Este documento describe las posiciones relativas que pueden tener una recta respecto a una circunferencia. Existen tres posibilidades: recta secante si su discriminante es positivo, recta tangente si su discriminante es cero, y recta exterior si su discriminante es negativo. Además, presenta un ejemplo para comprobar que la recta y = 6x - 5 es secante a la circunferencia (x + 2)2 + (y - 8)2 = 34 al obtener un discriminante positivo.

1. 1- Posición relativa de rectas en una circunferencia
Para hallar los puntos comunes de una circunferencia resolveremos el sistema formado
por las ecuaciones de ambas. En general se obtiene una ecuación de segundo grado, que
tendrá dependiendo del valor de su discriminante (∆= 𝑏2
− 4𝑎𝑐), las siguientes soluciones:
 Recta secante
 Recta tangente
∆> 0
Una recta es secante si su
discriminante es positivo:
∆= 0
Una recta es tangente si su discriminante
es igual a cero:

2.  Recta exterior
Ejemplo:
Compruebe la posición relativa de la recta 𝑦 = 6𝑥 − 5, en la circunferencia con ecuación
(𝑥 + 2)2
+ (𝑦 − 8)2
=34.
Prueba:
1) (𝑥 + 2)2
+ (𝑦 − 8)2
=34, (sustituir 𝒚 = 𝟔𝒙 − 𝟓)
2) (𝑥 + 2)2
+ (6𝑥 − 5 − 8) = 34, (se desarrollan los productos notables)
3) 𝑥2
+ 22
+ 2(𝑥)(2) + (6𝑥)2
+ (13)2
− 2(6𝑥)(13) = 34, (se simplifica)
4) 𝑥2
+ 4 + 4𝑥 + 36𝑥2
+ 169 − 156𝑥 = 34
5) 37𝑥2
− 152𝑥 + 109 = 0 (𝑎𝑥2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0, 𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑎, 𝑏, 𝑐)
6) 𝑎 = 37, 𝑏 = −152, 𝑐 = 109, (utilizamos la fórmula ∆= 𝑏2
− 4(𝑎)(𝑐))
∆< 0
Una recta es exterior si su discriminante
es negativo:

3. 7) ∆= (−152)2
− 4(37)(109) = 6 972
8) 𝑃𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 ∆> 0, la recta 𝑦 = 6𝑥 − 5 es secante a la circunferencia.
Este se puede verificar gráficamente utilizando el software geogebra