1. La recta que une el punto medio de un arco y el punto medio de su cuerda es perpendicular a la cuerda. 2. Dos circunferencias tangentes interiormente bisecan cualquier cuerda de la mayor que pase por el punto de tangencia. 3. En un triángulo isósceles inscrito, la medida del arco interceptado por el ángulo en el vértice es el doble de la diferencia entre el ángulo exterior en la base y uno de los ángulos interiores en la base.

1. Moisés Alberto Barboza Castillo 2014-B
Fundamentos de Geometría
SOLUCIÓN DE PROBLEMAS
1. La recta que une el punto medio de un arco y el punto medio de su cuerda es
perpendicular a la cuerda.
Al ser 𝐶𝐾̆ = 𝐾𝐵̆ entonces las cuerdas 𝐶𝐾̅̅̅̅ y 𝐾𝐵̅̅̅̅ también son
iguales.
Tenemos dos triángulos congruentes △CKD ≅ △BKD, por
criterio LLL, puesto que, además de lo anterior, al ser D el
punto medio de la cuerda 𝐶𝐵̅̅̅̅, 𝐶𝐷̅̅̅̅ = 𝐷𝐵̅̅̅̅, ademán ambos
triángulos comparten un mismo lado 𝐷𝐾̅̅̅̅.
Los ángulos ∢CDK y ∡BDK son homólogos en triángulos
congruentes, y también son ángulos suplementarios, por lo
que la medida de ambos es igual a 180°/2, es decir, 90° █
2. Dos circunferencias son tangentes interiormente de manera que la
circunferencia menor contenga el centro de la circunferencia mayor. Demostrar,
que una cuerda cualquiera de la circunferencia mayor que tenga un extremo en el
punto de tangencia, es bisecada por la circunferencia menor.
En la circunferencia menor ⨀E, la cuerda 𝐴𝐵̅̅̅̅ es su
diámetro, por lo que el ángulo ∡ADB mide 90°. Si una línea
que pasa por el centro de una circunferencia es
perpendicular a una cuerda, la intersección corta en dos
partes iguales a la cuerda. Por lo que D es el punto en que
es bisecada la cuerda 𝐶𝐵̅̅̅̅ █
3. Un triángulo isósceles está inscrito en una circunferencia. Demostrar que la
medida del arco interceptado por el ángulo en el vértice es doble diferencia de las
medidas del ángulo externo en la base del triángulo y de un ángulo en la base.
En un triángulo, su ángulo externo es igual a la suma
de los ángulos del triángulo no adyacentes a él.
En este caso ∡CBE = ∡BDC + ∡BCD
El arco 𝐵𝐷̆ es igual a 2∡BCD. Además ∡BDC = ∡DBC
por ser △CBD un triángulo isósceles
De este modo 2∡BCD = 2(∡CBE - ∡CBD)
Por lo que 𝐵𝐷̆ = 2(∡CBE - ∡CBD) █

2. 4. Dos cuerdas congruentes se cortan dentro de una circunferencia. Demostrar
que el cuadrilátero con vértices en los extremos de estas cuerdas es un trapecio
isósceles.
Al ser 𝐷𝐸̅̅̅̅ y 𝐶𝐵̅̅̅̅ cuerdas iguales entonces, 𝐶𝐵̆ = 𝐷𝐸̆ y
𝐵𝐶̆ = 𝐸𝐷̆ , del mismo modo, los ángulos del cuadrilátero
□DBEC. ∡CDB=∡DBE y ∡BEC=∡ECD.
Por esta razón, al haber dos pares de ángulos
consecutivos iguales en un cuadrilátero, □DBEC es un
trapecio isósceles █
5. Se da un ángulo con el vértice en una circunferencia, formado por un rayo
secante y un rayo tangente. Demostrar que el punto medio del arco interceptado
equidista de los lados del ángulo.
(1) Ya que D es el punto medio del arco 𝐶𝐵̆ , los
arcos 𝐶𝐷̆ y 𝐷𝐵̆ son iguales, por lo que los ángulos
∡CBD y ∡DBF también lo son
(2) Los triángulos rectángulos △EDB y △FDB
comparten un mismo lado 𝐷𝐵̅̅̅̅
△EDB ≅ △FDB por criterio AH (1,2), por lo que 𝐸𝐷̅̅̅̅ y
𝐷𝐹̅̅̅̅ son lados homólogos █
6. Dos circunferencias no congruentes son tangentes externamente en un punto T.
Una secante que pasa por T, interseca a la circunferencia mayor en A y la menor
en B. Demostrar que las tangentes en A y en B son paralelas.
𝐴𝐵⃡ es una secante y 𝐶𝐷⃡ una tangente,
para ambas circunferencias ⨀S y ⨀R,
por lo que sus arcos miden el doble de
sus ángulos 𝑇𝐴̆ =∡CTA/2 y 𝑇𝐵̆ =∡DTB/2
Si ∡CTA = ∡DTB, por transitividad
𝑇𝐴̆ = 𝑇𝐵̆ . Dos líneas son paralelas
si al intersectar en ambas una recta, sus
ángulos alternos son iguales █

3. 7. La suma de las longitudes de dos segmentos tangentes a una circunferencia
desde el mismo punto exterior, es igual al diámetro de la circunferencia. Hallar la
medida del ángulo determinado por los segmentos tangentes.
Siendo 𝐶𝐷̅̅̅̅ y 𝐵𝐷̅̅̅̅, tangentes que se intersecan, sus
medidas son iguales, 2𝐶𝐷̅̅̅̅=d
La medida de un diámetro es igual al doble del radio
de la circunferencia ⨀A, en la que se encuentran,
2𝐴𝐶̅̅̅̅=d.
Por transitividad 2𝐶𝐷̅̅̅̅ = 2𝐴𝐶̅̅̅̅.
Con lo ya mencionado, las longitudes de las
tangentes y los radios son iguales 𝐴𝐶̅̅̅̅ = 𝐶𝐷̅̅̅̅ = 𝐷𝐵̅̅̅̅ =
𝐵𝐴̅̅̅̅.
Por lo que el cuadrilátero □ACDB es un rombo. Y por
ser ∢ACD y ∢DBA perpendiculares, los ángulos
∢BAC y ∢CDB miden 90° █
8. Demostrar que en cualquier cuadrilátero ABCD circunscrito alrededor de una
circunferencia, las sumas de medidas de los lados opuestos son iguales: AB + CD
= AD + BC.
Sabemos que si dos tangentes en una misma
circunferencia se intersecan, los segmentos de tangentes
son iguales. Por tanto
GC=CF
FD=DI
IA=AH
HB=BG
Y por adición de igualdades
(AH+HB)+(CF+FD) = (DI+IA)+(BG+GC)
Mediante el axioma: Todo es = ∑ de sus partes
AB + CD = AD + BC █
9. Dos circunferencias no congruentes son tangentes externamente en un punto T.
Dos secantes que pasan por T, intersecan a las circunferencias en los puntos A,
B, C y D. Demostrar que cuadrilátero ABCD es un trapecio.
∢BTE y ∢FTD son ángulos opuestos por el vértice, por lo
que son iguales. Estos dos ángulos se forman por una
secante y una tangente por los que los arcos 𝐷𝑇̆ y 𝐵𝑇̆ ,
también son iguales.
∢BAC y ∢ACD son ángulos inscritos que correspondes a
arcos iguales, por lo que estos ángulos también son
iguales, con esto demostramos que los lados 𝐴𝐵̅̅̅̅ y 𝐶𝐷̅̅̅̅ son paralelos, por lo que el
cuadrilátero ABCD es un trapecio █

4. 10. Demostrar que la cuerda común de dos circunferencias secantes es
perpendicular a la línea de los centros.
𝐴𝐵̅̅̅̅ y 𝐴𝐷̅̅̅̅ son iguales, porque son radios de la
misma circunferencia ⨀A. También 𝐶𝐵̅̅̅̅ = 𝐶𝐷̅̅̅̅ por la
misma razón.
El cuadrilátero □ABCD es un papalote y sus
diagonales son perpendiculares entre sí. █
11. Los ángulos opuestos de cualquier cuadrilátero inscrito son suplementarios.
𝐷𝐸̆ + 𝐸𝐷̆ = 360° y
𝐶𝐵̆ + 𝐵𝐶̆ = 360°, puesto que las sumas comprenden la
circunferencia ⨀A completa. Sabemos que un ángulo
inscrito mide la mitad del arco que lo sub-tiene, así que
∢DBE+∢ECD=180° y
∢CDB+∢BEC=180°, con lo que demostramos que los
ángulos opuestos de cualquier cuadrilátero inscrito son suplementarios. █
12. Demostrar que la tangente común interior de dos circunferencias tangentes
biseca los segmentos tangentes de las tangentes exteriores comunes.
Sabemos que cuando dos tangentes en un
mismo círculo se intersecan, sus longitudes son
iguales, de este modo
𝐷𝐿̅̅̅̅ = 𝐵𝐿̅̅̅̅
Y 𝐸𝐿̅̅̅̅ = 𝐵𝐿̅̅̅̅
Por transitividad 𝐸𝐿̅̅̅̅ = 𝐷𝐿̅̅̅̅
13. Demostrar que en dos circunferencias concéntricas las cuerdas de la mayor
circunferencia tangentes a la menor son iguales.
Teorema: Si en una circunferencia dos de sus cuerdas son congruentes,
entonces dichas cuerdas equidistan de su centro.
La distancia del centro A, con respecto a las cuerdas 𝐸𝐺̅̅̅̅ y
𝐷𝐻̅̅̅̅ son iguales, ya que esta distancia en ambos es el
radio de la circunferencia menor, con base al teorema, las
cuerdas 𝐸𝐺̅̅̅̅ y 𝐷𝐻̅̅̅̅ son iguales █

5. 14. Demostrar que en todo triángulo la bisectriz se encuentra entre la mediana y la
altura trazadas desde el mismo vértice.
15. Demostrar que en todo triángulo rectángulo la suma de los catetos es igual a la
suma de los diámetros de las circunferencias inscrita y circunscrita.