Este documento describe los elementos secundarios de un triángulo, incluyendo las alturas, bisectrices, simetrales, transversales de gravedad y medianas. También describe puntos notables como el ortocentro, incentro, baricentro y circuncentro.

1. ELEMENTOS SECUNDARIOS DE UN
TRIAGULO
Profesor:
Rodolfo Arias Carrasco.

2. Se llama altura al segmento que une un vértice
perpendicularmente con el lado opuesto ( ha , hb , hc )
Sus medidas se denotan:
AE= ha
BF= hb ha
CD= hc
H: Ortocentro
El punto de intersección de las alturas se llama
ortocentro.
Si un triángulo es acutángulo, las alturas se
intersectan en su interior, como se mostraban el la
figura anterior. Si es un triángulo rectángulo, las
alturas se intersectan en el vértice del ángulo recto.

3. Si el triángulo es obtusángulo, las prolongaciones de las alturas se
intersectan en el exterior del triángulo.

4. Se llama bisectriz al segmento que une un vértice con
su lado opuesto, bisectando el ángulo correspondiente.
Sus medidas se denotan:
AS= ba
BT= bb
CR= bc S
T
I: Incentro
R
R
El punto de intersección de las bisectrices se llama incentro y es el centro de
la circunferencia inscrita en el triángulo

5. La intersección de las bisectrices de dos ángulos exteriores es el centro de la
circunferencia exinscrita tangente al lado del triángulo, común a ambos
ángulos exteriores y a las prolongaciones de los otros dos lados del triángulo
Oa Centro de la circunferencia tangente al
lado BC , a la prolongación más
allá de C del lado AC y a la
prolongación más allá de B del lado AB
Ob Centro de la circunferencia tangente al
lado AC , a la prolongación más
allá de C del lado BC y a la
prolongación más allá de A del lado BA
Oc Centro de la circunferencia tangente al
lado AB , a la prolongación más
allá de A del lado CA y a la
prolongación más allá de B del lado CB

6. Se llama transversal de gravedad al
segmento que une un vértice con el punto
medio del lado opuesto
Sus medidas se denotan:
AE= t a
BF= tb
CD= tc
G: Centro de gravedad
El punto donde se intersecta las transversales de gravedad es el Centro
de gravedad del triángulo o baricentro y se denomina G.
El punto G divide a cada transversal de gravedad en dos segmentos
cuyas medidas están en la razón 2:1
AG BG CG 2
GE GF GD 1

7. Son las rectas que dimidian perpendicularmente cada
lado del triángulo
Estas tres rectas se intersectan en el punto K, que se denomina
circuncentro y es el centro de la circunferencia circunscrita al triángulo
Llamaremos medidas de las
simetrales a los segmentos:
KN = sa
KO = s b
KM = sc
K: Circuncentro
KA = KB =KC: radio de la
circunferencia circunscrita al
triángulo ABC

8. 1. El centro de la circunferencia circunscrita al triángulo
rectángulo se ubica en el punto medio de la hipotenusa. Si
el triángulo es acutángulo, el circuncentro es un punto de su
interior y si es obtusángulo, es de su exterior
1. En un triángulo rectángulo, la transversal de gravedad
correspondiente al ángulo recto mide la mitad de la
hipotenusa y es igual al radio de la circunferencia
circunscrita al triángulo

9. Se llama mediana al segmento que une los puntos
medios de dos lados de un triángulo
OBSERVACIONES:
1. Cada mediana es igual a la mitad del
lado que no contiene sus extremos
2. Cada mediana es paralela al lado que
no contiene sus extremos
3. En un triángulo equilátero, las alturas,
bisectrices, simetrales y transversales
de gravedad respectivas a cada uno de 4. En un triángulo isósceles,
los lados están contenidas en la misma la altura, la bisectriz, la
recta, y: simetral y la transversal de
gravedad correspondientes
ha ba t a hb bb tb hc bc tc a la base son coincidentes

10. • El Ortocentro, Baricentro y Circuncentro están siempre ALINEADOS.
• El baricentro está ENTRE el ortocentro y circuncentro.
• La distancia del baricentro al circuncentro es la mitad que la distancia del
baricentro al ortocentro.
• Además, la recta que pasa por los tres puntos citados (Ortocentro, Baricentro y
Circuncentro) se llama RECTA DE EULER.

11. El perímetro de un triángulo es la suma de las longitudes de sus lados
P=a+b+c
El área de un triángulo se puede calcular de diversas formas:
1. El área de un triángulo se calcula multiplicando la medida de uno de
sus lados por la altura correspondiente y dividido por dos
a ha
A ABC
2
2. Fórmula de Herón. Si se conocen las medidas de los tres lados,
A ABC s(s a)(s b)(s c)
donde a b c (semiperímetro)
s
2

12. 3. Área del triángulo en función del radio de la circunferencia inscrita (r) y
el semiperímetro (s).
A ABC r s
4. Área del triángulo en función del radio de la circunferencia circunscrita
(R) y el producto de la medida de sus lados
a b c
A ABC
4R

13. Polígonos

14. Se llama línea poligonal a la unión continua de segmentos, de modo que dos
segmentos sucesivos tienen sólo un extremo en común, como el de la figura:
Una poligonal cerrada simple es
aquella que no puede cortarse a sí
misma, es decir, aquella en la cual
dos segmentos no consecutivos no
pueden tener puntos en común.
En caso contrario la
llamaremos poligonal
cerrada compleja

15. Definición: Un polígono es la porción del plano limitada por
una línea poligonal cerrada simple.
Elementos de un polígono
• Lados: son los trazos o segmentos que determinan el polígono.
• Vértices: son los puntos de intersección de dos lados consecutivos. En general un
polígono se nombra por sus vértices
• Diagonales: son los segmentos determinados por dos vértices no consecutivos
• Ángulos interiores: son los ángulos formados por dos lados consecutivos. El
vértice del ángulo es el punto de intersección de estos lados
• Ángulos exteriores: son los ángulos formados por un lado del polígono y la
prolongación de un lado consecutivo, de modo que el vértice del ángulo es el punto
de intersección de estos lados.
El número de lados de un polígono es igual al número de vértices,
al número de ángulos interiores y exteriores.

17. En general, el nombre de los polígonos depende del número de lados:
Número de lados Nombre
3 Triángulo
4 Cuadrilátero
5 Pentágono
6 Hexágono
7 Heptágono
8 Octágono
9 Eneágono
10 Decágono
11 Endecágono
12 Dodecágono
15 Pentadecágono

18. En general, los polígonos de más de 10 lados se mencionan
sólo indicando el número de lados.
Un polígono se dice convexo si todos sus ángulos interiores
miden menos de 180º
Si alguno de los ángulos de un polígono miden más de 180º,
entonces este polígono se le llama cóncavo

19. Propiedades de los polígonos convexos
Suma de ángulos interiores: si un polígono tiene n lados,
entonces la suma de sus ángulos interiores está dada por:
si (n 2)180 º
Suma de ángulos exteriores: si un polígono tiene n lados,
entonces la suma de sus ángulos exteriores es siempre 360º
Número de diagonales trazadas desde un vértice: si un polígono
tiene n lados, entonces el número de diagonales d que se puede
trazar desde cualquiera de sus vértices es:
d= n-3
Número total de diagonales: si un polígono tiene n lados,
entonces el número total de diagonales D que se puede trazar entre
sus vértices es:
n(n 3)
D
2

20. Ejemplos:
.
1) Determinar la suma de los ángulos interiores de un pentágono
Pentágono
• Número de lados n=5
•Si Si (n 2)180 º
Entonces se tiene:
Si (5 2) 180º
Si 3 180º
Si 540º
La suma de los ángulos interiores de un pentágono es 540º

21. 2) La suma de los ángulos interiores de un polígono es
1260º, ¿De qué polígono se trata?
• Si tenemos que la suma es 1260º y también sabemos que Si (n 2)180 º
entonces
1260º (n 2) 180º
1260
n 2
180
7 n 2
9 n
El polígono tiene 9 lados
.

22. 3) Determinar el número total de diagonales que pueden trazarse en
un pentágono
Pentágono .
• Número de lados n=5
n (n 3)
•Si D
2
entonces
5 (5 3)
D
2
D 5
En un pentágono podemos trazar 5 diagonales en total

23. . Un polígono se dice regular si es un polígono convexo, si todos sus lados
tienen igual medida y si todos sus ángulos también tienen igual medida
Medida del ángulo interior de un polígono regular
La medida de cada ángulo interior de un polígono regular se calcula dividiendo la suma de
ángulos interiores del polígono por el número de lados
Así, si el polígono tiene n lados, entonces cada ángulo interior mide:
ángulo interior = (n 2) 180º
n
Medida del ángulo exterior de un polígono regular
La medida de cada ángulo exterior de un polígono regular se calcula dividiendo la suma
de ángulos exteriores del polígono, que es 360º, por el número de lados del polígono
Si el polígono tiene n lados, entonces cada ángulo exterior mide:
ángulo exterior = 360º
n

24. Cuadriláteros

25. DEFINICIÓN Y CLASIFICACIÓN
Se llamará cuadrilátero a una figura plana, cerrada y limitada por
cuatro segmentos.
Cuadrilátero
No paralelogramo Paralelogramo
Trapezoide Trapecio Cuadrado
La suma de los
ángulos interiores es
Rectángulo
360º Isósceles
La suma de los
ángulos exteriores es
Rombo
360º. Rectángulo
Escaleno Romboide

26. PARALELOGRAMO: cuadrilátero que tiene dos pares de
lados paralelos. • 4 ÁNGULOS RECTOS
• 4 LADOS CONGRUENTES
CUADRADO
• DIAGONALES CONGRUENTES
•DIAGONALES PERPENDICULARES
RECTO
• 4 ÁNGULOS RECTOS
• 2 PARES DE LADOS CONGRUENTES
RECTÁNGULO
• DIAGONALES CONGRUENTES
•DIAGONALES OBLICUAS
PALELOGRAMO
• 4 ÁNGULOS OBLICUOS
• 4 LADOS CONGRUENTES
ROMBO
• DIAGONALES DISTINTAS
•DIAGONALES PERPENDICULARES
OBLICUO
• 4 ÁNGULOS OBLICUOS
• 2 PARES DE LADOS CONGRUENTES
ROMBOIDE
• DIAGONALES DISTINTAS
•DIAGONALES OBLICUAS

28. TRAPECIO: Cuadrilátero que posee un solo par de lados
paralelos llamados base.
TRAPECIO ISÓSCELES: Los lados no paralelos del
trapecio son congruentes y tiene las siguientes
propiedades:
􀃅 Diagonales congruentes.
y
a b
􀃅 Ángulos basales congruentes.
􀃅 Ángulos opuestos suplementarios. c d
TRAPECIO RECTÁNGULO: uno de los lados
no paralelos del trapecio es perpendicular a
los lados paralelos.
a b c d 90º
TRAPECIO ESCALENO
a b c d

29. TRAPEZIODES:
Trapezoide es aquel cuadrilátero que no tiene par
de lados paralelos.
Los trapezoides se clasifican en asimétricos y
simétricos.
PROPIEDADES DEL DELTOIDE
􀃅 Diagonales perpendiculares.
􀃅 Una diagonal es bisectriz.
􀃅 La diagonal que es bisectriz, es a su vez,
simetral de la otra diagonal.