Este documento describe las propiedades de las matrices escalonadas y las matrices inversas. Explica que una matriz escalonada tiene todos sus elementos nulos por debajo de cada pivote y que los pivotes están ordenados de izquierda a derecha. También define una matriz escalonada reducida como una matriz escalonada cuyos pivotes son todos 1 y cada pivote es el único elemento no nulo de su columna. Finalmente, explica que dos matrices son semejantes si una puede obtenerse de la otra mediante operaciones elementales de filas y que una matriz es inversible si existe otra matriz

1. 1.4. FORMA ESCALONADA DE UNA MATRIZ
MATRIZ ESCALONADA POR FILA
1 0 0
B= 0 1 0
0 0 1
En álgebra lineal una matriz se dice que es escalonada o que está en forma escalonada si:
1. Todas las filas cero están en la parte inferior de la matriz.
2. El primer elemento no nulo de cada fila, llamado pivote, está a la derecha del
pivote de la fila anterior (esto supone que todos los elementos debajo de un
pivote son cero).
Ejemplo:
Las siguientes matrices son reducidas por fila:
Las siguientes matrices no son reducidas por fila:

2. MATRIZ ESCALONADA REDUCIDA POR FILAS
1 0 -5 0
0 1 17 0
0 0 0 1
Si además se cumplen las siguientes condiciones de matriz escalonada y:
1. Sus pivotes son todos iguales a 1
2. En cada fila el pivote es el único elemento no nulo de su columna.
Se dice que es escalonada reducida por filas.
Ejemplo:
OPERACIONES ELEMENTALES DE FILA
Multiplicar una fila por un escalar no nulo.
Notación:
Intercambiar de posición dos filas.
Notación:
Sumar a una fila y un múltiplo de otra.
Notación:

3. MATRICES SEMEJANTES
Se dice que la matriz A es semejante o equivalente por filas de la matriz B si la matriz
A se obtiene al realizar operaciones elementales de fila en la matriz B
Ejemplo 1:
Ejemplo 2:
1 2 3 1 2 3
A= 3 1 -3 = 3 1 -3
-5 0 2 -5 0 2
F2 F2-3F1
F3 F3+5F1
Las matrices semejantes comparten varias propiedades:
Rango
Determinante
La misma Traza
Los mismos valores propios
1.5 MATRIZ INVERSA
Una matriz cuadrada A de orden n se dice que es invertible, no singular, no
degenerada o regular si existe otra matriz cuadrada de orden n, llamada matriz
inversa de A y representada como A−1, tal que
AA−1 = A−1A = In
Donde In es la matriz identidad de orden n

4. PROPIEDADES DE LA MATRIZ INVERSA
 La inversa de una matriz, si existe, es única.
 La inversa del producto de dos matrices es el producto de las inversas cambiando
el orden:
 Si la matriz es invertible, también lo es su transpuesta, y el inverso de su
transpuesta es la transpuesta de su inversa, es decir:
 Y, evidentemente:
CALCULO DE UNA MATRIZ INVERSA
Mediante las transformaciones elementales de filas de una matriz, convertir la matriz
anterior en otra, que tenga en las n primero columnas la matriz identidad y en las n
últimas columnas la matriz A-1
El método consiste, pues, en colocar juntas las matrices a invertir y la identidad en este
orden.

5. A * A-1 =
Tenemos: