Este documento presenta nueve problemas relacionados con sistemas de ecuaciones lineales. Se analizan y clasifican diferentes sistemas según su compatibilidad e incompatibilidad. También se resuelven algunos sistemas compatibles determinados e indeterminados.

1. 1 Si tenemos un sistema compatible indeterminado de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas, ¿se
puede conseguir un sistema incompatible añadiendo una tercera ecuación? Explicar la respuesta y dar un
ejemplo.
Solución:
Sí se puede conseguir. Basta con añadir una ecuación contradictoria con las otras dos. Por ejemplo:
x  y  3

2 x  2 y  6
Es un sistema compatible indeterminado. Si añadimos una tercera ecuación contradictoria a estas dos se tendrá un
sistema incompatible:
x y  3

2 x 2 y  6
x  y  4

2 Resuelve y clasifica los siguientes sistemas:
a)
2x  y  3

xy 1
b)
2x  3y  z  1.
Solución:
En el caso a) y operando sobre el sistema se tiene y = 2x - 3; y = x -1 de lo que se deduce x = 2 e y = 1 SCD
En el caso b)
todas las soluciones tienen la forma (x , y , z) del tipo (x , y , 2x -3y -1).
Las soluciones de la forma:
xλ 

y μ 
z  2 λ 3 μ 1

Es SCI
3 Resolver y clasificar el sistema:
xyz 1 

2x  y  2z  3
xyz 0  
Solución:
Operando sobre el sistema:

2. x  y  z  1   x  1  y  z,  (1  λ μ, λ, μ)
 3 y 3 λ
2 x  y  2 z  3  x    z,  (   μ, λ, μ)
2 2 2 2
x y z  0   x   y  z,  (  λ μ, λ, μ)
Las soluciones del sistema han de verificar:
1
1  λ μ   λ μ  1  2 λ 0 μ  0, con lo que λ   y
2
1
3 λ λ  1 3 1 3
1  λ μ    μ   1      μ    μ, con lo que 0 μ  .
2
2 2  2 2 4 4
Ningún número real verifica la ecuación, en consecuencia, el sistema carece soluciones. El sistema es
incompatible.
4 Estudiar la compatibilidad de los siguientes sistemas de ecuaciones lineales:
2x  5y  3
  x  2y  3  2x  y  8
a)  ; b)  ; c) 
3x  2y  2
  2x  4y  6 4x  2y  36
Solución:
a) El rango de la matriz de coeficientes es dos, pues la matriz del sistema:
2 5 

3  2 
 
es equivalente a la matriz:
 6 15   6 15 

 6  4    0  19 
  
   
Cuyo rango es dos. La matriz ampliada:
2 5 3

3  2 2 
 
Tiene rango dos, luego es compatible y determinado
b) El rango de la matriz de coeficientes es uno, pues la segunda fila se obtiene multiplicando la primera por - 2. El
rango de la matriz ampliada es uno, pues:
 1  2 3   2 4  6   2 4  6

  2 4 6    2 4 6    0 0 0 
    
     
Entonces se tiene un sistema compatible.
c) El rango es uno, de la matriz de coeficientes:
 2  1

 4  2 
 
Pues:
 2  1  4  2   4  2 

 4  2   4  2   0 0 
    
     
El rango de la matriz ampliada es dos, pues:

3.  2  1 8   4  2 16   4  2 16 

 4  2 36    4  2 36    0 0 20 
    
     
Entonces se tiene un sistema incompatible.
5 n2 x  ny  1

 2
n (2n  1)x  y  4n

Dado el sistema en función del parámetro n:
a) Escríbelo en forma matricial.
b) Discútelo.
c) Resuélvelo para n = 3.
Solución:
 n2 n 1 
 
 n (2 n 1)  1 4 n 
2
 
a)
n2 n 1
 n2 (2 n2  n 1)  0  n  0, n  1, n  
n (2 n 1)  1
2
2
b)
1

2
Si n  0, 1, , es S.C.D.
0 1
  1
1 0
Si n = 0 S.I.
1 1
  3 
1 4
Si n = 1 S.I.
1
1
 4 0 1
1 1
 2 2 0
1 2 1  2

2
Si n = y S.C.I.
 5
 9 3 1   9  3 1 x  18


 45  1 12   0 14 7   
  
    y  1

 2
c) Para n = 3,
6 Sean S y S' dos sistemas de ecuaciones lineales con la misma matriz de coeficientes. Justificar con un
ejemplo que uno de los dos sistemas puede ser compatible y el otro incompatible. Si ambos sistemas son
compatibles, ¿puede ser uno determinado y el otro indeterminado? Razonar las respuestas.
Solución:
Sea S y S' los sistemas que siguen, ambos con la misma matriz de coeficientes M:

4. x  y  3 x  y  3  1 1
   
S y  2 S'  y  2 M   0 1
x  2 y  5 x  2 y  7  1 2
   
Se observa que r (M) = 2 puesto que:
1 1
 1 0
0 1
.
Las matrices ampliadas correspondientes son:
 1 1 3  1 1 3
   
N   0 1 2  y N'   0 1 2 
 1 2 5  1 2 7
   
Observamos que el determinante de N es igual cero y por lo tanto r (N) = 2 = r (M), luego el sistema es compatible;
pero el determinante de N' es 2, distinto de cero y por lo tanto r (N') =3 distinto de r (M), luego el sistema es
incompatible.
Según el teorema de Rouché-Frobenius, si el sistema S es compatible determinado, el rango de la matriz de
coeficientes y el rango de la matriz ampliada son iguales al número de incógnitas del sistema. Si el sistema S' es
compatible indeterminado, el rango de la matriz de coeficientes y el rengo de la matriz ampliada son iguales y
menor que el número de incógnitas.
Si los sistemas S y S' tienen la misma matriz M de coeficientes, tendrán el mismo número de incógnitas, n:
- S compatible determinado, luego r (M) = n
- S compatible indeterminado, luego r (M) < n
Esto lleva a contradicción, luego no puede ser S determinado y S' indeterminado (si tienen la misma matriz de
coeficientes).
7 Halla a para que el siguiente sistema sea incompatible:
2x  ay  a  5

ax  8y  2
Solución:
2 a
 16  a2  0  a  4
a 8
2 1 4 1
 0 0
4 2 8 2
Si a = 4 y , por lo que los rangos coinciden.
2 9
  40
4 2
Si a = -4
Por tanto, es incompatible si a = -4.
8 ax  y  2  a

2x  (a  1)y  2
Halla a para que el sistema sea
a) Compatible determinado.
b) Compatible indeterminado.
c) Incompatible

5. Solución:
a 1
  a2  a 2  0  a  1; a  2
2  (a  1)
1 1 1 1
 0 0
2 2 2 2
Si a = 1 y , por lo que es S.C.I.
2 4
  4
2 2
Si a = -2 , por lo que es S.I.
a) Para a  1 y a  -2
b) Para a = 1
c) Para a = -2
9 Discutir el siguiente sistema, según los distintos valores que pueda tomar el parámetro a y resolverlo
cuando sea compatible:
2x  y  az  4 

x  z  2
x  y  z  2
Solución:
Calculemos los rangos de la matriz A de coeficientes del sistema y de la matriz B ampliada del sistema.
Dado que el determinante de A es a - 2 se tiene que si a es distinto de 2, el determinante no es nulo, luego r (A) =
3, pero si:
a = 2 el determinante es nulo y r (A) = 2.
Puesto que la cuarta columna de B es proporcional a la primera se puede decir que el rango de B es el mismo que
el de la matriz que resulta de eliminar esa cuarta columna, que es A, luego r (A) = r (B). Así pues,
· si a2, r (A) = r (B) = 3 = nº de incógnitas, luego el sistema es compatible determinado; y
· si a = 2, r (A) = r (B) = 2 < nº de incógnitas, luego el sistema es compatible indeterminado.
Para resolver en el caso de a distinto de 2 aplicaremos la regla de Cramer:
4 1 a 2 4 a 2 1 4
2 0 1 1 2 1 1 0 2
2 1 1 2 a 4 1 2 1 0 1 1 2 0
x  2 ; y  0 ; z  0
a 2 a 2 a 2 a 2 a 2 a 2
Para resolver en el caso de a = 2 observamos que el sistema dado es equivalente al subsistema principal:
2 x  y  4  2 z

x  2z 
De soluciones:
4  2z 1 2 4  2z
2z 0 z 2 1 2z 0
x   2z ; y  0 ; zz
1 1 1 1

6. 10 x  my  z  2

mx  2z  4
x  y  z  2

Averigua los valores de m para los cuales el sistema es compatible. Resuélvelo para m = 2.
Solución:
1 m 1
m 0 2   m2  3 m 2  0  m  1, m  2
1 1 1
1 1 1 2 
 
 1 0 2 4 
1 1 1 2 
 
Si m = 1 , y como la cuarta columna es el doble de la tercera, el rango de la matriz de coeficiente y
de la ampliada coinciden, por lo que es compatible.
 1 2 1 2
 
 2 0 2 4
 1 1 1 2
 
Si m = 2 , y como la cuarta columna es el doble de la primera, el rango de la matriz de coeficiente
y de la ampliada coinciden, por lo que es compatible.
Por tanto, es compatible para cualquier valor de m.
Resolvámoslo para m = 2.
Podemos prescindir de la última fila por ser combinación lineal de las dos primeras, por lo que el sistema queda:
x  2  z
x  2 y  z  2 
  y  0
 2 x 2 z  4 z  z

11  1 2 3
 
A   1 3 3
2 5 a
 
Se considera la matriz , siendo a un parámetro real.
 x  0
   
A y    0 
 z  0
   
a) Discute si existe solución del sistema según los valores del parámetro a. En caso afirmativo,
resuélvelo.
 x  0
   
A y    1 
 z  0
   
b) Para a = 6, discute si existe solución del sistema
Solución:
a) |A| = a - 6, entonces, si a = 6 es S.C.I. y si a  6 es S.C.D.

7. Si a  6, al ser S.C.D. y homogéneo, la solución es x = 0, y = 0, z = 0.
Si a = 6, x = -3z, y = 0, z = z.
1 2 0
1 3 1  1
2 5 0
b) , por lo que el rango de la matriz ampliada es 3, mientras que el rango de la matriz de coeficientes
es 2. S.I.
12 x  y  z  6

 x  y  (a  4)z  7
x  y  2z  11

Discute el sistema según los valores del parámetro a y resuélvelo para a = 4.
Solución:
1 1 1
 1  1 a 4  2 a 4  0  a  2
1 1 2
, entonces si a  2 es S.C.D.
1 1 6
 1  1 7  36
1 1 11
Si a = 2, el rango de la matriz de coeficientes es 2, y , por lo que es S.I.
x  y  z  6

 x  y  7
x  y  2 z  11

Para a = 4, el sistema es
 1 1 1 6  1 1 1 6  1 1 1 6  x  5
      
  1  1 0 7    0 0 2 18    0 0 2 18  y  2
 1 1 2 11  1 1 2 11  2 0 3 17 z  9
      
13 Estudiar, dependiendo del parámetro m, el sistema de ecuaciones:
x  y 1

 my  z  0
x  (1  m)y  mz  m  1

Y resolverlo para m = 2.
Solución:
Dada la matriz de coeficientes del sistema:

8. 1 1 0
 
A  0 m 1
 1 1  m m
 
Se tiene que su determinante es:
1 1 0
0 m 1  m 2  1  (1  m)  m 2  m  m(m 1)
1 1 m m
Si es nulo, entonces m = 0 o m = 1.
· si m = 0,
 1 1 0
 
A   0 0 1
 1 1 0
 
Y la matriz ampliada queda como:
 1 1 0 1
 
B  0 0 1 0
 1 1 0 1
 
Dado que el determinante de A es nulo y el menor:
1 0
 1 0
0 1
r (A) = 2. Dado que la tercera fila de B es igual a la primera r (B) = 2 = r (A) < nº de incógnitas. El sistema es
compatible indeterminado, tiene infinitas soluciones.
· si m = 1,
 1 1 0
 
A   0 1 1
 1 2 1
 
Y la matriz ampliada queda como:
 1 1 0 1
 
B  0 1 1 0
 1 2 1 2
 
Dado que el determinante de A es nulo y el menor:
1 1
 1 0
0 1
r (A) = 2. Orlando ese menor la tercera fila y la cuarta columna de B tenemos:
1 1 1
0 1 0  2 1 1 0
1 2 2
Y en consecuencia r (B) = 3 distinto de r (A). El sistema es incompatible, no tiene solución.
· si el determinante no es nulo, para m distinto de 0 y 1 y r (A) = r (B) = 3 = nº de incógnitas. El sistema es
compatible determinado, tiene una única solución. Veamos cuál es la solución para m = 2:

9. x  y 1 x y  1 
 III II 
 2 y  z  0 I2 y  z  0  z  2 ;
 y  1 ; x2
x  3 y  2 z  3 z  2
 
.
14 n2 x  ny  1

 2
(3n  2n)x  y  6n  1

Discute el sistema en función del parámetro n y resuélvelo cuando sea posible
Solución:
1 2 n 1 2(n 1)
x , y
3 n2 n2
Si n  0 y n  , S.C.D. Solución:
Si n = 0, S.I.
1
3
Si n = , S.C.I. Solución: x = -9 - 3y, y = y
15 Determinar para qué valores de m el siguiente sistema tiene solución única, tiene infinitas soluciones y no
tiene solución:
x  y  1

2x  y  4z  4 

x  y  3z  1 
(1  m)x  3y  6z  3 

Solución:
Efectuando transformaciones elementales de tipo fila sobre la matriz asociada al sistema intentamos llegar a un
sistema triangular equivalente:
 1 1 0 1 1 1 0 1 
   
F21( 2) 0 1
 2 1 4 4  4 2 
 1 
1  3 1  F31( 1)  0 0 3 0 
  F41(m 1) 
1  m  3 6 3  0 m 4 6 m 2 
   
1 1 0 1   4 m 10  1 1 0 1 
  F43 
 
 
F42 (m  4) 0  1   0  1
 4 2  3 4 2 
  
0 0 3 0  0 0 3 0 
   
0 0 4 m 10 3 m 6  0 0 3 m 6 
   0 
Fijándonos en el término 3m - 6 de la última ecuación se tienen las siguientes soluciones:
- Si m = 2, 3m - 6 = 0 y el sistema es compatible determinado, tiene solución única (3 , -2 , 0)
- Si m distinto de 2, el sistema es incompatible, no tiene solución
- Por tanto, no existe valor de m que haga tener infinitas soluciones al sistema
16 Determina para qué valores del parámetro k, el sistema:

10. x  3y  (1  k)z  0

 2x  5y  3z  1
 x  (5  k)y  z  k  2

a) es compatible
b) es incompatible
Solución:
Obtenemos primero la matriz de los coeficientes, A, y la matriz ampliada, B.
1 3 1 k 1 3 1 k 0
   
A  2 5 3 ; B  2 5 3 1
1 5k  1 1 5k  1 k 2
   
Calculemos el rango de A. Tomando el menor de orden 2 formado a partir de las primera y segunda filas y
columnas tenemos que:
1 3
0
1 5
Por tanto, r (A)  2 para todo k. Tomando y desarrollando el menor de orden 3:
1 3 1 k
2 5 3
1 5k 1
Se tiene que:
1 3 1 k 1 3 1 k
 11 1  2 k  11 1  2 k
2 5 3  0  11 1  2 k  1 ·( 1)11  (k  2)
2k 2k 1 1
1 5k 1 0 2k 2k
 2(k  2)(k  5)
Por tanto, si 2 (k - 2)(k - 5) = 0, r (A) = 2; y si 2 (k - 2)(k - 5)  0, r (A) = 3. Es decir: si k =2 o k =5, r (A)=2; y en
otro caso, r (A) =3.
Ahora veamos k = 2
1 3  1 0
 
B  2  5 3 1
1 3  1 0
 
y r(B)= 2 pues tiene dos filas iguales y además el menor
1 3
0
2 5
.
Si k = 5
1 3  4 0
 
B  2  5 3 1
1 0  1 3
 
Y r (B) mayor o igual a 2. Veamos si es dos o tres calculando los menores de orden 3:

11. 1 3 0 1 3 0
1 3
2  5 1  2  5 1  1 ·( 1)23  ( 15  15)  30  0
 5 15
1 0 3  5 15 0
Luego r (B) = 3 y el sistema es incompatible.
17  1 3
1 2 λ  
A
 1  1  1
 B   λ 0
   0 2
 
Se consideran las matrices donde  es cualquier número real.
a) Encuentra los valores de  para los que AB es invertible
b) Determina los valores de  para los que BA es invertible
x
  a
A y    
 
 z  b 
 
c) Dados a y b , números reales cualesquiera, ¿ puede ser el sistema compatible determinado
?
Solución:
 1 3
1 2 λ    1  2 λ 3  2 λ 
AB    λ 0  
1  1  1  
   0 2  1 λ 1  
 
2 2
a) Calculamos siendoAB = 1 + 2 - 3 - 2 + 3 + 2 = 2 +
3 -2 ; calculamos las raíces de AB = 0
 3  9  16  3  5
λ 
4 4
, luego las raíces son 1 = 1/2 y 2 = -2
2
2 + 3 -2 = 0
Si   1 , 2 el determinante AB 0 y el rango de AB = 2, luego AB es invertible.
 1 3  4  1 λ 3
  1 2 λ   
BA   λ 0  
    λ 2 λ λ2 

 0 2  1  1  1  2  2  2 
   
b) Calculemos
4  1 λ 3 4 3 λ 1
3 λ 1
BA  2 λ 1 2 λ  2 λ 1 3 λ 1  2 λ 0
3 λ 1
1 1 1 1 0 0
, cualquiera que sea el valor de ; luego no existe valor
de  para el que BA sea invertible
x
  a
A y    
 
 z  b a
  r A   r  
b
 
c) Para que el sistema sea compatible es necesario que y para que sea determinado

12. a
r A   r  
b
 
tiene que ser = número de incógnitas , lo cual es imposible, pues el rango de A a lo sumo puede ser 2.
18 x  2y  az  1

 y  z  0
ax  z  a

Discute el sistema según los valores del parámetro a y resuélvelo para a = 1.
Solución:
1 2 a
0 1 1   a2  2 a 1  0  a  1
a 0 1
, entonces si a  1 es S.C.D.
1 2 1 1 1 1
0 1 0  0 0 1 0 0
1 0 1 1 1 1
Si a = 1, el rango de la matriz de coeficientes es 2, y y , por lo que es S.C.I.
x  2 y  z  1

 y  z  0
x  z  1

Para a = 1, el sistema es , pero se puede prescindir de la última ecuación por ser combinación lineal
de las dos primeras.
x  1  z
x  2 y  z  1 
  y  z
 y  z  0 z  z

Entonces
19 Determina m para que sea compatible el sistema:
x  3y  (m  1)z  0 

2x  5y  3z  1 
3x  my  2z  m  1

Solución:
Obtenemos primero la matriz de los coeficientes, A, y la matriz ampliada, B, del sistema:
 1 3  (m 1)  1 3  (m 1) 0 
   
A  2  5 3  ; B  2  5 3 1 
3  m 2  3  m 2 m 1
   
Debemos determinar los valores de m para los que r (A) = r (B). Calculemos el determinante de A.

13. 1 3  (m  1) 1 3  (m  1) 1 3  (m  1)
2 5 3  2  2(1)  5  2(3) 3  2(m 1)  0  11 1 2m  1 ·( 1)11
3 m 2 3  3(1)  m 3(3) 2  3(m 1) 0  m 9 3 m 1
 11 1 2m
 11(3 m 1)  (1  2 m)( m 9)  2 m 2  14 m 20  2(m 2)(m 5)
 m 9 3 m 1
Tomando el menor de orden 2 formado a partir de las primera y segunda filas y columnas tenemos que
1 3
0
2 5
Si tomamos un valor de m = 2 o m = 5 se tiene que el determinante es cero y por lo tanto r (A) = 2, pero si se toman
valores distintos a estos el determinante no es cero y por lo tanto r (A) = 3. Veamos ahora qué pasa con todos
estos valores en cuanto al rango de B.
· si m = 2, la matriz queda como:
 1 3  1 0
 
B   2  5 3 1
 3  2 2 1
 
Calculando el siguiente menor de orden 3 tenemos:
1 3 0 1 3 0
2 5 1  1  3 0  0
3 2 1 3 2 1
En consecuencia, r (B) = 2 = r (A).
· si m = 5, la matriz queda como:
 1 3  4 0
 
B   2  5 3 1
3  5 2 4
 
Calculando el siguiente menor de orden 3 tenemos:
1 3 0 1 0 0
2  5 1  2  11 1  44  14  0
3 5 4 3  14 4
En consecuencia, r (B) = 3  r (A).
· si m es distinto de 2 y 5 r (B) = 3 = r (A).
Así pues, el sistema es compatible para todo m distinto de 5 siendo indeterminado para m = 2, y determinado para
el resto.
20 ax  y  2

y  z  1
x  ay  1

Discute el sistema según los valores del parámetro a.
Solución:
Si a   1, S.C.D.
Si a = 1 o a = -1, S.I.

14. 21 Estudiar, según los distintos valores del parámetro m, y resolver, en los casos de compatibilidad, el
siguiente sistema:
x y  mz  1 

x  my  z  m 
mx  y  z  m 2 

Solución:
Obtenemos primero la matriz de coeficientes, A, y la matriz ampliada, B, del sistema:
 1 1 m 1 1 m 1 
   
A   1 m 1 y B   1 m 1 m 
m 1 1  m 1 1 m2 
   
Calculemos el determinante de A:
1 1 m 2m 1 m 1 1 m 1 1 m
1 m 1  2m m 1  (2  m) 1 m 1  (2  m) 0 m 1 1  m  (m 2)(m 1)2
m 1 1 2m 1 1 1 1 1 0 0 1 m
Observamos los resultados si el determinante se hace nulo o no:
· si m = -2, las matrices quedan como sigue:
 1 1  2  1 1 2 1
   
A 1 2 1 y B   1  2 1  2
 2 1 1  2 1 1 4
   
Dado que el menor formado por las primera y segunda filas y columnas no es nulo, se tiene que r (A) = 2. Ya en B,
se observa que:
1 1 1 1 1 1
1  2  2  0  3  3  9  0
2 1 4 0 3 6
Por tanto, r (B) = 3 distinto de r (A), y el sistema es incompatible.
· si m = 1, r (A) = r (B) = 1, pues en ambas matrices son iguales las tres filas. El número de incógnitas es mayor que
los rangos. El sistema es compatible indeterminado. Veamos cuáles son sus infinitas soluciones:
x + y + z = 1 ; x = 1 - y - z ; Se tienen las soluciones (1 - y - z, y, z) para todos y,z.
· si m distinto de 1 y 2 r (A) = r (B) = 3 = número de incógnitas. El sistema es compatible determinado. Veamos la
solución:

15. 1 1 m 1 1 m
m m 1 0 0 1  m2
m2 1 1 m2 1 1  (1  m 2 )(1  m 2 ) (m  1)2
x    ;
 (m  2)(m 1)2  (m  2)(m 1)2  (m  2)(m 1)2 m 2
1 1 m 1 1 m
1 m 1 0 m 1 1 m 1 1
(m  1)2
m m2 1 0 m(m 1) 1  m 2 m  (1  m) 1
y    ;
 (m  2)(m 1) 2
 (m  2)(m 1) 2
 (m  2)(m  1) 2 m 2
1 1 1 1 1 1
1 m m 0 m 1 m 1 1 1
(m  1)2
m 1 m 2
0 1  m m(m 1) 1 m m 1
z    .
 (m  2)(m 1) 2
 (m  2)(m 1) 2
 (m  2)(m 1)2 m 2
22 x  y  z  0

x  (m  1)y  z  0
x  y  (m  1)z  0

Discute el sistema en función del parámetro m y resuélvelo cuando sea posible.
Solución:
Si m  0 y m  -2, S.C.D. Solución x = y = z = 0
Si m = 0, S.C.I. Solución: x = -z, y = 0, z = z
Si m = -2, S.C.I. Solución x = 0, y = z, z = z
23 Discutir y resolver el siguiente sistema según los distintos valores del parámetro m:
5x  (m  5)y  z6 

(m  5)x  3y  3z  2m  7
(2m  3)x  (m  2)y  (m  1)z  m  2 

Solución:
Obtenemos primero las matriz de coeficientes, A, y la matriz ampliada, B, del sistema propuesto:
 5  (m 5) 1   5  (m 5) 1 6 
   
A   m 5 3 3  ; B   m 5 3 3 2 m 7 
 2 m 3 m 2 m 1  2 m 3 m 2 m 1 m 2 
   
Para obtener los rangos de A y de B calcularemos el único menor de orden 3 posible en la matriz A:

16. 5  (m  5) 1 5  m 5 1
m 10 3 m 12
m 5 3 3  m 10 3 m 12 0 
 3 m 2 m 2  5 m  3
2 m 3 m 2 m 1  3 m 2 m 2  5 m 3 0
 m 3  6 m 2  11m 6 | A |
Ya que:
| A | (m 1)(m 2)(m 3)
Tenemos los resultados siguientes según sea el valor de m:
· si m = 1, las matrices quedan como sigue:
 5 4 1  5 4 1 6
   
A   6 3 3 ; B   6 3 3 9
  1  1 0   1  1 0  1
   
Observamos que el menor de orden 2, formado por la primera y segunda filas y la primera y tercera columnas de la
matriz A, no es nulo, luego r (A) = 2. Se observa también que el siguiente menor de orden 3, formado a partir de B,
es:
5 1 6 5 1 1
6 3 9  6 3 3 0
1 0 1 1 0 0
luego el r (B) = r (A) = 2 < 3 = número de incógnitas. El sistema es compatible indeterminado.
Las infinitas soluciones del sistema son:
x  2  λ

y  λ 1 
zλ 

Veamos el proceso:
Dado que r (B) = 2 y que el menor de orden 2 anteriormente descrito no es nulo, en la matriz B se verifica que la
primera y la segunda fila son linealmente independientes, y que la tercera filas es combinación lineal de las otras
dos. Así, basta con resolver el siguiente sistema equivalente al propuesto:
5 x 4 y  6  z 

6 x  3 y  9  3 z
6z 4 5 6z
9  3z 3 9 z 18 6 9  3z  9 z 9
x   2z ; yx   z 1 ; z  λ,  λ  
5 4 9 5 4 9
6 3 6 3
· si m = 2, las matrices quedan como sigue:
 5 3 1 5 3 1 6
   
A   7 3 3  ; B   7 3 3 11
 1 0 1  1 0 1 0
   
Observamos que el menor de orden 2, formado por la primera y segunda filas y la segunda y tercera columnas de
la matriz A, no es nulo, luego r (A) = 2.

17. 3 1 6
3 6
3 3 11    15  0
3 11
0 1 0
Se observa también que el siguiente menor de orden 3, formado a partir de B, es
Luego el r (B) = 3 distinto de r (A) = 2. El sistema es incompatible.
· si m = 3, las matrices quedan como sigue:
 5 2 1 5 2 1 6
   
A   8 3 3  ; B   8 3 3 13 
 3 1 2 3 1 2 1
   
Observamos que el menor de orden 2, formado por la primera y tercera filas y la segunda y tercera columnas de la
matriz A, no es nulo, luego r (A) = 2. Se observa que el menor de orden 3, formado a partir de B:
2 1 6
3 3 13  18  0
1 2 1
Luego r (B)= 3 distinto de r (A)= 2. El sistema es incompatible.
· si m distinto de 1, 2 y 3, r (A) = r (B) = 3 = número de incógnitas. El sistema es compatible determinado.
Aplicando la regla de Cramer se tiene que la solución es:
2 m 2  4 m 15 
x 
(m  2)(m  3) 
m 18 

y 
(m  2)(m  3) 
 3(m 2  m 7) 
z 
(m  2)(m  3) 
Veamos el proceso:

18. 6  m 5 1
2 m 7 3 3
m 2 m 2 m 1 (m  1)(2 m 2  4 m 15) 2 m 2  4 m 15
x   ;
5  m 5 1 (m  1)(m 2)(m  3) (m  2)(m 3)
m 5 3 3
2 m 3 m 2 m 1
5 6 1
m 5 2 m 7 3
2 m 3 m 2 m 1 (m  1)(m  18) m 18
y   ;
5  m 5 1 (m  1)(m 2)(m 3) (m  2)(m 3)
m 5 3 3
2 m 3 m 2 m 1
5 1 6
m 5 3 2 m 7
2 m 3 m 1 m 2  3(m 1)(m 2  m 7)  3(m 2  m 7)
z   ;
5  m 5 1 (m  1)(m  2)(m  3) (m  2)(m  3)
m 5 3 3
2 m 3 m 2 m 1
24 x  y  1

my  z  0
x  (1  m)y  mz  m  1

Discute el sistema según los valores del parámetro m y resuélvelo para el caso m
=0
Solución:
1 1 0
0 m 1  m2  m  0  m  0, m  1
1 1 m m
, por lo que si m  0 y m  1, es S.C.I.
1 1 1 1 0 1
0 0 0 0 0 1 0 0
1 1 1 1 0 1
Si m = 0, el rango de la matriz de coeficientes es 2, y y , por lo que es S.C.I.

19. 1 1 1
0 1 0 1
1 2 2
Si m = 1, el rango de la matriz de coeficientes es 2, y , por lo que es S.I.
x  y  1 x  1  y
 
z  0 y  y
x  y  1 z  0
 
En el caso en que m = 0, el sistema es , por lo que
25 Determinar el valor del parámetro p para que el sistema:
y  z  1

(p  1)x  y  z  p
x  (p  1)y  z  0 

a) tenga solución única
b) tenga infinitas soluciones
c) no tenga solución
Calcular las soluciones del sistema en los casos que sea posible.
Solución:
Obtenemos primero la matriz de los coeficientes, A, y la matriz ampliada, B.
 0 1 1  0 1 1 1
   
A   p 1 1 1  ; B   p 1 1 1 p
 1 p 1  1  1 p 1  1 0 
   
Calculemos el rango de A. Tomando el menor de orden 2 formado a partir de las primeras y terceras filas y
columnas tenemos que:
0 1
0
1 1
Por tanto, r (A) mayor o igual a 2 para cualquier valor de p. A partir del menor anterior obtenemos el siguiente
menor de orden 3:
0 1 1 0 0 1
p 1 0
p 1 1 1  p 1 0 1  1 ·( 1)13  p(p 1)
1 p
1 p 1  1 1 p 1
Luego si p = 1 o p = 0, r (A) = 2; en otro caso r (A) = 3.
Caso p = 0:
 0 1 1 1
 
B   1 1 1 0
 1  1  1 0
 
Y r (B) = 2, pues la segunda fila es igual a la tercera multiplicada por (-1). Sistema compatible indeterminado.
Caso p = 1

20. 0 1 1 1
 
B  0 1 1 1
 1 0  1 0
 
Y r (B) = 2, pues la segunda fila es igual a la primera. Sistema compatible indeterminado.
Y si p es distinto de 0 y 1, r (B) = 3 . Sistema compatible determinado.-
Resolvamos el caso p = 0:
y z  1   y  1  z

x  y  z  0  x  1
Cuyas soluciones son:
x 1 

y  1  λ λ  
zλ  
Resolvamos el caso p = 1:
y z  1 

x  z  0
Se tienen las soluciones:
xλ 

y  1  λ λ  
zλ  
Resolvamos el caso p distinto de 0 y 1: :
x  1

y  0
z  1

por la regla de Cramer:

21. 1 1 1 1 1 1
p 1 1 p 1 0 0 1 1
(p  1)( 1)21
0 p 1  1 0 p 1  1 p 1  1 p(p 1)
x    1 ;
0 1 1 p(p 1) p(p 1) p(p 1)
p 1 1 1
1 p 1  1
0 1 1 1 1 1
p 1 p 1 p p 1
1 0 1 0 0 1 0
y   0 ;
0 1 1 p(p 1) p(p 1)
p 1 1 1
1 p 1  1
0 1 1 0 0 1
p 1 1 p p 1 1  p p p 1  (p  1) 1 1
( 1)1 3 (p  1)
1 p 1 0 1 p 1 0 1 p 1 1 p 1 p(p 1)
z     1
0 1 1 p(p 1) p(p 1) p(p 1) p(p 1)
p 1 1 1
1 p 1  1