El documento presenta tres criterios para determinar la congruencia de triángulos: (1) que tengan los tres lados y los tres ángulos de igual medida (criterio LLL), (2) que tengan dos lados correspondientes congruentes y el ángulo entre ellos sea igual (criterio LAL), y (3) que tengan dos ángulos correspondientes iguales y el lado entre ellos sea congruente (criterio ALA). Se demuestra que si dos triángulos cumplen cualquiera de estos tres criterios, entonces son congruentes.
Cómo explicar la diferencia entre la circunferencia y que es un círculo y sus elementos que lo componen, a niños de 6to. de primaria, así como también lo que es el Pi.
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Geometría básica del triángulo: clasificación, construcción, criterios de igualdad y semejanza, puntos y rectas notables del triángulo, teorema de Pitágoras y Thales y teoremas del cateto y de la altura. Para ver correctamente la presentación con las animaciones, es conveniente descargarla. Un vídeo de la presentación está en la siguiente dirección: http://www.youtube.com/watch?v=fZ_dqNTGmP0&feature=youtu.be
2. Dos triángulos son congruentes si y sólo si sus lados
miden lo mismo y sus ángulos miden lo mismo. Sin
embargo, como los ángulos interiores de un triángulo
suman un ángulo extendido (180°), en realidad nos
basta que tengan los tres lados de iguales medidas y
dos ángulo de iguales medidas, pues el tercero está
obligado a medir la diferencia entre 180° y la suma
de los otros dos.
Es decir, si dos triángulos tienen dos ángulos de
iguales medidas, el tercero también coincide.
Entonces, hemos quitado una información
redundante, ¿podremos quitar otra? ¿Bastará tres
lados iguales y un ángulo igual para que dos
triángulos sean congruentes?
Investiguemos.
3. Consideremos dos triángulos ΔABC y ΔA'B'C', tales que AB ≅ A'B', AC ≅ A'C', y
BC ≅ B'C', y además ∠ABC mide lo mismo que ∠A'B'C'.
Como AB ≅ A'B', existe una isometría que lleva A en A' y B en B'. Tracemos
ahora el segmento CC', Por la congruencia de los lados, se tiene que los
triángulos. ΔCBC' y ΔCAC' son isósceles, entonces los ángulos ∠CC'A y ∠C'CA
miden lo mismo. Del mismo modo los ángulos ∠CC'B y ∠C'CB miden lo mismo.
Por lo tanto, el ángulo ∠ACB mide lo mismo que el ángulo ∠A'C'B' , entonces
los triángulos ΔABC y ΔA'B'C', tienen lados que miden lo mismo, y dos ángulos
que miden lo mismo. Por lo tanto los triángulos son congruentes. Resumiendo,
tenemos:
Si la medida de los lados de dos triángulos y la medida de uno de sus
ángulos son iguales, entonces los triángulos son congruentes.
BC
A
4. Nuestra intuición nos dice que todavía hay información redundante, de
hecho si construimos triángulos con palitos de maquetas o con palitos de
helados de medidas fijas, los ángulos, los tres, quedan totalmente
determinados.
Entonces, nuestra conjetura es que si dos triángulos tienen los tres lados
de igual medida entonces los triángulos son congruentes. Investiguemos
este caso. Consideremos dos triángulos de iguales medidas, ΔABC y
ΔA'B'C' , tales que AB ≅ A'B', AC ≅ A'C', y BC ≅ B'C'. Por lo que vimos la
página anterior, basta mostrar que tienen al menos un ángulo de igual
medida para demostrar que son congruentes.
A
C
B
A’
B’
C’
A
C
B
A
C
B
a
b
b
a
5. Mediante una isometría haremos coincidir los vértices A
con A' y B con B', igual que en el caso anterior, trazando el
segmento CC', formamos dos triángulos isósceles, a saber
son, ΔCC'A y CC'B . Por lo tanto los ángulos ∠CC'A mide lo
mismo que el ángulo ∠C'CA y por la misma razón los
ángulos ∠C'CB y ∠CC'B miden lo mismo. Por lo tanto los
ángulos ∠ACB y ∠A'C'B' miden lo mismo, por lo tanto los
triángulos ΔABC y ΔA'B'C', son congruentes.
Resumiendo, hemos demostrado:
Teorema (Criterio LLL) Si las medidas de los lados
correspondientes de dos triángulos son las mismas,
entonces los triángulos son congruentes.
6. Existen otros criterios que permiten asegurar, la
congruencia de triángulos; sin embargo, no haremos
estas demostraciones, pero un estudiante interesado
debiera investigar y encontrarlas. Uno de esos
criterios es el siguiente:
Teorema (Criterio LAL):Si dos triángulos tienen dos
lados correspondientes congruentes y el ángulo que
forman los lados congruentes mide lo mismo,
entonces los triángulos son congruentes.
Este criterio se conoce como “lado-ángulo-lado” y
lo que postula es que si tú tienes dos palitos y los
unes por uno de sus extremos, y los abres o lo
cierras de manera de formar un ángulo dado,
entonces existe una sola forma de cerrar el triángulo.
Es decir, la distancia entre los extremos no unidos,
está totalmente determinada.
7. Si AB ≅ FD , BC ≅ DE y los ángulos ∠ABC
y ∠FDE miden lo mismo, entonces los
triángulos ΔABC y ΔFDE son congruentes.
a a
B
A
C
F
ED
8. Otro criterio es el siguiente:
Teorema (Criterio ALA): Si dos ángulos de
un triángulo miden lo mismo que dos ángulos
de otro triángulo, y los lados comprendidos
entre los ángulos son congruentes, entonces
los triángulos son congruentes.
Este criterio se conoce como “ángulo-lado-
ángulo” y lo que postula, es que si tienes un
palito y en cada extremo del palito pones dos
palos de manera tal de formar ángulos
determinados con el primero. Entonces la
intersección de los palitos está únicamente
determinada.
9. Si EF ≅ BC , los ángulos ∠DEF y ∠BCA miden
lo mismo, y los ángulos ∠ABC y ∠EFD miden
lo mismo, entonces los triángulos ΔABC y
ΔFDE son congruentes.
a
b
b
a
A
F
E
D
B
C