1. TRIÁNGULOS
Lic. Meredy Siza Moreno

2. CLASIFICACIÓN DE LOS TRIÁNGULOS
 Clasificación de Triángulos según la medida de sus lados:
Triángulos
Triángulo
Isósceles
Dos lados
iguales
Dos ángulos
iguales
Triángulo
escaleno
Lados y
ángulos
desiguales
Triángulo
Equilátero
Tres lados
iguales
Tres ángulos
iguales

3. CLASIFICACIÓN DE LOS TRIÁNGULOS
 Clasificación de Triángulos según la medida de sus ángulos
Triángulos
Triángulo
Rectángulo
Un ángulo de
90°
Tiene
hipotenusa y
catetos
Triángulo
Acutángulo
Todos los
ángulos
agudos
Triángulo
Obtusángulo
Un ángulo
mayor de 90°

4. RECTAS DE LOS TRIÁNGULOS
Mediatriz:
Es la recta
perpendicular
que pasa por el
punto medio
de cada lado.
Mediana:
Es la recta que
pasa por el
vértice y el
punto medio
del lado
opuesto.
Altura:
Es la recta
perpendicular
trazada desde
un vértice
hasta el lado
opuesto.

5. RECTAS DE LOS TRIÁNGULOS
Mediatriz :
Es la recta
perpendicular
que pasa por el
punto medio
de cada lado.
Mediana:
Es la recta que
pasa por el
vértice y el
punto medio
del lado
opuesto.
Altura:
Es la recta
perpendicular
trazada desde
un vértice
hasta el lado
opuesto.

6. TEOREMA DE LAS MEDIANAS DE TRIÁNGULO
Mediana:
Las medianas de un triángulo se intersecan en
un punto situado a dos tercios de la distancia
de cada vértice con su lado opuesto.

7. TEOREMA DE LAS MEDIANAS DE TRIÁNGULO
• En el ABC, AX, BY y CZ son medianas.
– Si BH = 3, HC = ____
– Si AJ = 4, JH = ____
– Si BC = CF, CJ = ____

8. TEOREMAS DE LOS TRIÁNGULOS
La suma de los ángulos interiores de un triángulo es
180°
La suma de los ángulos exteriores de un triángulo es
360°
La altura de un triángulo isósceles también es mediana
correspondiente a la base.

9. EJERCICIOS
• La medida de los ángulos de la base de un triángulo
isósceles se representa por x y el ángulo del otro
vértice por 2x+30. Encuentre la medida de cada
ángulo.

10. EJERCICIOS
• Sea el triángulo DEF isósceles con DE congruente con
EF, Si DE = 4x+15 y EF= 2X+45 y DF=3x+15. Encuentre
las longitudes de los lados del triángulo.

11. PROPIEDADES DE LOS TRIÁNGULOS
Un lado del triángulo es siempre menor
que la suma de los otros dos y mayor que
su diferencia.
A un ángulo mayor se le opone el lado
mayor de un triángulo y viceversa.
La suma de las longitudes de dos lados de
un triángulo es mayor que la longitud del
tercer lado.

12. POSTULADOS DE CONGRUENCIA
Postulado LAL
• Si dos lados y el ángulo comprendido de un triángulo son
respectivamente congruentes con dos lados y el ángulo
comprendido de otro triángulo, entonces los dos triángulos
son congruentes
Postulado ALA
• Si dos ángulos y el lado comprendido de un triángulo son
respectivamente congruentes con dos ángulos y el lado
comprendido de otro triángulo, entonces los dos triángulos
son congruentes
Postulado LLL
• Si tres lados de un triángulo son respectivamente
congruentes con los tres lados de otro triángulo, entonces
los dos triángulos son congruentes.

13. EJERCICIOS
• Determine si los triángulos son congruentes e
identifique los postulados LAL, ALA o LLL.
PQ XY, QR YZ, PR XZ ______
PR XZ, RQ ZY, <R <Z ______
<P <X, <R <Z, PQ XY ______
<Q <Y, <R <Z, QR YZ ______
<P <X, <Q <Y, <R <Z ______

14. EJERCICIOS
• Dado EH BH, AH DH, AC DF, <F <C. Compruebe
que EF BC
H

15. TEOREMAS DE CONGRUENCIA
Teorema de congruencia LAA
• Si en un triángulo dos ángulos y un lado opuesto a uno de los
ángulos son congruentes con dos ángulos y el lado
correspondiente de un segundo triángulo, los triángulos son
congruentes.
Teorema de la hipotenusa y el ángulo ( HA )
• Si la hipotenusa y un ángulo agudo de un triángulo rectángulo
son congruentes con la hipotenusa y un ángulo agudo de otro
triángulo rectángulo, entonces los triángulos son congruentes.
Teorema de la hipotenusa y el cateto (HC)
• Si la hipotenusa y un cateto de un triángulo rectángulo son
congruentes con la hipotenusa y un cateto de otro triángulo
rectángulo , entonces los triángulos son congruentes.

16. EJERCICIOS
• Determine si la información dada asegura que los
triángulos sean congruentes:
PQ ST, <P<S, <Q <T ______
PQ TU, QR SU, <Q <U ______
<P <S, <Q <T, <R<U ______
<Q <T, PQ ST, PR SU ______
PQ SU, QR ST, PR TU ______

17. EJERCICIOS
• Determine si la información dada asegura que los
triángulos sean congruentes:
AB DE, ACDF ______
<A <D, BC  EF ______
<B <E, AB  DE ______
AC DF, <A<D ______

18. APLICACIONES
• Una escalera de 6 pies se coloca contra una pared con la base
a 2 pies de la pared. A qué altura del suelo está la pared más
alta de la escalera?
• Una persona viaja a 8 millas al norte, 3 millas al oeste, 7 millas
al norte y 11 millas al este. A qué distancia está la persona del
punto original?

19. APLICACIONES
• Una caja tiene 24 cm de largo, 8 cm de ancho y 10
cm de alto. Cuál es la longitud de la diagonal AB?
A
B

20. RECTAS NOTABLES DEL TRIÁNGULO
B
Las bisectrices de los
ángulos de un triángulo
son concurrentes en un
punto I que equidista de
los tres lados del
triángulo.
El segmento DG es el
radio de un círculo
inscrito
Las mediatrices de un
triángulo son concurrentes
en un punto D que
equidista de los tres
vértices del triángulo.
El segmento DA es el radio
de un círculo circunscrito
que toca los vértices del
triángulo.

21. SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS
• Concepto de Proporción: es una igualdad entre dos
razones.
8 cm
6 cm
3 cm
4 cm
La razón 8:6, es la
relación entre el alto y
el ancho.
La razón 8:6 y la razón
4:3 forman una
proporción:
8:64:3

22. TEOREMA FUNDAMENTAL DE LA
PROPORCIONALIDAD
• Si una recta es paralela a un lado de un triángulo e
interseca a los otros dos lados entonces esta recta
divide los dos lados proporcionalmente.

23. EJERCICIO
• Sea DE||AC. Determine el valor de x.

24. EJERCICIO
• Sea ABCD es un trapecio, EF||AB, EF||DC, AC =8,
BC=18 y . Hallar BD y DC.

25. TEOREMA DEL SEGMENTO MEDIO
• El segmento que une los puntos medios de dos lados
de un triángulo es paralelo el tercer lado y tiene la
mitad de su longitud.

26. EJERCICIO
• En los siguientes ejercicios, exactamente uno de los
segmentos a,b ó c, puede determinarse. Encuéntrelo

27. POSTULADOS DE SEMEJANZA
Postulado de la semejanza AA
• Si dos ángulos de un triángulo son congruentes con dos
ángulos de otro triángulo, entonces los triángulos son
semejantes.
Teorema de la semejanza LLL
• Si los tres lados de un triángulo son proporcionales a los tres
lados de otro triángulo entonces los triángulos son
semejantes.
Teorema de la semejanza LAL
• Si un ángulo de un triángulo es congruente con un ángulo de
otro triángulo y sus lados correspondientes que incluyen al
ángulo son proporcionales, los triángulos son semejantes.

28. APLICACIONES
• Si un hombre de 6 pies de altura proyecta una
sombra de 9 pies, qué sombra proyectará un poste
de 20 pies?

29. APLICACIONES
• Un método para encontrar la altura de un objeto es colocar un
espejo en el suelo y después situarse de manera que la parte más
alta del objeto pueda verse enel espejo. Qué altura tiene una torre
si una persona de 150 cm de altura observa la parte superior de la
torre cuando el objeto está a 120 m de la torre y la persona está a
6m del espejo?

30. APLICACIONES
• Se va a instalar una fuente a 32 pies de una esquina de un edificio y
a 27 pies de la otra esquina. El edificio tiene 40 pies de ancho. Se
realizó el plano para este proyecto y se localiza un punto F,
corresponde a triángulos semejantes?
F
F
200 mm
160 mm
135 mm

31. EJERCICIO
• Si AB=4 y BC=7, encuentre

32. DEFINICIÓN MEDIA GEOMÉTRICA
• Un número x es una media geométrica entre dos
números a y b si:
En un triángulo rectángulo,
• La longitud de la altura a la hipotenusa es la media
geométrica entre las longitudes de los dos segmentos de
la hipotenusa.

33. DEFINICIÓN MEDIA GEOMÉTRICA
Teoremas. En un triángulo rectángulo, la longitud de cada
cateto es la media geométrica entre la longitud de la
hipotenusa y la longitud del segmento de la hipotenusa
adyacente al cateto.