Folleto de Mate

MatemáticasProfesor: P.M.C. Jorge Usbaldo Fierros Bobadilla20103 SEMESTRECOLEGIO REGIS LA SALLECiclo 2008-2 ÍNDICE UNIDAD 1.0 ÁNGULOS 1.1 Sistemas para medir ángulos 1.2 Perpendicularidad y Paralelismo 1.3 Polígonos 1.4 Relaciones Pitagóricas -Autoevaluación de la Primera Unidad UNIDAD 2.0 SOCATOA 2.1 Circunferencia y Círculo 2.2 Gráficas de Funciones Trigonométricas 2.3 Gráficas de Tangentes 2.4 Gráficas de Temas nunca antes vistos -Autoevaluación de la Segunda Unidad UNIDAD 3.0 TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS 3.1 Ley de los Cosenos 3.2 Ley de los Senos 3.3 Solución de problemas utilizando la Ley de Cosenos y Ley de Senos. 3.4 Área y Perímetro de Triángulos Oblicuángulos. 3.5 Mediana y Bisectriz de un Triángulo Oblicuángulo. - Autoevaluación de la 3 Unidad UNIDAD 4.0 ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS 4.1 Identidades Trigonométricas 4.2 Métodos para verificar si una ecuación es o no es una Identidad. 4.3 Verificar si una ecuación es o no es una Identidad. Solución de Ecuaciones Trigonométricas Recomendaciones para resolver ecuaciones. - Autoevaluación de la Cuarta Unidad 1.0 ÁNGULOS Ángulo: abertura entre dos líneas que se cruzan en un punto llamado vértice. Vérticeθ Clasificación de ángulos: Agudo: menor de 90° Recto: igual a 90° Llano: mide 180° Obtuso: Mayor de 90°, menor de 180° Suplementarios: suman 180° Complementarios: suman 90° Consecutivos: comparten un vértice y un lado, no suman 180° Adyacentes: comparten vértice, lado y suman 180° Opuestos por el vértice: comparten un vértice y el lado de uno de ellos es la prolongación de los lados del otro LlanoAdyacenteConsecutivosOpuestos por el vértice Problemas de Aplicación: Problema #1 Determinar en valor de 2 ángulos adyacentes, si el triple de uno de ellos es 25° mayor que el otro. 3A = B +25°3A – B = 25° B = 180° - A A +B = 180° A + B = 180° B = 180° - 51.25° 4A = 205°B = 128.75° 3A – B = 25° A = 205°/4 A + B = 180° A = 51.25° Problema #2 Determinar el valor de 2 ángulos complementarios, si la tercera parte de de uno de ellos es 15° menor que otra. Igualamos. Despejamos ‘’A’’ Problema #3 Encuentra dos ángulos complementarios y que uno de ellos sea el doble del otro. A+B=90° A=2B A + B = 90°A-2B = 0 2A+2B=180 A-2B=0 3A=180 A=1803 B=18032= 903 1.1 SISTEMAS PARA MEDIR ANGULOS Los sistemas se obtienen dividiendo a una circunferencia en partes iguales dependiendo del número de partes, es el nombre del sistema. Si se divide en 360 partes iguales recibe el nombre de sistema sexagesimal, a cada parte se le llama grado. Si la circunferencia se divide en 2 π partes iguales recibe el nombre de sistema circular y cada parte se le llama radián. Para convertir los ángulos de un sistema a otro se utiliza una regla de 3 simple, utilizando como base la siguiente relación: 360 grados = 2 π radianes Ejemplos: Convertir 2 radianes a grados. 360° = 2 π radianes = 2 radianes 360° = 2 π radianes 114.64° = 2 radianes *Convertir 100° a radianes. 360° = 2 π radianes 100° = . 360° = 2 π radianes 100° = 1.74 rad. Problemas de aplicación: Encontrar 2 ángulos cuya suma es 100° y uno de ellos es un radian mas grande que el otro.Convertir a gradosx + y = 100° x = 157.29° / 2los radianes.x – 57.29° = y x = 78.645360° = 2 π radianesx + y = 100° y = x – 57.29°57.29° = 1 rad. x - y = 57.29° y = 78.645 – 57.29 2x = 157.29° y = 21.355 Encontrar el valor de 2 ángulos complementarios. Si la mitad de uno de ellos es 12.5° menor que el doble del otro. x + y = 90x + y = 90½ x + 12.5 = 2y x + 4y = 25x + y = 90x + y = 90½ x – 2y = - 12.5-x + 4y = 25 5y = 115x + y = 90 y = 115/5(-2 )½ x – 2y = - 12.5 y = 23° x = 90 – y x = 90 – 23 x = 67° EJERCICIOS 1.0,1.1 Determinar el valor de 2 ángulos cuya suma es 3 radianes y el doble de uno de ellos es 50° mayor que el otro. Determinar el valor de 2 ángulos cuya suma es 2.5 rad, y el triple de uno de ellos es 48° más chiquito que el cuádruplo del otro. Solución en radianes. Colocar el valor de 2 ángulos que suman 50° y uno de ellos es 12° mayor que el otro. Solución en radianes. Determina el valor de 2 ángulos cuya suma es 3.5 radianes y ¼ parte de ellos es 80° menor que el otro. Solución en radianes. Determina el valor de 2 ángulos cuya suma es de 174° con 40 minutos, y el doble de uno de ellos es 34° mayor que el triple del otro ángulo. Solución en radianes. Encontrar 2 ángulos adyacentes si el triple de uno de ellos es 20° menor que el quíntuplo del otro. Determinar el valor de 2 ángulos que sumen 248°, y el doble de uno de ellos es 80° menor que la mitad del otro. Solución en radianes. Determinar el valor de 2 ángulos adyacentes si uno de ellos es igual al triple del otro. Respuesta en radianes. Determinar el valor de 2 ángulos cuya suma es 200° y uno de ellos es 10° menor que el doble del otro. Encontrar el valor de los ángulos cuya suma es 2.7 radianes y uno de ellos es .5 rad menor que el doble del otro. Respuesta en grados. 1.2 Perpendicularidad y Paralelismo Se les llama rectas perpendiculares a aquellas que al cruzarse forman 4 ángulos de 90°. Se les llama rectas paralelas a aquellas que por más que se prolonguen no tienen puntos en común. Rectas cortadas por una secante: Cuando dos rectas son cortadas por otra llamada secante forman 8 ángulos, algunos de los cuales reciben nombres especiales, los cuales son: Ángulos internos: se encuentran dentro de las rectas Ángulos externos: se encuentran fuera de las rectas. Ángulos correspondientes: son aquellos que se encuentran de un mismo lado de la secante, uno por arribe de una recta y el otro también arriba pero de la otra recta Ángulos conjugados: son aquellas que se encuentran por un mismo lado de la secante, uno por arriba de una de las rectas y el otro por debajo de la otra recta. Ángulos alternos internos: son aquellos que se encuentran dentro de las rectas alternados por la secante, uno por arriba de una de las rectas y el otro por debajo de la otra recta. Ángulos alternos externos: son los que se encuentran fuera de las rectas alternados por la secante, uno por arriba de una recta y el otro por debajo de la otra recta. Notas: Cuando las líneas son paralelas los ángulos correspondientes tiene la misma medida. Si los ángulos conjugados suman 180° entonces las líneas son paralelas. Ejemplo: Determinar el valor de cada letra justificando la respuesta a = 60° por ser adyacente b = 60° por ser correspondiente de a Determina el valor de la letra x, y que aparece en el siguiente diagrama.229870356235 EJERCICIOS 1.2 685800339725 Relación existente entre las 2 letras. 114300381000Determinar el valor de cada letra justificando la respuesta. 228600471805Determinar el valor de cada letra justificando la respuesta. 228600392430Encontrar el valor de cada letra justificando la respuesta. Determina el valor de cada letra que aparece en el dibujo, si la linea que une a ‘a’ con ‘c’ es paralela a la línea que une ‘d’ con ‘h’.453390520065 110490706755Encontrar el valor de cada una de las letras que aparecen en el dibujo, sí ab || cd, 10=45°, 8= 80°, 9=75° 457200232410Determinar el valor de ‘x’, ‘y’. 457200271145Determinar el valor de ‘x’, ‘y’. 342900457200Determinar el valor de la letra ‘x’ y la letra ‘y’ que aparece en el siguiente diagrama. Determinar el valor de la letra ‘x’ y la letra ‘y’ que aparece en el siguiente diagrama. 228600146050 1.3 Polígonos Se le lama polígono a una figura cerrada de 3 o más lados. Un polígono se puede clasificar de acuerdo al valor de sus ángulos y al numero de sus lados, por ejemplo: Si un polígono tiene todos sus ángulos agudos se llama cóncavo, y si tiene uno más ángulos mayores que 180° se llama convexo. Clasificación de los polígonos de acuerdo a sus lados: Nombre Número de ladosTriángulo3569595120015Cuadrilátero456896026670Pentágonos5568960173355Hexágonos6568960159385Eneágono9568960116205 Diagonal de un polígono: Se le llama así a la línea que une a 2 vértices no consecutivos del polígono. 11430040005 - Diagonales de un vértice: - Diagonales en total: - Suma de ángulos interiores (Si) : Ejemplos: Encontrar la suma de todos los ángulos interiores de un hexágono regular. Si = 180 (n -2)Si = 180 (6-2) Si= 180 (4)Si = 720° Determinar el número de diagonales totales que se le pueden trazar a un heptágono. D = n/2 (n-3) D = 772 (7-3) D = 3.5 (4) D = 14 diagonales. Determinar el número de lados que tiene un polígono si la suma de los ángulos interiores es 1800°. Si= 180 (n-2)10 = n-2 1800 = 180 (n-2)10 + 2 = n 1800/180 = n-2n = 12 EJERCICIOS 1.3 Hallar la suma de los ángulos internos de una octágono Hallar la suma de los ángulos internos de un pentágono. ¿Cuál es el polígono cuya suma de ángulos interiores vale 540°? ¿Cuál es el polígono cuya suma de ángulos interiores vale 1260°? Hallar el valor de un ángulo interior de un hexágono regular. Calcular el número de vértices que se pueden trazar desde un vértice de un pentágono Calcular el número de vértices que se pueden trazar desde un vértice de un decágono. Calcular el número total de diagonales que se pueden trazar en un polígono de 20 lados. ¿Cuál es el polígono en el cual se pueden trazar 14 diagonales en total? ¿Cuál es el polígono en el cual se pueden trazar 20 diagonales en total? 1.4 Relaciones Pitagóricas Si el cuadrado del lado más grande de un triángulo es mayor que la suma de los cuadrados de los otros 2 lados, entonces es un obtusángulo. c² > a² + b² Si el lado mayor de un triángulo al cuadrado es menor que la sumad e los cuadrados de los otros 2 lados, entonces es una triángulo acutángulo. c² < a² + b² Si el lado mayor de un triángulo al cuadrado es igual a la suma de los cuadrados de los otros 2 lados, entonces es una triángulo rectángulo c² = a² + b² Ejemplo: Clasificar el triángulo cuyos lados miden 6, 8 y 10 cm. A = 6 , entonces , A² = 36 c²= a²+b² B = 8, entonces, B² = 64 100 = 64 + 36 C = 10, entonces, C² = 100 100 = 100 Por tanto el triángulo es rectángulo. Clasificar el triángulo cuyos lados miden 12, 16 y 10 cm. A = 12, entonces, A2 =144 entonces C2 > A2 + B2 B = 10, entonces, B2 =100 C= 16, entonces, C2 = 256 Por lo tanto el triángulo es Obtusángulo Encontrar el área de un triángulo equilátero cuyos lados valen 10 cm. -3811635 a² = c² - b²A= bh/2 a²= 75A= (10)(8.66 )/2 a² = 100 – 25A = 43 cm² a² = 75 a = 8.66 EJERCICIOS 1.4 Encontrar el valor de la altura de un triángulo equilátero cuyos lados valen 4 cm. Encontrar el valor de los catetos de un triángulo rectángulo cuya hipotenusa vale 10 cm, si se sabe que el rectángulo es isósceles. Determinar el área de un triángulo rectángulo isósceles cuya hipotenusa vale 8 cm. Encontrar el área de un triángulo equilátero cuyos lados valen 100 cm. Encontrar el área de un triángulo equilátero cuyos lados valen 348 cm. Hallar el área de un triángulo isósceles cuyos lados iguales miden 246 y el lado desigual 80. Determinar el área de un triángulo isósceles cuyos lados iguales miden 12 cm. Y el lado desigual 6 cm. Encontrar el valor de un de los lados de un triángulo rectángulo, si la hipotenusa mide 10 cm, y uno de los catetos 5 cm. Encontrar la altura de un triángulo equilátero cuyos lados miden 6 cm. Encontrar el área de un triángulo rectángulo cuya hipotenusa mide 20 cm. Y uno de sus catetos 8 cm. Autoevaluación de la Primera Unidad Determinar el valor de 2 ángulos complementarios, si la tercera parte de de uno de ellos es 27° menor que otra. Determina el valor de 2 ángulos cuya suma es 3.5 radianes y ¼ parte de ellos es 80° menor que el otro. Solución en radianes. ¿Cuál es el polígono cuya suma de ángulos interiores vale 1260°? Encontrar el área de un triángulo equilátero cuyos lados valen 152 cm. 2.0 SOCATOA Existen 6 funciones trigonométricas que se definen para ángulos agudos en triángulo rectángulo pero sólo tres de ellas que se utilizan para resolver triángulos rectángulos, y se definen de la siguiente manera: *Seno = cateto opuesto Hipotenusa * Coseno = cateto adyacente Hipotenusa * Tangente = cateto opuesto Hipotenusa Cuando se quiere encontrar el valor de un ángulo se utiliza la inversa de cualquiera de estas 3 funciones. Cuando se quiera uno de los 3 lados del triángulo no se utiliza la inversa. Ejemplos: Encuentra el valor de la letra ‘’x’’: 228600170815 Los 100 cm que están dividiendo pasan multiplicando. (100) Sen42°= x X = 66.91 cm X = (100) (.6691) Encontrar el valor de la letra ‘’x’’ 22860015240 Y= tan50 (15+x)y = tan60(x) Y = 1.19 (16+x)y = 1.73 x Y = 17.85 + 1.19 x Por método de igualación: 17.85 + 1.19 x = 1.73 x 17.85 = 1.73 x – 1.19 x 17.85 = .54 x x = 17.85/.54 x = 33.05 cm. EJERCICIOS 2.0 De un triángulo rectángulo ABC, se conocen a = 415 m y b = 280 m. Resolver el triángulo De un triángulo rectángulo ABC, se conocen b = 33 m y c = 21 m. Resolver el triángulo De un triángulo rectángulo ABC, se conocen b = 5.2 m y B = 37º. Resolver el triángulo De un triángulo rectángulo ABC, se conocen b = 3 m y B = 54.6°. Resolver el triángulo. De un triángulo rectángulo ABC, se conocen a = 6 m y b = 4 m. Resolver el triángulo. De un triángulo rectángulo ABC, se conocen b = 3 m y c = 5 m. Resolver el triángulo. Un dirigible que está volando a 800 m de altura, distingue un pueblo con un ángulo de depresión de 12°. ¿A qué distancia del pueblo se halla? Hallar el radio de una circunferencia sabiendo que una cuerda de 24.6 m tiene como arco correspondiente uno de 70° Calcular el área de una parcela triangular, sabiendo que dos de sus lados miden 80 m y 130 m, y forman entre ellos un ángulo de 70°. Calcula la altura de un árbol, sabiendo que desde un punto del terreno se observa su copa bajo un ángulo de 30° y si nos acercamos 10 m, bajo un ángulo de 60°. Calcular la longitud del lado y de la apotema de un octógono regular inscrito en una circunferencia de 49 centímetros de radio. Tres pueblos A, B y C están unidos por carreteras. La distancia de A a C es 6 km y la de B a C 9 km. El ángulo que forman estas carreteras es 120°. ¿Cuánto distan A y B?. 2.1 Circunferencia y Círculo Se le llama circunferencia al conjunto de juntos que se encuentra a una misma distancia de otro punto llamado centro. Se le llama círculo al conjunto de puntos cuya distancia a otro punto llamado centro es menor que un valor determinado llamado radio. 4686300100330 Rectas sobre una circunferencia y un círculo: Secante: Es una recta que tiene 2 puntos en común con la circunferencia Tangente: es una recta que tiene un punto en común con la circunferencia Cuerda: es un segmento de recta que tiene sus extremos sobre la circunferencia. Diámetro: es una cuerda que pasa por el centro del círculo. Radio: es un segmento de recta que tiene un extremo en el centro del círculo y el otro sobre la circunferencia. Ángulos en una circunferencia y en un círculo: Ángulo exterior: es el que tiene su vertice fuera del circulo y la circunferencia y susu lados pueden ser de 3 tipos: - 2 secantes- 1 secante y 1 tangente - 2 tangentes. Para encontrar la medida de un ángulo exterior se resta el arco mayor menos el arco menor y se divide entre 2 38103810α = 13° Ángulo inscrito: es el que tiene su vértice sobre la circunferencia y sus lados pueden ser 2 cuerdas La medida de un ángulo inscrito se obtiene sacándole la mitad al arco que esta entre sus lados. 4445444544454445 α = 14° Ángulo interior: es el que tiene su vértice sobre el círculo y sus lados pueden ser 2 cuerdas. Para obtener la medida de un ángulo interior se suman los arcos que están entre sus lados y luego se saca la mitad. 38100α = 16° + 4°α = 10° 2 Ángulo central: es el que tiene su vértice en medio del círculo y sus lados son 2 radios. Para obtener la medida de un ángulo interior se suman los arcos que están entre sus lados y luego se saca la mitad. 4445bottom α = 15° Ángulo semi-inscrito: es el que tiene su vértice sobre la circunferencia, uno de sus lados es una tangente y el otro lado una cuerda. La medida de obtiene sacando la mitad a el arco que se encuentra entre sus lados. 141605-343535α = 122/2 EJERCICIOS 2.1 Encontrar ∢α en los siguientes diagramas: 323215112395 1) 35560063502) 3) Encontrar ∢ ABC, Si ∢AOB = 80° 35560018415 4) Encontrar ∢ ABC, Si ∢ AOC = 70° 4445center 5) Encontrar ABE, si DC = 40°, y AE = 80° 153035133985 2.2 Gráficas de Funciones Trigonométricas Para realizar la grafica de la función seno o coseno se utiliza la siguiente tabla de valores: x2x3x4x5x00000± 90± 45± 30± 22.5± 18± 180± 90± 60± 45± 36± 270± 135± 90± 67.5± 54± 360± 180± 120± 90± 72 EJEMPLO Y = -6 Cos (2x) + 8 2053590234950 xY0245890141358 1802-458-9014-1358-1802 2.3 Gráficas de Tangentes Para graficar la función tangente se necesita encontrar los puntos donde la tangente no exista (donde la calculadora marque error) para lo cual se iguala todo lo que se encuentra dentro del paréntesis a múltiplos impares de 90° y en cada resultado se grafica una línea punteada vertical y se eligen 3 puntos entre cada línea punteada, se sugiere que los puntos dividan en partes iguales al segmento entre las líneas punteadas. 2310765883285 XY-14.29-12.7611.42.00237.135.7162.8410.2788.5515.96114.2628.74 2.4 Gráficas de Temas nunca antes vistos Para realizar este tipo de gráficas se tiene que tomar en cuenta las siguientes consideraciones: El término ‘b’ se divide entre el termino ‘a’ y se cambia de signo. El resultado obtenido es la que se mueve en al gráfica en el eje ‘x’. El término ‘c’ sin cambiando de signo es la que se mueve en la gráfica en el eje ‘y’. El término ‘d’ indica la amplitud de la figura además indica también hacia donde se dirige la figura. Al dividir 90° entre la letra ‘a’ se obtiene que indica la variación de los ángulos en el eje ‘x’ 53340525780 EJERCICIOS 2.2, 2.3, 2.4 Realizar la tabla y la gráfica de las siguientes funciones. y = 8 cos (3x) -6 y = 10 sen (5x) -1 y = 4 cos (5x) + 24 y = -3 sen (4x) -10 y = 6 cos (3x) +9 y = -7 sen (5x) + 12 y = 4 sen( x-40) +3 y = -6 cos (5x-100) +2 y = 4 sen (3x-120) +6 y = 10 tan (x+4)+ 10 Autoevaluación de la Segunda Unidad Encuentra el valor de la letra ‘’x’’: -3810161290 Encontrar ∢ ABC, Si ∢AOB = 110° 135890117475 Realizar la tabla y gráficas de las siguientes funciones. y = 4 sen( x-40) -8 y = -6 cos (5x-100) +5 y = 10 sen (5x) -12 3.0 Triángulos Oblicuángulos Los triángulos oblicuángulos son aquellos que no poseen ángulos de 90°. Para poder resolver éste tipo de triángulos, se necesitan de las siguientes fórmulas: Ley de los Cosenos. Ley de los Senos. Ley de las Tangentes. 3.1 Ley de los Cosenos Esta ley la podemos utilizar cuando: Se conozcan las medidas de los 3 lados del triángulo. Se conozcan 2 lados y en ángulo entre ellos. Esta ley nos dice que el cuadrado de uno de los lados es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados, menos el doble del producto de los lados, por el coseno del ángulo entre ellos. 272415232410 a2= b2+c2- 2 bccos A b2=a2+c2- 2 ac cos B c2=a2 + b2 – 2 abcosC EJEMPLOS Determinar la distancia entre el punto X y el punto Y. -241935399415 b2=a2+c2- 2 ac cos B b2 = (12)² + (8)² - 2 (12) (8) cos 30° b2 = 144 + 64 – 192 cos 30° b2 = 208 – 166.27 b2 = 41.27 La distancia del punto X al punto Y ; es de 6.42 mts.La b2=6.42 Encontrar el valor del un ángulo A de la siguiente figura. 24765285115 a2= b2+c2- 2 bcCos A 15² = (20)² + (10)² - 2 (20) (10) Cos A 225 = 400 + 100 – 400 Cos A 225 – 100 – 400 = -400 Cos A Cos A = -275-400 A = cos-1( .687) A = 46.60 ° EJERCICIOS 3.1 Resolver los triángulos, utilizando la ley de los cosenos. a = 16 m. ,b = 11m., c=19 Encontrar el valor del ∢ B a = 12.5 cm, b = 8.9 cm, c = 17.6cm Encontrar ∢ C. a = 7.8 km, b = 10 km, c = 14 km Encontrar el valor de los ∢ faltantes. a = 20 mts. , b = 10mts. , c = 20 mts. Encontrar el valor de los ∢ A & B. a =32.45cm, C = 66.93°, b =27.21cm. Encontrar el valor de ”c” y del ∢B. A = 29.14°, c=83.44 cm, b=61.52cm Encontrar el valor de “a”, B & C. A = 52°14’, b = 22.25 cm, c = 36.15 cm Encontrar el valor de a & B. b = 8.14cm, C = 102°55’12”,a=22.23cm Encontrar el valor de los ∢ faltantes y de el lado “c”. 3.2 Ley de los Senos Esta regla se utiliza cuando: Se conozcan dos lados y un ángulo opuesto a uno de los lados. Se conozcan dos ángulos y un lado. La ley de los senos nos dice: “Los lados de un triángulo son proporcionales a los senos de los ángulos de los lados opuestos”. 2710815156210 24130169545 EJEMPLO -51435177165 18097512700 aSen α= 100Sen 70= 70Sen γ * 106.41 se obtiene de la división de 100Sen 70 106.41 = 70Sen γ Sen γ = 106.4170 = 1.52 = sin-1(1.52) sin-1(1.52) = ERROR EJERCICIOS 3.2 Resolver los triángulos, utilizando la ley de los senos a = 41 cm, B = 51°, C = 27°50’ a = 78.6 cm, A = 83°26’, B= 39°13’ a = 9.30 m , b = 5.40 m , A = 30.8° b = 5 m, c = 6 , B = 50° 20°,80° y c = 7 40°, 76° y a = 10 49° 40´ , 60°20´ y c = 540 60°, a = 15 y b = 10 112, a = 7 y b = 18 81°, c = 11 y b = 12 3.3 Solución de problemas utilizando la Ley de Cosenos y Ley de Senos. EJEMPLOS Tres circunferencias con radios de: 115 cm, 150 cm y 215 cm son tangentes entre sí. Determinar uno de los ángulos que se forman al unirse los centros de éstas circunferencias. 558165167640 3587115101600 -146685261620 Ahora resolvemos el triángulo utilizando la ley de los Cosenos; en este caso se encontrará la medida del ángulo A a2= b2+c2- 2 bccos A 265² = 365² + 330² - 2 (365) (330) cos A 70225 = 133225 + 108900 – 240900 cos A 70225 – 133225 – 108900 = -240900 cos A A = cos-1- 171900- 240900 A = cos-1(.713) A = 44.52° Dos hombres que están en el campo, separados por 3000 mts. ; observan un helicóptero. Los ángulos de elevación respecto al helicóptero son de 60° y 75° respectivamente. Determinar la altura del helicóptero. 1777365221615128905268605 839470238760 + Recuerda que la sumatoria de los ángulos internos de un triángulo debe ser igual a 180° 3000sin 45°=bSen 75°=cSen 60° c = Sen 60° = (3000Sen 45°) c = 3674.23 cm. + Para encontrar la altura h del helicóptero obtendremos el Seno de 75°. sin75°=h3674.23 h = 3674.23 (Sin 75°) h = 3549.03 EJERCICIOS 3.3 Resolver los siguientes ejercicios, utilizando la Ley de los Cosenos y la Ley de los Senos. Dos piedras se encuentran a la orilla de una playa a una distancia uno de otro de 1.8 Km. en los puntos A y B, y se encuentra una bolla situada en un punto C. Si la piedra A mide un ángulo CAB igual a 79.3° y el que está en B mide un ángulo CBA igual a 43.6°, ¿a qué distancia está la bolla de la costa? Un poste forma un ángulo de 79° con el piso. El ángulo de elevación del sol desde el piso es de 69°. Encuentre la longitud del poste si su sombra es de 5.9 m. Si medimos los ángulos de elevación de una montaña desde lo más alto y desde la base de una torre de 20 metros de alto y éstos son 38.5° y 40.2° respectivamente ¿Cuál es la altura de la montaña? Un hombre de 5 pies 9 pulgadas de altura se para en un andén que se inclina hacia abajo con un ángulo constante. Un poste vertical de luz situado directamente detrás de él proyecta una sombra de 18 pies de largo. El ángulo de depresión desde la mayor altura del hombre, hasta la punta de su sobra es de 31° encuentre el ángulo , como se muestra en la figura, formado por el andén y la horizontal. 148209055880 Si el hombre del problema anterior esta a 22 pies del poste de luz sobre el andén, encuentre la altura del poste. Dos salvavidas se encuentran en la orilla de una playa a una distancia uno del otro de 1.5 Km. en los puntos A y B, y divisan un bote que se está hundiendo situado en el punto C. Si el salvavidas en A mide un ángulo CAB igual a 79º y el está en B mide un ángulo CBA igual a 44º ¿a qué distancia está el bote de cada salvavidas? Una persona situada en un punto A se dirige en línea recta hacia un punto C. Otra persona hace lo mismo desde un punto B. Si la distancia ente A y B es de 8Km, el ángulo CAB es de 75º y el ángulo CAB es de 45º ¿Qué distancia tendrá que recorrer cada persona? Si medimos los ángulos de elevación de una montaña desde lo más alto y desde la base una torre de 20 metros de alto y estos son de 38º y 40º respectivamente. ¿Cuál es la altura de la montaña? Un avión vuela de la ciudad A a la ciudad B una distancia de 150 millas y luego gira 40º para dirigirse a la ciudad C. a.Si entre la ciudad A y C hay 300 millas ¿a qué distancia se encuentran la ciudad B de la C. b.¿Con qué ángulo debe girar el piloto en la ciudad C para regresar a la ciudad A? Para encontrar la distancia de un lado al otro de un río una topógrafa selecciona los puntos A y B que están separados 220 pies y se encuentran del mismo lado del río. Escoge un punto C del lado opuesto del río y determina que el ángulo BAC es de 82º y el ángulo ABC es de 52º. Calcule la distancia desde a hasta C. Un aeroplano vuela a 500 km desde un punto B en la dirección de 40°al noroeste hasta el punto C. Después el aeroplano vuela a 720 km hasta el punto A. Encontrar el ángulo del vuela desde el punto C al A. 14439908890 3.4 Área y Perímetro de Triángulos Oblicuángulos.3758565183515 a) Obtenemos el lado faltante. a2= b2+c2- 2 bccos A a² = (12)² + (32)² - 2 (12)(32) cos 80° a² = 144 + 1024 – 133.36 a² = 1034.64 a = 32.16 cm b) Obtenemos los ángulos faltantes. b2=a2+c2- 2 ac cos B (32)² = (32.16)² + (12)² - 2 (32.16) (12) cos B 1024 = 1178.26 – 771.84 cos B 1024 – 1178.26 = -771.84 cos B B = cos-1(-154.26-771.84) B = cos-1(.19) B = 79.04° C = 180 – (79.04° + 80°) C = 20.96° Perímetro: es igual a la suma de sus tres lados P = 32.16 cm + 32 cm, 12 cm P = 76.16 cm Área: se obtiene multiplicando la base por la altura. 1) Obtenemos la altura. 2) Multiplicamos la mitad de la base por Sen 80° = h12 la altura h. h = 12 (Sen 80°) a = 16 * 11.81 h = 11.81 cm a = 188.96 cm² EJERCICIOS 3.4 Encontrar el área y perímetro de los siguientes triángulos oblicuángulos. a = 100 cm, B = 70° , C = 60° a = 16cm, b = 8 cm, c = 16 cm a = 41cm , B = 27°50’, C =51° a = 78.6 cm , A = 83°26’, B = 39°13’ a = 75.6m, b = 170.86m, γ = 118° 42´ 16quot;
 b = 130.4m, β = 60° 23´15quot;
, γ = 93°18´40quot;
 b = 158 cm, c = 178 cm , A = 87°45’ a = 70 cm, A = 85°45’,71”, B = 40°78’ A = 29°14’, b = 61 cm , c = 84 cm b = 40 cm , A = 57°7’, C = 78°28’ 3.5 Mediana y Bisectriz de un Triángulo Oblicuángulo. Mediana: línea que parte de un vértice y llega al punto medio del lado opuesto. EJEMPLO Determinar la longitud de una de las medianas del triángulo. 129159085725 Mediana Se obtiene el valor de uno de los ángulos. a2= b2+c2- 2 bccos A (16)² = (10)² + (8)² - 2 (10) (8) cos A 256-164 =-160 Cos A A = cos-1( 92-160) = cos-1-.575 A = 125.09° Obtenemos el valor de M. -51435306705 a2= b2+c2- 2 bccos A a² = (5)² + (8)² - 2 (5)(8) cos 125.09 a²= 89 + 45.08 a² = 134.08 a = 11.60 cm Mediana = 11.60 cm Bisectriz: línea que parte de uno de los vértices, divide al ángulo en dos partes iguales. 1339215228600183451557150 EJEMPLO Determinar la longitud de una de las bisectrices. Encontramos el valor de los ángulos. b²= a + c – 2 (ac) Cos B a²= b + c – 2 (bc) Cos A (5)² = (6)²+(4)² – 2 (6)(4) cos B (6)²= (5)² + (4)² – 2 (5) (4) Cos A 25 = 52 -48 cos B 36 –= 41 -40 Cos A 25 – 52 = -48 cos B 36 – 41 = -40 Cos A B =cos-1-27-48 = cos-1.5625 A = cos-1-5-40 B = 55.77° A = 82.81° Se obtiene el valor de la bisectriz. 27774905016592964050165-99060193040 aSen 55.77°=4Sen 82.81°=cSen 41.42° a = sin55.57 (4Sen 82.81°) a = 3.33 cm Bisectriz = 3.33 cm EJERCICIOS 3.5 Encontrar el valor de la mediana de los siguientes triángulos. a = 17m , b = 15m, c = 22m b = 9cm, c = 12cm, A = 25° a = 45cm, b = 78cm, c = 63cm b = 7.8 cm, c = 4.5 cm, a = 9.6 cm a = 4.258 cm, A = 82°, B= 45°78’ a = 19.25 m , b = 14.50 m , A = 30.8°8’45” b = 45 m, c = 46 , B = 58° 40°,72° , c = 48cm 50°, 66° , a = 14cm a = 18 m, b = 22 m, c = 45m EJERCICIOS 3.5 Encontrar el valor de la bisectriz de los siguientes triángulos. 1) a = 77cm, b = 45 cm, c = 92cm. 2) a = 12.36m , b =17.45cm ,c = 24.34cm 3) a = 102 mi. , b = 405mi., c = 203mi. 4) a = 87.36 cm, b = 92.52 cm, c = 65.21 cm 5) a = 789 cm, b = 478 cm, c = 535 cm 6) a = 92 cm ,b = 78 cm, 85 cm 7) a = 788.45 cm, b = 458.89 cm , c = 203.25 cm 8) a = 147.25cm , b = 412.14cm, c = 313.25cm 9) a = 402.3m, b = 271.23 m , c = 354.47 m 10) a = 22.3 cm, b = 45.26cm, c =38.5 cm Autoevaluación de la 3.0 Unidad Determinar el valor de los ángulos internos de un triángulo cuyas medidas son: 125 cm, 178 cm, 258 cm. Utilizando la ley de los cosenos. Determinar las medidas de los ángulos y lados que faltan de un triángulo cuyas medidas son: a = 82 cm, B = 51°, C = 47°20’33” Un aeroplano vuela a 165 millas del punto quot;
Aquot;
en dirección 130º y luego 80 millas en dirección 245º ¿Cuál es la distancia aproximada al punto A ? Para determinar la distancia entre dos barcos, una estación de rastreo determina continuamente la distancia entra cada barco, y el ángulo A entre ellos. Determinar la distancia entre ellos cuando: A = 42 °, b = 35 km, c = 20 km. 109156585725 Encontrar el valor de la mediana de un triángulo cuyas medidas son: b = 7.8 cm, c = 4.5 cm, a = 9.6 cm. Encontrar el valor de la bisectriz de un triángulo cuyas medidas son: a = 15 cm, c =24 cm , B = 53°74’. 4.0 Ecuaciones Trigonométricas Una ecuación trigonométrica es aquella que contiene una o más funciones trigonométricas. Por ejemplo: Sen θ + 3 = Cos θ Ctg ² θ + 3 Ctg θ -8 = 0 Sen ² θ + Cos³ θ = 3 4.1 Identidades Trigonométricas Se les llama identidades trigonométricas a una ecuación trigonométrica que se cumpla para cualquier valor de la variable que este presente. EJEMPLO Verificar si es una Identidad Trigonométrica. Sen θ Tan θ = Cos θ Dando un valor de θ =36°. Sen 36° Tan 36° = Cos 36° 1.3143 ≠ .809 NO ES UNA IDENTIDAD TRIGONOMÉTRICA Cos θ Tan θ = Sen θ Dando un valor de θ = 12°. Cos 12° Tan 12 = Sen 12 .2079 =.2079 SI ES UNA IDENTIDAD TRIGONOMÉTRICA 4.2 Métodos para verificar si una ecuación es o no es una Identidad. Teorema de Pitágoras En este método como su nombre lo indica, se utilizará el Teorema de Pitágoras y la definición de las seis funciones trigonométricas. Teorema de Pitágoras: c² = a² + b² c² - a² = b² c² – b² = a² Funciones Trigonométricas 177927095885 ¿Cómo se sabrá si el problema se ha terminado? Cuando la expresión de la derecha quede igual ó diferente a la expresión de la izquierda, y viceversa. EJEMPLO Verificar si la siguiente expresión es una Identidad Trigonométrica. Cos θ Tan θ = Sen θ + Para multiplicar dos o más fracciones, se multiplican quot;
en líneaquot;
. Esto es, el numerador por el numerador y el denominador por el denominador. bc ab= ac b ac b=ac +Eliminamos la letra b ; nos resulta que ac=ac. SI ES UNA IDENTIDAD TRIGONOMÉTRICA Sen θ Tan θ = Cos θ ac ab=bc a²cb=bc NO ES UNA IDENTIDAD TRIGONOMÉTRICA Tan ² θ - Sec ² θ = -1 a²b²-c²b²=-1 + Utilizando el Teorema de Pitágoras c² - a² = b² -b²-b² = -1 = -1 SI ES UNA IDENTIDAD TRIGONOMÉTRICA EJERCICIO 4.2 Verificar si las siguientes expresiones son Identidades Trigonométricas; utilizando el Teorema de Pitágoras & las Funciones Trigonométricas. 1) Tan θ Ctg θ Sen θ = Sen ² θ Csc θ 2) Cos θ = Cot θ Tan θ 3) Tan θ Cos θ Cos θ = 1 4) Csc θ Cos θ = Ctg θ 5) Csc θ Tan θ = Sec θ 6) Csc θ = (Tan θ + Ctg θ) = Csc θ 7) Cos θ Tan θ Sen θ = Csc θ Ctg θ 8) Sen θ Tan θ = Sen ² θ 9) Cos θ Tan θ = Csc θ 10) Sec ² θ = Tan θ Sen θ 4.3 Verificar si una ecuación es o no es una Identidad. Verificar si las expresiones son Identidades Trigonométricas EJEMPLO IZQUIERA DERECHA sinθ cosθ cos² θ- sin² θ= tanθ1- tan² θ IZQUIERDA + Para resolver esta división se utiliza la Ley de la Tortilla; consiste en multiplicar quot;
medios por medios y extremos por extremosquot;
: + acb² c² -bca²c² = abc²b²-a²c² c² (ab)c² (b2-a2) = (ab)(b2-a2) DERECHA ab1- a²b²= abb²-a²b² = ab²b (b2-a2) = ab (b2-a2) SI ES UNA IDENTIDAD TRIGONOMÉTRICA EJERCICIOS 4.3 Verificar si las siguientes expresiones, son Identidades Trigonométricas. 1) Cos θCot θ=Sen θ 2) ( 1 + Sen θ ) ( 1 – Sen θ ) = Cos ² θ 3) Tan θSen θ- Sen θ = 0 4) Tan θ + Cot θ= Cos θCos θ 21526528575021526505) 2152652546356) 7) 21526524066551054025408) 9) 10) Sen ² θ Cos ² θ = 1 – Cos ² θ 4.4 Solución de Ecuaciones Trigonométricas Para poder resolver las ecuaciones trigonométricas, se utilizan las siguientes fórmulas. 205740184785 EJEMPLO 2 Cos θ = Ctg θ 2 Cos = Cos θSen θ 2 Cos θ Sen θ = Cos 2 Sen = CosCos 2 Sen θ= 1 Sen = 12 θ= sin-1.5 θ=30° Recomendaciones para resolver ecuaciones. Cuando se tengan dos paréntesis o más igualados a cero: Se iguala a cero el contenido de cada paréntesis y se resuelve. EJEMPLO (Sen θ – 1) (3 Cos θ – 2) = 0 Sen θ – 1 = 0 3 Cos θ – 2 = 0 Sen θ = 1 3 Cos θ = 2 θ = sin-1(1) Cos θ = 23 θ = 90° θ = cos-123 θ = 48.18° EJEMPLO (Sen θ + 1) (16 Cos θ - 4) = 0 Sen θ + 1 =0 16 Cos θ - 4 = 0 Sen θ = -1 16 Cos θ = 4 Θ = sin-1(-1) Cos θ = (416) Θ = -90° θ = cos-1(.25) Θ = 75.52° EJERCICIOS 4.5 Encontrar el valor del ángulo; utilizando la recomendación anterior. (Sen θ – 12) ( Cos θ + 27) = 0 (3 Sen θ +36) (8 Cos θ) = 0 (5 Cos θ )(6 Sen θ+ 21 ) = 0 (14 Sen θ) ( 4 Cos θ -2 ) = 0 (22 Sen θ ) ( 7 Cos θ -22 ) =0 Si se tiene la suma o la resta de las funciones Seno y Coseno igualadas a un número: Despejar una de las dos funciones. Elevar al cuadrado los dos lados de la igualdad. Desarrollar el binomio al cuadrado. Utilizar una de las ocho fórmulas básicas. Pasar todos los términos de un lado de la igualdad y resolver. EJEMPLO Sen θ – 3 Cos θ = 1 Sen θ = 1 + 3 Cos θ Sen ² θ = (1 + 3 Cos θ) ² Un binomio al cuadrado se desarrolla: el ² del primero, mas el doble del primero por el segundo, mas el cuadrado del tercero. Sen ² θ = 1 + 6 Cos θ + 9 Cos ² θ 1 – Cos ² θ = 1 + 6 Cos θ + 9 Cos ² θ Θ = 1 + 6 Cos θ + 9 Cos ² θ – 1 + Cos ² θ a = término cuadráticobΘ = 6 Cos + 10 Cos ² (Utilizaremos la fórmula general, ya que hay término al ² y lo igualamos a cero al principio) c = término independienteb = término medio de la ecuaciónx=-b±b2-4ac2a a=10b=6c=0 Θ=-6±62-410(0)2(10) Θ = -6 ± 36 Θ = 6 ± 620 = 0.60 Θ = cos-1.6=53.13° Θ = cos-10=90° EJERICICIOS 4.5 Encontrar el valor del ángulo; utilizando la recomendación anterior. 4 Cos θ + 5 Sen θ = 8 8 Sen θ – 3 Sen θ= 4 3) 12 Sen θ + 4 Cos θ = 3 4) 3 Cos θ - 7 Sen θ = 5 5) 4 Sen θ - 8 Cos θ = 11 6) 9 Sen θ + 14 Cos θ = 13 7) 10 Cos θ - 7 Sen θ = 5 8) 2 Sen θ+ 3 Cos θ = 12 9) 4 Sen θ - 2 Cos θ = 7 10) 9 Sen θ - 3 Cos θ = 14 Cuando se tenga la suma o la resta de la función Sec y Tan se recomienda que se despeje la Secante. Se elevan al cuadrado ambos lados de la igualdad. Se pasa todo para un lado. Se resuelve el problema con el uso de fórmulas. EJEMPLO Sec θ – 2 Tan θ = 1 (Sec θ) ² = (1 + 2 Tan θ)² Sec² θ = 1 + 4 Tan θ + 4 Tan ² θ 1 + Tan ² θ = 1 + 4 Tan θ + 4 Tan ² θ Θ = 1 + 4 Tan + 4 Tan ² - 1 – Tan ² Θ = 4 Tan + 3 Tan ² a=3b=4 c=0 Θ=-4±4-4 (3)(0)2 (3) -4 ± 16 Θ = -4 ± 46 Θ=0 Θ= -1.33 Θ = tan-10= 0 Θ = tan-1-1.33= -53.06° EJERCICIOS 4.5 Encontrar el valor del ángulo; utilizando la recomendación anterior. 5 Sec θ + 2 Tan θ = 4 6 Tan θ - 8 Sec θ = 3 4 Sec θ - 5 Tan θ = 14 11 Sec θ + 12 Tan θ = 11 12 Tan θ - 8 Sec θ = 15 8 Sec θ + 2 Tan θ = 12 9 Tan θ – Sec θ = 7 5 Sec θ – 7 Tan θ = 8 13 Tan θ + 2 Sec θ = 6 4 Sec θ -8 Tan θ = 13 Si se tiene la suma o resta de las funciones Sec y Tan al cuadrado una de ellas o las dos; se recomienda: Utilizar las fórmulas. Cambiar una de las dos funciones Resolver el problema EJEMPLO Sec Θ + 4 Tan ² Θ = 2 Sec Θ + 4 (Sec² Θ – 1 ) = 2 Sec Θ + 4 Sec² Θ – 4 = 2 Sec Θ + 4 Sec ² Θ – 6 = 0 a=4b=1c=6 Θ=-1±12-4 (4)(6)2(4) -1 ± 95 Θ = -1 ± 9.748Θ=1.1Θ= -1.36 + Se sustituye Secante con la fórmula Sec = 1Cos Sec = 1.1 Sec = -1.36 1Cos=1.1 1Cos= -.136 Θ = cos-111.1 Θ = cos-11-.1.36 Θ = 24.61° Θ = 137.3° EJERICICIOS 4.5 Encontrar el valor del ángulo; utilizando la recomendación anterior. 11 Tan θ +2 Sec² θ = 3 3 Tan² θ +8 Sec θ = 7 5 Sec² θ + Tan θ = 11 4 Sec θ - 8 Tan² θ = 9 12 Tan² θ + 2 Sec θ = 8 7 Sec² θ - 5 Tan θ = 4 8 Sec θ - 9 Tan ² θ = 16 15 Sec² θ+2Tan θ = 0 5 Sec θ +7 Tan² θ = 12 9 Tan θ - 11 Sec ² θ = 5 EJERICICIOS 4.5 Si se tiene la suma o resta de las funciones Csc y Cot igualadas a un número, se hace lo siguiente: Se despeja Cot y se eleva al cuadrado ambos lados de la igualdad. Se utiliza la fórmula adecuada, se desarrolla el binomio. Se pasa todo de un solo lado y se resuelve. EJEMPLO Cot Θ – 5 Csc Θ = 2 Cot Θ = 2 + 5 Csc Θ Csc ² Θ = (2 + 5 Csc Θ)² Csc² Θ = 4 + 20 Csc Θ + 25 Csc² Θ Θ = 4 + 20 Csc Θ + 24 Csc² Θ a=24b=20c=4 Θ=-20±202-424(4)2(24) Θ = -20 -8048 ERROR NO TIENE SOLUCIÓN EJERCICIOS 4.5 Encontrar el valor del ángulo; utilizando la recomendación anterior. 2 Csc θ - 3 Ctg θ = 2 11 Ctg θ – 2 Csc θ = 15 8 Csc θ + 11 Ctg θ = 9 7 Ctg θ + 3 Csc θ = 3 2 Csc θ - 8 Ctg θ = 4 4 Ctg θ - 3 Csc θ = 7 9 Csc θ + 5 Ctg θ = 5 3 Ctg θ- 14 Csc θ= 1 5 Csc θ + 7 Ctg θ = 16 9 Ctg θ - 9 Csc θ= 8 Autoevaluación de la 4.0 Unidad Determina si las siguientes expresiones son Identidades Trigonométricas. a) Sec θ + Tan θ = Sen θ - 1 b) Tan θ + Cot θ= Csc θ-1 1+Sen θ c) Cos θ - Sen θ = Csc θ Csc θ d) Csc θ Cos θ = Ctg θ e) Cosθ Senθ Tan² θ- sin² θ= Senθ1- tan² θ 2. Encontrar el valor del ángulo. a) 7 Sec² θ - 5 Tan θ = 4 b) 3 Tan θ + 2 Sec θ = 6 c) Sen θ + 13 Cos θ = 2 d) ( 9 – Sen θ) ( 5 Cos + 3) = 0 e) 2 Csc θ - 8 Ctg θ = 4

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