111 Problemas Resueltos de Aritmética y Álgebra - Don Danny

111
Problemas Resueltos
de
Aritmética y Álgebra
Para ingresar a los programas de Universidad de
Asunción
Don Danny
2 de mayo de 2015
don.danny@yahoo.com.ar

Índice general
Introducción i
Problemas y soluciones 1
1 Números Primos y Compuestos . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1 Recuerdos de los Números Primos y Compuestos 1
2 Máximum Común Divisor y Mínimo Común Múltiplo . . . . 4
2.1 Recuerdos sobre el Máximum Común Divisor 4
2.2 Recuerdos sobre el Mínimo Común Múltiplo 4
3 Fracciones Simples y Complejas . . . . . . . . . . . . . . . 7
3.1 Recuerdos de multiplicación y división de fracciones 7
4 Fracciones Decimales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
4.1 Recuerdo de las Fracciones Decimales Terminales y Repetitivos 14
4.1.1 Conversión de número decimal terminal 14
4.1.2 Conversión de número decimal repetitivo 14
5 Regla de Tres Simple y Compuesta . . . . . . . . . . . . . 18
5.1 Regla de Tres Simple 18
5.2 Regla de Tres Compuesta 18
6 Tanto por Ciento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
7 Repartición Proporcional . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
8 Divisibilidad, Teorema de Resto, Esquema de Runi Briot . 31
8.1 Método clásica 31
8.2 División de un polinomio por un binomio, método de Runi Briot 31
8.3 El método de Descartes 32
8.4 polinomio divisible por un binomio 33

Índice general
9 Factorizar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
9.1 Formulas de base 35
9.2 Factorizar polinomios de tercero grado 36
10 Factoriales, Binomio de Newton . . . . . . . . . . . . . . . 38
11 Fracciones Algebraicas, Simplicación, Suma, Resta, Multi-
plicación, División . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
12 Descomposición en Fracciones Simples. . . . . . . . . . . . 48
12.1 Las diferentes formas de fracciones 50
13 Racionalización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
13.1 Multiplicación y división de variables con exponentes 54
14 Expresiones Complejas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
14.1 Operaciones con números complejos 57
14.1.1 Suma de números complejos 57
14.1.2 Producto y división de números complejos 57
14.2 Exponente en los números complejos 57
14.2.1 Exponente de la parte imaginaria 58
15 Los Logaritmos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
15.1 Logaritmos de productos y divisiones 62
15.2 Logaritmos de variable con exponentes 62
15.3 Logaritmos de números negativos 62
16 Ecuaciones Lineales de una incógnita . . . . . . . . . . . . 67
17 Ecuaciones del segundo grado . . . . . . . . . . . . . . . . 68
18 Ecuaciones exponenciales y logarítmicas . . . . . . . . . . . 72
18.1 Conversión de logaritmos de base n a logaritmos de base m 72
19 Sistemas de Ecuaciones Lineales. . . . . . . . . . . . . . . 81
19.1 Solucionar sistemas a 3 incógnitas con el método de Cramer 82
20 Sistemas de Ecuaciones de Segundo Grado con dos Incógnitas 86

Índice general
21 Sistemas de Ecuaciones Exponenciales y Logarítmicas . . . . 87
22 Problemas sobre Sistemas de Ecuaciones . . . . . . . . . . 93
23 Matrices y Determinantes. . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
23.1 Elemento de matriz 100
23.2 Vector la y vector columna 100
23.3 Matrices cuadradas 101
23.4 Adición de matrices 101
23.5 Multiplicación de matrices 101
23.6 Los determinantes 106
23.6.1 Determinantes de matriz de orden 3, cofactores y menores 107
23.6.2 Cofactores y Menores 107
23.6.3 La regla de Sarrus 110
23.7 Matriz inversa 111
23.7.1 La matriz adjunta 111
23.7.2 La matriz traspuesta 112
23.7.3 Aplicaciones de la matriz inversa 114
23.8 Rango de una matriz 116
24 Progresión Aritmética. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
24.1 Suma de los términos de progresión aritmética 121
24.2 Formula de la suma de los números pares 122
24.3 Formula de la suma de los números impares 122
24.4 Formula del número de términos conociendo el primero a1 y el
ultimo an 124
25 Progresión Geométrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
25.1 Formula de los términos en función del primero termino a1, de la
razón r, del números de términos n 132
25.2 Suma de los términos de progresión geométrica 132
Bibliografía 143

Introducción
Este libro da las soluciones de 111 problemas hallados en
EJERCITARIO PRÁCTICO DE MATEMÁTICA I (CN2012) de la Facultad de In-
geniería de la Universidad Nacional de Asunción.
Cada solución de problema esta explicada por un método con las fórmulas a aplicar.
Derecho de Autor
No se permite de copiar, paginas, ejercicios o ejemplos sin la permisión expresa
del autor. Copiar el trabajo de los demás que sea de un persona o de un autor de
libro como este es un delito. Además de ser un delito, daña la economía de un país.
i

ii INTRODUCCIÓN
Sobre el Autor
Daniel Vliegen es ingeniero canadiense formado
en Europa. Apasionado de matemática, de electrónica, de
informática, e inventor, el autor trabajo como consultor
en Canadá.
Durante su carrera en Europa y en Canadá, trabajo co-
mo diseñador, e investigador (Research Development)
en los campos de electrónica analógica, sistemas digitales,
micro-procesadores, programación (C, C++, Assembler,
PHP, Java etc...) y robótica, para empresas privadas y universidades.
Algunos de los proyectos...
* Sistemas de modulación espectral de frecuencia para transmisión de los datos
GPS a través del canal audio de radio trunking - invención hecha en los años 1993-
1998.
* Servo mecanismo de posicionamiento de un cañón láser a 2 ejes (azimut y eleva-
ción) por micro-procesador para el estudio de la dispersión de humos de las bombas
lacrimógena. Servo Mecanismo en posicionamiento y en velocidad. Programas de las
interfaces de control por computadora.
* Sistema de medida por péndulo para estudiar los micro-movimientos de las
estructuras grandes como puentes y plantas hidroeléctricas.
Trabajo como asistenta de investigación en la Universidad de Montreal en el
dominio de las micro-ondas.
Trabajo también en la Universidad de Brusela en el dominio de la Astronomía -
Desarrollo de sistemas de medidas sobre el sol, campo magnético solar. Camera CCD
Digital, tratamiento de los datos por micro-procesadores.

Problemas y soluciones
1 Números Primos y Compuestos
1.1 Recuerdos de los Números Primos y Compuestos
Los Números primos son números que no son divisibles por números menores, y
los números compuestos son divisibles por números menores.
Formula de números non divisibles :
Numero N, Divisor D, Cociente C, Resto R
N = DC + R
Ejemplo 1.1. 23 = 4 · 5 + 3
Problema 1.
1. Hallar el menor número N que al dividirlo por 5; 6; 7 o 15 de por resto 3.
Respuesta: 213
Al descomponer los divisores 5; 6; 7 o 15, tenemos
5 es un número primero
6 = 2 · 3
7 es un número primero
15 = 3 · 5
El menor común múltiplo de (5; 6; 7 y 15) es mcm(2, 3, 5, 7) = 210.
210 es entonces divisible por 5; 6; 7 y 15.
El número dando un resto de 3 al hacer la división por 5; 6; 7 y 15 se calcula por la
formula N = DC + R,
DC = 210 y R = 3
N = 210 + 3
N = 213
www.ing.una.py/cursonivelacion2012/
cn-12matematica1ejercitario-practico.pdf
1

Problema 2.
5. Hallar el menor número por el cual hay que multiplicar 4662, para que el producto
sea divisible por 3234.
Respuesta: 77
Sea N el número a hallar, y C el cociente de la división.
Podemos escribir
N · 4662 = 3234 · C
Descomposición en factores primeros : 4662 = 2 · 32
· 7 · 37
3234 = 2 · 3 · 72
· 11
Lo que nos da : 2 · 32
· 7 · 37 · N = 2 · 3 · 72
· 11 · C
Al simplicar : 3 · 37 · N = 7 · 11 · C
O sea : 111 · N = 77 · C
El cociente es : C = 111
El número es : N = 77
Respuesta : N = 77
Problema 3.
10. Hallar el menor número no divisible por 4, 6, 9, 11y12, tal que al dividirlo por
estos números se obtengan restos iguales.
Respuesta: 397
La consideración de un número menor N = D·C+R no divisible por los divisores
4, 6, 9, 11y12 nos lleva a concluir que N − R es un número que es divisible por los
divisores
4, 6, 9, 11y12, entonces divisible por el mcm de 4, 6, 9, 11y12.
Cálculo del mcm de 4, 6, 9, 11y12,
4 = 22
, 6 = 2 · 3, 9 = 32
11 = 11, 12 = 3 · 22
mcm(4, 6, 9, 11, 12) = 22
· 32
· 11 = 36 · 11 = 396
N − R = 396
2 www.ing.una.py/cursonivelacion2012/

396 es divisible por 4, 6, 9, 11y12. Para que el número a hallar N sea menor, el resto
R debe mínimo y es igual a 1. N − 1 = 396.
Respuesta : N = 397 .
Problema 4.
16. Hallar el mayor número divisor común de 7644 y 38808, que sea divisor de 1302.
Respuesta: 42
Al descomponer los números 7644, 38808, y 1302, obtenemos
7644 = 22
· 3 · 72
· 13
38808 = 23
· 32
· 72
· 11
1302 = 2 · 3 · 7 · 31
Los factores comunes entre los tres números, y entonces que dividen los son 2, 3, y
7.
El producto de los tres factores es divisor de 7644, 38808, y 1302.
Respuesta : 2 · 3 · 7 = 42
3

2 Máximum Común Divisor y Mínimo Común
Múltiplo
2.1 Recuerdos sobre el Máximum Común Divisor
El Máximum Común Divisor entre los números se halla al multiplicar
los factores primos comunes de exponentes menores.
Sean 2 números a3
· b4
· c2
y a2
· b3
· c
El Máximum Común Divisor entre los números se componen de a2
, b3
y c.
El Máximum Común Divisor se nota mcd(a3
· b4
· c2
, a2
· b3
· c) y es igual a a2
· b3
· c.
El producto a2
· b3
· c divide a3
· b4
· c2
y a2
· b3
· c.
Ejemplo 2.1. Hallar el mcd(300, 40).
300 = 3 · 52
· 22
40 = 23
· 5
El factor común entre 300 y 40 es mcd(300, 40) = 22
· 5 que es igual a 20
20 divide a la vez 300 y 40.
2.2 Recuerdos sobre el Mínimo Común Múltiplo
El Mínimo Común Múltiplo entre los números se halla al multiplicar
los factores primos de exponentes mayores.
Sean 2 números a3
· b4
· c2
y a2
· b3
· c
El Mínimo Común Múltiplo entre los números se componen de factores primos de
exponentes mayores a3
, b4
y c2
.
El Mínimo Común Múltiplo se nota mcm(a3
· b4
· c2
, a2
· b3
· c) y es igual a a3
· b4
· c2
.
El producto a3
· b4
· c2
se divide por a3
· b4
· c2
y a2
· b3
· c.
Ejemplo 2.2. Hallar el mcm(300, 40).
300 = 3 · 52
· 22
40 = 23
· 5
mcm(300, 40) = 23
· 3 · 52
= 8 · 3 · 25 = 600
600 es múltiplo de 300 y de 40.

Problema 5.
17. Hallar el mínimo común múltiplo de los cocientes que resultan de dividir 3300 y
19250 por el mayor divisor primo común.
Respuesta: 10500
Descomposición en factores primos de 3300 y 19250, y cálculo de mcd(3300, 19250),
3300 = 22
· 3 · 52
· 11
19250 = 2 · 53
· 7 · 11
El mayor divisor primo entre los números 3300 y 19250 es 11. Los cocientes
3300
11
y
19250
11
se desarrollan al escribir
3300
11
=
22
· 3 · 52
· 11
11
= 22
· 3 · 52
= 300
19250
11
=
2 · 53
· 7 · 11
11
= 2 · 53
· 7 = 1750
Mínimo común múltiplo : mcm(300, 1750) = 22
· 3 · 53
· 7 = 10500
Respuesta : 10500
Problema 6.
18. Hallar el máximo común divisor de los cocientes que resultan de dividir 23100 y
134750 por el mayor divisor primo común.
Respuesta: 350
Descomposición en factores primos de 23100 y 134750, y cálculo de mcd(23100, 134750),
23100 = 22
· 3 · 52
· 7 · 11
134750 = 2 · 53
· 72
· 11
5

El mayor divisor primo entre los números 23100 y 134750 es 11. Los cocientes
23100
11
y
134750
11
se desarrollan al escribir,
23100
11
=
22
· 3 · 52
· 7 · 11
11
= 22
· 3 · 52
· 7 = 2100
134750
11
=
2 · 53
· 72
· 11
11
= 2 · 53
· 72
= 12250
Máximo Común Divisor : mcd(2100, 12250) = 2 · 52
· 7 = 350
Respuesta : 350
Problema 7.
29. Dos recipientes contienen 11385 litros y 10115 litros de vino de diferente calidad.
Deseamos envasarlos, sin mezclar los, en botellas de igual capacidad.
¾Cuál es la máxima capacidad que deberían tener las botellas y cuántas botellas ne-
cesitaríamos?
Respuesta: 5 litros; 4300 botellas
Se calcula el Mínimo Común Divisor (mcd) de 11385 y de 10115 para hallar la
capacitad de cada botella
11385 = 32
· 5 · 11 · 23
10115 = 5 · 7 · 172
mcd(11385, 10115) = 5
La capacitad de cada botella es de 5 litros .
Número de botellas,
11385
5
+
10115
5
= 4300
Número de botellas : 4300

3 Fracciones Simples y Complejas
3.1 Recuerdos de multiplicación y división de fracciones
La multiplicación de dos fracciones
a
b
·
c
d
=
a · c
b · d
La división de dos fracciones
a
b
÷
c
d
=
a
b
·
d
c
=
a · d
b · c
Problema 8.
Efectuar
1
3
+
2
3
×
7
5
÷ 1
4
15
+ 100 ÷ 5 × 4 ÷
1
3
×
1
9
.
Respuesta : 243
La expresión puede ser escrita de la siguiente manera,
1
3
+
2
3
×
7
5
÷ 1
4
15
+ 100 ÷ 5 × 4 ÷
1
3
×
1
9
=
√
A ÷ B + C ÷ D donde
A =
1
3
+
2
3
×
7
5
B = 1
4
15
C = 100 ÷ 5 × 4
D =
1
3
×
1
9
Se calcula a parte A, B, C y D,
A =
1
3
+
2
3
×
7
5
=
1
3
+
2
3
· 7
5
=
1
3
+
2 · 7
3 · 5
=
1
3
+
14
15
=
5
15
+
14
15
=
19
15
B = 1
4
15
=
15 + 4
15
=
19
15
C = 100 ÷ 5 × 4 =
100
5
· 4 = 20 · 4
= 80
7

√
A ÷ B + C =
19
15
÷
19
15
+ 80 =
√
81 = 9
D =
1
3
×
1
9
=
1
27
El valor de la expresión
√
A ÷ B + C ÷ D = 9 ÷
1
27
= 9 · 27 = 243
Respuesta : 243

Problema 9.
Efectuar
3
8
×
4
5
÷
3
10
+
2
9
−
1
6
2
5
+
1
6
−
1
5
·
2
3
+
4
9
−
7
12
× 2
3
4
÷
1
3
Respuesta : 45
Sea la expresión
A
B · C
× C × D donde
A =
3
8
×
4
5
÷
3
10
+
2
9
−
1
6
=
3
8
×
4
5
×
10
3
+
2
9
−
1
6
=
3 · 4 · 10
8 · 5 · 3
+
2
9
−
1
6
=
120
120
+
2
9
−
1
6
= 1 +
4 − 3
18
=
18 + 4 − 3
18
=
19
18
B =
2
5
+
1
6
−
1
5
=
12 + 5 − 6
30
=
11
30
C =
2
3
+
4
9
−
7
12
=
24 + 16 − 21
36
=
19
36
D = 2
3
4
÷
1
3
=
11
4
· 3 =
33
4
La expresión completa se escribe
A
B · C
× C × D =
19
18
11
30
·
19
36
×
33
4
=
19
18
·
30
11
·
36
19
·
33
4
= 15 × 3
Respuesta : 45
9

Problema 10.
38. Convirtiendo en fracciones comunes y sin efectuar la división, ordenar en forma
decreciente: 1.9131313...; E = 1 +
3
2 +
1
2 +
2
3 +
3
16
;
16.8
7.9
Respuesta :
721
319
,
168
79
,
947
495
La expresión 1.9131313... 1
se escribe en forma fraccionaria de la siguiente manera,
1
9
10
+
13
990
=
19
10
+
13
990
=
99 · 19 + 13
990
=
1881 + 13
990
=
1894
990
=
947
495
Al poner C = 3 +
3
16
, B = 2 +
2
C
, y A = 2 +
1
B
,
La expresión E = 1 +
3
2 +
1
2 +
2
3 +
3
16
se escribe
E = 1 +
3
2 +
1
2 +
2
3 +
3
16
= 1 +
3
A
, C = 3 +
3
16
=
48 + 3
16
=
51
16
B = 2 +
2
C
= 2 1 +
1
C
= 2
1 + C
C
= 2



1 +
51
16
51
16


 = 2
16 + 51
51
=
134
51
1Ver Sección Fracciones Decimales

A = 2 +
1
B
= 2 +
51
134
=
2 · 134 + 51
134
=
319
134
E = 1 +
3
A
= 1 + 3 ·
134
319
=
319 + 3 · 134
319
=
721
319
La expresión
16.8
7.9
se escribe en forma fraccionaria de la siguiente manera
E =
16.8
7.9
=
A
B
donde
A = 16.8 = 16
8
10
=
168
10
y B = 7.9 = 7
9
10
=
79
10
E =
168
10
÷
79
10
=
168
10
·
10
79
=
168
79
Al poner los resultados en forma decreciente, hay que hallar el Menor Común Múltiplo
de los denominadores 495, 319 y 79,
495 = 32
· 5 · 11
319 = 11 · 29 79 es un número primo
mcm(495, 319, 79) = 32
· 5 · 11˙29 · 79 = 1134045
X =
947
495
=
947 · 2291
1134045
= 2169577
Y =
721
319
=
721 · 3555
1134045
= 2563155
Z =
168
79
=
168 · 14355
1134045
= 2411640
Y Z X
Respuesta :
721
319
;
168
79
;
947
495
11

Problema 11.
43. En una batalla resultaron muertos la vigésima parte del número de hombres de
un ejército, y heridos la doceava parte del mismo número, más 60.
Los que quedaron útiles representan la mitad de los que entraron en acción, más 820.
¾De cuántos hombres se componía el ejército?
Respuesta: 2400 hombres
Con X el números de hombres que se componía el ejercito.
Sea el número de muertos M =
X
20
;
el número de heridos H =
X
12
+ 60; y
el número de hombres útiles U =
X
2
+ 820.
El número total de hombres antes la batalla era X = M + H + U.
Al expresar la ecuación, tendremos
X =
X
20
+
X
12
+ 60 +
X
2
+ 820
X · 1 −
1
20
−
1
12
−
1
2
= 880
X · 1 −
3 + 5 + 30
60
= 880
X ·
60 − 38
60
= 880
X ·
22
60
= 880
X =
880 · 60
22
=
2 · 11 · 40 · 60
2 · 11
Respuesta : 2400 hombres

Problema 12.
45. Tres personas decidieron festejar un acontecimiento aportando en partes iguales.
Uno de ellos trajo 5 botellas de una bebida y otro 7 de la misma bebida.
Al hacer las cuentas llegaron a la conclusión de que el tercero debía contribuir con
G23040 ¾Cuál es el precio de cada botella y cómo se repartieron los G 23040 entre el
primero y el segundo?
Respuesta: G5760; G5760 y G17280
Las tres personas traen cada uno G23040, o sea un total de 3 · 23040 que cubre
12 botellas.
El precio de cada botella es entonces P =
3 · 23040
12
=
23040
4
= G5760.
El gasto de la primera persona que compro 5 botellas es 5 · 5760 = G28800
El gasto de la segunda persona que compro 7 botellas es 7 · 5760 = G40320
Para que la contribución sea igual, hay que repartir 28800 − 23040 = 5760
a la primera persona, y
40320 − 23040 = 17280 a la segunda persona.
Respuesta : G5760; G5760 y G17280
13

4 Fracciones Decimales
4.1 Recuerdo de las Fracciones Decimales Terminales y
Repetitivos
Cuando una fracción que es razón de dos enteros se convierte a número deci-
mal con la división del numerador entre el denominador, el cociente siempre será un
número decimal terminal como 0.2 =
2
10
y 3.5 = 3
5
10
=
35
10
, o un número decimal re-
petitivo como 0.3333.... y 5.2727..... Los puntos al nal de un número como 0.3333...
indican que el número se repite de forma indenida.
4.1.1. Conversión de número decimal terminal
La conversión de número decimal terminal se hace sencillamente al multiplicar el
número decimal por 10n
por obtener el numerador de la fracción.
El denominador será entonces 10n
donde n es el número de cifras después de la coma.
Ejemplo 4.1.
0.25 =
0.25 · 102
102
=
0.25 · 100
100
=
25
100
4.125 = 4
0.125 · 103
103
= 4
0.125 · 1000
1000
= 4
125
1000
=
4125
1000
4.1.2. Conversión de número decimal repetitivo
Consideramos el número decimal repetitivo 3.323323... El número se escribe también
al escribir 3 + 0.323323....
Sea x = 0.323323...
1000x − x = 323.323323... − 0.323323
999x = 323
x =
323
999
= 0.323323...
y 3.323323... = 3
323
999
=
3 · 999 + 323
999
=
3320
999
Ejemplo 4.2.
Convertir 3.0002222...
3.000222... = 3 +
2 · 10−3
9
= 3 +
2
9000
=
3 · 9000 + 2
9000
=
27002
9000

Problema 13.
48. Hallando previamente la fracción generatriz de los decimales, efectuar:
√
3.00444... × 0.333... ×
1
0.1
÷ 13
Respuesta :
2
3
Llamemos los términos como lo que sigue,
A =
√
3.00444..., B = 0.3333..., C =
1
0.1
÷ 13
E =
√
3.00444... × 0.333... ×
1
0.1
÷ 13
=
√
A × B × C
Cálculo de los términos A, B, y C,
A =
√
3.00444... = 3
4
900
=
3 · 900 + 4
900
=
2704
900
=
52
30
=
26
15
B = 0.333... =
3
9
=
1
3
C =
1
0.1
÷ 13 =
10
13
Cálculo de la expresión E,
E =
√
A × B × C =
26
15
·
1
3
·
10
13
=
4
9
=
2
3
Respuesta :
2
3
15

Problema 14.
E =



3
8
1 +
1
4
+ (0.4666...) × 1 +
1
14


 ÷
3
5
+
0.666... − 0.5
0.5 + 0.333...
Respuesta :
23
15
Llamemos los términos como lo que sigue,
A =
3
8
1 +
1
4
=
3
8
·
4
5
=
3
10
B = 0.4666... = 0.4 +
6
90
=
2
5
+
3
45
=
18 + 3
45
=
21
45
=
7
15
C = 1 +
1
14
=
15
14
M = A + (B × C) =
3
10
+
7
15
·
15
14
=
3
10
+
1
2
=
3 + 5
10
=
8
10
M ÷
3
5
=
5 · M
3
=
5
3
·
8
10
=
8
6
=
4
3
N =
0.666... − 0.5
0.5 + 0.333...
=
2
3
−
1
2
1
2
+
1
3
=
4 − 3
3 + 2
=
1
5
E = M ÷
3
5
+ N =
4
3
+
1
5
=
20 + 3
15
Respuesta : E =
23
15

Problema 15.
E =
0.2444... +
1
3
+ 0.222... × 1
1
4
3 + 0.153153...
.
Respuesta :
111
350
Sean
A = 0.2444... = 0.2 +
4
90
=
2
10
+
4
90
=
18 + 4
90
=
11
45
B =
1
3
C = 0.222 =
2
9
M = A + B + C =
11
45
+
1
3
+
2
9
=
11 + 15 + 10
45
=
36
45
=
4
5
N = 3 + 0.153153 = 3 +
153
999
=
3 · 999 + 153
999
=
2997 + 153
999
=
3150
999
E =
M · 1
1
4
N
=
5 · M
4
3150
999
=
5 · 4
4 · 5
·
999
3150
=
999
3150
=
9 · 111
9 · 350
Respuesta :
111
350
17

5 Regla de Tres Simple y Compuesta
5.1 Regla de Tres Simple
En la regla de tres, se establece una relación de proporcionalidad entre dos valores
conocidos A y B:
Si 5 manzanas cuestan 10000G, cuento cuestan 3 manzanas?
5 manzanas cuestan 10000G
1 manzana cuesta
10000
5
= 2000G
3 manzanas cuestan 2000G · 3 = 6000G
3 manzanas cuestan
3 × 10000
5
=
30000
5
= 6000G
5.2 Regla de Tres Compuesta
La mejor manera de entender la regla de tres compuesta es de tomar el ejemplo
de tren cuya la velocidad es V corriendo una distancia D en un tiempo T:
La distancia D = V ·T. Si el tren rueda a la misma velocidad V , la distancia C será
corrida en T por la relación
D
D
=
T
T
y D =
T
T
· D La mayoría de los ejercicios
son del ejemplo que sigue,
Ejemplo 5.1. Un muro de 100m2
es hecho por 10 obreros trabajando 8 días, que
será el tamaño del muro si 16 obreros trabajan 10 días?
El tamaño del muro corresponde a la distancia corrido del tren.
El número de obreros corresponde a la velocidad - más obreras hay, más rápido el
trabajo sera hecho. El tiempo en días corresponde a las horas que pone el tren para
cumplir la distancia D.
100m2
x
=
10 obreros × 8 dias
16 obreros × 10 dias
100m2
x
=
80
160
=
1
2
x = 2 × 100m2
= 200m2

Problema 16.
66. Una cuadrilla de obreros emplean 14 días, trabajando 8 horas diarias en realizar
cierta obra.
¾Si hubieran trabajado 1 hora menos al día, en cuántos días habrían terminado la
obra?
Respuesta: 16 días
El trabajo W hecho por 4 obreros, 14 días, trabajando 8 horas se calcula por
W = 4 obreros × 14 días × 8 horas
debe ser equivalente a
W = 4 obreros × X días × 7 horas
nos lleva a : 4 obreros × 14 días × 8 horas = 4 obreros × X días × 7 horas
o sea : 14 · 8 = 7X
X = 16 días
Respuesta : 16 días
Problema 17.
72. Un libro tiene 210 paginas de 35 líneas cada una y 60 letras cada línea. Se lo quiere
reimprimir con menor formato de 300 páginas con 30 líneas cada página. ¾Cuántas
letras tendrá cada línea?
Respuesta: 49 letras
Números de letras del libro : Nletras = 210 paginas × 35 lineas × 60 letras
que debe ser equivalente a : Nletras = 300 paginas × 30 lineas × x letras
Ecuación a resolver
210 paginas × 35 lineas × 60 letras = 300 paginas × 30 lineas × x letras
x =
210 × 35 × 60
300 × 30
=
210 × 70
300
= 7 × 7
Respuesta : 49 letras
19

Problema 18.
77. Un grupo de 1600 hombres deben realizar una determinada obra y tienen víveres
para 10 días, a razón de 3 raciones diarias para cada hombre. Si se aumenta el grupo
con 400 hombres, calcular la ración diaria para cada uno, teniendo en cuenta que se
necesitan 12 días para terminar la obra.
Respuesta: 2 raciones
El número de raciones total es de Nraciones = 1600 hombres×3 raciones×10 días. El
mismo número de raciones debe alcanzar 1600 + 400 por 12 días, sea X las raciones
diarias,
Nraciones = 1600 hombres × 3 raciones × 10 días
= (1600 + 400) hombres × 12 días para terminar la obras × X raciones por día
X =
1600 × 3 × 10
(1600 + 400) × 12
=
16 × 3
2 × 12
= 2
Respuesta : 2
Problema 19.
80. Se emplean 12 obreros durante 5 días, trabajando 4 horas diarias para cavar una
zanja de 240m3.
¾Cuántos días necesitaran 6 obreros, trabajando 3 horas diarias, para cavar otra zan-
ja de 360m3 en un terreno de triple dicultad?
Respuesta: 60 días
240m3
−→ 12 obreros × 5 días × 4 horas
360m3
× 3 −→ 6 obreros × Tdias días × 3 horas
Cálculo de Tdias
240
360 × 3
=
12 × 5 × 4
6 × 3 × Tdias
Tdias =
360 × 3 × 12 × 5 × 4
240 × 6 × 3
= 3 × 5 × 4 = 60

Problema 20.
83. 8 obreros se comprometen a realizar una obra en 28 días. Después de 6 días de
trabajo se incorporan al grupo 3 obreros más y trabajan todos hasta terminar la obra.
Calcular la duración total de la obra.
Respuesta: 22 días
Al inicio el trabajo W0 entero debe hacer por 8 obreros en 28 días,
W0 −→ 8 obrero × 28 días
Trabajo W1 hecho a los 6 días
W1 −→ 8 obreros × 6 días
Después de 6 días, se agrega 3 obreros más, y el trabajo W1 a terminar corresponde
a
W1 −→ 11 obreros × Tdias días
Trabajo a terminar : W0 − W1 −→ (8 × 28) − (8 × 6) = (8 + 3) × Tdias
Cálculo de número de Tdias para terminar el trabajo
Tdias =
(8 × 28) − (8 × 6)
11
=
8 × 22
11
= 16
Número total de días para hacer el trabaja : 6 + 16 días
21

6 Tanto por Ciento
Problema 21.
88. Obtener el
1
5
% de resultado de efectuar E =
0.3
7
×
5
0.4
÷
0.06
0.14
.
Sea A =
0.3
7
, B =
5
0.4
, y C =
0.06
0.14
.
A =
0.3
7
=
3
10
×
1
7
=
3
70
B =
5
0.4
=
5 × 10
4
=
25
2
C =
0.06
0.14
=
3
7
E = A × B ÷ C =
3
70
×
25
2
÷
3
7
=
3
70
×
25
2
×
7
3
=
3 × 25 × 7
70 × 2 × 3
=
5
4
1
5
% de
5
4
es
5
4
×
1
5 × 100
=
1
400
Respuesta :
1
400

Problema 22.
90. Obtener el 47 % del resultado de efectuar:
E =
0.5 + 0.66... + 0.0555...
3.111... − 2.06666...
Respuesta :
11
20
Sean A = 0.5, B = 0.6666..., C = 0.0555..., M = 3.1111..., N = 2.0666...
A = 0.5 =
1
2
, B = 0.6666... =
2
3
, C = 0.0555 =
5
90
M = 3.1111... = 3
1
9
=
28
9
, N = 2.0666... = 2
6
90
=
186
90
Cálculo del E =
A + B + C
M − N
,
E =
A + B + C
M − N
=
1
2
+
2
3
+
5
90
28
9
−
186
90
=
45 + 2 · 30 + 5
28 · 10 − 186
=
45 + 60 + 5
280 − 186
=
110
94
=
55
47
47 % de
55
47
es
47
100
×
55
47
=
55
100
=
11
20
Respuesta :
11
20
23

Problema 23.
92. Vendí dos terrenos en G8.400.000 cada uno. En uno gane el 20 % del precio de
venta y en el otro perdí el 4 % del costo. ¾Cuánto gané o perdí en total?
Respuesta: gané G1.330.000
Sea a la primera venta, con Va el precio de venta, Ca el costo, y Ba el benecio.
Sean Vb el precio de venta, Cb el costo, y Bb el benecio de la segunda venta. Los
precios de venta de los dos terrenos Va y VB son iguales. Va = Vb = G8.400.000.
Según las ecuaciones que siguen,
Precio de Venta - precio de Compra = Benecio.
Ba = Va − Ca =
20 × Va
100
porque gano sobre la venta
Bb = Vb − Cb = −
4 × Cb
100
porque perdió sobre la compra
al ordenar : Vb = Cb −
4Cb
100
=
96Cb
100
, −→ Cb =
100Vb
96
La suma de los benecios : Ba + Bb =
Va
5
−
4
100
×
100Vb
96
=
Va
5
−
Vb
24
= 8400000
1
5
−
1
24
= 8400000
24 − 5
120
=
8400000 × 19
120
= 1.330.000
Respuesta : Gano G1.330.000

7 Repartición Proporcional
Problema 24.
104. Descomponer el número 11563 en tres sumando que sean directamente propor-
cionales a los cuadrados de
2
3
,
5
6
,
1
9
.
Respuesta: 4464; 6975; 124
Sean A, B, C los números a hallar que satisfacen a la condición
A + B + C = 11563.
Las relaciones de proporcionalidad con k son
A = k ·
2
3
2
; B = k ·
5
6
2
; C = k ·
1
9
2
A + B + C = k
4
9
+
25
36
+
1
81
= 11563
k
36 · 4 + 9 · 25 + 4
324
= 11563
k
144 + 225 + 4
324
= 11563
373k
324
= 11563 −→ k =
11563 × 324
373
= 10044
Cálculo de los valores de A, B y C al reemplazar el valor de k,
A =
4k
9
=
4 × 10044
9
= 4464
B =
25k
36
=
25 × 10044
36
= 6975
C =
k
81
=
10044
81
= 124
Respuestas : A = 4464; B = 6975; C = 124
25

Problema 25.
106. Tres personas forman una empresa. El señor A pone G20.000.000. Los señores
B y C ponen el local, que pertenece 30 % al señor B y 70 % al señor C. El señor
B,además de su parte pone G10.000.000. Sabiendo que al señor A y C obtienen la
misma ganancia. ¾Cuánto le corresponde al señor B, si tienen que repartirse pro-
porcionalmente a lo que invirtieron, una ganancia de G6.970.000?
Respuesta: G2.210.000
Las inversiones son las que siguen,
A −→ 20.000.000
B −→ 0.3L + 10.000.000
C −→ 0.7L L siendo el valor del local
Inversion total : ITotal = 20.000.000 + 0.3L + 0.7L + 10.000.000
= 30.000.000 + L
Las tasas T de inversiones para cada uno son,
TA =
20.000.000
30.000.000 + L
TB =
0.3L + 10.000.000
30.000.000 + L
TC =
0.7L
30.000.000 + L
Si la ganancia de A y de C son iguales, las tasas de inversiones son iguales también
y,
TA = TC
20.000.000
30.000.000 + L
=
0.7L
30.000.000 + L
o sea : 20.000.000 = 0.7L
Valor del local : L =
20.000.000
0.7

Tasa de inversión y ganancia de B,
GB = TB × 6.970.000
TB =
0.3L + 10.000.000
30.000.000 + L
=
0.3
0.7
× 20.000.000 + 10.000.000
30.000.000 +
20.000.000
0.7
=
6.000.000 + 7.000.000
21.000.000 + 20.000.000
=
13
41
GB =
13
41
× 6.970.000 = 2.210.000
Respuesta : G2.210.000
Problema 26.
109. Los sueldos de tres obreros son G24.000, G18.000 y G9.000, respectivamente.
El patrón ha dispuesto repartir proporcionalmente a sus sueldos un premio de G229.500.
¾Qué parte de este premio le corresponde a cada uno?
Respuesta: G108.000; G81.000; G40.500
Sean los premios PA, PB, y PC. Para que los premios sean distribuidos de mane-
ra proporcional a los sueldos,
PA =
24.000
24.000 + 18.000 + 9.000
× 229.500 = 108.000
PB =
18.000
24.000 + 18.000 + 9.000
× 229.500 = 81.000
PC =
9.000
24.000 + 18.000 + 9.000
× 229.500 = 40500
Respuestas : G108.000; G81.000; 40.500
27

Problema 27.
115. Dividir el número 467 en partes inversamente proporcionales a los cuadrados de
5;
1
2
; y 3.
Respuesta:
9
2
; 450;
25
2
.
Sean A; B;y C las partes.
Sea k el coeciente de proporcionalidad.
A es inversamente proporcional a 52
y directamente proporcional a
1
52
A =
k
25
B es inversamente proporcional a
1
22
y directamente proporcional a 22
B = 4k
C es inversamente proporcional a 32
y directamente proporcional a
1
32
C =
k
9
A + B + C =
k
25
+ 4k +
k
9
= 467
=
k(9 + 4 · 25 · 9 + 25)
25 · 9
= 467
=
k(9 + 900 + 25)
225
= 467
k =
467 · 225
934
=
225
2
Cálculo de A; B; C,
A =
k
25
=
225
25 · 2
=
225
50
=
9
2
B = 4k =
4 · 225
2
= 450
C =
k
9
=
225
2 · 9
=
25
2

Respuestas : A =
9
2
; B = 450; C =
25
2
Problema 28.
120. Descomponer
5
6
es tres sumando que sean directamente proporcionales a
1
2
;
1
6
;
1
4
e inversamente proporcionales a
1
5
;
1
8
;
1
3
.
Respuestas :
5
11
;
8
33
;
3
22
.
Sean A, B, y C las tres fracciones.
Si A es directamente proporcional a
1
2
, e inversamente proporcional a
1
5
, es decir
que es directamente proporcional a
5
2
.
Si B es directamente proporcional a
1
6
1
8
, es decir
8
6
.
Si C es directamente proporcional a
1
4
1
3
, es decir
3
4
.
con k coeciente de proporcionalidad : A =
5k
2
B =
8k
6
C =
3k
4
A + B + C =
5
2
+
8
6
+
3
4
k =
5
6
=
5 · 12 + 8 · 4 + 3 · 6
24
k =
5
6
=
60 + 32 + 18
24
k =
5
6
k =
5
6
·
24
110
=
2
11
29

Cálculo de A, B, y C,
A =
5k
2
=
5
2
·
2
11
=
5
11
B =
8k
6
=
8
6
·
2
11
=
8
33
C =
3k
4
=
3
4
·
2
11
=
3
22
Respuestas :
5
11
;
8
33
;
3
22
Problema 29.
124. Una obra fue construida por tres cuadrillas de obreros. La primera que estaba
compuesta por 10 hombres, trabajó 6 días, a razón de 8 horas diarias;
la segunda de 9 hombres, trabajó 5 días a razón de 6 horas diarias y la
tercera de 7 hombres, trabajó 3 días a razón de 5 horas diarias.
Si la obra costó en total G4.275.000
¾Cuántos guaraníes correspondió a cada cuadrilla?
Respuesta: G2.400.000; G1.350.000; G525.000
Números total de horas para completar el trabajo :
Nht = (10 × 6 × 8) + (9 × 5 × 6) + (7 × 3 × 5) = 480 + 270 + 105 = 855 horas
Sean P1, P2, y P3 los pagos de las cuadrillas, tenemos
P1 =
10 × 6 × 8 × 4.275.000
Nht
=
480 × 4.275.000
855
= 2.400.000
P2 =
9 × 5 × 6 × 4.275.000
Nht
=
270 × 4.275.000
855
= 1.350.000
P3 =
7 × 3 × 5 × 4.275.000
Nht
=
105 × 4.275.000
855
= 525.000
Respuesta: G2.400.000; G1.350.000; G525.000

8 Divisibilidad, Teorema de Resto, Esquema de
Runi Briot
Hay 3 maneras de dividir un polinomio de grado m por un polinomio de grado
menor n (m n).
8.1 Método clásica
Ejemplo 8.1. Dividir x4
+ 3x3
− 2x2
− x + 8 por x2
+ 5x − 2
x4
+3x3
−2x2
−x +8 x2
+ 5x − 2
x4
+5x3
−2x2
x2
− 2x + 10
−2x3
−x +8
−2x3
−10x2
+4x
10x2
−5x +8
10x2
+50x −20
−55x +28
Cociente x2
− 2x + 10, resto −55x + 28.
8.2 División de un polinomio por un binomio, método de
Runi Briot
Sea un polinomio P(x) = A3x3
+ A2x2
+ A1x + A0 a dividir por le binomio x + r.
Algoritmo para hallar el cociente y el resto.
Copiar el primero termino A3 en la tercera linea y colocar la raíz −r en la segunda
linea.
Se multiplica la raíz −r por A3 y sumar con el segundo termino A2.
Tenemos entonces el segundo termino del cociente A2 − rA3, el primero siendo A3.
Ejemplo 8.2.
A3 A2 A1 A0
−r −rA3 r2
A3 − rA2 −r3
A3 + r2
A2 − rA1
A3 −rA3 + A2 r2
A3 − rA2 + A1 −r3
A3 + r2
A2 − rA1 + A0
Cociente A3x2
+ (−rA3 + A2)x + (r2
A3 − rA2 + A1), resto −r3
A3 + r2
A2 − rA1 + A0.
31

Sea a dividir x4
+ 3x3
− 2x2
− x + 8 por x − 2, hallar el cociente y el resto.
1 3 −2 −1 8
2 2 · 1 = 2 2 · 5 = 10 2 · 8 = 16 2 · 15 = 30
1 3 + 2 = 5 −2 + 10 = 8 −1 + 16 = 15 8 + 30 = 38
Cociente : x3
+ 5x2
+ 8x + 15, resto : 38
8.3 El método de Descartes
El método de Descartes dice que el dividendo P(x) es igual a
P(x) = D(x)C(x) + R(x) donde D(x) es el divisor,
C(x) es cociente y R(x) el resto.
El grado de cociente Cx es grado de dividendo - grado del divisor,
Grado del resto es grado de divisor - 1
Ejemplo 8.3. Dividir 2x4
+ 3x2
+ 12 por x3
− 3x2
+ 2
C(x) = mx + n
R(x) = px2
+ qx + s
P(x) = (mx + n)(x3
− 3x2
+ 2) + px2
+ qx + s
= mx4
− 3mx3
+ 2mx + nx3
− 3nx2
+ 2n + px2
+ qx + s al desarrollar :
= mx4
+ x3
(−3m + n) + x2
(−3n + p) + x(2m + q) + 2n + s
mx4
+ x3
(−3m + n) + x2
(−3n + p) + x(2m + q) + 2n + s se compara a :
2x4
+ 3x2
+ 12
Dos polinomios son iguales si y solamente si los coecientes correspondiendo son
iguales. Entonces hacemos las siguientes igualdades,
Termino de x4
: m = 2
Termino de x3
: − 3m + n = 0
Termino de x2
: − 3n + p = 3
Termino de x : 2m + q = 0
Termino independiente : 2n + s = 12

Al resolver el sistema de ecuaciones, obtenemos
m = 2
−3m + n = 0 −→ n = 3m = 6
−3n + p = 3 −→ p = 3n + 3 = 18 + 3 = 21
2m + q = 0 −→ q = −2m = −4
2n + s = 12 −→ s = 12 − 2n = 12 − 12 = 0
Respuesta: Q(x) = mx + n = 2x + 6; R(x) = px2
+ qx + x = 21x2
− 4x
8.4 polinomio divisible por un binomio
El polinomio P(x) = Anxn
+ An−1xn−1
. . . + A2x2
+ A1x + A0 es divisible por
x − a si y solamente si Anan
+ An−1an−1
. . . + A2a2
+ A1a + A0 = 0
Problema 30.
143. Si x + 1 es un divisor de x3
− 2ax2
+ (3a + b)x − 3b y de x3
− (a + 2b)x + 2a,
hallar a y b.
Respuesta: a = 3; b = 4
La raíz del divisor (−1) es la raíz de x3
− 2ax2
+ (3a + b)x − 3b y de
x3
− (a + 2b)x + 2a.
(−1)3
− 2a(−1)2
+ (3a + b)(−1) − 3b = 0
−1 − 2a − 3a − b − 3b = 0
5a + 4b = −1
(−1)3
− (a + 2b)(−1) + 2a = 0
−1 + a + 2b + 2a = 0
3a + 2b = 1
Resolución del sistema de ecuaciones
5a + 4b = −1
3a + 2b = 1
da a = 3 y b = −4
Respuesta: a = 3; b = 4
33

Problema 31.
151. Hallar todos los valores de la variable x para los cuales f(x) = 0. f(x) =
x4
− 3x3
+ 5x2
− x − 10.
Respuesta: x1 = −1; x2 = 2; x3 = 1 + 2i; x4 = 1 − 2i
Cálculo de f(x) por x = −2, −1, 0, 1, 2
f(−2) = (−2)4
− 3(−2)3
+ 5(−2)2
− (−2) − 10 = 16 + 24 + 20 + 2 − 10 = 52
f(−1) = (−1)4
− 3(−1)3
+ 5(−1)2
− (−1) − 10 = 1 + 3 + 5 + 1 − 10 = 0
f(0) = −10
f(1) = (1)4
− 3(1)3
+ 5(1)2
− (1) − 10 = 1 − 3 + 5 − 1 − 10 = −8
f(2) = (2)4
− 3(2)3
+ 5(2)2
− (2) − 10 = 16 − 24 + 20 − 2 − 10 = 0
Los binomios x + 1 y x − 2 dividen el polinomio.
División
x4
− 3x3
+ 5x2
− x − 10
x + 1
= A3x3
+ A2x2
+ A1x + A0
Hallemos el cociente por el método de Runi Briot, los coecientes del dividendo
son 1, −3, 5, −1, −10.
La raíz del divisor es x1 = −1
1 −3 5 −1 −10
−1 −1 4 −9 10
1 −4 9 −10 0
A3 = 1, A2 = −4, A1 = 9, A0 = −10
Cociente : x3
− 4x2
+ 9x − 10
División de
x3
− 4x2
+ 9x − 10
x − 2
= B2x2
+ B1x + B0.
Por el método de Runi Briot, los coecientes del dividendo son 1, −4, 9, −10.
La raíz del divisor es x2 = 2.
1 −4 9 −10
2 2 −4 10
1 −2 5 0
B2 = 1, B1 = −2, B0 = 5
Cociente : x2
− 2x + 5

Raíces de x2
− 2x + 5,
x3 = 1 +
√
1 − 5 = 1 +
√
4i2 = 1 + 2i
x4 = 1 −
√
1 − 5 = 1 −
√
4i2 = 1 − 2i
Respuesta: x1 = −1; x2 = 2; x3 = 1 + 2i; x4 = 1 − 2i
9 Factorizar
9.1 Formulas de base
a2
− b2
= (a + b)(a − b)
a3
+ b3
= (a + b)(a2
− ab + b2
)
a3
− b3
= (a − b)(a2
+ ab + b2
)
an
− bn
= (a − b)(an−1
+ an−2
b + . . . + abn−1
+ bn−1
)
(a + b)2
= a2
+ 2ab + b2
(a − b)2
= a2
− 2ab + b2
(a + b)3
= a3
+ 3a2
b + 3ab2
+ b3
(a − b)3
= a3
− 3a2
b + 3ab2
− b3
(a + b)n
=
n
0
an
+
n
1
an−1
b +
n
2
an−2
b2
+ . . . +
n
n − 2
a2
bn−2
+
n
n − 3
abn−1
+
n
n
bn
con
n
k
=
n!
k!(n − k)!
,
n
0
= 1,
n
n
= 1
35

9.2 Factorizar polinomios de tercero grado
Los polinomios de tercero grado son de tipo A3x3
+ A2x2
+ A1x + A0.
Todos los polinomios de tercero grado pueden descomponerse por lo menos con un
binomio del tipo ax + b.
Se puede escribir
A3x3
+ A2x2
+ A1x + A0 = (ax + b)(px2
+ mx + n)
con A3 = ap y A0 = bn
Raíz del binomio : = −
b
a
Ejemplo 9.1. Hallar el binomio de forma ax + b que divide f(x) = 4x3
+ 16x2
+
29x + 35. Valores potenciales de a y de b,
a = 1, 2, 4 por ap = 4, b = 1, 5, 7 por bn = 35
Coef a Coef b Rázon −
b
a
f(−
b
a
) = 4 · −
b
a
3
+ 16 · −
b
a
2
+ 29 · −
b
a
+ 35
1 1 −1 18
1 5 −5 −210
1 7 −7 −756
2 1 −
1
2
24
2 5 −
5
2
0
El binomio es entonces ax + b = 2x + 5, prueba con f(x) = 4x3
+ 16x2
+ 29x + 35
por el método de Runi Briot,
4 16 29 35
−
5
2
−10 −15 −35
4 6 14 0
4x3
+ 16x2
+ 29x + 35 = x +
5
2
(4x2
+ 6x + 14)
= (2x + 5)(2x2
+ 3x + 7)

Problema 32.
Factorizar : 64x9
− 125y12
− 240x6
y4
+ 300x3
y8
Respuesta : (4x3
− 5y4
)3
La expresión de tipo (a − b)3
= a3
− 3a2
b + 3ab2
− b3
donde
a3
= 64x9
= (4x3
)3
−→ a = 4x3
−b3
= −125y12
= (5y4
)3
−→ b = −5y4
−3a2
b = 3 · (4x3
)2
· (−5y4
) = −3 · 16 · 5x6
y4
= −240x6
y4
3ab2
= 3 · 4x3
· (−5y4
)2
= 12 · 25 · x3
y8
= 300x3
y8
64x9
− 240x6
y4
+ 300x3
y8
− 125y12
= (4x3
− 5y4
)3
Respuesta : (4x3
− 5y4
)3
Problema 33.
217. Factorizar :y5
+ 3xy4
+ 2x2
y3
− 2x3
y2
− 3x4
y − x5
.
Respuesta : (y − x)(y + x)4
Al ordenar tenemos,
y5
− x5
+ 3xy4
− 3x4
y + 2x2
y3
− 2x3
y2
= y5
− x5
+ 3xy(y3
− x3
) + 2x2
y2
(y − x)
= (y − x)(y4
+ y3
x + y2
x2
+ yx3
+ x4
) + 3xy(y − x)(y2
+ xy + x2
) + 2x2
y2
(x − y)
Factorizar : = (y − x)[y4
+ xy3
+ x2
y2
+ x3
y + x4
+ 3xy(y2
+ xy + x2
) + 2x2
y2
]
= (y − x)(y4
+ xy3
+ x2
y2
+ x3
y + x4
+ 3xy3
+ 3x2
y2
+ 3x3
y + 2x2
y2
)
= (y − x)(y4
+ 4xy3
+ 6x2
y2
+ 4x3
y + x4
) = (y − x)(y + x)4
Respuesta : (y − x)(y + x)4
37

10 Factoriales, Binomio de Newton
Problema 34.
222. Obtener el valor de m en la siguiente expresión:
m! − (m − 1)!
(m + 1)! − m!
=
1
4
.
Respuesta : 2
Las expresiones m! − (m − 1)! y (m + 1)! − m! se escriben respectivamente
m! − (m − 1)! = m(m − 1)! − (m − 1)! = (m − 1)!(m − 1)
y (m + 1)! − m! = m(m + 1)(m − 1)! − m(m − 1)! = m2
(m − 1)!
m! − (m − 1)!
(m + 1)! − m!
=
(m − 1)!(m − 1)
m2(m − 1)!
=
m − 1
m2
=
1
4
Al desarrollar : m2
= 4(m − 1)
o sea : m2
− 4m + 4 = (m − 2)2
= 0
Respuesta : m = 2
Problema 35.
223. Obtener el valor de m en la siguiente expresión :
(m + 2)! − m!
m!
+
(m − 2)! + 2(m − 1)!
(m − 1)!
=
173
4
.
Repuesta : m = 5
Desarrollo de la expresión
(m + 2)! − m!
m!
,
(m + 2)! − m!
m!
=
(m + 2)(m + 1)m! − m!
m!
= (m + 2)(m + 1) − 1
= m2
+ 3m + 1
Desarrollo de la expresión
(m − 2)! + 2(m − 1)!
(m − 1)!
,
(m − 2)! + 2(m − 1)!
(m − 1)!
=
(m − 2)! + 2(m − 1)(m − 2)!
(m − 1)(m − 2)!
=
1 + 2(m − 1)
m − 1

Cálculo de la ecuación dando m,
(m + 2)! − m!
m!
+
(m − 2)! + 2(m − 1)!
(m − 1)!
= m2
+ 3m + 1 +
1 + 2(m − 1)
m − 1
=
(m − 1)(m2
+ 3m + 1) + 2m − 1
m − 1
=
m3
+ 3m2
+ m − m2
− 3m − 1 + 2m − 1
m − 1
m3
+ 2m2
− 2
m − 1
=
173
4
Cálculo del valor de m,
4m3
+ 8m2
− 8 = 173m − 173
4m3
+ 8m2
− 173m + 165 = 0
m = 3 −→ f(m) = 4m3
+ 8m2
− 173m + 165 = −174
m = 4 −→ f(m) = 4m3
+ 8m2
− 173m + 165 = −143
m = 5 −→ f(m) = 4m3
+ 8m2
− 173m + 165 = 0
La raíz real de la ecuación es m = 5. Repuesta : m = 5
39

Problema 36.
225. Desarrollar el binomio
x
2
+
5
x2
6
.
Respuesta :
x6
64
+
15x3
16
+
375
16
+
625x−3
2
+
9375x−6
4
+ 9375x−9
+ 15625x−12
Sea a desarrollar el binomio (a + b)6
, donde a =
x
2
y b =
5
x2
,
(a + b)6
=
6
0
a6
+
6
1
a5
b +
6
2
a4
b2
+
6
3
a3
b3
= +
6
4
a2
b4
+
6
5
ab5
+
6
6
b6
6
0
a6
=
x6
26
=
x6
64
6
1
a5
b =
6!
1! · (6 − 1)!
·
x5
25
·
5
x2
=
x6
64
=
6 · 5x3
32
=
15x3
16
6
2
a4
b2
=
6!
2!(6 − 2)!
·
x4
24
·
52
x4
=
5 · 6
2
·
25
16
=
375
16
6
3
a3
b3
=
6!
3! · (6 − 3)!
·
x3
23
·
53
x6
=
20 · 53
8
x−3
=
625x−3
2
6
4
a2
b4
=
6!
4!(6 − 4)!
·
x2
22
·
54
x8
=
15x2
4
·
625
x8
=
9375x−6
4
6
5
ab5
=
6!
5!
·
x
2
·
55
x10
= 9375x−9
6
6
b6
=
56
x12
= 15625x−12
Respuesta :
x6
64
+
15x3
16
+
375
16
+
625x−3
2
+
9375x−6
4
+ 9375x−9
+ 15625x−12

Problema 37.
227. Sin desarrollar el binomio, hallar el termino central del desarrolla de :
x2
y
−
y
2
14
.
Respuesta : = −
429x14
16
Para simplicar consideremos el binomio (a − b)14
. El termino central tiene por
coeciente
14
7
=
14!
7! · 7!
y el termino es : (−1)7
a14−7
b7
= −a7
b7
con a =
x2
y
, b =
y
2
Cálculo del coeciente y términos
14
7
=
14!
7! · 7!
= 3432
a7
b7
=
x2
y
7
·
y
2
7
=
x14
128
Cálculo del termino central T7,
T7 = −3432 ·
x14
128
= −
429x14
16
Respuesta : = −
429x14
16
41

Problema 38.
228. Determinar el valor de k de manera que en el desarrollo del binomio (2k
+x2k
)12
se verique que
T5
T7
=
15x−2
14
.
Respuesta : k =
1
2
Cálculo de T5 y de T7 del binomio (2k
+ x2k
)12
,
T5 =
12
4
· 2(12−4)k
· x2k·4
=
12!
4! · 8!
· 28k
· x8k
T7 =
12
6
· 2(12−6)k
· x2k·6
=
12!
6! · 6!
· 26k
· x12k
Cálculo de la razón
T5
T7
,
T5
T7
=
12!
4! · 8!
·
6! · 6!
12!
·
28k
· x8k
26k · x12k
La razón debe ser igual a
15x−2
14
:
6! · 6!
4! · 8!
· 22k
· x−4k
=
15 · 22k
· x−4k
28
=
15x−2
14
Se nota que x−4k
= x−2
−→ k =
1
2
.
Vericación :
6! · 6!
4! · 8!
· 22k
=
15
28
× 2 =
15
14
Respuesta : k =
1
2

Problema 39.
230. Sabiendo que en el desarrolla del binomio 3x2
−
1
3x
5n
en el término que ocu-
pa el tercer lugar el exponente de la x es 14.
Hallar n y el tercero término.
Respuesta : n = 2; T3 = 32805x14
El tercero termino se calcula
T3 =
5n
2
· (3x2
)5n−2
·
1
3x
2
potencia de x : 2(5n − 2) − 2 = 14
O sea : 10n − 4 − 2 = 14
10n = 20 −→ n = 2
Cálculo del tercero termino,
T3 =
10
2
· (3x2
)10−2
·
1
3x
2
=
10!
2! · 8!
· 38
· x16
· 3−2
· x−2
= 45 · 36
· x14
= 32805x14
Respuesta : n = 2; T3 = 32805x14
43

11 Fracciones Algebraicas, Simplicación, Suma,
Resta, Multiplicación, División
Problema 40.
Simplicar : E =
1
a(a − b)(a − c)
+
1
b(b − a)(b − c)
+
1
c(c − a)(c − b)
.
Respuesta :
1
abc
Al poner el denominador que es le mcm de a(a−b)(a−c), b(b−a)(b−c), c(c−a)(c−b),
obtenemos
mcm = abc(a − b)(b − c)(a − c)
E =
1
a(a − b)(a − c)
+
1
b(b − a)(b − c)
+
1
c(c − a)(c − b)
=
abc(a − b)(b − c)(a − c) ÷ a(a − b)(a − c)
abc(a − b)(b − c)(a − c)
+
abc(a − b)(b − c)(a − c) ÷ b(b − a)(b − c)
abc(a − b)(b − c)(a − c)
+
abc(a − b)(b − c)(a − c) ÷ c(c − a)(c − b)
abc(a − b)(b − c)(a − c)
Después de simplicar,
abc(a − b)(b − c)(a − c) ÷ a(a − b)(a − c)
abc(a − b)(b − c)(a − c)
=
bc(b − c)
abc(a − b)(b − c)(a − c)
abc(a − b)(b − c)(a − c) ÷ b(b − a)(b − c)
abc(a − b)(b − c)(a − c)
=
−ac(a − c)
abc(a − b)(b − c)(a − c)
abc(a − b)(b − c)(a − c) ÷ c(c − a)(c − b)
abc(a − b)(b − c)(a − c)
=
ab(a − b)
abc(a − b)(b − c)(a − c)

E =
bc(b − c) − ac(a − c) + ab(a − b)
abc(a − b)(b − c)(a − c)
=
b2
c − bc2
− a2
c + ac2
+ a2
b − ab2
abc(a − b)(b − c)(a − c)
=
b2
(c − a) + ac(c − a) + b(a2
− c2
)
abc(a − b)(b − c)(a − c)
=
−b2
− ac + b(a + c)
abc(a − b)(b − c)
−b2
− ac + ab + bc
=
−b(b − c) + a(b − c)
=
(b − c)(a − b)
abc(a − b(b − c))
Respuesta :
1
abc
Problema 41.
261. Simplicar :




a
a + b
−
b
a − b
a
a + b
+
b
a − b
+
2 1 +
b
a
a
b
+
b
a



÷



c
a + b
−
c
a + 2b
c
a + 2b
−
c
a + 3b
−
c
a + b
c
a + 3b
+ a


.
Respuesta :
1
a
.
Sean M =




a
a + b
−
b
a − b
a
a + b
+
b
a − b
+
2 1 +
b
a
a
b
+
b
a



 y N =



c
a + b
−
c
a + 2b
c
a + 2b
−
c
a + 3b
−
c
a + b
c
a + 3b
+ a


.
Cálculo de A1, B1, C1 y D1,
M =




a
a + b
−
b
a − b
a
a + b
+
b
a − b
+
2 1 +
b
a
a
b
+
b
a




A1 =
a
a + b
−
b
a − b
=
a(a − b) − b(a + b)
a2 − b2
=
a2
− 2ab − b2
a2 − b2
B1 =
a
a + b
+
b
a − b
=
a(a − b) + b(a + b)
a2 − b2
=
a2
+ b2
a2 − b2
C1 = 2 1 +
b
a
=
2(a + b)
a
D1 =
a
b
+
b
a
=
a2
+ b2
ab
45

Cálculo de M,
M =
A1
B1
+
C1
D1
=
a2
− 2ab − b2
a2 + b2
+
2a + 2b
a
·
ab
a2 + b2
=
a2
− 2ab − b2
+ 2ab + 2b2
a2 + b2
= 1
Cálculo de A2, B2, C2 y D2,
N =



c
a + b
−
c
a + 2b
c
a + 2b
−
c
a + 3b
−
c
a + b
c
a + 3b
+ a



A2 =
c
a + b
−
c
a + 2b
=
c(a + 2b) − c(a + b)
(a + b)(a + 2b)
=
bc
(a + b)(a + 2b)
B2 =
c
a + 2b
−
c
a + 3b
=
c(a + 3b) − c(a + 2b)
(a + 2b)(a + 3b)
=
bc
(a + 2b)(a + 3b)
A2
B2
=
bc
(a + b)(a + 2b)
÷
bc
(a + 2b)(a + 3b)
=
bc
(a + b)(a + 2b)
·
(a + 2b)(a + 3b)
bc
=
a + 3b
a + b
C2 =
c
a + b
D2 =
c
a + 3b
C2
D2
=
c
a + b
·
a + 3b
c
=
a + 3b
a + b
N =
A2
B2
−
C2
D2
+ a =
a + 3b
a + b
−
a + 3b
a + b
+ a = a
Respuesta : E =
M
N
=
1
a

Problema 42.
273. Simplicar: E =
4
a
b
+
b
a
1
a
+
1
b
a
b2
−
b
a2
a + b
2a
×
a − b
2b
×
1
b3
−
1
a3
1
b2
−
1
a2
Respuesta :
a2
+ b2
a + b
Llamemos
A1 = 4
a
b
+
b
a
= 4
a2
+ b2
ab
B1 =
1
a
+
1
b
=
a + b
ab
C1 =
a
b2
−
b
a2
=
a3
− b3
a2b2
D1 =
a + b
2a
×
a − b
2b
=
a2
− b2
4ab
A2 =
1
b3
−
1
a3
=
a3
− b3
a3b3
B2 =
1
b2
−
1
a2
=
a2
− b2
a2b2
Cálculo de M =
A1
B1
÷
C1
D1
,
A1
B1
=
4(a2
+ b2
)
ab
·
ab
a + b
=
4(a2
+ b2
)
a + b
C1
D1
=
a3
− b3
a2b2
·
4ab
a2 − b2
=
4(a2
+ ab + b2
)
ab(a + b)
M =
A1
B1
÷
C1
D1
=
4(a2
+ b2
)
a + b
·
ab(a + b)
4(a2 + ab + b2)
=
ab(a2
+ b2
)
a2 + ab + b2
Cálculo de N =
A2
B2
,
N =
a3
− b3
a3b3
÷
a2
− b2
a2b2
=
a3
− b3
a3b3
·
a2
b2
a2 − b2
=
a2
b2
(a2
+ ab + b2
)(a − b)
a3b3(a + b)(a − b)
=
a2
+ ab + b2
ab(a + b)
47

Cálculo de E = M × N,
E =
ab(a2
+ b2
)
a2 + ab + b2
×
a2
+ ab + b2
ab(a + b)
=
a2
+ b2
a + b
Respuesta :
a2
+ b2
a + b
12 Descomposición en Fracciones Simples
Sea una expresión
mx + n
ax2 + bx + c
, se llama la descomposición en fracciones simples
de manera que
mx + n
x2 + bx + c
=
p
x − b1
+
q
x − b2
.
con (x − b1)(x − b2) = x2
+ bx + c.
Ejemplo 12.1. Descomponer :
5x2
− 4
x4 − 5x2 + 4
.
El denominador x4
− 5x2
+ 4 se descompone en (x2
− 4)(x2
− 1) =
(x + 2)(x − 2)(x + 1)(x − 1).
La fracción se escribe,
5x2
− 4
x4 − 5x2 + 4
=
A
x + 2
+
B
x − 2
+
C
x + 1
+
D
x − 1
=
A(x − 2)(x + 1)(x − 1) + B(x + 2)(x − 1)(x + 1)
(x + 2)(x − 2)(x + 1)(x − 1)
+
C(x − 1)(x − 2)(x + 2) + D(x + 1)(x − 2)(x + 2)
(x + 2)(x − 2)(x + 1)(x − 1)
Los numeradores tienen que ser iguales, entonces podemos escribir,
5x2
− 4 = A(x − 2)(x + 1)(x − 1) + B(x + 2)(x − 1)(x + 1)
+ C(x − 1)(x − 2)(x + 2) + D(x + 1)(x − 2)(x + 2)
Por x = 2 la ecuación es
5 · (2)2
− 4 = A(2 − 2)(2 + 1)(2 − 1) + B(2 + 2)(2 − 1)(2 + 1)
+ C(2 − 1)(2 − 2)(2 + 2) + D(2 + 1)(2 − 2)(2 + 2)
20 − 4 = B · 4 · 1 · 3
16 = 12B −→ B =
16
12
=
4
3

Por x = −2 la ecuación es
5(−2)2
− 4 = A(−2 − 2)(−2 + 1)(−2 − 1) + B(−2 + 2)(−2 − 1)(−2 + 1)
+ C(−2 − 1)(−2 − 2)(−2 + 2) + D(−2 + 1)(−2 − 2)(−2 + 2)
20 − 4 = A · (−4) · (−1) · (−3)
16 = −12A −→ A = −
16
12
= −
4
3
Por x = 1 la ecuación es
5(1)2
− 4 = A(1 − 2)(1 + 1)(1 − 1) + B(1 + 2)(1 − 1)(1 + 1)
+ C(1 − 1)(1 − 2)(1 + 2) + D(1 + 1)(1 − 2)(1 + 2)
5 − 4 = D · 2 · (−1) · 3
1 = −6D −→ D = −
1
6
Por x = −1 la ecuación es
5(−1)2
− 4 = A(−1 − 2)(−1 + 1)(−1 − 1) + B(−1 + 2)(−1 − 1)(−1 + 1)
+ C(−1 − 1)(−1 − 2)(−1 + 2) + D(−1 + 1)(−1 − 2)(−1 + 2)
5 − 4 = C · (−2) · (−3) · (1)
1 = 6C −→ C =
1
6
La fracción completa es entonces
5x2
− 4
x4 − 5x2 + 4
=
A
x + 2
+
B
x − 2
+
C
x + 1
+
D
x − 1
= −
4
3(x + 2)
+
4
3(x − 2)
+
1
6(x + 1)
−
1
6(x − 1)
49

12.1 Las diferentes formas de fracciones
El grado del numerador debe ser igual al grado de denominador −1. como p.e
px + q
(ax2 + bx + c)
.
Si no es el caso, hay que hacer una división entre el numerador y el denominador
antes de empezar una descomposición.
Ejemplo 12.2.
x3
+ x2
+ x + 1
x3 − 2x + 1
= 1 +
x2
+ 3x
x3 − 2x + 1
Las formas de fracciones dependen de su denominador.
Forma de fracciones del tipo
mx + n
(x + a)(x + b)(x + c)n
=
A
x + 1
+
B
x + b
+
C
(x + c)n
Forma de fracciones del tipo
mx + n
(x + a)(xn + b)
=
A
x + a
+
pn−1xn−1
+ pn−2xn−2
+ . . . + p0
xn + b
con b 0
Problema 43.
Descomponer
x3
+ x2
+ 2
(x2 + 2)2
.
Respuesta :
x + 1
x2 + 2
−
2x
(x2 + 2)2
La fracción es igual a
x3
+ x2
+ 2
(x2 + 2)2
=
Ax + B
x2 + 2
+
Cx + D
(x2 + 2)2
=
(Ax + B)(x2
+ 2) + (Cx + D)
(x2 + 2)2
Los numeradores tienen que ser iguales, se escribe entonces,
x3
+ x2
+ 2 = (Ax + B)(x2
+ 2) + (Cx + D)
= Ax3
+ Bx2
+ 2Ax + 2B + Cx + D
Al ordenar : Ax3
+ Bx2
+ x(2A + C) + D + 2B
Coeciente de x3
: A = 1
Coeciente de x2
: B = 1
Coeciente de x : 2A + C = 0 −→ C = −2
Termino independiente : D + 2B = 2 −→ D = 2 − 2B = 0

La descomposición de la fracción es entonces,
x3
+ x2
+ 2
(x2 + 2)2
=
x + 1
x2 + 2
+
−2x
(x2 + 2)2
Respuesta :
x + 1
x2 + 2
−
2x
(x2 + 2)2
Problema 44.
298. Descomponer :
x2
+ 5x − 5
x3 − 3x2 + 4
.
Respuesta : −
1
x + 1
+
2
x − 2
+
3
(x − 2)2
.
Factorizar el denominador x3
− 3x2
+ 4. El binomio x + 1 divide x3
− 3x2
+ 4.
Hallemos el cociente
x3
− 3x2
+ 4
x + 1
por el método de Runi Briot,
1 −3 0 4
−1 −1 4 −4
1 −4 4 0
El cociente es x2
− 4x + 4 = (x − 2)2
La fracción es igual a
x2
+ 5x − 5
x3 − 3x2 + 4
=
x2
+ 5x − 5
(x + 1)(x − 2)2
=
A
x + 1
+
B
x − 2
+
C
(x − 2)2
=
A(x − 2)2
+ B(x + 1)(x − 2) + C(x + 1)
(x + 1)(x − 2)2
51

El numerador x2
+5x−5 debe ser igual a A(x−2)2
+B(x+1)(x−2)+C(x+1),
x2
+ 5x − 5 = A(x − 2)2
+ B(x + 1)(x − 2) + C(x + 1)
Por x = 2
22
+ 5 · 2 − 5 = A(2 − 2)2
+ B(2 + 1)(2 − 2) + C(2 + 1)
4 + 10 − 5 = 3C −→ C = 3
Por x = −1
(−1)2
+ 5 · (−1) − 5 = A(−1 − 2)2
+ B(−1 + 1)(−1 − 2) + C(−1 + 1)
1 − 5 − 5 = 9A −→ A = −1
Por x = 0
−5 = A(0 − 2)2
+ B(0 + 1)(0 − 2) + C(0 + 1)
= 4A − 2B + C
Sea a resolver el sistema de ecuaciones
A = −1
C = 3
4A − 2B + C = −5 −→ −4 − 2B + 3 = −5
−2B = −5 + 1
B = 2
Repuesta : La fracción es igual a −
1
x + 1
+
2
x − 2
+
3
(x − 2)2

Problema 45.
301. Descomponer E =
16
(x + 1)2(x2 + 3)2
.
Respuesta :
1
x + 1
+
1
(x + 1)2
−
x
x2 + 3
−
2x + 2
(x2 + 3)2
La fracción debe ser igual a
A
x + 1
+
B
(x + 1)2
+
Cx + D
x2 + 3
+
Ex + F
(x2 + 3)2
.
E =
A(x + 1)(x2
+ 3)2
+ B(x2
+ 3)2
+ (Cx + D)(x + 1)2
(x2
+ 3) + (Ex + F)(x + 1)2
(x + 1)2(x2 + 3)2
Después de desarrollo :
16 =(A + C)x5
+ (A + B + D + 2C)x4
+ (E + 2D + 4C + 6A)x3
+
+(F + 2E + 4D + 6A + 6B + 6C)x2
+ (E + 2F + 3C + 6D + 9A)x + F + 3D + 9A + 9B
Solución del sistema de ecuación :
A + C = 0 No hay términos en x5
A + B + D + 2C = 0 No hay términos en x4
E + 2D + 4C + 6A = 0 No hay términos en x3
F + 2E + 4D + 6A + 6B + 6C = 0 No hay términos en x2
E + 2F + 3C + 6D + 9A = 0 No hay términos en x
F + 3D + 9A + 9B = 16 Termino independiente
A = 1, B = 1, C = −1
D = 0, E = −2, F = −2
Repuesta : E =
1
x + 1
+
1
(x + 1)2
−
x
x2 + 3
−
2x + 2
(x2 + 3)2
53

13 Racionalización
Los radicales son une forma de representación de las variables cuyos los exponen-
tes son números decimales.
Ejemplo 13.1. a0.4
= a
2
5 =
5
√
a2.
13.1 Multiplicación y división de variables con exponentes
Las variables de misma valor se multiplican al adicionar los exponentes respecti-
vos.
Ejemplo 13.2. a3
·
√
a = a3+1
2 = a
7
2
Las variables de misma valor se dividen al restar los exponentes respectivos.
Ejemplo 13.3.
√
a
a2
= a
1
2
−2
= a−3
2 =
1
a
3
2
Problema 46.
317. Efectuar : E =
3
a
5
7 ×
√
a
5
a
2
3 ×
4
a
2
5
÷
105
√
a53.
Respuesta : 1
M =
3
a
5
7 = a
5
7·3 = a
5
21
N =
√
a = a
1
2
P =
5
a
2
3 = a
2
15
Q =
4
a
2
5 = a
2
20 = a
1
10
M × N = a
5
21 · a
1
2 = a
5
21
+1
2 = a
31
42
P × Q = a
2
15 · a
1
10 = a
2
15
+ 1
10 = a
7
30
M × N
P × Q
=
3
a
5
7 ×
√
a
5
a
2
3 ×
4
a
2
5
=
a
31
42
a
7
30
= a
31
42
− 7
30 = a
53
105 =
105
√
a53
Repuesta : 105
√
a53 ÷
105
√
a53 = 1

Problema 47.
339. Simplicar :
3

 1/2 a−1
3
b
2
5


−1
4
×
3/2 a−4
b−3
Respuesta :
30 b22
a25
M =

 1/2 a−1
3
b
2
5


−1
4
=
a−1
3
·2
b
2
5
·2
−1
4
=
a−2
3
b
4
5
−1
4
=
b
4
5
a−2
3
1
4
=
b
1
5
a−1
6
= b
1
5 · a
1
6
N =
3/2 a−4
b−3
=
a−4· 2
3
b−3· 2
3
=
a−8
3
b−2
= a−8
3 · b2
M × N = b
1
5 · a
1
6 × a−8
3 · b2
= a
1
6
−8
3 · b
1
5
+2
= a
1−16
6 · b
1+10
5 = a
−15
6 · b
11
5 =
b11/5
a5/2
3
√
M × N =
b(11/5)·(1/3)
a(5/2)·(1/3)
=
b
11
15
a
5
6
=
b
22
30
a
25
30
Respuesta :
30 b22
a25
55

Problema 48.
340. Simplicar : E =
3 a−2
b−1
b−2
a−1
4 a
b
a−3
b−5
×
a−1
b
.
Repuesta :
1
√
ab
M =
3 a−2
b−1
b−2
a−1
= (a−2
· b · b−1
· a1/2
)
1
3 = (a−2+1
2 )1/3
= (a−3
2 )1/3
= a−1
2
N =
4 a
b
·
a−3
b−5
=
a
b
·
a−3/2
b−5/2
1/4
=
a
2−3
2
b
2−5
2
1/4
=
a−1
2
b
−3
2
1/4
=
a−1
8
b−3
8
= a−1
8 · b
3
8
P =
a−1
b
=
a−1
8
b
1
8
= a−1
8 · b−1
8
E =
M × P
N
=
a−1
2 · a−1
8 · b−1
8
a−1
8 · b
3
8
=
a−1
2
b
3
8 · b
1
8
=
a−1
2
b
3+1
8
=
a−1
2
b
1
2
=
1
√
ab
Repuesta :
1
√
ab

14 Expresiones Complejas
Las expresiones complejas contienen una parte real y una parte imaginaria re-
presentada por i. Los números complejos son de la forma z = x + iy donde x es la
parte real, e y la parte imaginaria con i2
= −1. Las partes reales y imaginaria no se
mezclan.
Los números complejos tienen como características un modulo x2 + y2 y una fase
θ = arctan
y
x
.
14.1 Operaciones con números complejos
14.1.1. Suma de números complejos
Los números complejos se suman al hacer la suma algebraica de las partes respectivas
de los números reales y imaginarias.
Ejemplo 14.1.
a + bi + c + di = (a + b) + (b + d)i
1 + 6i + 2i − 4 = −3 + 8i
14.1.2. Producto y división de números complejos
Se multiplica las partes reales y las partes imaginarias separadamente. La multipli-
cación de las dos partes imaginarias se vuelve a ser un número real.
Ejemplo 14.2.
Multiplicación : (a + bi)(c + di) = ac + (bc + ad) + bdi2
= ac − bd + (bc + ad) por i2
= −1
División :
a + bi
c + di
=
(a + bi)(c − di)
(c + di)(c − di)
=
ac + bd + (bc − ad)i
c2 + d2
14.2 Exponente en los números complejos
Las exponentes en las números complejos se tratan como los binomios de Newton
vistos en la sección Factoriales, Binomio de Newton.
Ejemplo 14.3.
(a + bi)5
=
5
0
a5
+
5
1
a4
· bi +
5
2
a3
· b2
i2
+
=
5
3
a2
· b3
i3
+
5
4
a · b4
i4
+
5
5
b5
i5
57

14.2.1. Exponente de la parte imaginaria
Consideremos 4 casos.
1. El exponente es par y divisible por 4: i4n
i4n
= (i2
)2n
= (−1)2n
= 1
2. El exponente es par y no divisible por 4: i2n
, con n = 2k + 1
(i2
)n
= (−1)2k+1
= (−1)2k
· −1 = −1
3. El exponente es impar y vale 2n + 1 con n = 2k par,
n = 4k
i4k+1
= i4k
· i = i
4. El exponente es impar, vale 2n + 1 con n = 2k + 1 impar,
n = 2k + 1
i2n+1
= i4k+3
= i4k
· i3
= −i
Ejemplo 14.4. Simplicar : E =
i3
− i2
+ i17
− i35
i16 − i13 + i30
Cálculo del numerador N = i3
− i2
+ i17
− i35
i3
= −i, i2
= −1
i17
= i4k+1
= i caso #3
i35
= i4k+3
= −i caso #4
M = i3
− i2
+ i17
− i35
= −i + 1 + i + i = i + 1
Cálculo del denominador D = i16
− i13
+ i30
i16
= i4k
= 1 caso #1
i13
= i4k+1
= i4k
.i = i caso #3
i30
= i4k+2
= −1 caso #2
N = 1 − i − 1 = −i
La expresión E vale
E =
i3
− i2
+ i17
− i35
i16 − i13 + i30
=
i + 1
−i
=
i(i + 1)
−i2
= i − 1

Problema 49.
374. La suma de dos números complejos es 21 − 6i. La parte real del primer número
es 7 y el cociente entre los números es un número real. Obtener dichos números.
Respuesta: 7 − 2i, 14 − 4i
Sean M = x1 + iy1 y N = x2 + iy2, los números complejos,
M + N = x1 + x2 + i(y1 + y2) = 21 − 6i
x1 = 7 −→ x2 = 21 − 7 = 14
7 + iy1
14 + iy2
=
(7 + iy1)(14 − iy2)
(14 + iy2)(14 − iy2)
=
98 + y1y2 + i(14y1 − 7y2)
196 + y2
2
La parte imaginaria es nula : 14y1 = 7y2 y y2 = 2y1
Sea a resolver el sistema de ecuación,
y1 + y2 = −6
y2 = 2y1 Se reemplaza el valor de y2 dentro la primera ecuación
3y1 = −6 −→ y1 = −2 y y2 = −4
x1 = 7, y1 = −2, x2 = 14, y2 = −4
Respuesta: 7 − 2i, 14 − 4i
59

Problema 50.
375. Determinar el valor de M y N, números complejos, sabiendo que
M × N = 31 − 29i, 3M +
6N
5
=
123
5
, y M − N = 4 + 7i.
Respuesta : M = 7 + 2i, N = 3 − 5i
Sean M = xm + iym, y N = xn + iyn,
3M +
6N
5
=
123
5
3xm + 3iym +
6xn + 6iyn
5
=
123
5
15xm + 15iym + 6xn + 6iyn = 123
15xm + 6xn + i(15ym + 6yn) = 123
15xm + 6xn = 123 o sea : 5xm + 2xn = 41
15ym + 6yn = 0 o sea : 5ym + 2yn = 0
M − N = 4 + 7i
xm − xn = 4
ym − yn = 7
Sea a resolver los sistemas de ecuaciones,
5xm + 2xn = 41
xm − xn = 4
Nos da : xm = 7, xn = 3
y 5ym + 2yn = 0
ym − yn = 7
Nos da : ym = 2, yn = −5
M = xm + iym = 7 + 2i, N = xn + iyn = 3 − 5i
Se verica M × N,
M × N = (7 + 2i)(3 − 5i) = 21 − (10i2
) + 6i − 35i = 21 + 10 + 6i − 35i
= 31 − 29i
Respuesta : M = 7 + 2i, N = 3 − 5i

Problema 51.
379. Determinar un complejo a + bi tal que su cuadrado sea igual a su conjugado.
Respuesta : −
1
2
±
i
√
3
2
.
El cuadrado de a + bi es
Cuadrado : (a + bi)2
= a2
− b2
+ 2abi
Conjugado : a + bi = a − bi
a2
− b2
+ 2abi = a − bi
es decir : 2abi = −bi o sea a = −
1
2
y a2
− b2
= a o sea b2
= a2
− a =
1
4
+
1
2
=
1 + 2
4
=
3
4
b = ±
√
3
2
Respuesta : a + bi = −
1
2
±
i
√
3
2
61

15 Los Logaritmos
El logaritmo de base a, y = loga x de una variable x es la función y = f(x) inversa
de la función x = f(y), x = ay
.
Los logaritmos de base 10, log10 x se notan sencillamente log x.
15.1 Logaritmos de productos y divisiones
Los logaritmos de producto son iguales a la suma de los logaritmos de cada tér-
minos del producto.
Así log (N × M) = log N + log M.
Y log
N
P
= log N − log P.
15.2 Logaritmos de variable con exponentes
log Ma
= a log M, log b
√
M =
log M
b
.
15.3 Logaritmos de números negativos
Los logaritmos de números negativos no existen
Ejemplo 15.1. Simplicar : log E = log
(ab2
c4
)1/6
9
√
a−3b3c6
.
log E =
(log a + 2 log b + 4 log c)
6
−
(−3 log a + 3 log b + 6 log c)
9
=
3(log a + 2 log b + 4 log c) − 2(−3 log a + 3 log b + 6 log c)
18
=
3 log a + 6 log b + 12 log c + 6 log a − 6 log b − 12 log c
18
9 log a
18
=
log a
2
Respuesta : log E =
log a
2

Observación 15.1. Para la resolución de las ecuaciones logarítmicas, es muy
conveniente de convertir los logaritmos de números en una base hacia los logaritmos
de los dichos números en una otra base.
Sea el logaritmo en base a de un número N, se escribe entonces
X = loga N −→ N = aX
Para tomar el logaritmo de N = aX
en base b, consideremos lo siguiente
logb N = logb aX
= X logb a
Al reemplazar X por X = loga N dentro X logb a
Obtenemos : logb N = loga N logb a
y loga N =
logb N
logb a
Observación 15.2. Se verica que loga b =
1
logb a
.
Sea un número N tal que N = aX
= bY
,
Al tomar el logaritmo en base a : X = loga N = Y loga b
Nos da :
X
Y
= loga b
Al tomar el logaritmo en base b : Y = logb N = X logb a
Lo que nos da :
Y
X
= logb a
−→ loga b =
1
logb a
63

Problema 52.
383. Demostrar que si a y b son las medidas de los catetos de un triángulo rectángulo
y c la medida de su hipotenusa, entonces se verica:
E = 2 logc+b a · logc−b a = logc+b a + logc−b a.
Tenemos que demostrar que c2
= a2
+ b2
.
logc+b a =
1
loga (c + b)
logc−b a =
1
loga (c − b)
La expresión E se escribe :
2
loga (c + b)
·
1
loga (c − b)
=
1
loga (c + b)
+
1
loga (c − b)
=
loga (c + b) + loga (c − b)
loga (c + b) · loga (c − b)
Al multiplicar por loga (c + b) · loga (c − b) : 2 = loga (c + b) + loga (c − b)
2 = loga [(c + b)(c − b)] = loga (c2
− b2
)
loga a2
= loga (c2
− b2
) por loga a = 1
o sea : a2
= c2
− b2
Repuesta : c2
= a2
+ b2
Problema 53.
387. Demostrar que
loga k
logam k
= 1 + loga m.
loga k =
1
logk a
logam k =
1
logk am
loga k
logam k
=
logk am
logk a
=
logk a + logk m
logk a
= 1 +
logk m
logk a

Al llamar logk m = M y logk a = A, podemos escribir
m = kM
y a = kA
lo que da respectivamente
k = m1/M
= a1/A
al subir al exponente M : m = aM/A
Al tomar el logaritmo de base a de m: loga m = loga aM/A
=
M
A
=
logk am
logk a
−→
loga k
logam k
= 1 + loga m
Problema 54.
390. Utilizando las propiedades de los logaritmos, demostrar:
E = log
√
117 − log
√
13
14
− log 7 − log 6 = 0.
Al descomponer 117, tenemos 117 = 32
· 13.
log
√
117 =
log 32
+ log 13
2
=
2 log 3 + log 13
2
log
√
13
14
=
log 13
2
− log 14 =
log 13
2
− log 2 − log 7
log 6 = log 2 + log 3
La expresión E se escribe,
E = log
√
117 − log
√
13
14
− log 7 − log 6
=
2 log 3 + log 13
2
−
log 13
2
− log 2 − log 7 − log 7 − log 2 − log 3
=
2 log 3 + log 13
2
−
log 13
2
+ log 2 + log 7 − log 7 − log 2 − log 3
= log 3 +
log 13
2
−
log 13
2
+ log 2 + log 7 − log 7 − log 2 − log 3
Respuesta : log 3 +
log 13
2
−
log 13
2
+ log 2 + log 7 − log 7 − log 2 − log 3 = 0
65

Problema 55.
392. Efectuar utilizando las propiedades de los logaritmos :
log3 2 · log2 5 · log5 3. Conversión de los logaritmos en la base 10,
Llamemos log3 2 = M −→ 3M
= 2
log2 5 = N −→ 2N
= 5
log5 3 = P −→ 5P
= 3
Al hacer los logaritmos en base 10 de las ultimas expresiones, obtenemos,
log 3M
= M log 3 = log 2 −→ M =
log 2
log 3
log 2N
= N log 2 = log 5 −→ N =
log 5
log 2
log 5P
= P log 5 = log 3 −→ P =
log 3
log 5
Al hacer el producto log3 2 · log2 5 · log5 3 que es igual a MNP,
log3 2 · log2 5 · log5 3 = M · N · P =
log 2
log 3
·
log 5
log 2
·
log 3
log 5
= 1
Respuesta : log3 2 · log2 5 · log5 3 = 1

16 Ecuaciones Lineales de una incógnita
Problema 56.
402. Resolver:
x2
− h
h − 1
+
x2
+ h
h + 1
−
2hx2
h2 − 1
= 2x −
2h3
h2 − 1
.
Respuesta : x = h
x2
− h
h − 1
+
x2
+ h
h + 1
−
2hx2
h2 − 1
= 2x −
2h3
h2 − 1
(x2
− h)(h + 1) + (x2
+ h)(h − 1) − 2hx2
h2 − 1
=
2x(h2
− 1) − 2h3
h2 − 1
Al desarrollar : (x2
− h)(h + 1) + (x2
+ h)(h − 1) − 2hx2
= 2x(h2
− 1) − 2h3
x2
h − h2
+ x2
− h + x2
h + h2
− x2
− h − 2hx2
= 2h2
x − 2x − 2h3
−2h = 2h2
x − 2x − 2h3
−2h + 2h3
= 2x(h2
− 1)
2h(h2
− 1) = 2x(h2
− 1)
Respuestas : x = h
Problema 57.
461. Al preguntar un padre a su hijo cuánto había gastado de los $350 que le dio,
contesta: gasté tres cuartas partes de los que no gasté. ¾Cuánto había gastado el hijo?
Respuesta: $150
Sea x la cantidad de dinero gastado, la cantidad de dinero no gastado sera 350 − x.
Las ecuaciones son entonces, gasté 3/4 de los no gasté,
x =
3 · (350 − x)
4
4x = 1050 − 3x
7x = 1050
Respuesta : x = 150
67

17 Ecuaciones del segundo grado
Las ecuaciones del segundo grado son de tipo ax2
+ bx + c = 0 donde las raíces
son
−b ±
√
b2 − 4ac
2a
La suma de las raíces : −
b
a
La diferencia de las raíces :
√
b2 − 4ac
a
El producto de las raíces :
c
a
Problema 58.
474. Calcular el valor de k en la ecuación x2
− 10x + k = 0, sabiendo que una de las
raíces es el cuádrupla de la otra.
Respuesta: 16
Las raíces de la ecuación son
a = 1, b = −10, c = k
x1,2 =
−b ±
√
b2 − 4ac
2a
=
10 ±
√
102 − 4k
2
x1 =
10 +
√
102 − 4k
2
x2 =
10 −
√
102 − 4k
2
x1 = 4x2
10 +
√
102 − 4k
2
= 4 ×
10 −
√
102 − 4k
2
10 +
√
102 − 4k = 4(10 −
√
102 − 4k)
10 +
√
102 − 4k = 40 − 4
√
102 − 4k
5
√
102 − 4k = 30 −→
√
100 − 4k = 6
100 − 4k = 36 −→ k =
100 − 36
4
= 16
Respuesta : k = 16

Problema 59.
502. Hallar la ecuación de segundo grado en la cual de las raíces es el triple de otra
y la suma de los cuadrados de las raíces es 40.
Respuesta : x2
± 8x + 12 = 0
Sean las raíces x1 y x2.
x1 = 3x2
x2
1 + x2
2 = 40
Al reemplazar x1 por su valor dentro x2
1 + x2
2 = 40
(3x2)2
+ x2
2 = 40
9x2
2 + x2
2 = 40
x2
2 =
40
10
−→ x2 = ±2, x1 = ±6
La ecuación es
(x − x1)(x − x2) = 0
(x 6)(x 2) = 0
x2
6x 2x + 12 = 0
Respuesta : x2
8x + 12 = 0
Problema 60.
503. Determinar los valores del parámetro k para los cuales la suma de los cubos de
las raíces de la ecuación ax2
+ bx + c = 3x2
− 3(k + 1)x + k2
= 0 sea igual a 1.
Respuesta : 0, −
3
2
Sean las raíces de la ecuación 3x2
− 3(k + 1)x + k2
= 0 x1 y x2. La suma de los
cubos de x1, y x2 son
x3
1 + x3
2 = (x1 + x2)(x2
1 − x1x2 + x2
2)
= (x1 + x2)[(x1 + x2)2
− 2x1x2 − x1x2]
= (x1 + x2)[(x1 + x2)2
− 3x1x2] = 1
donde la suma de las raíces: x1 + x2 = −
b
a
=
3(k + 1)
3
= k + 1
donde el producto de las raíces: x1x2 =
c
a
=
k2
3
69

La suma S3
de los cubos de las raíces es ,
S3
= (x1 + x2)3
= (x1 + x2)[(x1 + x2)2
− 3x1x2]
donde x1 + x2 = k + 1, y x1x2 =
k2
3
S3
= (k + 1)[(k + 1)2
−
3k2
3
] = 1
= (k + 1)(k2
+ 2k + 1 − k2
) = 1
= (k + 1)(2k + 1) = 1
Resolver la ecuación (k + 1)(2k + 1) − 1 = 0,
(k + 1)(2k + 1) − 1 = 2k2
+ 3k + 1 − 1 = 0
= k(2k + 3) = 0
Respuesta : 0, −
3
2
Problema 61.
504. Un obrero tarda 6 horas más que otro obrero en efectuar un trabajo.
Hallar el tiempo que emplearía cada uno de ellos en realizar el trabajo solo, sabiendo
que juntos utilizan 4 horas en efectuar el mencionado trabajo.
Respuesta: 6horas; 12horas
Llamemos el trabajo por la variable W.
El primero obrero trabaja a la velocidad V1 para terminar el trabajo en el tiempo T1.
El segundo obrero trabaja a la velocidad V2 para terminar el trabajo en el tiempo T2.
Juntos el trabajo sera terminado en la velocidad V1 + V2 en T3 = 4horas.
Sean las ecuaciones,
Primero obrero termina el trabajo a la velocidad V1 en tiempo T1
W = V1 · T1
Segundo obrero termina el trabajo a la velocidad V2 en tiempo T2
W = V2 · T2
Juntos los obreros trabajan a la velocidad V1 + V2 en tiempo T3
W = (V1 + V2) · T3 donde T3 = 4

Según las ecuaciones tendremos,
W = V1 · T1 = V2 · T2 = T3(V1 + V2) con T1 = T2 + 6, y T3 = 4
V1
V2
=
T2
T1
=
T1 − 6
T1
V1 + V2
V2
=
T2
T3
=
T1 − 6
4
La ultima ecuación se desarrolla como lo que sigue,
V1 + V2
V2
=
T1 − 6
4
V1
V2
+ 1 =
T1 − 6
4
Al reemplazar el valor
V1
V2
=
T1 − 6
T1
dentro
V1
V2
+ 1 =
T1 − 6
4
, obtenemos
T1 − 6
T1
+ 1 =
T1 − 6
4
O sea : T1(T1 − 6) = 4(2T1 − 6)
Al desarrollar : T2
1 − 6T1 = 8T1 − 24
T2
1 − 14T1 + 24 = 0
La raíz positiva de la ecuación es
T1 =
14 + 142 − (4 · 24)
2
=
14 +
√
196 − 96
2
=
14 + 10
2
= 12
Respuesta : Tiempo T1 = 12horas, T2 = T1 − 6 = 6horas
71

18 Ecuaciones exponenciales y logarítmicas
18.1 Conversión de logaritmos de base n a logaritmos de
base m
En muchas aplicaciones de logaritmos, es conveniente los logaritmos de base di-
ferente.
Ejemplo 18.1. Si y = logn x, hallar logm x.
y = logn x −→ x = ny
Al tomar el logaritmo de base m : logm x = logm ny
logm x = y logm n
y = logn x =
logm x
logm n
logm x = logn x · logm n =
logn x
logn m
Finalmente y = logm x =
logn x
logn m
Ejemplo 18.2. Hallar el logaritmo en base 2 de 64, utilizando el logaritmo en
base 10 de 64 y de 2.
log 64 = 1.80618, log 2 = 0.30103
log2 64 =
log 64
log 2
=
1.80618
0.30103
= 6
Es exacto porque : 26
= 64
Problema 62.
513. Resolver la ecuación : 23x+1
· 54x−2
= 110
Respuesta : x = 0.84843
La ecuación puede escribirse como lo siguiente,
23x+1
· 54x−2
= 110
23x
· 2 · 54x
· 5−2
= 2 · 5 · 11
23x
· 54x
=
2 · 5 · 11
2 · 5−2
23x
· 54x
= 53
· 11

Para hallar x se toma los logaritmos,
log (23x
· 54x
) = log (53
· 11)
x log (23
· 54
) = log (53
· 11)
x log (8 · 625) = log (125 · 11)
x log 5000 = log 1375
x =
log 1375
log 5000
= 0.84843
Problema 63.
515. Resolver la ecuación abcx
= d
Respuesta : x = logc
loga d
b
Al tomar los logaritmos de la ecuación, tenemos
bcx
loga a = loga d
Al dividir por b : cx
=
loga d
b
con loga a = 1
Tomar log en base c : logc cx
= logc
loga d
b
x logc c = logc
loga d
b
x = logc
loga d
b
Respuesta : x = logc
loga d
b
73

Problema 64.
516. Resolver : 3x
+ 3x−1
+ 3x−2
+ 3x−3
+ 3x−4
+ 3x−5
= 1092
Respuesta : x = 6
La ecuación puede ponerse bajo la forma
3x
+ 3x
· 3−1
+ 3x
· 3−2
+ 3x
· 3−3
+ 3x
· 3−4
+ 3x
· 3−5
= 1092
O sea : 3x
(1 + 3−1
+ 3−2
+ 3−3
+ 3−4
+ 3−5
) = 22
· 3 · 7 · 13
Al multiplicar por 35
: 3x
(35
+ 34
+ 33
+ 32
+ 3 + 1) = 22
· 36
· 7 · 13
Al observar que 35
+ 34
+ 33
+ 32
+ 3 + 1 =
36
− 1
3 − 1
La ecuación completa es entonces
3x
(35
+ 34
+ 33
+ 32
+ 3 + 1) = 22
· 36
· 7 · 13
3x
(36
− 1)
3 − 1
= 22
· 36
· 7 · 13
con 36
− 1 = 728 = 23
· 7 · 13 obtenemos :
3x
· 23
· 7 · 13
2
= 22
· 36
· 7 · 13
3x
· 22
· 7 · 13 = 22
· 36
· 7 · 13
Se reduce a : 3x
= 36
Respuesta : x = 6
Problema 65.
518. Resolver : 9x
− 4 · (3x
) − 45 = 0
Repuestas : x = 2
9x
= 32x
Llamemos y = 3x
−→ y2
= 32x
La ecuación se transforma en 32x
− 4 · (3x
) − 45 = 0
o sea : y2
− 4y − 45 = 0
y =
4 +
√
42 + 4 · 45
2
=
4 +
√
196
2
=
4 + 14
2
= 9 = 32
3x
= 32
Repuestas : x = 2

Problema 66.
523. Resolver ax2+7
3
= a−24x
con a = 1
Respuesta : −1, −7
La ecuación se escribe bajo la siguiente forma,
ax2+7
3
= a−24x
a3(x2+7)
= a−24x
donde tenemos : 3(x2
+ 7) = −24x
o sea : 3x2
+ 24x + 21 = 0
x =
−24 ± 242 − (4 · 3 · 21)
2 · 3
=
−24 ±
√
576 − 252
6
=
−24 ±
√
324
6
=
−24 ± 18
6
x1 =
−24 + 18
6
=
−6
6
= −1
x2 =
−24 − 18
6
=
−42
6
= −7
Respuesta : x1 = −1, x2 = −7
Problema 67.
525. Resolver : 52x+1
· (53x−2
)
2x+7
= 5x−7
· (5x+2
)
6x−1
· 56x
Respuesta : x = 4
La ecuación puede escribirse
52x+1
· 5(3x−2)(2x+7)
= 5x−7
· 5(x+2)(6x−1)
· 56x
52x+1
· 56x2+17x−14
= 5x−7
· 56x2+11x−2
· 56x
56x2+17x−14+2x+1
= 56x2+11x−2+x−7+6x
56x2+19x−13
= 56x2+18x−9
o sea : 6x2
+ 19x − 13 = 6x2
+ 18x − 9
19x − 18x = 13 − 9
x = 4
Respuesta : x = 4
75

Problema 68.
527. Resolver : x+2
√
7x+1 ·
x−2
√
7x−1 =
x+1
√
72x+1
Respuesta : x1 = 0, x2 = −4
Los radicales pueden ponerse bajo la forma fraccionaria,
x+2
√
7x+1 = 7(x+1
x+2 )
x−2
√
7x−1 = 7(x−1
x−2 )
x+1
√
72x+1 = 7(2x+1
x+1 )
La ecuación se escribe entonces : 7(x+1
x+2 ) · 7(x−1
x−2 ) = 7(2x+1
x+1 )
Al simplicar : 7(x+1
x+2
+x−1
x−2 ) = 7(2x+1
x+1 )
O sea la ecuación :
x + 1
x + 2
+
x − 1
x − 2
=
2x + 1
x + 1
(x + 1)2
(x − 2)
(x + 2)(x − 2)(x + 1)
+
(x − 1)(x + 1)(x + 2)
(x + 2)(x − 2)(x + 1)
=
(2x + 1)(x + 2)(x − 2)
(x + 2)(x − 2)(x + 1)
Al desarrollar, obtenemos para cada fracción,
(x + 1)2
(x − 2) = (x2
+ 2x + 1)(x − 2) = x3
− 3x − 2
(x − 1)(x + 1)(x + 2) = (x2
− 1)(x + 2) = x3
+ 2x2
− x − 2
(2x + 1)(x + 2)(x − 2) = (2x + 1)(x2
− 4) = 2x3
+ x2
− 8x − 4
La ecuación se transforma : 2x3
+ 2x2
− 4x − 4 = 2x3
+ x2
− 8x − 4
Después de simplicar : x2
+ 4x = 0
o sea : x(x + 4) = 0
Respuesta : x1 = 0, x2 = −4

Problema 69.
532. Resolver : 7x
+ 7x+1
+ 7x+2
= 3x
+ 3x+2
+ 3x+4
+ 3x+6
La ecuación se pone bajo una otra forma,
7x
(1 + 7 + 72
) = 3x
(1 + 32
+ 34
+ 36
)
57 · 7x
= 820 · 3x
7
3
x
=
820
57
x =
log
820
57
log
7
3
x = 3.14677
Problema 70.
538. Resolver : 22x−1
− 8
x+3
3 + 24 = 0
Respuesta : x = 2
La ecuación puede ser escrita como
22x−1
− (23
)
x+3
3 + 24 = 0 por 8 = 23
o sea 22x−1
− 2x+3
+ 24 = 0
22x
· 2−1
− 2x
· 23
+ 24 = 0
22x
2
− 2x
· 8 + 24 = 0
77

Al poner y = 2x
, tendremos
y2
2
− y · 8 + 24 = 0
Al multiplicar por 2 : y2
− 16y + 48 = 0
Los raíces son : y = 8 ±
√
82 − 48 = 8 ± 4
Las raíces son :
y1 = 8 + 4 = 12, y2 = 8 − 4 = 4
Sea a resolver
2x1
= 4 = 22
−→ x1 = 2
y 2x2
= 12 −→ x2 =
log 12
log 2
Respuesta : x1 = 2, x2 =
log 12
log 2
= 3.58496
Problema 71.
543. Resolver : (3x−1
+ 3x+2
)(5x+3
+ 5x−1
) = 17528.
Repuesta : x = 1
Al simplicar la ecuación,
(3x−1
+ 3x+2
)(5x+3
+ 5x−1
) = 17528
[3x
(3−1
+ 32
)][5x
(53
+ 5−1
)] = 23
· 7 · 313
3x 1
3
+ 32
5x
53
+
1
5
= 23
· 7 · 313
[3x
(1 + 33
)][5x
(1 + 54
)] = 23
· 3 · 5 · 7 · 313
[3x
(1 + 27)][5x
(1 + 625)] = 23
· 3 · 5 · 7 · 313
[3x
· 28][5x
· 626] = 23
· 3 · 5 · 7 · 313
[3x
· 22
· 7][5x
· 2 · 313] = 23
· 3 · 5 · 7 · 313
(3x
· 23
· 7)(5x
· 313) = 23
· 3 · 5 · 7 · 313
Al simplicar : 3x
· 5x
= 3 · 5
3x
· 5x
= (3 · 5)x
= 3 · 5 −→ x = 1
Repuesta : x = 1

Problema 72.
546. Resolver
1
4
(1
2 )4x
=
1
√
2
Repuesta : −
1
2
Al tomar el logaritmo, tenemos
log
1
4
(1
2 )4x
= log
1
√
2
1
2
4x
· log
1
4
= log
1
√
2
1
2
4x
· log
1
2
2
= log
1
2
1/2
2 ·
1
2
4x
· log
1
2
=
1
2
· log
1
2
Al dividir por log
1
2
: 2 ·
1
2
4x
=
1
2
4x
=
1
2
x =
log 0.5
log 4
= −
1
2
Repuesta : x =
log 0.5
log 4
= −
1
2
79

Problema 73.
549. Resolver : log (x − 1) + log (x2
− 2x + 1) = 2
Repuesta : x = 3
√
100 + 1
Al observar que x2
− 2x + 1 = (x − 1)2
, podemos escribir
log (x − 1) + log (x2
− 2x + 1) = 2
log (x − 1) + log (x − 1)2
= log 102
log (x − 1)(x − 1)2
= log 102
log (x − 1)3
= log 100
O sea : (x − 1)3
= 100
Finalmente : x =
3
√
100 + 1
Repuesta : x = 3
√
100 + 1
Problema 74.
555. Resolver :
1
2
log2 4x + log4 4x − 2 =
3
2
log8 (10x − 16)
Respuesta : 2; 8
Pongamos todos los logaritmos en base 2,
log4 4x =
log2 4x
log2 4
=
log2 4x
log2 22
=
log2 4x
2
log8 (10x − 16) =
log2 (10x − 16)
log2 8
=
log2 (10x − 16)
log2 23
=
log2 (10x − 16)
3
La ecuación se escribe entonces por
log2 4x
2
+
log2 4x
2
− 2 =
3
2
·
log2 (10x − 16)
3
log2 4x
2
+
log2 4x
2
−
log2 (10x − 16)
2
= 2
Al multiplicar por 2 : 2 log2 4x − log2 (10x − 16) = 4
log2 (4x)2
− log2 (10x − 16) = log2 24
log2
16x2
10x − 16
= log2 24

Sea entonces a resolver la ecuación
16x2
10x − 16
= 24
16x2
= 16(10x − 16)
16x2
= 16(x − 16)
x2
= 10x − 16
o sea : x2
− 10x + 16 = 0
x =
10 ± 102 − (4 · 16)
2
=
10 ±
√
100 − 64
2
=
10 ±
√
36
2
=
10 ± 6
2
= 5 ± 3
x1 = 5 + 3 = 8, x2 = 5 − 3 = 2
Respuesta : x1 = 8; x2 = 2
19 Sistemas de Ecuaciones Lineales
Los sistemas de ecuaciones lineales a 2 o 3 se solucionan por el método de Cramer:
Sea un sistema a 2 incógnitas x y y,
A1x + B1y = C1
A2x + B2y = C2
x =
C1 A1
C2 A2
A1 B1
A2 B2
=
A2C1 − A1C2
A1B2 − A2B1
y =
A1 C1
A2 C2
A1 B1
A2 B2
=
A1C2 − A2C1
A1B2 − A2B1
81

Ejemplo 19.1.
Resolver :
3x − 7y = 17
2x + 5y = −8
x =
17 −7
−8 5
3 −7
2 5
=
17 · 5 − (−7) · (−8)
3 · 5 − (−7) · 2
=
85 − 56
15 + 14
=
29
29
= 1
y =
3 17
2 −8
3 −7
2 5
=
3 · (−8) − 2 · 17
3 · 5 − (−7) · 2
=
−24 − 34
15 + 14
=
−58
29
= −2
Respuesta : x = 1; y = −2
19.1 Solucionar sistemas a 3 incógnitas con el método de
Cramer
Ejemplo 19.2. Resolver :
3x + 4y + 2z = 47
5x − 3y + 7z = 41
7x − 2y − 5z = 24
Respuesta : x = 7; y = 5; z = 3
El sistema de ecuación se pone
3x + 4y = −2z + 47
5x − 3y = −7z + 41
7x − 2y − 5z = 24

Por las dos primeras ecuaciones,
x =
−2z + 47 4
−7z + 41 −3
3 4
5 −3
=
−3(−2z + 47) − 4(−7z + 41)
3 · (−3) − 4 · 5
=
6z − 141 + 28z − 164
−9 − 20
=
34z − 305
−29
y =
3 −2z + 47
5 −7z + 41
3 4
5 −3
=
3(−7z + 41) − 5(−2z + 47))
3 · (−3) − 4 · 5
=
−21z + 123 + 10z − 235
−9 − 20
=
11z + 112
29
Se reemplaza los valores de x y de y dentro la tercera ecuación para tener una ecua-
ción en z,
donde x =
34z − 305
−29
e y =
11z + 112
29
7x − 2y − 5z = 24
7 ·
34z − 305
−29
− 2 ·
11z + 112
29
− 5z = 24
−
238z − 2135
29
−
22z + 224
29
−
145z
29
= 24
−238z − 22z − 145z = 24 · 29 − 2135 + 224
−405z = −1215
z = 3
Para obtener x se reemplaza el valor de z dentro la ecuación de x,
x =
34z − 305
−29
=
34 · 3 − 305
−29
=
102 − 305
−29
=
203
29
= 7
x = 7
Para obtener y se reemplaza el valor de z dentro la ecuación de y,
y =
11z + 112
29
=
11 · 3 + 112
29
=
33 + 112
29
=
145
29
= 5
y = 5
83

Respuesta : x = 7; y = 5; z = 3
Problema 75.
592. Resolver :



xy
x + y
=
1
a
yz
y + z
=
1
b
zx
z + x
=
1
c
Respuesta : x =
2
a + c − b
; y =
2
a + b − c
; z =
2
b + c − a
Las ecuaciones pueden estar puestas bajo la siguiente forma,



x + y
xy
=
1
x
+
1
y
= a
y + z
yz
=
1
y
+
1
z
= b
x + z
xz
=
1
x
+
1
z
= c
Las ecuaciones se solucionan al hallar
1
x
,
1
y
, y
1
z
,
1
x
+
1
y
= a
1
y
= b −
1
z
Por Cramer :
1
x
=
a 1
b −
1
z
1
1 1
0 1
= a − b +
1
z
1
y
=
1 a
0 b −
1
z
1 1
0 1
= b −
1
z

Se reemplaza los valores de
1
x
dentro la tercera ecuación en
1
z
,
1
x
= a − b +
1
z
1
x
+
1
z
= c
a − b +
1
z
+
1
z
= c
2
z
= c + b − a
1
z
=
c + b − a
2
Los valores de
1
x
y de
1
y
se hallan al poner los valores de
1
z
dentro las expresiones
respectivas,
1
x
= a − b +
1
z
con
1
z
=
c + b − a
2
= a − b +
c + b − a
2
=
2a − 2b + c + b − a
2
=
a − b + c
2
1
y
= b −
1
z
= b −
1
z
= b −
c + b − a
2
=
2b − c − b + a
2
=
a + b − c
2
Respuesta : x =
2
a + c − b
; y =
2
a + b − c
; z =
2
b + c − a
85

20 Sistemas de Ecuaciones de Segundo Grado con
dos Incógnitas
Problema 76.
605. Resolver :
(x − 1)2
+ (y − 4)2
= 10
x + 3y = 3
Respuesta : x = 0; y = 1
Se soluciona al reemplazar x por su valor 3(1 − y) dentro la primera ecuación,
[3(1 − y) − 1]2
+ (y − 4)2
= 10
9(1 − y)2
− 6(1 − y) + 1 + y2
− 8y + 16 − 10 = 0
9 − 18y + 9y2
− 6 + 6y + 1 + y2
− 8y + 6 = 0
10y2
− 20y + 10 = 0
Al dividir por 10 : y2
− 2y + 1 = 0
O sea : (y − 1)2
= 0, y = 1
El valor de x es : x = 3(1 − y) = 0
Respuesta : x = 0; y = 1
Problema 77.
611. Resolver
x + y = 3
x3
+ y3
= 189
Repuesta : (x1 = −3; y1 = 6), (x2 = 6; y2 = −3)
x3
+ y3
= (x + y)(x2
− xy + y2
) = (x + y)[(x + y)2
− 3xy] = 189
3(32
− 3xy) = 189
3xy = 32
−
189
3
= 9 − 63 = −54
xy = −18

Hallar x y y conociendo la suma x + y = 3 y el producto xy = −18 por una ecuación
del segundo grado donde x y y son las raíces,
Z2
+
BZ
A
+
C
A
= 0
(Z − x)(Z − y) = 0
Z2
− Z(x + y) + xy = 0
Al remplazar los valores x + y = 3 y xy = −18 dentro la ecuación en Z, tenemos
Z2
− 3Z − 18 = 0
Z1 = x =
3 + (−3)2 − 4 · (−18)
2
=
3 +
√
9 + 72
2
=
3 + 9
2
= 6
Z2 = y =
3 − (−3)2 − 4 · (−18)
2
=
3 −
√
9 + 72
2
=
3 − 9
2
= −3
Respuesta : (x1 = −3; y1 = 6), (x2 = 6; y2 = −3)
21 Sistemas de Ecuaciones Exponenciales y
Logarítmicas
Problema 78.
613. Resolver
4x−y
= 8
log2 x − log2 y = 2
Respuesta : x = 2; y =
1
2
87

La segunda ecuación se escribe log2
x
y
= log2 22
.
4x−y
= 8 es equivalente a
22(x−y)
= 23
con log2
x
y
= log2 22
Las ecuaciones son respectivamente equivalentes a
2(x − y) = 3
y
x
y
= 22
= 4
Sea a resolver, el sistema de ecuaciones lineales,
2x − 2y = 3
x = 4y
2(4y) − 2y = 3
8y − 2y = 3 −→ y =
1
2
x = 4 ·
1
2
= 2
Respuesta : x = 2; y =
1
2
Problema 79.
616. Resolver :
2
√
x+
√
y
= 512
log
√
xy = 1 + log 2
Respuesta : (25, 16); (16, 25)
Al reorganizar las ecuaciones, tenemos
La primera ecuación : 2
√
x+
√
y
= 512 = 29
√
x +
√
y = 9
La segunda ecuación : log
√
xy = 1 + log 2 = log 10 + log 2 = log 20
√
xy = 20

Solucionar el sistema de ecuaciones
√
x +
√
y = 9
√
xy = 20
Al subir la primera ecuación al cuadrado
x + y + 2
√
xy = 92
= 81
Suma de dos números : x + y = 81 − 2
√
xy = 81 − 40 = 41
Producto de dos números : xy = 400
Hallar x y y tal que x + y = 41 y xy = 400.
Sea la ecuación del segundo grado cuyas las raíces son x y y
Z2
− 41Z + 400 = 0
Z1 = x =
41 + 412 − (4 · 400)
2
=
41 +
√
81
2
= 25
Z2 = y =
41 − 412 − (4 · 400)
2
=
41 −
√
81
2
= 16
Respuesta : (x1 = 25, y1 = 16); (x2 = 16, y2 = 25)
Problema 80.
617. Resolver



2log1/2 (x+y)
= 5log5 (x−y)
log2 x + log2 y =
1
2
Respuesta : x =
√
2, y = 1
Para claricar llamemos a = log1/2 (x + y), y b = log5 (x − y), las ecuaciones se
escriben entonces,
2a
= 5b
log2 x + log2 y =
1
2
La segunda ecuación se escribe : log2 xy = log2 21/2
−→ xy = 21/2
=
√
2
89

De las notaciones de a y de b, se halla respectivamente
a = log1/2 (x + y) −→ x + y =
1
2
a
= 2−a
−→
1
x + y
= 2a
b = log5 (x − y) −→ x − y = 5b
La primera ecuación 2a
= 5b
nos lleva a concluir que
1
x + y
= x − y
con xy =
√
2
Sea el sistema de ecuaciones : x2
− y2
= 1
xy =
√
2 −→ y =
√
2
x
Al reemplazar y dentro la primera ecuación : x2
−
√
2
x
2
= 1
x2
−
2
x2
= 1
x4
− x2
− 2 = 0
La raíz positiva es : x2
=
1 + 1 − 4 · (−2)
2
=
1 + 3
2
= 2
−→ x =
√
2 y y = 1
Respuesta : x =
√
2, y = 1
Problema 81.
618. Resolver :



log2(xy) · log2
x
y
= −3
log2
2 x + log2
2 y = 5
Respuesta : (2, 4); (1/2, 1/4)
Al observar que log2(xy) = log2 x + log2 y y

log2
x
y
= log2 x − log2 y, la primera ecuación se escribe
(log2 x + log2 y)(log2 x − log2 y) = −3
log2
2 x + log2
2 y = 5
o sea : log2
2 x − log2
2 y = −3
log2
2 x + log2
2 y = 5
La solución en log2
2 x y log2
2 y da
log2
2 x =
−3 + 5
2
= 1 −→ log2 x = ±1
log2
2 y =
5 − (−3)
2
= 4 −→ log2 y = ±2
Cálculo de x y de y,
log2 x1 = 1 −→ x1 = 2
log2 x2 = −1 −→ x2 = 2−1
=
1
2
log2 y1 = 2 −→ y1 = 22
= 4
log2 y2 = −2 −→ y2 = 2−2
=
1
4
Respuesta : (x1 = 2, y1 = 4); x2 =
1
2
, y2 =
1
4
Problema 82.
623. Resolver:
log9 (x2
+ 2) + log81 (y2
+ 9) = 2
2 log4 (x + y) − log2 (x − y) = 0
Repuesta : x = 5, y = 0
91

Arreglo de las ecuaciones,
Primera ecuación : log9 (x2
+ 2) + log81 (y2
+ 9) = 2
log9 (x2
+ 2) +
log9 (y2
+ 9)
log9 81
= 2
log9 (x2
+ 2) +
log9 (y2
+ 9)
log9 92
= 2
log9 (x2
+ 2) +
log9 (y2
+ 9)
2
= 2
2 log9 (x2
+ 2) + log9 (y2
+ 9) = 4
log9 (x2
+ 2)2
+ log9 (y2
+ 9) = 4
log9 [(x2
+ 2)2
(y2
+ 9)] = log9 94
Finalmente : (x2
+ 2)2
(y2
+ 9) = 94
Segunda ecuación : 2 log4 (x + y) − log2 (x − y) = 0
2 log2 (x + y)
log2 4
− log2 (x − y) = 0
2 log2 (x + y)
log2 22
− log2 (x − y) = 0
2 log2 (x + y)
2
− log2 (x − y) = 0
log2 (x + y) = log2 (x − y)
x + y = x − y −→ y = 0
De la primera ecuación,
con y = 0
tenemos : 9(x2
+ 2)2
= 94
o sea : 3(x2
+ 2) = 92
= 81
x2
=
81
3
− 2 = 27 − 2 = 25 −→ x = 5
A notar que solo la raíz positiva vale porque el logaritmo de un número negati-
vo no existe. A referencia de la segunda ecuación 2 log4 (x + y) − log2 (x − y) = 0
Repuesta : x = 5, y = 0

22 Problemas sobre Sistemas de Ecuaciones
Problema 83.
624. Un hombre compró cierto número de caballos, pagando en total $2000. Sabiendo
que murieron 2 caballos, que vendió cada uno de los restantes en $60 por encima del
costo y que ganó en total $80, ¾cuántos caballos compró y cuánto le costo cada uno?
Respuesta: 10 caballos; $200.
Sea N el número de caballos y x el precio de compra, las ecuaciones son entonces,
Precio total que el hombre pago : Nx = 2000
Ganancia = Venta - Compra = 80
Venta : (N − 2) caballos × precio de compra + 60
Compra : 2000
La ganancia total : (N − 2)(x + 60) − 2000 = 80
Al desarrollar la ultima ecuación : Nx − 2x + 60N − 120 − 2000 = 80
con Nx − 2000 = 0 : − 2x + 60N − 120 = 80
O sea : − x + 30N = 100
Sea a resolver el sistema de ecuaciones
−x + 30N = 100
x =
2000
N
−
2000
N
+ 30N = 100
30N2
− 100N − 2000 = 0
Al dividir por 10 : 3N2
− 10N − 200 = 0
Número de caballos : N =
5 + 52 − 3 · (−200)
3
=
5 +
√
52 + 600
3
=
5 + 25
3
= 10
Precio de cada caballo : x =
2000
10
= 200
Respuesta: 10 caballos; $200.
93

Problema 84.
635. Si a cada alumno de un grado se le entregan tantos caramelos como alumnos
hay, faltarían 12 caramelos; pero si a cada alumno se le entregara 2 caramelos me-
nos, sobraría la misma cantidad que faltó anteriormente. ¾Cuántos alumnos hay en
el grado?
Respuesta: 12 alumnos
Sea N el número de alumnos, y N el número de caramelos por alumnos,
porque se le entregan tantos caramelos como alumnos hay. Al llamar T el número
total de caramelos,
T = Número de alumnos × Número de caramelos − 12
Número de alumnos = N
Número de caramelos por alumno = N
T = N2
− 12
Si a cada alumno se le entregara 2 caramelos menos, sobraría 12,
Número de alumnos = N
Número de caramelos por alumno = N − 2
T = N(N − 2) + 12
Ecuación del problema,
N2
− 12 = N(N − 2) + 12
N2
− 12 = N2
− 2N + 12
2N = 12 + 12 = 24
N = 12
Respuesta: 12 alumnos

Problema 85.
646. Cierto número de personas han hecho un gasto de G12000 en un bar. En el mo-
mento de pagar, ya se han ido 4 personas. Si la cuenta de cada una de las personas
restantes se aumentan en G500, ¾cuántas personas estuvieron presentes inicialmen-
te?
Respuesta: 12 personas.
El gasto total de G12000 esta repartido entre los N personas, sea x la cuenta de
cada persona. La primera ecuación sera entonces
Nx = 12000
La cuenta total a pagar G12000 esta repartida entre (N − 4) personas por (x +
500)Guaranie cada uno, la segunda ecuación sera entonces
(N − 4)(x + 500) = 12000
El sistema de ecuaciones de resolver es
Nx = 12000
(N − 4)(x + 500) = 12000
Al desarrollar : Nx − 4x + 500N − 2000 = 12000
Por Nx = 12000 : − 4x + 500N − 2000 = 0
Al dividir por 4 : − x + 125N − 500 = 0
Al reemplazar x por
12000
N
−
12000
N
+ 125N − 500 = 0
O sea : 125N2
− 500N − 12000 = 0
Al dividir por 125 : N2
− 4N − 96 = 0
Lo que da : N =
4 + 42 − 4 · (−96)
2
=
4 +
√
16 + 384
2
=
4 + 20
2
= 12
Respuesta: 12 personas.
95

Problema 86.
648. Un comerciante compró una damajuana de aceite a G400 el litro y otra de vino
a G80 el litro, pagando en total G16400. Involuntariamente la damajuana de vino se
le proveyó llena de aceite y viceversa, por lo cual el comerciante recibió en devolución
G1600. ¾Cuál es la capacidad de cada damajuana?
Respuesta: 35 litros; 30 litros.
Sean las capacidades Caceite y Cvino de las damajuanas.
La primera ecuación
Precio total que el comerciante pago : 400Caceite + 80Cvino = 16400
Al equivocarse, el aceite y el vino están colocados en las damajuanas que no corres-
ponden contra un rembolso de G1600.
La segunda ecuación es entonces
80Caceite + 400Cvino = 16400 − 1600
El sistema de ecuación completo sera
400Caceite + 80Cvino = 16400
80Caceite + 400Cvino = 16400 − 1600 = 14800
O al dividir por 10 : 40Caceite + 8Cvino = 1640
8Caceite + 40Cvino = 1480
Caceite =
1640 8
1480 40
40 8
8 40
=
1640 · 40 − 8 · 1480
402 − 82
=
65600 − 11840
1600 − 64
=
53760
1536
= 35
Cvino =
40 1640
8 1480
40 8
8 40
=
1480 · 40 − 8 · 1640
402 − 82
=
59200 − 13120
1600 − 64
=
46080
1536
= 30
Respuesta : Caceite = 35 litros; Cvino = 30 litros

Problema 87.
652. Para el transporte de tierras se dispone de 130 equipos, entre carretillas de una
rueda, carros de dos ruedas y vagonetas de cuatro ruedas. Siendo el número de estas
ultimas el doble que el de carros y sabiendo que entre todos los vehículos se tienen
270 ruedas, hallar el número total de cada uno de los equipos.
Respuesta: 70 carretillas; 20 carros; 40 vagonetas.
Sea A el número de carretillas de una rueda,
B el número de carros de dos ruedas,
C el número de vagonetas de cuadro ruedas, La primera ecuación da el número total
de los equipos y sera
A + B + C = 130
La segunda ecuación establece el número de vagonetas que es el doble del número de
carros,
C = 2B
La tercera ecuación da el número total de ruedas,
A + 2B + 4C = 270
El sistema de ecuaciones completo sera,
A + B + C = 130
C = 2B
A + 2B + 4C = 270
Al restar la tercera ecuación y la primera tendremos,
A + 2B + 4C − (A + B + C) = 270 − 130
B + 3C = 140
97

Al considerar la ultima ecuación con la segunda, tenemos el siguiente sistema de
ecuaciones a 2 incógnitas, B y C,
B + 3C = 140
2B − C = 0
B =
140 3
0 −1
1 3
2 −1
=
−140
−1 − (2 · 3)
=
−140
−7
= 20
C =
1 140
2 0
1 3
2 −1
=
0 − 2 · 140
−1 − (2 · 3)
=
−280
−7
= 40
A = 130 − (B + C) = 130 − 20 − 40 = 70
Respuesta: 70 carretillas; 20 carros; 40 vagonetas.

Problema 88.
660. Los obreros de una fábrica se declararon en huelga. La cuarta parte de ellos co-
bran un jornal de $120; la tercera parte $100 y el resto $80. La huelga duró 15 días;
y al reintegrarse al trabajo se les abonó la cuarta parte de lo que hubieran ganado en
15 días, con lo cual perdieron los obreros $548100.
¾Cuántos son los obreros?
Respuesta: 504 obreros
Sea N el número de obreros,
La totalidad de la ganancia es
G =
120 × 15N
4
+
100 × 15N
3
+
5 × 80 × 15N
12
Una cuarto de la ganancia esta atribuida como pago o sea 3/4 de la ganancia esta
perdida, lo que corresponde en total a $548100,
Ganancia: G =
120 × 15N
4
+
100 × 15N
3
+
5 × 80 × 15N
12
= (30 × 15N) + (100 × 5N) + (25 × 20N)
= 450N + 500N + 500N = 1450N
Perdida :
3G
4
= 548100
O sea :
3 × 1450N
4
= 548100
Números de obreros : N =
548100 × 4
3 × 1450
= 504
Respuesta: 504 obreros
99

23 Matrices y Determinantes
La matriz es una tablero rectangular de números, símbolos o expresiones arregla-
dos en las y columnas. Cada articulo es llamado elemento, o entrada.
El tamaño de la matriz es denido por el número de las y por el número de columna.
Así una matriz de m las y n columnas es llamado matriz m × n.
Ejemplo 23.1. Matriz Ade 3 × 4 (3 las por 4 columnas)
A =


1 2 4 −1
9 −3 2 0
−3 −5 3 5


23.1 Elemento de matriz
Un elemento de la matriz es referido al mencionar el número de la la seguido
por el número de la columna. En la matriz A, el elemento a13 es 4, y el elemento a24
es 0.
Así la matriz A sera
A =


a11 a12 a13 a14
a21 a22 a23 a24
a31 a32 a33 a34

 =


1 2 4 −1
9 −3 2 0
−3 −5 3 5


Dos matrices son iguales si y solamente si los tamaños respectivos son iguales y si
cada elementos de las matrices respectivas son iguales.
23.2 Vector la y vector columna
Vector la es una matriz A de tamaño 1 × n o sea 1 la por n columnas.
A = a11 a12 a13 . . . a1n
Vector columna A es una matriz de tamaño m × 1 o sea m las por 1 columna.
A =






a11
a21
a31
...
am1







23.3 Matrices cuadradas
Las matrices cuadradas son matrices que tiene el número de las igual que el
número de columna. El tamaño de matrices cuadrada es entonces n × n. Una matriz
cuadrada n × n es llamada matriz de orden n.
23.4 Adición de matrices
Sean las matrices A y B, de tamaño m × n
A =






a11 a12 a13 . . . a1n
a21 a22 a23 . . . a2n
. . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
am1 am2 am23 . . . amn






y B =






b11 b12 b13 . . . b1n
b21 b22 b23 . . . b2n
. . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
bm1 bm2 bm23 . . . bmn






La matriz C = A + B sera
C =






a11 + b11 a12 + b12 a13 + b13 . . . a1n + b1n
a21 + b21 a22 + b22 a23 + b23 . . . a2n + b2n
. . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
am1 + bm1 am2 + bm2 am3 + bm3 . . . amn + bmn






Ejemplo 23.2.
Hallar A + B y A − B si A =
1 2 3
0 1 4
; B =
2 3 0
−1 2 5
A + B =
1 + 2 2 + 3 3 + 0
0 − 1 1 + 2 4 + 5
=
3 5 3
−1 3 9
A − B =
1 − 2 2 − 3 3 − 0
0 + 1 1 − 2 4 − 5
=
−1 −1 3
1 −1 −1
23.5 Multiplicación de matrices
La multiplicación de matrices respectivas A por B se hace a la condición que el
número de columna de A corresponde al número de las de B.
Sean la matriz A de tamaño m×n y la matriz B de tamaño n×p, la matriz producto
C = A · B sera de tamaño m × p. El elemento cij de la matriz C se calcula por
cij =
m
k=1
aikbkj
101

Ejemplo 23.3.
Hacer el producto de A =


1 2 4 −1
−1 −3 −7 −2
2 3 4 5

 por B =




10 20
−10 −20
30 40
50 −60




El tamaño de la matriz C = AB sera 3 × 2.
Cálculo de los términos,
c11 =
4
k=1
a1kbk1 = a11b11 + a12b21 + a13b31 + a14b41
= 1 · 10 + 2 · (−10) + 4 · 30 + (−1) · 50
= 10 − 20 + 120 − 50 = 60
c12 =
4
k=1
a1kbk2 = a11b12 + a12b22 + a13b32 + a14b42
= 1 · 20 + 2 · (−20) + 4 · 40 + (−1) · (−60)
= 20 − 40 + 160 + 60 = 200
c21 =
4
k=1
a2kbk1 = a21b11 + a22b21 + a23b31 + a24b41
= (−1) · 10 + (−3) · (−10) + (−7) · 30 + (−2) · 50
= −10 + 30 − 210 − 100 = −290
c22 = (−1) · 20 + (−3) · (−20) + (−7) · 40 + (−2) · (−60)
= −20 + 60 − 280 + 120 = −120
c31 =
4
k=1
a3kbk1 = a31b11 + a32b21 + a33b31 + a34b41
= 2 · 10 + 3 · (−10) + 4 · 30 + 5 · 50
= 20 − 30 + 120 + 250 = 360
c32 =
4
k=1
a3kbk2 = a31b12 + a32b22 + a33b32 + a34b42
= 2 · 20 + 3 · (−20) + 4 · 40 + 5 · (−60)
= 40 − 60 + 160 − 300 = −160

C =


c11 c12
c21 c22
c31 c32

 =


60 200
−290 −120
360 −160


Problema 89.
667. Efectuar C = A × B si A =
1 2 1
4 0 2
; B =


3 −4
1 5
−2 2

.
Respuesta :
3 8
8 −12
La matriz A es 2 × 3 y la matriz B es 3 × 2, entonces la matriz producto C sera
2 × 2.
Cálculo de los términos por aplicación de la fórmula
c11 =
3
k=1
a1kbk1 = a11b11 + a12b21 + a13b31
= 1 · 3 + 2 · 1 + 1 · (−2) = 3 + 2 − 2 = 3
c12 =
3
k=1
a1kbk2 = a11b12 + a12b22 + a13b32
= 1 · (−4) + 2 · 5 + 1 · 2 = −4 + 10 + 2 = 8
c21 =
3
k=1
a2kbk1 = a21b11 + a22b21 + a23b31
= 4 · 3 + 0 · 1 + 2 · (−2) = 12 − 4 = 8
c22 =
3
k=1
a2kbk2 = a21b12 + a22b22 + a23b32
= 4 · (−4) + 0 · 5 + 2 · 2 = −16 + 4 = −12
La matriz es entonces
C =
3 8
8 −12
103

Problema 90.
668. Dada la matriz A =


2 −1 1
0 1 2
1 0 1

, hallar A2
y A3
.
Las matrices B = A2
y C = A3
son 3 × 3. Cálculos de la términos,
b11 =
3
k=1
a1kak1 = a11a11 + a12a21 + a13a31 = 22
+ (−1) · 0 + 1 · 1 = 4 + 1 = 5
b12 =
3
k=1
a1kak2 = a11a12 + a12a22 + a13a32 = 2 · (−1) + (−1) · 1 + 1 · 0 = −2 − 1 = −3
b13 =
3
k=1
a1kak3 = a11a13 + a12a23 + a13a33 = 2 · 1 + (−1) · 2 + 1 · 1 = 2 − 2 + 1 = 1
b21 =
3
k=1
a2kak1 = a21a11 + a22a21 + a23a31 = 0 · 2 + 1 · 0 + 2 · 1 = 2
b22 =
3
k=1
a2kak2 = a21a12 + a22a22 + a23a32 = 0 · (−1) + 12
+ 2 · 0 = 1
b23 =
3
k=1
a2kak3 = a21a13 + a22a23 + a23a33 = 0 · 1 + 1 · 2 + 2 · 1 = 2 + 2 = 4
b31 =
3
k=1
a3kak1 = a31a11 + a32a21 + a33a33 = 1 · 2 + 0 · 0 + 12
= 2 + 1 = 3
b32 =
3
k=1
a3kak2 = a31a12 + a32a22 + a33a32 = 1 · (−1) + 0 · 1 + 1 · 0 = −1
b33 =
3
k=1
a3kak3 = a31a13 + a32a23 + a2
33 = 1 · 1 + 0 · 2 + 12
= 2
A2
=


5 −3 1
2 1 4
3 −1 2



La matriz C = A × B =


2 −1 1
0 1 2
1 0 1

 ×


5 −3 1
2 1 4
3 −1 2

 Cálculo de los términos
c11 =
3
k=1
a1kbk1 = a11b11 + a12b21 + a13b31 = 2 · 5 + (−1) · 2 + 1 · 3 = 10 − 2 + 3 = 11
c12 =
3
k=1
a1kbk2 = a11b12 + a12b22 + a13b32 = 2 · (−3) + (−1) · 1 + 1 · (−1) = −6 − 1 − 1 = −8
c13 =
3
k=1
a1kbk3 = a11b13 + a12b23 + a13b33 = 2 · 1 + (−1) · 4 + 1 · 2 = 2 − 4 + 2 = 0
c21 =
3
k=1
a2kbk1 = a21b11 + a22b21 + a23b31 = 0 · 5 + 1 · 2 + 2 · 3 = 0 + 2 + 6 = 8
c22 =
3
k=1
a2kbk2 = a21b12 + a22b22 + a23b32 = 0 · (−3) + 1 · 1 + 2 · (−1) = 1 − 2 = −1
c23 =
3
k=1
a2kbk3 = a21b13 + a22b23 + a23b33 = 0 · 1 + 1 · 4 + 2 · 2 = 4 + 4 = 8
c31 =
3
k=1
a3kbk1 = a31b11 + a32b21 + a33b33 = 1 · 5 + 0 · 2 + 1 · 3 = 5 + 3 = 8
c32 =
3
k=1
a3kbk2 = a31b12 + a32b22 + a33b32 = 1 · (−3) + 0 · 1 + 1 · (−1) = −3 − 1 = −4
c33 =
3
k=1
a3kbk3 = a31b13 + a32b23 + a33b33 = 1 · 1 + 0 · 4 + 1 · 2 = 1 + 2 = 3
C = A3
=


11 −8 0
8 −1 8
8 −4 3


105

Problema 91.
672. Calcular el producto : x y z ×


4 −1 2
−1 0 1
2 1 0

 ×


x
y
z


Respuesta : 4x2
− 2xy + 4xz + 2yz
Sea A = x y z , B =


4 −1 2
−1 0 1
2 1 0

, y C =


x
y
z


El producto A × B es una matriz 1 × 3 y da,
A × B = x y z ×


4 −1 2
−1 0 1
2 1 0

 = 4x − y + 2z −x + z 2x + y
La matriz A × B × C es un producto de matriz 1 × 3 por matriz 3 × 1 y es 1 × 1,
A × B × C = 4x − y + 2z −x + z 2x + y ×


x
y
z


= x(4x − y + 2z) + y(−x + z) + z(2x + y)
= 4x2
− xy + 2xz − xy + yz + 2xz + yz
= 4x2
− 2xy + 4xz + 2yz
23.6 Los determinantes
Los determinantes se reeren a las matrices cuadradas y tienen sus utilidades en
la matrices inversas.
Al suponer una matriz 2 × 2, A =
a11 a12
a21 a22
.
El determinante de la matriz A es
det A =
a11 a12
a21 a22
= a11a22 − a21a12

23.6.1. Determinantes de matriz de orden 3, cofactores y menores
El cálculo de las matrices 3 × 3 se hace a través de cofactores cuando el número de
las o de columnas es superior a 2.
Sea una matriz de orden 3,
A =


a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33


El determinante es la formula algébrica
det A = a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 − (a31a22a13 + a32a23a11 + a33a21a12)
23.6.2. Cofactores y Menores
Vamos a mostrar que un determinante puede ser hallado por la utilización de cofac-
tores.
La precedente expresión algébrica puede ser escrita como
a11(a22a33 − a32a23) − a12(a21a33 − a31a23) + a13(a21a32 − a31a22) =
a11 · (−1)1+1 a22 a23
a32 a33
+ a12 · (−1)1+2 a21 a23
a31 a33
+ a13 · (−1)3+1 a21 a22
a31 a32
Lo que puede ser escrito como
a11 · (−1)1+1
det A11 + a12 · (−1)1+2
det A12 + a13 · (−1)3+1
det A13
Los términos
a11 · (−1)1+1
det A11,
a12 · (−1)1+2
det A12,
y a13 · (−1)3+1
det A13
son llamados cofactores y los determinantes de orden 2 correspondientes det11, det A12,
det A13 son menores.
El menor Aij es complementario al elemento aij y es hallado al borrar los elementos
que pertenecen a la la y la columna cruzando el elemento aij.
107

Ejemplo 23.4. Cálculo de un determinante al considerar la primera la a11, a12, a13.
1. Borrar la primera la y la primera columna como muestra lo que sigue :
a11
a22 a23
a32 a33
Luego hallar el primero cofactor
M11 = (−1)1+1
a11 · det A11 = (−1)1+1
a11 ·
a22 a23
a32 a33
2. Borrar la primera la y la segunda columna :
a12
a21 a23
a31 a33
Luego hallar el segundo cofactor
M12 = (−1)1+2
a12 · det A12 = (−1)1+2
a12 ·
a21 a23
a31 a33
3. Borrar la primera la y la tercera columna :
a13
a21 a22
a31 a32
Luego hallar el tercero cofactor
M13 = (−1)1+3
a13 · det A13 = (−1)1+3
a13 ·
a21 a22
a31 a32
4. Hacer la suma algébrica de det A = M11 + M12 + M13.
La formula general para hallar el determinante de una matriz A es
det A =
n
j=1
(−1)i+j
aij det Aij
donde (−1)i+j
aij det Aijes el cofactor del elemento aij
Observación 23.1. El cálculo del determinante por los cofactores se hace al
escoger una cualquiera la o una cualquiera columna de la matriz según el método
explicado dentro el ejemplo de arriba.

Ejemplo 23.5.
674 Calcular el determinante de A =


1 0 6
3 4 15
5 6 21


Respuesta : −18
Escogemos la primera la 1, 0, 6
a11 = 1, a12 = 0, a13 = 6
det A = (−1)1+1
· a11 det A11 + (−1)1+2
· a12 det A12 + (−1)1+3
· a13 det A13
= (−1)1+1
· 1 det A11 + (−1)1+2
· 0 det A12 + (−1)1+3
· 6 det A13
= det A11 + 6 det A13
det A11 =
4 15
6 21
= 4 · 21 − 15 · 6 = 84 − 90 = −6
det A13 =
3 4
5 6
= 3 · 6 − 4 · 5 = 18 − 20 = −2
= det A11 + 6 det A13 = −6 − 12 = −18
Respuesta : −18
109

23.6.3. La regla de Sarrus
El método de Sarrus es una alternativa de cálculo del determinante.
Sea una matriz A =


a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33

 cuyo el determinante det A =
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
.
La regla de Sarrus consiste a copiar las 2 primeras las lo que nos da
det A =
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
a11 a12 a13
a21 a22 a23
y hacer los productos tal que le muestra la gura
Figura 1. Cálculo del determinante por el método de Sarus
Suma de los productos de las echas que bajan menos suma de los productos de
las echas que suben :
det A = a11a22a33 + a21a32a13 + a31a12a23 − (a31a22a13 + a11a32a23 + a21a12a33).
Ejemplo 23.6. Calcular el determinante de A =


1 0 6
3 4 15
5 6 21


det A =
1 0 6
3 4 15
5 6 21
=
1 0 6
3 4 15
5 6 21
1 0 6
3 4 15
= 1 · 4 · 21 + 3 · 6 · 6 + 5 · 0 · 15 − (5 · 4 · 6 + 1 · 6 · 15 + 3 · 0 · 21)
= 84 + 108 − (120 + 90) = 192 − 210 = −18

23.7 Matriz inversa
La matriz inversa es útil para la resolución de los sistemas de ecuaciones.
Se nota la matriz inversa de A =


a11 a12 a13
a21 a22 a32
a31 a32 a33

 la matriz A−1
=


a11 a12 a13
a21 a22 a32
a31 a32 a33


−1
.
Para hallar la matriz inversa de una matriz, se necesita conocer :
1. El determinante de la matriz,
2. La matriz adjunta,
3. La matriz traspuesta de la matriz adjunta
23.7.1. La matriz adjunta
Sea una matriz A =


a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33

.
La matriz adjunta se nota A y se obtiene al reemplazar cada elemento aij por su
menor complementario Mij.
Tendremos entonces
A =


M11 M12 M13
M21 M22 M23
M31 M32 M33

 donde
M11 = (−1)1+1 a22 a23
a32 a33
, M12 = (−1)1+2 a21 a23
a31 a33
, M13 = (−1)1+3 a21 a22
a31 a32
M21 = (−1)2+1 a12 a13
a32 a33
, M22 = (−1)2+2 a11 a13
a31 a33
, M23 = (−1)2+3 a11 a12
a31 a32
M31 = (−1)3+1 a12 a13
a22 a23
, M32 = (−1)3+2 a11 a13
a21 a23
, M33 = (−1)3+3 a11 a12
a21 a22
Ejemplo 23.7. Hallar la matriz adjunta de A =


1 2 3
−2 2 3
3 −4 5

.
M11 = (−1)1+1 2 3
−4 5
= 10 + 12 = 22
M12 = (−1)1+2 −2 3
3 5
= (−1)(−10 − 9) = 19
M13 = (−1)1+3 −2 2
3 −4
= 8 − 6 = 2
111

M12 = (−1)1+2 2 3
−4 5
= (−1)(10 + 12) = −22
M22 = (−1)2+2 1 3
3 5
= 5 − 9 = −4
M23 = (−1)2+3 1 2
3 −4
= (−1)(−4 − 6) = 10
M31 = (−1)3+1 2 3
2 3
= 6 − 6 = 0
M32 = (−1)3+2 1 3
−2 3
= (−1)(3 + 6) = −9
M33 = (−1)3+3 1 2
−2 2
= 2 + 4 = 6
A =


22 19 2
−22 4 10
0 −9 6


23.7.2. La matriz traspuesta
La matriz traspuesta se nota AT
y se obtiene a partir de la matriz A al intercambiar
a las las por las columnas.
Así AT
=


a11 a21 a31
a12 a22 a32
a13 a23 a33

 con A =


a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33


La matriz inversa A−1
se obtiene al calcular la matriz traspuesta de la matriz adjunta
cuyos los elementos aij son divididos por el determinante det A.

Ejemplo 23.8. Hallar la matriz inversa A−1
de A =


1 2 3
2 5 7
−2 −4 −5

.
Cálculo de la matriz adjunto A,
M11 = (−1)1+1 5 7
−4 −5
= −25 + 28 = 3
M12 = (−1)1+2 2 7
−2 −5
= −(−10 + 14) = −4
M13 = (−1)1+3 2 5
−2 −4
= −8 + 10 = 2
M21 = (−1)2+1 2 3
−4 −5
= −(−10 + 12) = −2
M22 = (−1)2+2 1 3
−2 −5
= −5 + 6 = 1
M23 = (−1)2+3 1 2
−2 −4
= −(−4 + 4) = 0
M31 = (−1)3+1 2 3
5 7
= 14 − 15 = −1
M32 = (−1)3+2 1 3
2 7
= −(7 − 6) = −1
M33 = (−1)3+3 1 2
2 5
= 5 − 4 = 1
Matriz traspuesta de A,
A
T
=


M11 M21 M31
M12 M22 M32
M13 M23 M33

 =


3 −2 −1
−4 1 −1
2 0 1


Cálculo del determinante det A,
det A = a11M11 + a12M12 + a13M13 = 1 · 3 + 2 · (−4) + 3 · 2 = 3 − 8 + 6 = 1
113

Cálculo de la matriz inversa A−1
,
A−1
=






3
det A
−2
det A
−1
det A
−4
det A
1
det A
−1
det A
2
det A
0
det A
1
det A






donde det A = 1
A−1
=


3 −2 −1
−4 1 −1
2 0 1


23.7.3. Aplicaciones de la matriz inversa
La matriz inversa tiene aplicaciones en la resolución muy practica de la ecuaciones
lineales.
Sea un sistema de ecuaciones
a11x + a12y + a13z = b1
a21x + a22y + a23z = b2
a31x + a32y + a33z = b3
Puesto bajo la forma matricial, tenemos


a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33

 ·


x
y
z

 =


b1
b2
b3


Para hallar los valores de las incógnitas, se sirve de la matriz inversa


a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33


−1
y


x
y
z

 =


a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33


−1
·


b1
b2
b3



Ejemplo 23.9. Sea el sistema de ecuaciones,
x + 2y + 3z = 5
2x + 5y + 7z = 11
−2x − 4y − 5z = −8
El sistema de ecuaciones puesto bajo la forma matricial sera,


1 2 3
2 5 7
−2 −4 −5

 ·


x
y
z

 =


5
11
−8


Al llamar la matriz A =


1 2 3
2 5 7
−2 −4 −5

, la matriz inversa A−1
=


3 −2 −1
−4 1 −1
2 0 1

.
La solución del sistema de ecuaciones sera


x
y
z

 = A−1


5
11
−8


=


3 −2 −1
−4 1 −1
2 0 1

 ·


5
11
−8


Al efectuar la multiplicación de las matrices, obtenemos
x = 3 · 5 + (−2) · 11 + (−1) · (−8) = 15 − 22 + 8 = 23 − 22 = 1
y = (−4) · 5 + 1 · 11 + (−1) · (−8) = −20 + 11 + 8 = −1
z = 2 · 5 + 0 · 11 + 1 · (−8) = 10 − 8 = 2
Finalmente


x
y
z

 =


1
−1
2


Problema 92.
Solucionar el sistema de ecuación
2x + y = −5
−5x + 3y = 18
Respuesta : x = −3, y = 1.
115

Sea la matriz A =
2 1
−5 3
Determinante
det A = 2 · 3 − (−5·)1 = 6 + 5 = 11
La matriz adjunta, traspuesta, y inversa son respectivamente,
A =
3 5
−1 2
A
T
=
3 −1
5 2
A−1
=
1
11
· A
T
=
1
11
·
3 −1
5 2
Solución del sistema de ecuaciones,
x
y
= A−1 −5
18
=
1
11
·
3 −1
5 2
·
−5
18
=
1
11
3 · (−5) + (−1) · (18)
5 · (−5) + 2 · 18
=
1
11
−33
11
=
−3
1
Respuesta : x = −1; y = 1
23.8 Rango de una matriz
El rango de una matriz es el orden del mayor determinante diferente de cero que
hay dentro de la matriz.
El rango de una matriz cuadrada de orden n, y de mayor determinante diferente de
cero corresponde a la orden de la matriz.
1. El determinante de la matriz es diferente de cero
En este caso, el rango de la matriz es igual a la orden de la matriz.

Ejemplo 23.10. Sea la matriz A =


1 2 3
3 4 6
0 −2 −2

,
El determinante es,
det A =
1 2 3
3 4 6
0 −2 −2
= 1 ·
2 3
4 6
− 2 ·
3 6
0 −2
+ 3 ·
3 4
0 −2
= 12 − 12 − 2(−6 − 0) + 3(−6 − 0) = 12 − 18 = −6
En este caso el mayor determinante de 3 × 3 es −6 = 0, de donde el rango
es 3.
2. El determinante de la matriz es igual a cero
En este caso el rango es inferior a la orden de la matriz.
Ejemplo 23.11. Sea la matriz A =


2 −3 −1
1 2 3
3 −1 2


El determinante det A se calcula,
det A =
2 −3 −1
1 2 3
3 −1 2
= 2 ·
2 3
−1 2
− (−3) ·
1 3
3 2
− 1 ·
1 2
3 −1
= 2(4 + 3) + 3(2 − 9) − (−1 − 6) = 14 − 21 + 7 = 0
El determinante mayor es cero, de donde el rango de la matriz es inferior a
3.
El determinante interno de orden 2 diferente de cero va a determinar el rango
de la matriz.
El primero determinante es
2 −3
1 2
= 4 + 3 = 7 = 0, de donde el rango de
la matriz A es 2.
117

24 Progresión Aritmética
La progresión aritmética es una serie de números tal que cada uno de ellos es
igual al número anterior más un número jo llamada diferencia.
La diferencia se llama a veces razón es notada r. Sea una serie de números a0, a1, a2 · · · , an,
la diferencia d es
an − an−1 = d
a2 − a1 = d
a2 = a1 + d
a3 = a1 + 2d
...
Cualquiera número an de la serie sera : an = a1 + (n − 1)d
Ejemplo 24.1. 687. En una progresión aritmética los términos que ocupan los
lugares 54 y 4 son −61 y 64 respectivamente. Hallar el término que ocupa la posición
23.
Respuesta:
33
2
Sean las ecuaciones siguientes, con a1 y d respectivamente el primero termino y
la diferencia,
a54 = a1 + (54 − 1)d = −61
a4 = a1 + (4 − 1)d = 64
a54 − a4 = d(53 − 3) = −61 − 64 = −125 −→ d = −
125
50
d = −
5
2
Para hallar el primero termino a1,
a1 = a4 − 3d = 64 − 3 ·
−5
2
=
128 + 15
2
=
143
2
Termino de la posición 23 : a23 = a1 + (23 − 1)d
=
143
2
+ 22 −
5
2
=
143 − 110
2
=
33
2
Respuesta : a23 =
33
2

Problema 93.
688. La suma del cuarto y décimo términos de una progresión aritmética es 60 y la
relación del segundo al décimo es un tercio. Hallar el primer término.
Respuesta: 10
a4 + a10 = 60
a2
a10
=
1
3
Vamos a expresar todos los términos en función de a1,
a4 = a1 + (4 − 1)d
a10 = a1 + (10 − 1)d
a2 = a1 + (2 − 1)d
El sistema de ecuaciones de arriba se escribirá,
a4 + a10 = 60
a1 + d(4 − 1) + a1 + d(10 − 1) = 60
2a1 + 12d = 60
a2
a10
=
1
3
−→ 3a2 = a10
3(a1 + d) = a1 + (10 − 1)d
2a1 = 6d −→ 12d = 4a1
2a1 + 12d = 2a1 + 4a1 = 6a1 = 60
Respuesta : a1 = 10
119

Problema 94.
692. Hallar tres términos consecutivos de una progresión aritmética, sabiendo que si
al primer término se le suma 2, al segundo 5 y al tercero 13 se obtienen números
proporcionales a 15, 30 y 60 respectivamente.
Respuesta: 3; 5; 7
Sean an, an+1, an+2 los números, tenemos las ecuaciones
an = a1 + (n − 1)d + 2 = 15k
an+1 = a1 + nd + 5 = 30k
an+2 = a1 + (n + 1)d + 13 = 60k
an+1 − an = nd + 5 − d(n − 1) − 2 = 15k
= nd + 5 − nd + d − 2 = 15k
= d + 3 = 15k
an+2 − an+1 = (n + 1)d + 13 − nd − 5 = 30k
= d + 8 = 30k
A solucionar el sistema de ecuaciones
d + 3 = 15k
d + 8 = 30k
O sea : 15k = 5 −→ k =
1
3
d =
15
3
− 3 = 5 − 3 = 2
k =
1
3
, d = 2
an + 2 =
15
3
= 5 −→ an = 5 − 2 = 3
an+1 + 5 =
30
3
= 10 −→ an+1 = 10 − 5 = 5
an+2 + 13 =
60
3
= 20 −→ an+2 = 20 − 13 = 7
Respuesta: 3; 5; 7

24.1 Suma de los términos de progresión aritmética
Los números naturales forman una progresión de razón 1. Es muy útil en los
problemas saber aplicar las formulas de la suma de los términos de una progresión.
Sea una serie de termino de razón d cuyo el primero termino es a1. Al desarrollar la
serie, tendremos
a1
a2 = a1 + d
a3 = a1 + 2d
a4 = a1 + 3d
...
an = a1 + (n − 1)d
La suma Sn sera
Sn = a1 + a2 + a3 + · · · + an−3 + an−2 + an−1 + an
= a1 + d + a1 + 2d + a1 + 3d + · · · + a1 + (n − 2)d + a1 + (n − 1)d + a1
La serie puede ser escrita de una otra forma,
a1 = an − (n − 1)d
a2 = an − (n − 2)d
a3 = an − (n − 3)d
...
an−3 = an − 3d
an−2 = an − 2d
an−1 = an − d
an
La suma Sn sera
Sn = an + an−1 + an−2 + · · · + a3 + a2 + a1
= an + an − d + an − 2d + an − 3d · · · + an − (n − 2)d + an − (n − 1)d + an
121

Al hacer la suma de
Sn = a1 + d + a1 + 2d + a1 + 3d + · · · + a1 + (n − 2)d + a1 + (n − 1)d + a1
y Sn = an + an − d + an − 2d + an − 3d · · · + an − (n − 2)d + an − (n − 1)d + an
obtenemos : 2Sn = na1 + nan
Sn =
n(a1 + an)
2
Con an = a1 + (n − 1)d, obtenemos por n
Sn =
n(a1 + a1 + (n − 1)d)
2
=
n[2a1 + (n − 1)d]
2
Suma de los n términos de una progresión de razón d : Sn =
n[2a1 + (n − 1)d]
2
Ejemplo 24.2. Hallar la suma de los 10 números naturales,
a1 = 1, d = 1, n = 10
S10 =
10[2 + (10 − 1)]
2
=
10 · 11
2
= 55
24.2 Formula de la suma de los números pares
a1 = 2, d = 2
Sn =
n[2a1 + (n − 1)d]
2
=
n[2 · 2 + 2(n − 1)]
2
= n(2 + n − 1)
Sn = n(n + 1)
24.3 Formula de la suma de los números impares
a1 = 1, d = 2
Sn =
n[2a1 + (n − 1)d]
2
=
n[2 · 1 + 2(n − 1)]
2
= n(1 + n − 1)
Sn = n2

Problema 95.
694. Los tres primeros términos de una progresión aritmética son 5, 9 y 13. ¾Cuán-
tos términos de dicha progresión deben considerarse par obtener como suma de los
mismos 10877?
Respuesta: 73
La razón d = 9 − 5 = 4, a1 = 5, Sn = 10877.
La formula dando la suma : Sn =
n[2a1 + (n − 1)d]
2
10877 =
n[2 · 5 + 4(n − 1)]
2
21754 = n[10 + 4n − 4]
21754 = 6n + 4n2
Sea a resolver la ecuación
4n2
+ 6n − 21754 = 0
n =
−3 +
√
32 + 4 · 21754
4
=
−3 +
√
9 + 87016
4
=
−3 +
√
87025
4
=
295 − 3
4
= 73
Respuesta: n = 73
Problema 96.
696. Si los dos primeros términos de una progresión aritmética de 280 términos son
3
2
y 2, hallar la suma de los 80 últimos términos.
Respuesta: 9700
La razón es d = 2 −
3
2
=
4 − 3
2
=
1
2
.
123

Con a1 =
3
2
, el termino 201 de la serie es
a201 = a1 + (201 − 1)d =
3 + 200
2
=
203
2
Suma a partir del termino 201 : S80 =
n[2a201 + (n − 1)d]
2
con n = 80
=
80 2 ·
203
2
+ (80 − 1) ·
1
2
2
= 40 203 +
79
2
= 40 ·
406 + 79
2
= 20 · 485 = 9700
Respuesta : Sn = 9700
24.4 Formula del número de términos conociendo el primero
a1 y el ultimo an
A partir de la formula
an = a1 + (n − 1)d
n − 1 =
an − a1
d
n =
an − a1
d
+ 1
Problema 97.
707. Hallar la suma de todos los números pares comprendidos entre 98 y 1002.
Respuesta: 248050
La serie empieza por 100 y termina por 1000, el número n de termino entre 98 y
1002 es entonces
n =
1000 − 100
2
+ 1 =
900
2
+ 1 = 451
Cálculo de la suma
n = 451, a1 = 100, d = 2
S451 =
n[2a1 + (n − 1)d]
2
=
451(200 + 2 · 450)
2
=
451(200 + 900)
2
= 451 · 550 = 248050
Respuesta : S451 = 248050

Problema 98.
713. ¾Cuantos números impares consecutivos mayores que 7, suman 153?
Respuesta: 9
El primero termino impar mayor que 7 es a1 = 9, apliquemos la formula de la
suma,
S =
n[2a1 + (n − 1)d]
2
donde d = 2
n[2 · 9 + 2(n − 1)]
2
= n(9 + n − 1) = n2
+ 8n = 153
Resolver la ecuación
n2
+ 8n − 153 = 0
n = −4 +
√
42 + 153 = −4 +
√
169
n = −4 + 13 = 9
Respuesta: n = 9
Problema 99.
717. Hallar la suma de los 12 primeros múltiplos de 5.
Respuesta: 390
El primero termino es a1 = 10 con d = 5, y n = 12
S =
n[2a1 + (n − 1)d]
2
=
12[10 + 5(12 − 1)]
2
= 6(10 + 55) = 390
Respuesta: S = 390
125

Problema 100.
732. Calcular la suma de los números inferiores a 1000 que no son divisibles por 7.
Respuesta: 428429
La suma S buscada es la diferencia entre la suma S1 de los números naturales hasta
N1 = 999 menos la suma S2 de la serie 7, 14, 21, · · · cuya el número de términos es
el entero de la fracción
999
7
o sea 142.
La serie múltiplo de 7 tiene una razón de d = 7.
S1 =
N1(N1 + 1)
2
=
999 · 1000
2
= 499500
S2 =
N2[2a1 + (N2 − 1)d]
2
con N2 = 142 y d = 7
=
142[2 · 7 + 7(142 − 1)]
2
= 71[14 + (7 · 141)]
= 71 · 1001 = 71071
La suma S es
S = S1 − S2 = 499500 − 71071 = 428429
Respuesta: S = 428429
Problema 101.
738. El término enésimo de una progresión aritmética es
3n − 1
6
.
Determinar el primer término, la razón y la suma de los términos.
Respuesta : a1 =
1
3
, d =
1
2
, S = n
3n + 1
12
La formula dando el termino enésimo de la progresión es
an = a1 + (n − 1)d =
3n − 1
6
an =
3n − 1
6
=
3n − 3 + 2
6
=
n − 1
2
+
1
3
=
1
3
+
n − 1
2

Al comparar la formula con la expresión, tenemos
an = a1 + (n − 1)d
an =
1
3
+
n − 1
2
−→ a1 =
1
3
y d =
1
2
Cálculo de la suma,
S =
n[2a1 + (n − 1)d]
2
=
n
2
3
+
n − 1
2
2
=
n
2
·
4 + 3n − 3
6
= n
3n + 1
12
Respuesta : a1 =
1
3
, d =
1
2
, S = n
3n + 1
12
127

Problema 102.
733. Encontrar cinco números en progresión aritmética creciente, sabiendo que su
suma es 15 y su producto 210.
Respuesta : 3 − 2
√
11, 3 −
√
11, 3, 3 +
√
11, 3 + 2
√
11
5
2
, 3,
7
2
, 4
Sean los 5 números a1, a2, a3, a4, a5 tal que
S = a1 + a2 + a3 + a4 + a5 = 15
a1 · a2 · a3 · a4 · a5 = 210
Expresión de los términos,
a2 = a1 + d
a3 = a1 + 2d
a4 = a1 + 3d
a5 = a1 + 4d
S = 5a1 + 10d = 15 −→ a1 + 2d = 3
Expresión de los términos en función de d,
a1 = 3 − 2d
a2 = a1 + d = 3 − d
a3 = a1 + 2d = 3
a4 = a1 + 3d = 3 + d
a5 = a1 + 4d = 3 + 2d
El producto es : P = (3 − 2d)(3 − d) × 3 × (3 + d)(3 + 2d) = 210

Se calcula el valor de d,
(3 − 2d)(3 − d) × 3 × (3 + d)(3 + 2d) = 210
Al dividir por 3 : (3 − 2d)(3 − d)(3 + d)(3 + 2d) = 70
(9 − 4d2
)(9 − d2
) = 70
81 − 36d2
− 9d2
+ 4d4
− 70 = 0
4d4
− 45d2
+ 11 = 0
d2
=
45 ±
√
452 − 16 · 11
8
=
45 ± 43
8
d2
1 =
45 + 43
8
= 11 −→ d1 =
√
11
d2
2 =
45 − 43
8
=
1
4
−→ d2 =
1
2
Serie 1 :
a1 = 3 − 2d1 = 3 − 2
√
11
a2 = a1 + d1 = 3 − d1 = 3 −
√
11
a3 = a1 + 2d1 = 3
a4 = a1 + 3d1 = 3 + d1 = 3 +
√
11
a5 = a1 + 4d1 = 3 + 2d1 = 3 + 2
√
11
Serie 2 :
a1 = 3 − 2d2 = 3 − 1 = 2
a2 = a1 + d2 = 3 −
1
2
=
5
2
a3 = a1 + 2d2 = 3
a4 = a1 + 3d2 = 3 + d2 = 3 +
1
2
=
7
2
a5 = a1 + 4d2 = 3 + 2d2 = 3 + 1 = 4
Respuesta :
Serie 1 = 3 − 2
√
11, 3 −
√
11, 3, 3 +
√
11, 3 + 2
√
11
Serie 2 = 2,
5
2
, 3,
7
2
, 4
129

Problema 103.
740. ¾Cuántos múltiplos de 11 existen entre 100 y 1000?
Respuesta: 81
El múltiplo directamente superior a 100 es 110.
El múltiplo directamente inferior a 1000 es 990.
El número de múltiplos entre 100 y 1000 es
N =
990 − 110
11
+ 1 =
880
11
+ 1
= 80 + 1 = 81
Prueba sobre el ultimo termino que es 990,
a1 = 110, a81 = 990, d = 11, y n = 81
a81 = a1 + (n − 1)d
a81 = a1 + 11(81 − 1)
= 110 + 11 · 80 = 110 + 880 = 990
Respuesta: N = 81
Problema 104.
726. Una persona, no pudiendo pagar de una vez una deuda de $12950, propone a sus
acreedores pagar $600 al nal del primer mes y cada mes $50 más que el anterior.
¾En cuantos meses pagará toda la deuda y cual será el importe del último pago?
Respuesta: 14 meses; $1250
El problema es una aplicación de la suma de n (los meses) términos de una serie
cuyo el primero termino es 600, la razón es 50, y la suma es 12950,
S =
n[2a1 + (n − 1)d]
2
a1 = 600, d = 50, y S = 12950
12950 =
n[2 · 600 + 50(n − 1)]
2
25900 = n(1200 + 50n − 50)
= 1150n + 50n2

Sea a resolver la ecuación
50n2
+ 1150 − 25900 = 0 al dividir por 50
n2
+ 23n − 518 = 0
n =
−23 +
√
232 + 4 · 518
2
=
−23 + 51
2
= 14
n = 14 meses.
Cálculo del ultimo pago,
a1 = 600, n = 14, d = 50
a14 = a1 + (n − 1)d
= 600 + 50(14 − 1) = 600 + (50 · 13) = 600 + 650
a14 = 1250.
Respuesta: 14 meses; $1250
131

25 Progresión Geométrica
La progresión geométrica es una serie de termino a1, a2, a3, · · ·
tal que
a2
a1
=
a3
a2
=
an
an−1
= r.
donde r es la razón.
Ejemplo 25.1.
2, 6, 18, 54, · · · es una progresión geométrica de razón r = 3
25.1 Formula de los términos en función del primero
termino a1, de la razón r, del números de términos n
an = a1 · rn−1
25.2 Suma de los términos de progresión geométrica
Sean a1, a2, a3, · · · , an−1, an los términos de una serie.
Las expresiones de los términos en función del primero a1, y de a razón r son :
a1
a2 = a1r
a3 = a1r2
...
an−1 = a1rn−2
an = a1rn−1
La suma se calcula
S = a1 + a2 + a3 + · · · + an−2 + an−1 + an
= a1 + a2r + a3r2
+ · · · + a1rn−3
+ a1rn−2
+ a1rn−1
= a1(1 + r + r2
+ · · · + rn−3
+ rn−2
+ rn−1
)
= a1 ·
1 − rn
1 − r
Suma de los n términos de una progresión geométrica de razón r : S = a1 ·
1 − rn
1 − r

Problema 105.
747. Hallar tres números en progresión geométrica, sabiendo que el mayor de ellos
excede en 115 a la suma de los otros dos y el producto de los tres términos es 328509.
Respuesta: 23; 69; 207
Sean a1, a2, a3, los tres números.
Al poner las ecuaciones, tenemos
a3 = a1 + a2 + 115
a1a2a3 = 328509 con
a2 = a1r
a3 = a1r2
De la segunda ecuación,
a1a2a3 = a3
1 · r3
= 328509 −→ a1r =
3
√
328509 = 69
a1r = 69
De la primera ecuación,
a1r2
= a1 + a1r + 115
69r =
69
r
+ 69 + 115
69r =
69
r
+ 184
69r2
− 184r − 69 = 0
r =
92 +
√
922 + 692
69
=
92 + 115
69
= 3
a1 =
69
r
=
69
3
= 23
a2 = a1r = 69
a3 = a1r2
= 23 · 32
= 23 · 9 = 207
Respuesta : a1 = 23, a2 = 69, a3 = 207
133

Problema 106.
760. El primer término de una progresión geométrica es 1; el producto de todos los
términos es 32768 y el número de términos es 6. Calcular la suma.
Respuesta: 63
Sean los términos de la serie, a1, a2, a3, a4, a5, a6.
Los términos se calculan,
por an = a1rn−1
a1 = 1
a2 = r
a3 = r2
a4 = r3
a5 = r4
a6 = r5
El producto : P = a1a2a3a4a5a6 = r · r2
· r3
· r4
· r5
= r1+2+3+4+5
= r15
= 32768
Razón : r =
15
√
32768 = 2
Cálculo de la suma,
S = a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + a6
= 1 + r + r2
+ r3
+ r4
+ r5
=
1 − r6
1 − r
=
1 − 26
1 − 2
= −(1 − 64) = 63
Respuesta: S = 63

Problema 107.
764. La suma de los términos que ocupan el lugar impar en una progresión geométrica
de 6 términos es 1365 y la suma de los que ocupan el lugar par es 5460. Hallar el
primer término y la razón de la progresión.
Respuesta: 5; 4
Sean a1, a2, a3, a4, a5, a6 los términos de esta progresión.
Expresemos la suma Simpares de los lugares impares,
Simpares = a1 + a3 + a5
= a1 + a1r2
+ a1r4
Simpares = a1(1 + r2
+ r4
) = 1365
La suma Spares de los lugares pares,
Spares = a2 + a4 + a6
= a1r + a1r3
+ a1r5
Spares = a1r(1 + r2
+ r4
) = 5460
Hallar el valor de la razón r,
Spares
Simpares
=
a1r(1 + r2
+ r4
)
a1(1 + r2 + r4)
= r
r =
Spares
Simpares
=
5460
1365
= 4
r = 4
Hallar el valor del primero termino a1,
Simpares = a1(1 + r2
+ r4
) = a1
1 − r6
1 − r2
= 1365
a1 = 1365
1 − r2
1 − r6
= 1365
1 − 42
1 − 46
=
1365 · 15
4095
= 5
Respuesta : r = 5; a1 = 5
135

Problema 108.
769. Dividir el número 65 en tres partes formando una progresión geométrica tal que
el tercer termino exceda al primero en 40.
La suma de los términos a1, a2, a3 debe ser igual a 65, tenemos entonces las siguientes
ecuaciones,
a1 + a2 + a3 = 65
a3 = a1 + 40
con las expresiones de cada termino en función del primero a1 y de la razón r,
a2 = a1r
a3 = a1r2
La primera ecuación expresando la suma : a1(1 + r + r2
) = 65
y la segunda : a1r2
− a1 = 40
hagamos la diferencia : a1 + a1r + a1r2
− a1r2
+ a1 = 65 − 40
lo que nos da : a1(2 + r) = 25
Hallar el valor de la razón,
De la ecuación : a1r2
− a1 = a1(r2
− 1) = 40
y de : a1(2 + r) = 25 tenemos
a1 =
40
r2 − 1
=
25
2 + r
Al divir por 5 :
8
r2 − 1
=
5
2 + r
al desarrollar : 5(r2
− 1) = 8(2 + r)
o sea : 5r2
− 8r − 21 = 0
La raíz es : r =
4 + 42 + (5 · 21)
5
=
4 +
√
121
5
r =
4 + 11
5
= 3

De la ecuación : a1(r2
− 1) = 40
a1 =
40
r2 − 1
=
40
32 − 1
= 5
a2 = a1r = 5 · 3 = 15
a3 = a1r2
= 5 · 32
= 5 · 9 = 45
Respuesta: a1 = 5; a2 = 15; a3 = 45
Problema 109.
774. Calcular tres números cuya suma sea 33 y que estén en progresión aritmética y
geométrica simultáneamente.
Sean a1, a2, a3, los 3 términos, podemos escribir,
a2 = a1 + d = a1r
a3 = a1 + 2d = a1r2
Al hacer a3 − a2, y
a3
a2
obtenemos respectivamente,
d = a1r(r − 1)
r =
a1 + 2d
a1 + d
al reemplazar d por su valor : r =
a1 + 2a1r(r − 1)
a1 + a1r(r − 1)
=
1 + 2r(r − 1)
1 + r(r − 1)
=
1 + 2r2
− 2r
1 + r2 − r
al completar la ecuación : r(r2
− r + 1) = 2r2
− 2r + 1
r3
− r2
+ r = 2r2
− 2r + 1
r3
− 3r2
+ 3r − 1 = 0
(r − 1)3
= 0 −→ r = 1
Por : d = a1r(r − 1)
d = 0
137

Cálculo de los términos por la suma,
a1 + a2 + a3 = 33
a1 + a1 + d + a1 + 2d = 3a1 + 3d = 33
a1 + d = 11 −→ a1 = 11
Respuesta: a1 = 11; a2 = 11; a3 = 11
Problema 110.
775. Calcular tres números en progresión geométrica creciente, sabiendo que su suma
es 28 y que la suma de sus cuadrados es 336.
Respuesta: 4; 8; 16.
Sean a1, a2, a3, los 3 números.
Por la suma y la suma del los cuadrados, podemos escribir,
a1 + a2 + a3 = 28
y a2
1 + a2
2 + a2
3 = 336
con a2 = a1r y a2 = a1r2
obtenemos
a1(1 + r + r2
) = 28
y a2
1(1 + r2
+ r4
) = 336
Al eliminar a1 : a2
1 =
282
(1 + r + r2)2
=
336
1 + r2 + r4
Podemos escribir la ecuación bajo una otra forma,
1 + r2
+ r4
(1 + r + r2)2
=
336
282
=
3
7
Al desarrollar : 7(1 + r2
+ r4
) = 3(1 + r + r2
)2
7 + 7r2
+ 7r4
= 3(1 + r)2
+ 6(1 + r)r2
+ 3r4
7 + 7r2
+ 7r4
= 3 + 6r + 3r2
+ 6r2
+ 6r3
+ 3r4
4r4
− 6r3
− 2r2
− 6r + 4 = 0

La factorización nos da
4r4
− 6r3
− 2r2
− 6r + 4 = 2(r − 2)(2r − 1)(r2
+ r + 1) = 0
Valor de la razón : r = 2
Elegimos r 1, porque la progresión esta creciendo.
Cálculo de los términos por la suma,
S = a1
1 − r3
1 − r
= 28
a1 = 28
1 − r
1 − r3
= 28
1 − 2
1 − 23
=
28
7
= 4
a2 = a1 · r = 4 · 2 = 8
a3 = a1 · r2
= 4 · 22
= 16
Respuesta: a1 = 4; a2 = 8; a3 = 16.
Problema 111.
778. Son dados 4 números en progresión aritmética tal que aumentados en 2; 4; 8
y 15, respectivamente, pasan a constituir una progresión geométrica. Determinar los
números.
Respuesta: 6; 8; 10; 12
Sean a1, a2, a3, a4 los números. La relación an = a1 + (n − 1)d de la progresión
aritmética nos da
a2 = a1 + d
a3 = a1 + 2d
a4 = a1 + 3d
Al aumentar los términos por 2; 4; 8 y 15, la progresión cambia a ser geométrica,
a2 + 4 = (a1 + 2)r
a3 + 8 = (a1 + 2)r2
a4 + 15 = (a1 + 2)r3
139

Al expresar a2, a3, y a4 en función de a1 y de d, tenemos
a1 + d + 4 = (a1 + 2)r
a1 + 2d + 8 = (a1 + 2)r2
a1 + 3d + 15 = (a1 + 2)r3
Arreglar en función de a1 + 2,
a1 + d + 4 = (a1 + 2)r
a1 + d + 2 + 2 = (a1 + 2)r(25.1)
d + 2 = (a1 + 2)r − (a1 + 2) = (a1 + 2)(r − 1)(25.2)
(25.3)
a1 + 2d + 8 = (a1 + 2)r2
a1 + 2d + 2 + 6 = (a1 + 2)r2
(25.4)
2d + 6 = (a1 + 2)r2
− (a1 + 2) = (a1 + 2)(r2
− 1)(25.5)
(25.6)
a1 + 3d + 15 = (a1 + 2)r3
a1 + 3d + 2 + 13 = (a1 + 2)r3
(25.7)
3d + 13 = (a1 + 2)r3
− (a1 + 2) = (a1 + 2)(r3
− 1)(25.8)
Se obtiene 2 ecuaciones en d y r al eliminar a1 + 2,
d + 2
2d + 6
=
(a1 + 2)(r − 1)
(a1 + 2)(r2 − 1)
=
1
r + 1
2d + 6
3d + 13
=
(a1 + 2)(r2
− 1)
(a1 + 2)(r3 − 1)
=
r + 1
r2 + r + 1
De la primera ecuación, r en función de d,
d + 2
2d + 6
=
1
r + 1
2d + 6 = (d + 2)(r + 1) = rd + 2r + d + 2
d + 4 = rd + 2r = r(d + 2)
r =
d + 4
d + 2

Se reemplaza el valor de r dentro la segunda ecuación,
r =
d + 4
d + 2
2d + 6
3d + 13
=
r + 1
r2 + r + 1
2(d + 3)(r2
+ r + 1) = (r + 1)(3d + 13)
2(d + 3)
d + 4
d + 2
2
+
d + 4
d + 2
+ 1 =
d + 4
d + 2
+ 1 (3d + 13)
Al simplicar tenemos
2(d + 3)
(d + 4)2
+ (d + 4)(d + 2) + (d + 2)2
(d + 2)2
=
2(d + 3)
d + 2
(3d + 13)
(d + 4)2
+ (d + 4)(d + 2) + (d + 2)2
(d + 2)2
=
3d + 13
d + 2
(d + 4)2
+ (d + 4)(d + 2) + (d + 2)2
= (3d + 13)(d + 2)
d2
+ 8d + 16 + d2
+ 6d + 8 + d2
+ 4d + 4 = 3d2
+ 19d + 26
d2
+ 8d + 16 + d2
+ 6d + 8 + d2
+ 4d + 4 − 3d2
− 19d − 26 = 0
−d + 2 = 0
d = 2
Cálculo de la razón r,
r =
d + 4
d + 2
=
2 + 4
2 + 2
=
3
2
Por (25.2) d + 2 = (a1 + 2)(r − 1)
a1 =
d + 2
r − 1
− 2 =
2 + 2
1.5 − 1
− 2 = (4 · 2) − 2 = 6
a2 = a1 + d = 6 + 2 = 8
a3 = a1 + 2d = 6 + 4 = 10
a4 = a1 + 3d = 6 + 6 = 12
Respuesta: a1 = 6; a2 = 8; a3 = 10; a4 = 12
141

Bibliografía
es.wikipedia.org/wiki/0,9_periódico
pt.wikipedia.org/wiki/Algoritmo_de_BriotRuni
es.wikipedia.org/wiki/Ecuación_de_cuarto_grado
pt.wikipedia.org/wiki/Regra_de_Sarrus
es.wikipedia.org/wiki/Multiplicación_de_matrices
es.wikipedia.org/wiki/Matriz_de_adjuntos
es.wikipedia.org/wiki/Rango_(álgebra_lineal)
143

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