Gauss jordan

Academia de Precálculo Area de Matemáticas
Matrices: Gauss-Jordan
Esta presentación, contiene el
apoyo teórico básico sobre el
método de Gauss-Jordan para
resolución de sistemas de
ecuaciones.
El objetivo es, que al final de
tema puedas aplicar este método
para resolver cualquier sistema
de ecuaciones

El primer paso para resolver un sistema de ecuaciones mediante el
método de Gauss-Jordan es escribir la matriz aumentada del
sistema.
1 2 3
1 2 3
1 2 3
2 4 6 18
4 5 6 24
3 2 4
x x x
x x x
x x x
  
  
  
Matriz aumentada
del sistema
2 4 6 | 18
4 5 6 | 24
3 1 2 | 4
 
 
 
  
Sistema de ecuaciones
a resolver
La matriz aumentada se
obtiene con los coeficientes
de las incógnitas y los
términos independientes de
cada ecuación.
El sistema debe estar
ordenado respecto a las
incógnitas

Los siguientes pasos consistirán en aplicar las transformaciones
básicas de matrices. El propósito es obtener una matriz identidad
en el lado izquierdo de la matriz aumentada.
 Multiplicar o dividir un renglón por un
escalar diferente a cero.
 Sumar un múltiplo de un renglón a otro
renglón.
 Intercambiar dos renglones.
Transformaciones
Básicas

Las transformaciones básicas tienen una notación estándar que nos
permite identificarlas dentro del proceso de eliminación Gaussiana.
RicRi
“Reemplazar el i-ésimo renglón por
ese mismo renglón multiplicado por el
escalar c”.
RjRj+cRi
“Reemplazar el j-ésimo renglón por la
suma del renglón j más el renglón i
multiplicado por el escalar c”.
Ri Rj
“Intercambiar los renglones i y j”.

Las transformaciones deberán aplicarse de manera tal que, no se
nos olvide, obtengamos una matriz identidad de lado izquierdo de
la matriz adjunta
1 Dividir el primer renglón para hacer el coeficiente de x1 igual a 1
2 4 6 | 18
4 5 6 | 24
3 1 2 | 4
 
 
 
  
1 2 3 | 9
4 5 6 | 24
3 1 2 | 4
 
 
 
  
1 1
1
2
R R
Al renglón 1 lo
dividimos entre 2

2 Eliminar los términos de x1 de los demás renglones, es decir,
hacer los coeficientes iguales a 0 multiplicando el primer renglón
por los números adecuados y sumándolo al segundo y tercer renglón.
1 2 3 | 9
0 3 6 | 12
0 5 11 | 23
 
    
    
2 2 1
3 3 1
4
3
R R R
R R R
 
 
1 2 3 | 9
4 5 6 | 24
3 1 2 | 4
 
 
 
  
Al renglón 3 le restamos 3
veces el renglón 1
veces el renglón 1

3 Dividimos el segundo renglón para hacer el coeficiente de x2 igual a 1.
Al renglón 2 lo
dividimos entre -3
1 2 3 | 9
0 1 2 | 4
0 5 11 | 23
 
 
 
    
2 2
1
3
R R 
1 2 3 | 9
0 3 6 | 12
0 5 11 | 23
 
    
    

4 Hacemos cero los coeficientes de x2 en los renglones 1 y 3.
Al renglón 3 le sumamos 5
veces el renglón 2
veces el renglón 2
1 0 1 | 1
0 1 2 | 4
0 0 1 | 3
 
 
 
   
1 1 22R R R 
3 3 25R R R 
1 2 3 | 9
0 1 2 | 4
0 5 11 | 23
 
 
 
    

5 Dividimos el tercer renglón para hacer el coeficiente de x3 igual a 1.
Al renglón 3 lo
dividimos entre -1
1 0 1 | 1
0 1 2 | 4
0 0 1 | 3
 
 
 
  
3 3R R 
1 0 1 | 1
0 1 2 | 4
0 0 1 | 3
 
 
 
   

1 0 0 | 4
0 1 0 | 2
0 0 1 | 3
 
  
  
6 Hacemos cero los coeficientes de x3 en los renglones 1 y 2.
veces el renglón 3
Al renglón 1 le sumamos
el renglón 3
2 2 32R R R 
1 0 1 | 1
0 1 2 | 4
0 0 1 | 3
 
 
 
   1 1 3R R R 

Observemos la última matriz que hemos obtenido
Matriz identidad
Valores
independientes
Una vez que obtenemos la
matriz identidad del lado
derecho de la matriz adjunta,
podemos dar por concluido el
método de Gauss-Jordan
para resolver el sistema de
ecuaciones
1 0 0 | 4
0 1 0 | 2
0 0 1 | 3
 
  
  

¿Cuál es la solución al sistema de ecuaciones planteado?
1 0 0 | 4
0 1 0 | 2
0 0 1 | 3
 
  
  
X1 X2 X3
Ecuación 1
Ecuación 2
Ecuación 3
C
1
2
3
4
2
3
x
x
x

 

Reconstruimos el
sistema de
ecuaciones a
partir de la matriz
Solución al sistema de
ecuaciones

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