El documento describe los principios y ecuaciones teóricas de la filtración. La filtración consiste en separar un sólido de un líquido aplicando presión. Existen diferentes tipos como filtración de lecho profundo, con formación de torta, y por membranas. Las ecuaciones describen la velocidad de filtración en función de la resistencia del medio filtrante y de la torta formada, así como parámetros de diseño para filtración intermitente y continua.

1. Planta Piloto de Fermentaciones
Departamento de Biotecnología
Filtración
Sergio Huerta Ochoa
UAM-Iztapalapa

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Departamento de Biotecnología
Filtración
La filtración consiste en la separación de un sólido de un fluido por acción de un
medio filtrante y un gradiente de presión
A. Filtración de lecho profundo
B. Filtración con formación de torta o
Suspensión
filtración convencional
C. Filtración por membranas
(Microfiltración y Ultrafiltración)
Filtrado
Medio filtrante
Fuerza impulsora
Presión o vacío

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La filtración como parte de los sistemas de Bioseparación sólido-líquido
Un proceso de separación sólido-líquido consta generalmente de una ó más etapas, entre las que
destacan:
Pretratamiento
• Físico
•Químico
•Enzimático
Caldo
Concentración
• Sedimentación
o gravedad
o centrífuga
• Flotación
Separación
• Filtración
• Centrifugación
Postratamiento
• Lavado
• Secado

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Teoría de la filtración
La teoría de la filtración convencional se deriva de los estudios de la mecánica de fluidos
en medios porosos. La ecuación que describe el movimiento de fluidos newtonianos a
través de medios porosos, fue formulada en 1856 por el geólogo Francés D’Arcy.
La aplicación de esta ecuación al caso particular donde se desprecian lo efectos
gravitacionales (lechos cortos), puede ser descrita como:gravitacionales (lechos cortos), puede ser descrita como:
l
Pk
v
µ
∆
=
donde:
v = Velocidad superficial del líquido (flujo volumétrico por área de filtración) [L/t]
k = Permeabilidad del lecho [L2]
ΔP = Caída de presión a través del lecho [F/L2]
l = Profundidad del lecho filtrante [L]
μ = Viscosidad del fluido [M/L-t]

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La velocidad de filtración puede ser descrita en términos del volumen de filtrado y el área
de filtración (dos parámetros más fácilmente medibles) como:
dt
dV
A
v
1
=
Combinando las ecuaciones anteriores y expresando la relación l/k como una resistencia R,
se puede obtener la ecuación diferencial básica de la filtración convencional:
R
P
dt
dV
A µ
∆
=
1
R es la resistencia total a la filtración. Esta resistencia puede expresarse como la suma de
dos resistencias en serie:
mt RRR +=
donde Rt es la resistencia de la torta y Rm es la resistencia del medio filtrante:
Combinando ecuaciones se obtiene:
( )mt RR
PA
dt
dV
A +
∆
=
µ
1

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Las ecuaciones diferenciales obtenidas de la filtración convencional sólo pueden ser
aplicadas a soluciones diluidas en régimen laminar, cuando el número de Reynolds
modificado es menor a 5, ó:
( )
5
1
<
−εµ
ρvdp
DondeDonde
dp = diámetro de la partícula o diámetro del poro de la torta
ρ = es la densidad del fluído, y
ε =fracción de espacio vacío del lecho
En general las biofiltraciones cumplen con esta condición

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Diseño de Equipo de Filtración
FILTRACIÓN INTERMITENTE
Factores que destacan
en la filtración
intermitente
Permeabilidad de la torta
Tamaño del poro de la torta
Tamaño de la partícula del sólido
Compresibilidad de la tortaCompresibilidad de la torta
Filtración intermitente
A flujo constante
Con caída de presión constante
En ambos casos la resistencia de la torta varía conforme avanza el tiempo de filtración al
irse acumulando sólidos
Sin embargo, la resistencia específica de la torta puede ser variable o no, dependiendo de
su naturaleza

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Filtración Intermitente: Tortas incompresibles y ΔP constante
En este caso, la resistencia de la torta puede suponerse directamente proporcional a la
cantidad de sólidos (peso seco) depositados por unidad de área. Esto puede expresarse
como:
wRt α=
donde w es la cantidad de sólidos secos depositados por unidad de área y α es la resistenciadonde w es la cantidad de sólidos secos depositados por unidad de área y α es la resistencia
específica de la torta. En términos más fácilmente medibles, tenemos:






=
A
V
Rt 0αρ
donde ρ0 es la cantidad de masa sólida seca por unidad de volumen libre de sólidos o
volumen de filtrado del caldo a separar. Sustituyendo en la ecuación diferencial de
filtración:






+





∆
=
mR
A
V
PA
dt
dV
0αρµ

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La ecuación puede escribirse en forma recíproca, e integrarla con las siguientes condiciones
iniciales:
para t = 0 V = 0
y obtener la siguiente ecuación:
P
R
A
V
PV
At m
∆
+





∆
=
µµαρ
2
0
PAPV ∆
+


 ∆
=
2
Esta ecuación puede ser utilizada para la obtención de parámetros de filtración en equipos
intermitentes a presión constante, al graficar:
A
V
V
At
P∆2
0µαρ
P
Rm
∆
µ

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Casos particulares
A. Cuando la resistencia del medio filtrante es despreciable, entonces la ordenada al origen
toma el valor de cero y la ecuación se reduce a:
A
V
PV
At






∆
=
2
0µαρ Ejemplo 3.1
Ejemplo 3.3
B. Cuando se desea asegurar una formación uniforme de la torta evitando flujos altos al
inicio de una corrida, que inducen la penetración de sólidos sobre el medio filtrante. En
este caso la caída de presión se incrementa gradualmente hasta alcanzar una caída de
presión constante.
Bajo estas condiciones la integración de la ecuación de filtración diferencial se efectúa en
el rango de caída de presión constante, con las condiciones iniciales:
para t = ts V = Vs
( )
( )
( )
P
R
A
VV
PVV
tt ms
s
s
∆
+
+
∆
=
−
− µµαρ
2
0

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Filtración Intermitente: Tortas compresibles y ΔP constante
La compresibilidad de una torta se caracteriza por un aumento de su resistencia específica
al aumentar el gradiente de presión que actúa sobre la torta.
La mayoría de las tortas de material biológico son compresibles. En estos casos la
resistencia específica de la torta puede ser correlacionada con el gradiente de presión
mediante la siguiente ecuación empírica:
( )s
P∆= 'αα
donde α’ es una constante relacionada principalmente con el tamaño y forma de las
partículas de la torta, y s es el índice de compresibilidad. Este varía de cero para una torta
incompresible a 0.8 para una torta altamente compresible (la correlación es aceptable para
s ≤ 0.6 y ∆P ≥ 0.2 atmósferas).
Combinando las ecuaciones respectivas tenemos:
P
R
A
V
PV
At m
s
∆
+
∆
= −
µρµα
1
0
2
'

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FILTRACIÓN CONTINUA
En un filtro continuo el ciclo de
filtración consta de tres pasos
principales:
Formación de la torta
Lavado de la torta
Descarga de la torta
Formación de la torta
En los procesos de filtración intermitente el área de filtración es constante y el espesor de
la torta varía con el tiempo de filtrado. En la filtración continua se puede suponer que el
espesor de la torta es constante y el área de filtración varía con el tiempo:
A
V
PV
At f
s
f
f
−
∆
= 1
0
2
'ρµα
donde tf es el tiempo que dura un paso de la formación de la torta y Vf es el volumen de
filtrado colectado en ese período. A es el área expuesta de filtración por ciclo o revolución:

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La ecuación anterior puede ser expresada en término de los parámetros de diseño: Flujo de
filtrado (Q, [L3/t]), Ángulo de formación de la torta ( φ, [radianes]), Velocidad angular del
tambor ( N, [t-1]), Radio del tambor (R, [L]), y Longitud del tambor (L, [L]).
Entonces es posible relacionar el volumen de filtrado de un ciclo por unidad de área, con el
gasto Q:
RL
Q
A
Vf
π2
=
donde: 2πRL = Área lateral del filtro
El tiempo que dura cada etapa de filtración se puede relacionar con el ángulo de filtración y
la velocidad de giro del tambor, mediante la ecuación siguiente:
tf
π
φ
2
=
Combinando las ecuaciones anteriores se obtiene el flujo de filtración:
2
1
0
1
'
4





 ∆
=
−
ρµα
πφ s
P
RLQ
ó en términos de la
velocidad de formación de
la torta, W = ρ0 Q:
2
1
0
1
'
4





 ∆
=
−
µα
ρπφ s
P
RLW

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Lavado de la torta
En la etapa de lavado la cantidad de solutos que puede ser recuperada depende del
volumen de líquido de lavado que se emplee. Un factor de diseño es el tiempo requerido
para aplicar el líquido de lavado o tiempo de lavado, el cual depende de la naturaleza de la
torta. Debido a lo anterior el análisis de la etapa de lavado se efectúa en dos pasos:
1. Cálculo del volumen de lavado en función de la recuperación del soluto que se
especifiqueespecifique
2. Cálculo del tiempo de lavado en función del tipo de torta
Cálculo del volumen de líquido de lavado
( )n
r ε−= 1
donde:
r = (Soluto retenido en la torta)/(soluto inicial en la torta)
ε = Eficiencia de lavado
n = (Volumen de líquido de lavado)/(volumen de líquido retenido por la torta)

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Cálculo del tiempo de lavado
Para el cálculo del tiempo de lavado, se puede suponer que el gasto durante la fase de
lavado es constante dado que el líquido de lavado no tiene sólidos.
A
V
PA
dt
dV s
0
1
'ρµα
−
∆
=
El gasto cuando V = V es constante e igual a:El gasto cuando V = Vf es constante e igual a:
f
s
V
PA
dt
dV
0
12
'ρµα
−
∆
=
Integrando con los límites:
t = 0 V = 0
t = tL V = VL
L
f
s
L t
V
PA
V
0
12
'ρµα
−
∆
=
donde: VL es el volumen de líquido de lavado y tL es el tiempo de lavado requerido,
obtenemos:

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Combinando la ecuación anterior con la ecuación de formación de la torta se obtiene:
L
f
s
L
t
t
P
A
V 2
1
0
1
'2 






 ∆
=
−
ρµα
Los volúmenes y tiempos, de filtrado y lavado, se relacionan directamente utilizando la
ecuación anterior y la de formación de la torta, obteniendo:ecuación anterior y la de formación de la torta, obteniendo:
f
L
f
L
V
V
t
t
2=
Es conveniente expresar la ecuación anterior en términos de parámetros de diseño, como la
relación de volumen de lavado a volumen de retenido n, y a la relación de la fracción del
líquido retenido con respecto al volumen de filtrado f, de tal manera que:
nf
V
V
V
V
t
t
f
R
R
L
f
L
22 ==