Este documento presenta conceptos básicos de geometría euclidiana, incluyendo puntos, rectas, segmentos de recta, ángulos y triángulos. Explica el método deductivo utilizado en geometría y define términos como bisectriz, mediatriz, altura y otros elementos geométricos. También incluye postulados sobre puntos, rectas, ángulos y medidas de segmentos, así como teoremas sobre ángulos opuestos por el vértice y complementos de ángulos congruentes.
El documento habla sobre diferentes tipos de ángulos y cómo nombrarlos y medirlos. Explica que los ángulos se pueden nombrar con letras mayúsculas, minúsculas o números y que la letra del medio corresponde al vértice. También describe formas de medir ángulos usando un transportador y define ángulos interiores, exteriores, congruentes y adyacentes.
Este documento presenta conceptos básicos de geometría. Define puntos, rectas, planos, segmentos, rayos y ángulos. Explica que un punto no tiene dimensión, una recta se extiende al infinito, un plano se extiende en toda dirección y un ángulo está limitado por dos rayos con un punto en común. Además, clasifica los ángulos en agudos, obtusos, rectos y llanos.
Este documento presenta conceptos básicos de geometría plana. Explica que la geometría estudia las propiedades y medidas de figuras en el plano o espacio. Luego se enfoca en ángulos, definiéndolos como la apertura entre dos semirrectas con un vértice común, y clasificándolos según su medida y relación con otros ángulos. Finalmente, describe los diferentes tipos de ángulos que se forman entre líneas paralelas cortadas por una transversal.
Este documento presenta conceptos básicos de geometría, incluyendo puntos, rectas, planos, segmentos, ángulos, perpendiculares, paralelas y clasificaciones de ángulos. Explica que los puntos no tienen dimensión y son representados por letras mayúsculas, mientras que las rectas se extienden al infinito y se nombran con letras minúsculas. Define los diferentes tipos de ángulos - agudos, obtusos, rectos y llano - y las relaciones entre ángulos complementarios y suplementarios.
Este documento presenta información sobre curvas cónicas. Explica que las curvas cónicas son secciones producidas por un plano secante sobre una superficie cónica de revolución. Dependiendo del ángulo del plano secante se producen elipses, parábolas e hipérbolas. Describe las propiedades de estas curvas como sus focos, vértices, directrices y circunferencias focales. También explica métodos para construir estas curvas geométricamente.
Este documento presenta conceptos geométricos básicos como rectas, ángulos, triángulos y planos. También describe figuras geométricas como curvas, polígonos, circunferencias, polígonos regulares y no regulares. Explica la clasificación de triángulos, cuadriláteros y poliedros. Finalmente, introduce conceptos de geometría en el espacio como planos, líneas, curvas y superficies tridimensionales.
Este documento presenta conceptos básicos de geometría como puntos, líneas, superficies y cuerpos. Explica los elementos del triángulo y métodos de clasificación. También cubre conceptos como ángulos, polígonos, circunferencias, congruencia y semejanza. Finaliza con teoremas importantes sobre triángulos rectángulos y alturas.
Este documento presenta los conceptos básicos de geometría plana y tridimensional. Explica las figuras de una, dos y tres dimensiones como puntos, rectas, polígonos y cuerpos geométricos. También describe cómo calcular el perímetro y área de figuras planas como triángulos, cuadriláteros y círculos.
El documento habla sobre diferentes tipos de ángulos y cómo nombrarlos y medirlos. Explica que los ángulos se pueden nombrar con letras mayúsculas, minúsculas o números y que la letra del medio corresponde al vértice. También describe formas de medir ángulos usando un transportador y define ángulos interiores, exteriores, congruentes y adyacentes.
Este documento presenta conceptos básicos de geometría. Define puntos, rectas, planos, segmentos, rayos y ángulos. Explica que un punto no tiene dimensión, una recta se extiende al infinito, un plano se extiende en toda dirección y un ángulo está limitado por dos rayos con un punto en común. Además, clasifica los ángulos en agudos, obtusos, rectos y llanos.
Este documento presenta conceptos básicos de geometría plana. Explica que la geometría estudia las propiedades y medidas de figuras en el plano o espacio. Luego se enfoca en ángulos, definiéndolos como la apertura entre dos semirrectas con un vértice común, y clasificándolos según su medida y relación con otros ángulos. Finalmente, describe los diferentes tipos de ángulos que se forman entre líneas paralelas cortadas por una transversal.
Este documento presenta conceptos básicos de geometría, incluyendo puntos, rectas, planos, segmentos, ángulos, perpendiculares, paralelas y clasificaciones de ángulos. Explica que los puntos no tienen dimensión y son representados por letras mayúsculas, mientras que las rectas se extienden al infinito y se nombran con letras minúsculas. Define los diferentes tipos de ángulos - agudos, obtusos, rectos y llano - y las relaciones entre ángulos complementarios y suplementarios.
Este documento presenta información sobre curvas cónicas. Explica que las curvas cónicas son secciones producidas por un plano secante sobre una superficie cónica de revolución. Dependiendo del ángulo del plano secante se producen elipses, parábolas e hipérbolas. Describe las propiedades de estas curvas como sus focos, vértices, directrices y circunferencias focales. También explica métodos para construir estas curvas geométricamente.
Este documento presenta conceptos geométricos básicos como rectas, ángulos, triángulos y planos. También describe figuras geométricas como curvas, polígonos, circunferencias, polígonos regulares y no regulares. Explica la clasificación de triángulos, cuadriláteros y poliedros. Finalmente, introduce conceptos de geometría en el espacio como planos, líneas, curvas y superficies tridimensionales.
Este documento presenta conceptos básicos de geometría como puntos, líneas, superficies y cuerpos. Explica los elementos del triángulo y métodos de clasificación. También cubre conceptos como ángulos, polígonos, circunferencias, congruencia y semejanza. Finaliza con teoremas importantes sobre triángulos rectángulos y alturas.
Este documento presenta los conceptos básicos de geometría plana y tridimensional. Explica las figuras de una, dos y tres dimensiones como puntos, rectas, polígonos y cuerpos geométricos. También describe cómo calcular el perímetro y área de figuras planas como triángulos, cuadriláteros y círculos.
Este documento presenta conceptos básicos de geometría como puntos, rectas, rayos, segmentos, ángulos y sus unidades de medida. Explica las clasificaciones de triángulos, polígonos y cuadriláteros. También define elementos geométricos como vértices, lados y diagonales. Finalmente, describe figuras como paralelogramos, trapecios, cuadrados, rectángulos, rombos y romboides.
Elementos básicos de geometría y relaciones.AnaKaren930608
Este documento describe elementos básicos de la geometría como puntos, líneas, planos y sus relaciones. Define un punto como un elemento sin dimensiones y una línea como una dimensión de longitud. Un plano es una superficie plana indefinida. Explica conceptos como puntos colineales, coplanares, rectas paralelas e intersecantes, y figuras como polígonos y circunferencias.
El documento define ángulos, rectas paralelas y perpendiculares. Un ángulo es la amplitud entre dos líneas que se unen en un punto. Rectas paralelas mantienen la misma distancia y nunca se cruzan, mientras que rectas perpendiculares se cruzan formando ángulos de 90 grados. El documento explica cómo dibujar rectas perpendiculares usando un compás y regla.
El documento explica conceptos básicos de geometría del espacio como planos, ángulos y proyecciones. Define un plano como determinado por tres puntos no colineales o una recta y un punto exterior. Explica las posiciones relativas de rectas y planos, así como la proyección de puntos y rectas sobre un plano. También cubre ángulos entre rectas, planos y la línea de máxima pendiente.
Tema 4 transformaciones geometricas v7 1º bachqvrrafa
El documento describe diferentes conceptos y transformaciones de la geometría proyectiva y euclidiana, con el objetivo de ampliar el conocimiento de dichas geometrías. Se explican conceptos como razón simple, razón doble, cuaterna armónica y diferentes transformaciones como homología, afinidad e inversión. También se detalla cómo realizar construcciones geométricas relacionadas con estas transformaciones.
Este documento presenta los conceptos fundamentales del dibujo técnico, incluyendo elementos geométricos como puntos, líneas, planos y sus diferentes tipos; conceptos de perpendicularidad, paralelismo y operaciones con segmentos; ángulos y sus propiedades; la circunferencia y sus elementos; y lugares geométricos. Explica cómo construir y representar estos elementos geométricos de manera precisa siguiendo las convenciones del dibujo técnico.
Este documento describe diferentes transformaciones isométricas, incluyendo traslaciones, rotaciones y simetrías. Las traslaciones mueven una figura sin cambiar su forma u orientación, mientras que las rotaciones giran una figura alrededor de un punto central sin cambiar su tamaño. Las simetrías dividen una figura en dos partes iguales a través de un eje. Estas transformaciones conservan el tamaño y la forma de una figura al moverla o reflejarla.
Este documento presenta definiciones básicas de ángulos y sus medidas en geometría. Explica que un ángulo está formado por dos rayos que se unen en un vértice, y que su medida depende de la escala utilizada, como 0-180° en geometría euclidiana o 0-360° en trigonometría. Luego define tipos de ángulos como agudos, obtusos y rectos; y conceptos como ángulos congruentes, centrales y bisectrices. Finalmente, explica cómo determinar si un punto está dentro, sobre o
La geometría analítica estudia figuras geométricas mediante técnicas de álgebra y análisis en sistemas de coordenadas. Representa figuras como ecuaciones que relacionan las coordenadas de los puntos que las componen. Ha tenido aplicaciones en matemáticas, ingeniería y toma de decisiones. Define puntos mediante su distancia a los ejes de coordenadas y representa rectas, cónicas y otras curvas como funciones de sus coordenadas.
Este documento trata sobre la geometría del espacio. Explica que los elementos fundamentales son los puntos, las rectas y los planos. Define estos conceptos y describe cómo se determinan los planos a través de puntos y rectas. También cubre las posiciones relativas de rectas y planos, así como conceptos como ángulos entre rectas y planos, rectas perpendiculares a planos, y ángulos diedros y triedros.
Este documento introduce conceptos básicos de geometría plana como puntos, rectas, planos y ángulos. Define puntos como objetos sin dimensión, rectas como objetos con una dimensión (largo) y planos como objetos con dos dimensiones (largo y alto). Explica axiomas de la geometría euclidiana como que por dos puntos pasa una sola recta. También define ángulos, clasifica ángulos según su medida y describe relaciones entre ángulos como ángulos opuestos por el vértice y ángulos complementarios.
El documento describe las propiedades de varias figuras planas, incluyendo polígonos (triángulos, cuadrados, hexágonos), círculos, y trapecios. Explica que las propiedades incluyen el número y longitud de lados, ángulos, diagonales, radios, y las relaciones matemáticas entre estos elementos. También presenta fórmulas para calcular el perímetro, área, y otras medidas de las figuras.
Este documento presenta conceptos básicos de geometría. Define geometría como el estudio de las propiedades de figuras geométricas como puntos, rectas, ángulos, polígonos y círculos. Explica elementos básicos como puntos, rectas, segmentos de recta, semirrectas y rayos. También cubre proposiciones matemáticas como axiomas, postulados y teoremas, y propiedades de la distancia entre puntos y posiciones relativas de rectas.
Este documento presenta conceptos básicos de geometría como puntos, rectas, planos y figuras geométricas. Explica las características de polígonos regulares e irregulares, así como de poliedros y cuerpos redondos. También cubre temas como ángulos, paralelas cortadas por una transversal y la intersección entre rectas, planos y una recta con un plano.
El documento describe los elementos básicos de la geometría plana, incluyendo el punto, la recta, el plano, el segmento, el ángulo y el triángulo. Define cada uno y explica sus características fundamentales, como que un punto es adimensional, una recta contiene infinitos puntos, un plano tiene dos dimensiones, un segmento es una parte de una recta, un ángulo mide la apertura entre dos líneas y un triángulo tiene tres lados y tres vértices.
Tema 6 elementos geométricos del espacioJesús Cuéllar
Este documento presenta los conceptos básicos de los cuerpos geométricos en el espacio. Explica los elementos geométricos del espacio como puntos, rectas y planos. Luego describe las posiciones relativas de rectas, planos y ángulos diedros y poliedros. Se definen los poliedros regulares como el tetraedro, octaedro, icosaedro, cubo y dodecaedro. También introduce los poliedros no regulares como prismas y pirámides. Por último, explica los cuerpos de revolución como el c
Este documento proporciona una introducción a los conceptos básicos de la geometría, incluyendo definiciones de puntos, líneas, ángulos y diferentes tipos de polígonos. Explica cómo clasificar triángulos, cuadriláteros y otros polígonos en función de sus lados y ángulos. También describe las relaciones geométricas como paralelas, perpendiculares y ejes de simetría.
Tema 3 polgonos_triangulos_y_cuadrilateros_v7-1o_dtqvrrafa
El documento proporciona información sobre la clasificación y construcción de triángulos y cuadriláteros. Explica cómo los triángulos se pueden clasificar según sus lados o ángulos, y describe elementos notables como las alturas, medianas, bisectrices y circunferencias asociadas. También detalla métodos para construir triángulos dados diferentes combinaciones de lados, ángulos y elementos. Finalmente, presenta una breve clasificación de cuadriláteros.
Este documento presenta los conceptos básicos de geometría, incluyendo puntos, líneas, segmentos, rayos, ángulos, figuras planas como triángulos, cuadriláteros y polígonos. Explica cómo clasificar estas figuras y calcular sus áreas y perímetros. También introduce los tangramas y sus usos para formar figuras geométricas.
Este documento presenta conceptos básicos de geometría como puntos, rectas, polígonos y poliedros. Explica que un punto no tiene dimensión mientras que una recta tiene una dimensión. Define polígonos y sus elementos. Luego describe poliedros regulares e irregulares, indicando que los poliedros regulares tienen caras polígonos regulares iguales y el mismo número de caras en cada vértice. Finalmente, introduce cuerpos redondos como el cilindro, cono y esfera, cuyas caras son curvas.
Este documento presenta conceptos básicos de geometría como puntos, rectas, planos, segmentos, rayos y ángulos. Explica términos como puntos colineales, puntos coplanarios, clasificación de ángulos y relaciones entre ángulos. También incluye ejemplos y ejercicios para practicar el reconocimiento y cálculo de ángulos.
Este documento presenta conceptos básicos de geometría incluyendo definiciones de puntos, líneas, planos, ángulos y sus clasificaciones. También explica teoremas sobre rectas paralelas y transversales y cómo resolver problemas relacionados con segmentos, rayos, puntos colineales y coplanarios.
Este documento presenta conceptos básicos de geometría como puntos, rectas, rayos, segmentos, ángulos y sus unidades de medida. Explica las clasificaciones de triángulos, polígonos y cuadriláteros. También define elementos geométricos como vértices, lados y diagonales. Finalmente, describe figuras como paralelogramos, trapecios, cuadrados, rectángulos, rombos y romboides.
Elementos básicos de geometría y relaciones.AnaKaren930608
Este documento describe elementos básicos de la geometría como puntos, líneas, planos y sus relaciones. Define un punto como un elemento sin dimensiones y una línea como una dimensión de longitud. Un plano es una superficie plana indefinida. Explica conceptos como puntos colineales, coplanares, rectas paralelas e intersecantes, y figuras como polígonos y circunferencias.
El documento define ángulos, rectas paralelas y perpendiculares. Un ángulo es la amplitud entre dos líneas que se unen en un punto. Rectas paralelas mantienen la misma distancia y nunca se cruzan, mientras que rectas perpendiculares se cruzan formando ángulos de 90 grados. El documento explica cómo dibujar rectas perpendiculares usando un compás y regla.
El documento explica conceptos básicos de geometría del espacio como planos, ángulos y proyecciones. Define un plano como determinado por tres puntos no colineales o una recta y un punto exterior. Explica las posiciones relativas de rectas y planos, así como la proyección de puntos y rectas sobre un plano. También cubre ángulos entre rectas, planos y la línea de máxima pendiente.
Tema 4 transformaciones geometricas v7 1º bachqvrrafa
El documento describe diferentes conceptos y transformaciones de la geometría proyectiva y euclidiana, con el objetivo de ampliar el conocimiento de dichas geometrías. Se explican conceptos como razón simple, razón doble, cuaterna armónica y diferentes transformaciones como homología, afinidad e inversión. También se detalla cómo realizar construcciones geométricas relacionadas con estas transformaciones.
Este documento presenta los conceptos fundamentales del dibujo técnico, incluyendo elementos geométricos como puntos, líneas, planos y sus diferentes tipos; conceptos de perpendicularidad, paralelismo y operaciones con segmentos; ángulos y sus propiedades; la circunferencia y sus elementos; y lugares geométricos. Explica cómo construir y representar estos elementos geométricos de manera precisa siguiendo las convenciones del dibujo técnico.
Este documento describe diferentes transformaciones isométricas, incluyendo traslaciones, rotaciones y simetrías. Las traslaciones mueven una figura sin cambiar su forma u orientación, mientras que las rotaciones giran una figura alrededor de un punto central sin cambiar su tamaño. Las simetrías dividen una figura en dos partes iguales a través de un eje. Estas transformaciones conservan el tamaño y la forma de una figura al moverla o reflejarla.
Este documento presenta definiciones básicas de ángulos y sus medidas en geometría. Explica que un ángulo está formado por dos rayos que se unen en un vértice, y que su medida depende de la escala utilizada, como 0-180° en geometría euclidiana o 0-360° en trigonometría. Luego define tipos de ángulos como agudos, obtusos y rectos; y conceptos como ángulos congruentes, centrales y bisectrices. Finalmente, explica cómo determinar si un punto está dentro, sobre o
La geometría analítica estudia figuras geométricas mediante técnicas de álgebra y análisis en sistemas de coordenadas. Representa figuras como ecuaciones que relacionan las coordenadas de los puntos que las componen. Ha tenido aplicaciones en matemáticas, ingeniería y toma de decisiones. Define puntos mediante su distancia a los ejes de coordenadas y representa rectas, cónicas y otras curvas como funciones de sus coordenadas.
Este documento trata sobre la geometría del espacio. Explica que los elementos fundamentales son los puntos, las rectas y los planos. Define estos conceptos y describe cómo se determinan los planos a través de puntos y rectas. También cubre las posiciones relativas de rectas y planos, así como conceptos como ángulos entre rectas y planos, rectas perpendiculares a planos, y ángulos diedros y triedros.
Este documento introduce conceptos básicos de geometría plana como puntos, rectas, planos y ángulos. Define puntos como objetos sin dimensión, rectas como objetos con una dimensión (largo) y planos como objetos con dos dimensiones (largo y alto). Explica axiomas de la geometría euclidiana como que por dos puntos pasa una sola recta. También define ángulos, clasifica ángulos según su medida y describe relaciones entre ángulos como ángulos opuestos por el vértice y ángulos complementarios.
El documento describe las propiedades de varias figuras planas, incluyendo polígonos (triángulos, cuadrados, hexágonos), círculos, y trapecios. Explica que las propiedades incluyen el número y longitud de lados, ángulos, diagonales, radios, y las relaciones matemáticas entre estos elementos. También presenta fórmulas para calcular el perímetro, área, y otras medidas de las figuras.
Este documento presenta conceptos básicos de geometría. Define geometría como el estudio de las propiedades de figuras geométricas como puntos, rectas, ángulos, polígonos y círculos. Explica elementos básicos como puntos, rectas, segmentos de recta, semirrectas y rayos. También cubre proposiciones matemáticas como axiomas, postulados y teoremas, y propiedades de la distancia entre puntos y posiciones relativas de rectas.
Este documento presenta conceptos básicos de geometría como puntos, rectas, planos y figuras geométricas. Explica las características de polígonos regulares e irregulares, así como de poliedros y cuerpos redondos. También cubre temas como ángulos, paralelas cortadas por una transversal y la intersección entre rectas, planos y una recta con un plano.
El documento describe los elementos básicos de la geometría plana, incluyendo el punto, la recta, el plano, el segmento, el ángulo y el triángulo. Define cada uno y explica sus características fundamentales, como que un punto es adimensional, una recta contiene infinitos puntos, un plano tiene dos dimensiones, un segmento es una parte de una recta, un ángulo mide la apertura entre dos líneas y un triángulo tiene tres lados y tres vértices.
Tema 6 elementos geométricos del espacioJesús Cuéllar
Este documento presenta los conceptos básicos de los cuerpos geométricos en el espacio. Explica los elementos geométricos del espacio como puntos, rectas y planos. Luego describe las posiciones relativas de rectas, planos y ángulos diedros y poliedros. Se definen los poliedros regulares como el tetraedro, octaedro, icosaedro, cubo y dodecaedro. También introduce los poliedros no regulares como prismas y pirámides. Por último, explica los cuerpos de revolución como el c
Este documento proporciona una introducción a los conceptos básicos de la geometría, incluyendo definiciones de puntos, líneas, ángulos y diferentes tipos de polígonos. Explica cómo clasificar triángulos, cuadriláteros y otros polígonos en función de sus lados y ángulos. También describe las relaciones geométricas como paralelas, perpendiculares y ejes de simetría.
Tema 3 polgonos_triangulos_y_cuadrilateros_v7-1o_dtqvrrafa
El documento proporciona información sobre la clasificación y construcción de triángulos y cuadriláteros. Explica cómo los triángulos se pueden clasificar según sus lados o ángulos, y describe elementos notables como las alturas, medianas, bisectrices y circunferencias asociadas. También detalla métodos para construir triángulos dados diferentes combinaciones de lados, ángulos y elementos. Finalmente, presenta una breve clasificación de cuadriláteros.
Este documento presenta los conceptos básicos de geometría, incluyendo puntos, líneas, segmentos, rayos, ángulos, figuras planas como triángulos, cuadriláteros y polígonos. Explica cómo clasificar estas figuras y calcular sus áreas y perímetros. También introduce los tangramas y sus usos para formar figuras geométricas.
Este documento presenta conceptos básicos de geometría como puntos, rectas, polígonos y poliedros. Explica que un punto no tiene dimensión mientras que una recta tiene una dimensión. Define polígonos y sus elementos. Luego describe poliedros regulares e irregulares, indicando que los poliedros regulares tienen caras polígonos regulares iguales y el mismo número de caras en cada vértice. Finalmente, introduce cuerpos redondos como el cilindro, cono y esfera, cuyas caras son curvas.
Este documento presenta conceptos básicos de geometría como puntos, rectas, planos, segmentos, rayos y ángulos. Explica términos como puntos colineales, puntos coplanarios, clasificación de ángulos y relaciones entre ángulos. También incluye ejemplos y ejercicios para practicar el reconocimiento y cálculo de ángulos.
Este documento presenta conceptos básicos de geometría incluyendo definiciones de puntos, líneas, planos, ángulos y sus clasificaciones. También explica teoremas sobre rectas paralelas y transversales y cómo resolver problemas relacionados con segmentos, rayos, puntos colineales y coplanarios.
El documento explica conceptos básicos de geometría sobre ángulos. Define qué es un ángulo, sus elementos, y diferentes clasificaciones de ángulos según su medida, posición y relación con rectas paralelas. También introduce conceptos sobre triángulos como sus propiedades y clasificaciones.
Elementos fundamentales-de-la-geometriaDiego Parra
El documento presenta los elementos fundamentales de la geometría como puntos, rectas y planos. Define conceptos como segmentos de recta, rayos, ángulos y tipos de ángulos. Explica los siete postulados de la geometría y teoremas sobre relaciones entre puntos, rectas y ángulos como ángulos adyacentes y opuestos por el vértice. Incluye ejemplos de cálculo de medidas de ángulos.
El documento presenta los elementos fundamentales de la geometría como puntos, rectas y planos. Define conceptos como segmentos de recta, rayos, ángulos y tipos de ángulos. Explica las propiedades de ángulos formados por rectas paralelas cortadas por una transversal y muestra ejemplos de cálculo de medidas de ángulos.
El documento presenta los elementos fundamentales de la geometría como puntos, rectas y planos. Define conceptos como segmentos de recta, rayos, ángulos y tipos de ángulos. Explica las propiedades de ángulos formados por rectas paralelas cortadas por una transversal y cómo calcular medidas de ángulos usando estas propiedades. Incluye dos ejemplos resueltos de cálculo de medidas de ángulos.
El documento presenta los elementos fundamentales de la geometría como puntos, rectas y planos. Define conceptos como segmentos de recta, rayos, ángulos y tipos de ángulos. Explica las propiedades de ángulos formados por rectas paralelas cortadas por una transversal y muestra ejemplos de cálculo de medidas de ángulos.
El documento presenta los elementos fundamentales de la geometría como puntos, rectas y planos. Define conceptos como segmentos de recta, rayos, ángulos y tipos de ángulos. Explica las propiedades de ángulos formados por rectas paralelas cortadas por una transversal y provee ejemplos para calcular medidas de ángulos.
Este documento proporciona una introducción a la geometría plana, definiendo conceptos básicos como puntos, líneas, figuras geométricas y ángulos. Explica cómo medir ángulos, clasificar triángulos y proporciona teoremas sobre triángulos congruentes y semejantes. Cubre propiedades de paralelas cortadas por una secante y define puntos y líneas notables dentro de triángulos.
Este documento resume los conceptos fundamentales de la geometría plana, incluyendo definiciones de puntos, líneas, figuras geométricas y ángulos. Explica cómo medir ángulos, clasificar triángulos y proporciona teoremas clave sobre paralelas, perpendiculares, triángulos congruentes y semejantes.
Este documento presenta los conceptos básicos de la geometría plana, incluyendo definiciones de puntos, líneas, figuras geométricas y ángulos. Explica la clasificación de triángulos y teoremas relacionados con ángulos, paralelas y congruencia de triángulos. También cubre conceptos como perpendiculares, semejanza y propiedades de figuras geométricas comunes.
Este documento presenta conceptos básicos de geometría como puntos, rectas, segmentos, rayos, ángulos y figuras planas como triángulos y cuadrilateros. Explica cómo medir y clasificar ángulos, y define propiedades de figuras como la suma de los ángulos interiores de un polígono, el número de diagonales de una figura y los tipos de triángulos. Incluye ejercicios para practicar estos conceptos.
Este documento describe elementos geométricos fundamentales como puntos, líneas, planos, ángulos y sus propiedades. Explica cómo construir perpendiculares, paralelas, bisectrices de ángulos y segmentos. Ofrece ejemplos de aplicaciones como división de segmentos y trazado de figuras geométricas.
Este documento presenta información sobre geometría para el séptimo grado. Incluye estándares de contenido sobre figuras geométricas bidimensionales y tridimensionales, así como definiciones y propiedades de puntos, líneas, ángulos, triángulos, círculos, polígonos y poliedros. También establece objetivos para que los estudiantes identifiquen y analicen formas geométricas con al menos 85% de precisión.
El documento resume conceptos básicos de geometría como puntos, líneas, segmentos, ángulos y sus clasificaciones. Explica la suma de los ángulos interiores de un triángulo es 180° y de un polígono convexo es (n-2)180° donde n es el número de lados. También cubre paralelas, triángulos, cuadriláteros y polígonos.
El documento resume conceptos básicos de geometría como puntos, líneas, segmentos, ángulos y sus clasificaciones. Explica la suma de los ángulos interiores de un triángulo es 180° y de un polígono convexo es (n-2)180° donde n es el número de lados. También cubre paralelas, triángulos y sus propiedades, y polígonos convexos vs cóncavos.
El documento proporciona información sobre varios conceptos y trazados geométricos fundamentales como la perpendicularidad, paralelismo, proporcionalidad, sección áurea, ángulos y la circunferencia. Explica cómo construir lugares geométricos como la mediatriz de un segmento y el arco capaz de un ángulo, y cómo aplicar estos conceptos para construir triángulos dados un lado y el ángulo opuesto.
Este documento presenta conceptos básicos de geometría como puntos, rectas, segmentos, semirrectas, planos y ángulos. Explica que un punto no tiene dimensión y describe una posición, mientras que una recta es un conjunto infinito de puntos colineales. También define conceptos como segmento, semirrecta, plano y clasifica ángulos como rectos, agudos u obtusos.
Este documento presenta los objetivos y conceptos básicos sobre círculos y circunferencias. Los objetivos incluyen diferenciar círculos y circunferencias, reconocer líneas y ángulos del círculo, y aplicar teoremas a problemas. Define conceptos como circunferencia, radio, cuerda, diámetro, interior y exterior del círculo. Explica definiciones de ángulo central, arco, semicircunferencia y notaciones. Finalmente, presenta seis teoremas importantes sobre líneas en la circunferencia
En la ciudad de Pasto, estamos revolucionando el acceso a microcréditos y la formalización de microempresarios informales con nuestra aplicación CrediAvanza. Nuestro objetivo es empoderar a los emprendedores locales proporcionándoles una plataforma integral que facilite el acceso a servicios financieros y asesoría profesional.
Business Plan -rAIces - Agro Business Techjohnyamg20
Innovación y transparencia se unen en un nuevo modelo de negocio para transformar la economia popular agraria en una agroindustria. Facilitamos el acceso a recursos crediticios, mejoramos la calidad de los productos y cultivamos un futuro agrícola eficiente y sostenible con tecnología inteligente.
1. Conceptos básicos 1
GEOMETRÍA EUCLIDIANA
CONCEPTOS BÁSICOS
EL MÉTODO DEDUCTIVO:
El método deductivo es el utilizado en la ciencia y principalmente en la geometría. Este método
consiste en conectar un conjunto de conocimientos que se aceptan como verdaderos, para
obtener nuevas proposiciones que son consecuencia lógica de las anteriores.
El método deductivo también es llamado método axiomático.
El método deductivo se basa en:
Conceptos no definidos:
La geometría necesita desarrollar su propio vocabulario y para desarrollarlo comenzamos con
unas palabras que se obtienen de la vida cotidiana.
Términos no definidos: Punto, Recta, Plano.
Las definiciones:
Necesitamos conocer el significado exacto de los términos que utilizamos en geometría y para ello
utilizamos las definiciones.
Ejemplo:
La bisectriz de un ángulo es la semirrecta que tiene su origen en el vértice del ángulo y lo divide en
dos ángulos congruentes.
Los Postulados. (Axiomas)
Son proposiciones que se aceptan como verdaderas sin demostrarlas.
Teoremas:
Son proposiciones que para aceptarlas como verdaderas deben ser demostradas a partir de
postulados, definiciones o teoremas ya demostrados, siguiendo una deducción lógica.
En un teorema se deben distinguir dos elementos fundamentales: LA HIPÓTESIS Y LA TESIS.
La hipótesis son los datos que se dan en el enunciado del teorema.
La tesis es la conclusión a la que debemos llegar.
PUNTO:
Es un término no definido en geometría. La huella que deja un alfiler en una hoja nos da la idea de
punto. Los puntos los denominaremos por letras mayúsculas.
RECTA:
Es otro término no definido en geometría.
NOTACIÓN DE RECTA:
AB Recta AB
l Recta l
2. Conceptos básicos 2
SEMIRRECTA:
Si en una recta, se da un punto O, este parte la recta en dos semirrectas de origen O.
Una semirrecta es el conjunto formado por O y todos los puntos que le siguen, o el conjunto
formado por O y todos los puntos que le anteceden.
Semirrecta 𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗
Semirrecta 𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗
NOTA: El origen pertenece a la semirrecta.
POSTULADOS DE ORDEN SOBRE PUNTOS:
Existen por lo menos dos puntos sobre una recta
Si A y B son dos puntos distintos sobre una recta existe por lo menos un punto C entre A y B.
A – C – B.
PUNTOS COLINEALES:
Son los puntos que están sobre una misma recta.
SEGMENTO DE RECTA:
Dados dos puntos distintos A y B de una recta, el conjunto formado por A y B y todos los puntos
entre A y B se llama segmento de recta AB y se denota por AB .
, /AB A B X A X B
A y B se llaman extremos del segmento.
NOTA: AB es lo mismo que escribir BA
PLANO:
Es otro término no definido en geometría.
POSTULADO:
Dados tres puntos no colineales determinan uno y solamente un plano.
POSTULADOS DE ENLACE:
Por dos puntos distintos pasa una y solamente una recta.
Si dos puntos distintos de una recta pertenecen al mismo plano, la recta se halla contenida en
dicho plano
La intersección de dos planos es una recta
Un plano y un punto determinan el espacio tridimensional
DEFINICIÓN: Tres o más puntos no colineales que pertenecen a un mismo plano, se llaman
coplanares.
3. Conceptos básicos 3
SEPARACIÓN DEL PLANO:
Un punto divide una recta en dos semirrectas. En forma semejante, podemos pensar en que una
recta divide a un plano en dos semiplanos H1 y H2
Si dos puntos P y Q del plano se encuentran en el mismo semiplano, se dice que se
encuentran del mismo lado le la recta l (borde). En este caso PQ no corta a L, es decir
PQ l
Si P y R están en semiplanos distintos del plano, estos están en lados opuestos del borde l y se
tiene: PQ l A
DEFINICIÓN: Un conjunto P se dice que es convexo, si y solo si para todo par de puntos A y B de
P, AB está incluido en P, en caso contrario se dice que el conjunto es no convexo.
En las siguientes figuras a, b y c son convexas y las otras no.
POSICIONES RELATIVAS DE DOS RECTAS EN UN PLANO
Dadas dos rectas en un plano puede suceder:
Que se cortan en un punto, o sea que 1 2l l P
Que coincidan o sea que su intersección sea una de las rectas.
Qué 1 2L L y se dice que son paralelas y se escribe: 1 2L L
4. Conceptos básicos 4
POSTULADOS DE MEDIDAS DE SEGMENTOS
A todo segmento AB se le asigna un número real positivo, llamado su medida y la denotamos
m ( AB ) o AB.
Si dos segmentos son disjuntos o si su intersección es un punto, entonces la medida de la
unión de los segmentos es igual a la suma de sus medidas. Es decir si se tiene: AB CD
Entonces m ( AB ) + m (CD ) = Suma de sus medidas.
NOTA: Este postulado se llama ADICIÓN DE SEGMENTOS.
DEFINICIÓN: Dos segmentos son congruentes si tienen igual medida y se escribe AB CD
La congruencia de segmentos es una relación de equivalencia, es decir cumple las siguientes
propiedades:
1. PROPIEDAD REFLEXIVA: Todo segmento es congruente consigo mismo: AB AB
2. PROPIEDAD SIMÉTRICA: Si AB CD , entonces CD AB .
3. PROPIEDAD TRANSITIVA: Si AB CD y CD EF entonces AB EF .
POSTULADO DE CONSTRUCCIÓN DE SEGMENTOS CONGRUENTES
Dada la semirrecta AB y un segmento CD, es posible encontrar un punto P en AB de tal
manera que AP CD .
DEFINICIÓN DE PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO:
Dado un segmento AB, C es el punto medio de AB si AC CB ; con A – C – B
ANGULO:
Un ángulo es la unión de dos semirrectas que tienen el mismo origen
A es el vértice del ángulo
yAB AC son los lados del triángulo.
NOTACIÓN DE UN ÁNGULO:
; la letra del vértice, siempre en la mitadQOP POQ
También se puede nombrar por la letra del vértice o colocando un
número en el ángulo: ; 1O
5. Conceptos básicos 5
DEFINICIÓN:
si m( ) ( )
BAC EDF
BAC m EDF
Dos ángulos son congruentes si tienen igual medida.
NOTA: En este curso la unidad de medida que se utilizará para medir ángulos es el grado.
La congruencia de ángulos es también una relación de equivalencia, o sea que cumple las
propiedades Reflexiva, Simétrica y transitiva.
POSTULADO DE CONSTRUCCIÓN DE ÁNGULOS:
Dado un ángulo CDE y una recta AB que sea el borde un semiplano H1, existe un punto P en H1,
tal que CDE BAP
POSTULADO DE LA ADICIÓN DE ÁNGULOS
Si D está en el interior del ángulo BAC, entonces:
( ) ( ) ( )m BAD m DAC m BAC
O también: ( ) ( ) ( )m BAD m BAC m DAC
6. Conceptos básicos 6
DEFINICIÓN DE PAR LINEAL
BISECTRIZ DE UN ÁNGULO
La bisectriz de un ángulo es la semirrecta que tiene su origen en el vértice del ángulo; está en su
interior y lo divide en dos ángulos congruentes.
OC es la bisectriz de BOA
BOC COA
ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS
Dos ángulos son complementarios si la suma de sus medidas es 90º
Si ( ) ( ) 90ºm BAC m CAD , entonces BAC y CADson
complementarios.
CADes el complemento de BAC
El complemento de 30º es 60º
El complemento de 73º es un ángulo de 17º
El complemento de xº es 90º - xº
ÁNGULOS SUPLEMENTARIOS.
Dos ángulos son suplementarios si la suma de sus medidas es 180 grados.
( ) ( ) 180ºm BAD m DAC
BAD y DAC son suplementarios
BAD es el suplemento de DAC
El suplemento de 30º es 150º
El suplemento de 73º es 107º
El suplemento de xº es 180º - xº
7. Conceptos básicos 7
CLASIFICACIÓN DE LOS ÁNGULOS:
ANGULO RECTO: Un ángulo es recto si mide 90º
Si ( ) 90ºm BAC entonces BAC es recto
ÁNGULO AGUDO: Un ángulo es agudo si mide menos de 90º
ANGULO OBTUSO: Un ángulo es obtuso si mide más de 90º
ANGULO LLANO: Un ángulo es llano si mide 180º
ÁNGULOS ADYACENTES:
ÁNGULOS OPUESTOS POR EL VÉRTICE:
TEOREMA 1.
Los ángulos opuestos por el vértice son congruentes
HIPÓTESIS: y son opuestos por el vértice
TESIS:
8. Conceptos básicos 8
AFIRMACIÓN RAZÓN
1. º180)()( mm 1. Porque y forman un par lineal (ángulo llano)
2. º180)()( mm 2. Por formar un par lineal
3. )()()()( mmmm 3. De 1 y 2. Propiedad transitiva.
4. )()( mm 4. De 3. Ley cancelativa en una igualdad
5. 5. De 4. Definición de congruencia de ángulos
RECTAS PERPENDICULARES
Dos rectas son perpendiculares si se cortan formando un ángulo
recto y se escribe 𝑚⃡⃗ ⊥ 𝑛⃡
MEDIATRIZ DE UN SEGMENTO:
ÁNGULOS FORMADOS POR DOS RECTAS Y UNA TRANSVERSAL
Si m, n y t son tres rectas coplanares y t corta a m y n en dos puntos distintos P y Q
respectivamente, entonces t se llama una transversal de m y n.
Se forman 8 ángulos, cuatro internos y cuatro
externos
4, 3, 5, 6 son ángulos internos
1, 2, 8, 7 son ángulos externos
9. Conceptos básicos 9
ÁNGULOS ALTERNOS INTERNOS:
Dos ángulos son alternos internos si son internos, están en semiplanos distintos de borde t y no
son adyacentes. 4 y 5 ; 3 y 6
ÁNGULOS ALTERNOS EXTERNOS:
Dos ángulos son alternos externos si son exteriores, están en semiplanos diferentes de borde t y
no son adyacentes. 1 y 8 ; 2 y 7 .
ÁNGULOS CORRESPONDIENTES:
Dos ángulos son correspondientes si uno de ellos es exterior y el otro interior y están en el mismo
semiplano de borde t y no son adyacentes.
1 y 6; 2 y 5; 7 y 4; 8 y 3
CONSECUTIVOS INTERIORES: 4 y 6; 3 y 5.
TRIÁNGULOS
Dados tres puntos no colineales A, B y C la unión de , y CAAB BC se lama triángulo.
10. Conceptos básicos 10
CLASIFICACIÓN DE LOS TRIÁNGULOS
TRIANGULO EQUILÁTERO: Es el que tiene sus tres lados congruentes.
TRIANGULO ISÓSCELES: Es el que tiene dos lados congruentes. Generalmente al lado desigual
se llama base del triángulo
TRIANGULO ESCALENO: Es el que tiene sus tres lados desiguales.
TRIANGULO ACUTÁNGULO: Es el que tiene sus tres ángulos agudos.
TRIÁNGULO OBTUSÁNGULO: Es un triángulo que tiene un ángulo obtuso
TRIANGULO RECTÁNGULO: Es el que tiene un ángulo recto. Los lados que forman el ángulo
recto se llaman catetos y el lado opuesto al ángulo recto se llama hipotenusa
MEDIANA DE UN TRIÁNGULO:
Es el segmento de recta que une un vértice con el punto medio del lado opuesto.
M, N, y P son puntos medios de los lados del triángulo.
, y CMAN BP son las medianas del triángulo y se cortan en un punto
G, llamado BARICENTRO O CENTRO DE GRAVEDAD
11. Conceptos básicos 11
ALTURA DE UN TRIÁNGULO:
Es el segmento de recta perpendicular trazado desde un vértice al lado opuesto.
, y ADCH BE son las alturas del triángulo y se cortan en un
punto O, llamado ORTOCENTRO
ALTURAS EN UN TRIANGULO OBTUSÁNGULO
BISECTRICES.
MEDIATRICES
12. Conceptos básicos 12
TEOREMA
Si dos ángulos son congruentes entonces sus complementos también son congruentes.
HIPÓTESIS: 1 3
El complemento de 1 es 2.
El complemento de 3 es 4
TESIS: 2 4
AFIRMACIONES RAZONES
1. 1 3m m 1. De hipótesis, los ángulos congruentes miden lo
mismo
2. 1 2 90 m m 2. De hipótesis, definición de ángulos
complementarios.
3. 3 4 90 m m 3. De hipótesis, definición de ángulos
complementarios.
4.
1 2 3 4 m m m m
4. De 2 y 3. Propiedad transitiva de las igualdades
13. Conceptos básicos 13
5.
1 2 1 4 m m m m
5. Sustitución de 1 en 4.
6. 2 4m m 6. Propiedad cancelativa de las igualdades
TEOREMA
Si dos ángulos son congruentes entonces sus suplementos también son congruentes.
NOTA: La demostración se deja como ejercicio.
EJERCICIOS SOBRE LOS CONCEPTOS BÁSICOS DE LA GEOMETRÍA
DETERMINAR SI LOS SIGUIENTES ENUNCIADOS SON VERDADEROS O FALSOS:
1. La intersección de dos planos puede ser un punto ( )
2. Dados dos punto diferentes hay más de una recta que contiene a los dos puntos ( )
3. Dos rectas siempre son coplanares. ( )
4. Toda recta tiene un punto medio. ( )
5. Si AB m ,entonces A y B están en semiplanos distintos, determinados por el borde m ( )
6. Los ángulos opuestos por el vértice son suplementarios. ( )
7. En un par lineal los ángulos son adyacentes. ( )
8. Dos ángulos suplementarios forman un par lineal. ( )
9. Los ángulos de un par lineal son suplementarios. ( )
10.Dos ángulos complementarios son agudos. ( )
11.Dos ángulos opuestos por el vértice no pueden ser suplementarios. ( )
12.Dos ángulos adyacentes son complementarios o suplementarios. ( )
13.Una perpendicular es una recta que va hacia arriba y hacia abajo. ( )
14.Una altura de un triángulo pasa por el punto medio de un lado. ( )
15.Las bisectrices de dos ángulos suplementarios adyacentes son perpendiculares. ( )
16.El punto donde se cortan las medianas de un triángulo se llama baricentro. ( )
17.Un triángulo equilátero también es isósceles. ( )
18.El lado mayor de un triángulo se llama hipotenusa. ( )
19.La bisectriz de un ángulo, algunas veces lo divide en dos ángulos congruentes. ( )
20.La mediana de un triángulo es también altura. ( )
ENUNCIADOS PARA COMPLETAR:
1. Una __________________ de un triángulo es el segmento de recta que une un vértice y el
punto medio del lado opuesto del triángulo.
2. Una _________________ de un triángulo es el segmento de recta trazado desde un vértice y
perpendicular al lado opuesto.
3. El lado de un triángulo rectángulo opuesto al ángulo recto se llama ________________
4. Las bisectrices de dos ángulos complementarios adyacentes forman un ángulo de ______
5. Los lados de un ángulo recto son ___________________
6. las parejas de ángulos no adyacentes que se forman cuando dos rectas se cortan se llaman
________________________________________
7. Un ángulo______________ tiene una medida mayor que su suplemento.
8. El ángulo A es el complemento de un ángulo cuya medida es 42º. El ángulo B es el suplemento
de A. Entonces la medida de B es __________
9. Dos ángulos que tienen el mismo complemento son _________________
14. Conceptos básicos 14
10.Dos ángulos que tienen el mismo suplemento son _________________
11.La diferencia entre las medidas del suplemento y el complemento de un ángulo es
________________
12.La medida de una ángulo que es congruente a su complemento es _________
13.La medida de un ángulo que tiene como medida la mitad de la medida de su suplemento es
________
14.Si los lados no comunes de dos ángulos adyacentes son mutuamente perpendiculares,
entonces los ángulos son _______________
15.Si dos planos se interceptan , su intersección es una _________________
16.El ______________________ es el punto donde se cortan las mediatrices de un triángulo.
17.El _______________________ es el centro de la circunferencia inscrita en un triángulo y es el
punto donde se cortan las ___________________ de un triángulo.
18.Al lado desigual en un triángulo isósceles, generalmente se le llama _______________
19.Un triángulo rectángulo, siempre tiene un ángulo _______________
20.Los lados que forman el ángulo recto en un triángulo rectángulo se llaman ___________
EJERCICIOS
1. A, B, C, D son puntos colineales en ese orden. Si M y N son los puntos medios de AB y CD
respectivamente, entonces demuestre que:
2
BDAC
MN
2. Los puntos A, B, C, D son colineales en ese orden, O es el punto medio de ADyBC demuestre
que AB CD y AC BD .
3. Los puntos O, A, B son colineales. X es el punto medio de AB . Demostrar que:
a.
2
OBOA
OX
si O – A – B
b.
2
OAOB
OX
si A – O – X – B
4. A, B, C, D son colineales en ese orden. Si 2BC = CD, demuestre que:
3
2 ADAB
AC
5. Los puntos A, B, C y D son colineales en ese orden. Si BD = 8 unidades y la longitud del
segmento que une los puntos medios de AB y CD mide 10 unidades, calcular AC
6. En una recta se ubican los puntos consecutivos A, B, C, D y E. Se sabe que BC = 2AB,
CD = 2DE y AE = 12 unidades. Calcular BD
7. A, B, C y D son cuatro puntos consecutivos y colineales. M y N son los puntos medios de los
segmentos yAB CD respectivamente. Calcular MN. Si AC = 15 cm y BD = 25 cm.
8. Sean los puntos colineales y consecutivos A, B, M, C y D. Si 5 y 5MC cm BM cm y M es
el punto medio de AD . Calcular CD AB
15. Conceptos básicos 15
9. Cuatro animales amigos corren por un camino recto. Anfibio va primero y le siguen en este
orden, Batracio, Croador y Delfín. Al cabo de un rato, Delfín grita ¡PAREN!, todos se detienen y
se miden algunas distancias entre ellos: distancia (Anf, Del) = 306 metros, distancia (Anf, Cro)
= 180 metros, distancia (Bat, Del) = 174 metros. ¿Cuántos metros separan a Croador de
Batracio?
10.Demostrar que si dos ángulos tienen el mismo complemento entonces son congruentes.
11.Demostrar que si dos ángulos tienen el mismo suplemento entonces son congruentes.
12.
En la figura OB es bisectriz de AOC y la semirrecta OD es
bisectriz de EOC y m ( AOC) = 50º, m ( COE) = 80º. Hallar:
m ( AOB); m ( BOD); m ( COD); m ( AOE); m ( BOE);
m ( DOA).
13.Las rectas AB, CD, EF se cortan en el punto O. y AOE = DOF. Demostrar que OE es
bisectriz de AOC.
14.Demostrar que las bisectrices de los ángulos de un par lineal son perpendiculares.
15.Demostrar que las bisectrices de dos ángulos opuestos por el vértice están sobre la misma
recta.
16.Los puntos A, B, C son colineales en ese orden. E es exterior a la recta AC de tal manera que
m ( EBA) + m ( ECB) = 180º. Demostrar que EBC = ECB
17. AOB y BOC son dos ángulos adyacentes tales que m ( AOC) – m ( AOB) = 90º, OX es
la bisectriz de AOB y OY es la bisectriz de AOC. Hallar m ( XOY).
18.Cuatro semirrectas coplanares consecutivas OA, OB, OC y OD forman ángulos tales que
DOA = COB. m( COB) = 2m( AOB) y m( COD) =3m( AOB)
a. Hallar las medidas de los ángulos AOB, DOA, COD.
b. Demuestre que las bisectrices de AOB y COD están en la misma recta.
19.Desde un punto O sobre la recta X’X se trazan las semirrectas OA y OB en un mismo
semiplano y las bisectrices de los ángulos XOA, BOX’. Hallar las medidas de XOA y BOX’,
sabiendo que m( X’OB) = m ( XOA) y que las bisectrices de estos ángulos forman un
ángulo de 100º.
16. Conceptos básicos 16
20.AB y AC son semirrectas opuestas. Los puntos E, F, H están en el mismo semiplano de
borde la recta AB. Los puntos E y H están en semiplanos opuestos respecto a BF. Los puntos
A y H están en igual semiplano respecto a BF. BF AC y BE BH ; m ( FBE) = 20º. Dibujar
la figura y hallar m ( EBA), m ( FBH) y m ( FBC).
21.Si la medida de un ángulo es el doble de la de su complemento, ¿Cuál es la medida de cada
ángulo?
22.Si uno de dos ángulos suplementarios tiene una medida de 50° menos que la medida del otro.
¿Cuál es la medida de cada uno?
23.
HIPÓTESIS: AOB COD
TESIS: AOC BOD
Si OM es la bisectriz de COB, demostrar que
también es bisectriz de AOD.
24.
Si m (AOB) = 30°; m (BOC) = 80°; m (DOE) = 30°
a. Calcular m(EOC)
b. Comprobar que A – O – D son colineales.
25.Dos ángulos adyacentes son suplementarios, si uno de ellos mide X°. ¿Cuál será el valor del
ángulo formado por las bisectrices de ambos?
26.
Cuatro semirrectas consecutivas: ; ; ;OA OB OC OD , forman
ángulos tales que DOA BOC ; m( COB) = 2 m( AOB) y
m( COD) = 3 m( AOB)
a. Calcular: m( AOB); m( DOA); m( COD)
b. Comprobar que las bisectrices de AOB y COD,
están sobre la misma recta.
17. Conceptos básicos 17
27.Se tienen los ángulos consecutivos , yAOB BOC COD , tales que:
2 ( ) 2 ( ) 3 ( )m BOD m COD m BOC
Si ( ) y ( )m AOB m AOC
Entonces del valor de ( )m AOD es:
5
.
2
5( )
.
2
4( )
.
3
5
.
4
A
B
C
D
28.Completar los siguientes postulados:
A. Si dos puntos están en un plano, entonces la ______________________ que los contiene
está en el plano
B. Un ____________________ contiene por lo menos tres puntos no colineales.
C. Dos puntos están contenidos en una y solo una ________________
D. Si dos planos se cortan, se intersecan exactamente en una __________________
E. Un punto separa una recta en dos ______________________________
F. Una recta separa un _______________________ en dos semiplanos.
29.
P es el origen de dos semirrectas opuestas. Se
colocan los puntos S y T en semirrectas opuestas de
tal manera que 2SP PT ¿Cuál será el valor de
ST
PT
?
Algunos ejercicios son tomados de los siguientes textos:
Geometría Euclidiana de Nelson Londoño
Geometría Euclidiana de Hemmerling
Curso de Geometría. Reunión de profesores
Geometría de Clemens y otros, de la serie Awli
Geometría de Edwin E. Moise
De internet
Recopilados por: José Manuel Montoya Misas.