de un sistema de dos ecuaciones lineales:

5. ECUACIONES NO LINEALES
Para resolver un sistema con una ecuación lineal y una ecuación
cuadrática, podemos hacer lo mismo, encontrar el punto — o puntos
— de intersección entre ambas gráficas:

6. ECUACIONES NO LINEALES
Podemos resolver el sistema de ecuaciones cuadráticas
graficando:

7. Un sistema de ecuaciones es no lineal si, por
lo menos, una de sus ecuaciones no es lineal
(hay un grado mayor que uno).
Estos sistemas se resolverán habitualmente
por sustitución. Es recomendable dibujar las
ecuaciones del sistema en la medida de lo
posible para hacerse una idea aproximada de
la situación de las soluciones, si las hay.
• Que no exista ninguna
solución: La recta pasa sin
cortar la circunferencia (por
encima o por debajo).
• Que sólo exista una solución:
La recta es tangente a la
circunferencia (por encima o
por debajo).
• Que existan dos soluciones:
La recta corta dos veces la
circunferencia.

8. INTERPOLACION LINEAL
La interpolación lineal es un caso particular de la
interpolación general de Newton. Con el polinomio de
interpolación de Newton se logra aproximar un valor de la
función f(x) en un valor desconocido de x. El caso
particular, para que una interpolación sea lineal es en el
que se utiliza un polinomio de interpolación de grado 1, que
se ajusta a los valores en los puntos x1 Y X2 Se denota de
la siguiente manera:

9. METODO DE LA SECANTE
En análisis numérico el método de la secante es un método para encontrar los
ceros de una función de forma iterativa.
Es una variación del método de Newton-Raphson donde en vez de calcular la
derivada de la función en el punto de estudio, teniendo en mente la definición
de derivada, se aproxima la pendiente a la recta que une la función evaluada
en el punto de estudio y en el punto de la iteración anterior. Este método es de
especial interés cuando el coste computacional de derivar la función de estudio
y evaluarla es demasiado elevado, por lo que el método de Newton no resulta
atractivo.
En otras palabras, el método de la secante es un algoritmo de la raíz de
investigación que utiliza una serie de raíces de las líneas secantes para
aproximar mejor la raíz de una función f. El método de la secante se puede
considerar como una aproximación en diferencias finitas del método de
Newton-Raphson. Sin embargo, este método fue desarrollado
independientemente de este último.

10. BISECCION
El método de Biseccion necesita de muchas
iteraciones comparado con el método de la
secante, ya que el proceso que éste sigue es
mucho más preciso que el de bisección, el
cual solo divide por mitades sucesivamente
hasta dar con un valor aproximado al real y
por consecuente conlleva un número
significativamente mayor de iteraciones.

12. METODO Newton-Raphson
En análisis numérico, el método de Newton (conocido
también como el método de Newton-Raphson o el método
de Newton-Fourier) es un algoritmo para encontrar
aproximaciones de los ceros o raíces de una función real.
También puede ser usado para encontrar el máximo o
mínimo de una función, encontrando los ceros de su
primera derivada.

13. Descripción del método
El método de Newton-Raphson es un método abierto, en el
sentido de que no está garantizada su convergencia global.
La única manera de alcanzar la convergencia es seleccionar
un valor inicial lo suficientemente cercano a la raíz buscada.
Así, se ha de comenzar la iteración con un valor
razonablemente cercano al cero (denominado punto de
arranque o valor supuesto).
La relativa cercanía del punto inicial a la raíz depende mucho de la
naturaleza de la propia función; si ésta presenta múltiples puntos
de inflexión o pendientes grandes en el entorno de la raíz,
entonces las probabilidades de que el algoritmo diverja aumentan,
lo cual exige seleccionar un valor supuesto cercano a la raíz.

15. Convergencia del Método
El orden de convergencia de este método es, por lo menos,
cuadrático. Sin embargo, si la raíz buscada es de
multiplicidad algebraica mayor a uno (i.e, una raíz doble,
triple, …), el método de Newton-Raphson pierde su
convergencia cuadrática y pasa a ser lineal de constante
asintótica de convergencia 1-1/m, con m la multiplicidad de la
raíz.
La fórmula de Newton-Raphson se deduce a partir de
la fórmula de la pendiente de una recta.

17. División sintética
El método de Ruffini-Horner para la búsqueda de un
valor aproximado de la raíz de un polinomio fue
publicado, con algunos años de diferencia por Paolo
Ruffini (1804-1807-1813) y por William George Horner
(1819-1845, póstumamente); al parecer Horner no
tenía conocimiento de los trabajos de Ruffini.
El método de Ruffini-Horner es difícilmente explotable si el
polinomio posee dos raíces muy cercanas. Ruffini no evoca
esta problemática, pero Horner propone un procedimiento
especial para estos casos.

18. Regla de Ruffini

19. Regla de Ruffini

20. Punto Fijo
En matemáticas, un punto fijo de una función es un punto
cuya imagen por la función es él mismo. Es decir, x es
un punto fijo de la función f si y sólo si f(x)= x. Por ejemplo,
si f está definida sobre los números reales como

21. Conclusión
 Es aprender sobre la teoría del los métodos numéricos requeridos
 Poder desarrollar ejercicios y resolverlos mediante los métodos
numéricos, como también saber su teoría y utilidad.
 Poder reconocer la diferencia entre cada método y su utilidad.

22. Bibliografía
https://es.wikipedia.org/wiki/Punto_fijo
https://es.wikipedia.org/wiki/Regla_de_Ruffini
https://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9todo_de_N
ewton

23. GRACIAS POR SU ATENCION!!!