El documento presenta conceptos básicos de álgebra lineal y análisis multivariante, incluyendo vectores, matrices ortogonales, autovalores y autovectores, y métodos como el análisis de componentes principales y análisis factorial. Explica cómo representar datos multivariados mediante vectores y matrices, y describe técnicas para analizar la estructura subyacente de los datos, como la descomposición en valores y vectores propios de la matriz de covarianzas.
Soluciones ejercicios algoritmo de kruskalCesar Flores
Este documento presenta dos problemas de determinar el árbol de mínima expansión para dos grafos dados utilizando el algoritmo de Kruskal. No se proporcionan detalles sobre los grafos, las aristas o los pasos del algoritmo de Kruskal aplicado a cada uno.
Aplicaciones de calculo de integrales dobles y tripleswalterabel03
2
0
2
∫
−2 x + 20
4x
2
dydx
x) dx + ∫ (20 − 2x) dx = 36
Este documento presenta aplicaciones de las integrales múltiples, incluyendo el cálculo del área de figuras planas mediante integrales dobles. Se explica que el área de una región D se obtiene como la integral doble de la función constante 1 sobre D. Además, se resuelven dos ejemplos de cálculo de áreas de regiones mediante integrales dob
Ejercicios resueltos integrales dobles y triples manoleter
Este documento presenta una serie de ejercicios resueltos sobre cálculo de integrales dobles en coordenadas rectangulares cartesianas. En total se presentan 7 problemas con sus respectivas soluciones, donde se calculan áreas, volúmenes y otras integrales dobles sobre diferentes regiones delimitadas por funciones.
Este documento explica conceptos clave de las funciones cuadráticas y ecuaciones de segundo grado. Explica que una función cuadrática tiene la forma f(x)=ax^2 + bx + c y describe cómo los coeficientes a, b y c determinan la intersección con los ejes, la concavidad y el vértice. También cubre cómo resolver ecuaciones de segundo grado usando la fórmula de las raíces y el discriminante, el cual indica si las raíces son reales o complejas.
Este documento presenta información sobre grafos isomorfos y árboles. Define grafos isomorfos como aquellos que tienen la misma estructura de conexión entre vértices a pesar de posibles diferencias en la posición de los vértices. También define árboles como un tipo especial de grafo no dirigido sin ciclos.
PROBLEMA RESUELTO FdeT: ECUACIONES DIOFANTICASFdeT Formación
En esta presentación aprenderás a resolver un problema mediante ecuaciones diofánticas. Aprenderás a distinguir cuando una ecuacion diofántica tiene solución, y a calcularla.
Una relación es una asociación entre elementos de dos conjuntos definida como un subconjunto del producto cartesiano de los conjuntos. Una relación especifica los pares ordenados cuyo primer elemento pertenece al dominio y el segundo al rango. La relación inversa intercambia los elementos de cada par ordenado.
El documento define un retículo como un conjunto en el que se han definido dos operaciones llamadas unión e intersección que cumplen ciertas propiedades. Proporciona ejemplos de retículos como conjuntos ordenados y subespacios vectoriales. También explica las propiedades de asociatividad, conmutatividad e idempotencia que cumplen las operaciones de un retículo.
Soluciones ejercicios algoritmo de kruskalCesar Flores
Este documento presenta dos problemas de determinar el árbol de mínima expansión para dos grafos dados utilizando el algoritmo de Kruskal. No se proporcionan detalles sobre los grafos, las aristas o los pasos del algoritmo de Kruskal aplicado a cada uno.
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2
0
2
∫
−2 x + 20
4x
2
dydx
x) dx + ∫ (20 − 2x) dx = 36
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Ejercicios resueltos integrales dobles y triples manoleter
Este documento presenta una serie de ejercicios resueltos sobre cálculo de integrales dobles en coordenadas rectangulares cartesianas. En total se presentan 7 problemas con sus respectivas soluciones, donde se calculan áreas, volúmenes y otras integrales dobles sobre diferentes regiones delimitadas por funciones.
Este documento explica conceptos clave de las funciones cuadráticas y ecuaciones de segundo grado. Explica que una función cuadrática tiene la forma f(x)=ax^2 + bx + c y describe cómo los coeficientes a, b y c determinan la intersección con los ejes, la concavidad y el vértice. También cubre cómo resolver ecuaciones de segundo grado usando la fórmula de las raíces y el discriminante, el cual indica si las raíces son reales o complejas.
Este documento presenta información sobre grafos isomorfos y árboles. Define grafos isomorfos como aquellos que tienen la misma estructura de conexión entre vértices a pesar de posibles diferencias en la posición de los vértices. También define árboles como un tipo especial de grafo no dirigido sin ciclos.
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En esta presentación aprenderás a resolver un problema mediante ecuaciones diofánticas. Aprenderás a distinguir cuando una ecuacion diofántica tiene solución, y a calcularla.
Una relación es una asociación entre elementos de dos conjuntos definida como un subconjunto del producto cartesiano de los conjuntos. Una relación especifica los pares ordenados cuyo primer elemento pertenece al dominio y el segundo al rango. La relación inversa intercambia los elementos de cada par ordenado.
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El documento describe el método de falsa posición para resolver una ecuación no lineal. Se aplica el método al ejemplo f(x)=e-x en el intervalo [0,1] con precisión ε=0.0001. Tras 5 iteraciones se obtiene la raíz 0.56715.
Este documento describe varios métodos para la derivación e integración numérica. Explica el método de las diferencias finitas para aproximar derivadas, así como los métodos del trapecio, Simpson y Euler para la integración numérica. También presenta el método de Romberg para mejorar la precisión de la integración mediante la regla del trapecio.
Este documento presenta varios problemas resueltos relacionados con movimientos unidimensionales con velocidad y aceleración constante. Los problemas incluyen calcular velocidades promedio y velocidades instantáneas en diferentes intervalos de tiempo, así como aceleraciones involucradas en movimientos como caída libre y frenado de vehículos. Las respuestas proporcionan detalles matemáticos y físicos para cada cálculo.
Cómo programar C++, 9na Edición - Paul Deitel.pdfMonica277891
Este documento presenta un libro sobre programación en C++. El libro utiliza el método de código activo de Deitel, donde los conceptos se presentan en el contexto de programas completos en lugar de fragmentos de código. El libro cubre temas como programación orientada a objetos, el estándar C++11, apuntadores inteligentes y la biblioteca estándar de C++. El documento también proporciona información sobre cómo acceder a capítulos adicionales del libro en línea.
Este documento define informalmente los límites y sus propiedades en matemáticas. Explica que un límite matemático expresa la tendencia de una función o sucesión cuando sus parámetros se aproximan a un valor determinado. Proporciona una definición informal de límite como el valor al que se acerca una función f(x) cuando x tiende a un valor s, siempre que se pueda encontrar un x cercano a s tal que el valor de f(x) esté arbitrariamente cerca de ese valor. Además, incluye ejemplos y actividades para calcular
El documento define las derivadas parciales de primer y segundo orden para funciones de dos y tres variables. Explica que las derivadas parciales de primer orden representan las pendientes de la función en las direcciones de cada variable cuando las demás se mantienen constantes. También establece que las derivadas parciales mixtas de segundo orden son iguales para funciones continuas. Finalmente, presenta algunos ejemplos para calcular derivadas parciales.
Transformaciones lineales de la reflexión y rotación en forma matricial en 2DJlm Udal
Las diapositivas muestran ejemplos sobre transformaciones lineales en 2D, en específico, la reflexión y la rotación. Estas representaciones matriciales tienen una gran aplicabilidad en las matemáticas y su entendimiento facilita la comprensión para otros espacios vectoriales.
El documento define el producto interno como una función que asigna un número real al par ordenado de vectores en un espacio vectorial. Se describen varios productos internos comunes como el producto escalar y el producto vectorial. La norma o longitud de un vector se define como la raíz cuadrada del producto interno de ese vector consigo mismo. Vectores ortogonales son aquellos cuyo producto interno es cero, y una base ortonormal es una base de vectores ortogonales cuya norma es uno.
El documento explica el concepto de inducción matemática y su principio. El principio de inducción matemática establece que para demostrar que una propiedad P es válida para todos los números naturales, basta con demostrar que P es válida para 1 y que si es válida para un número natural n, también lo es para n+1. El documento incluye dos ejemplos de demostraciones mediante inducción matemática.
Este documento proporciona una guía de solución con 12 problemas sobre vectores en el plano y en el espacio. Los problemas cubren temas como determinar la magnitud y dirección de vectores dados, sumar y restar vectores, encontrar vectores unitarios con ciertas direcciones, y calcular la magnitud de vectores entre puntos.
Este documento presenta los pasos para resolver un sistema de ecuaciones lineales utilizando el método de Gauss-Jordán. Primero, se escriben las ecuaciones en forma matricial. Luego, se transforma la matriz en una matriz identidad a través de operaciones como multiplicar filas por constantes e intercambiar filas. Finalmente, se obtienen los valores de las variables despejándolas de la matriz identidad.
Este documento describe los métodos directos para resolver sistemas de ecuaciones lineales, incluyendo el método de Gauss-Jordan. Explica cómo el método de Gauss-Jordan transforma la matriz aumentada mediante operaciones lineales para reducirla a la forma de la matriz identidad, lo que proporciona el vector solución en la última columna. También presenta un ejemplo resuelto paso a paso usando este método para resolver un sistema de ecuaciones derivado de un problema comercial.
El documento presenta la resolución de varios ejercicios sobre grafos. En el primer ejercicio, se explica que para dibujar un grafo sin levantar el lápiz y sin repetir aristas, debe tener dos vértices impares o todos pares. En el segundo, se concluye que los grafos completos son hamiltonianos pero no eulerianos ni bipartitos. El tercero indica que dos grafos no son isomorfos si sus vértices no coinciden en grado. Finalmente, se analizan las propiedades de conectividad, eulerianidad y mult
Este documento describe funciones de varias variables. Explica que una función de varias variables asigna un único valor a cada par ordenado de sus variables y que su dominio es el conjunto de pares ordenados. También describe cómo graficar funciones de dos variables en 3D y mediante curvas de nivel, las cuales son conjuntos de puntos donde la función es constante.
El documento describe el método del punto fijo para resolver ecuaciones no lineales. Este método involucra reescribir la ecuación original en la forma x=g(x) y luego generar una sucesión iterativa xi+1=g(xi) que converge a la raíz. Se presenta la existencia y convergencia del método, así como un algoritmo y ejemplos para ilustrar el cálculo numérico de raíces.
El documento trata sobre integrales impropias de primera especie, donde el intervalo de integración es infinito pero la función es acotada. Explica las propiedades de estas integrales y presenta varios criterios de convergencia, incluyendo comparación, paso al límite y Dirichlet. Luego, propone 11 problemas resueltos como ejemplos de cálculo de este tipo de integrales y estudio de su convergencia.
Este documento describe diferentes métodos numéricos para aproximar la derivada de una función, conocidos como diferencias finitas. Explica que la derivada puede aproximarse como la primera diferencia dividida hacia adelante, hacia atrás o central, con diferentes órdenes de error. También presenta un ejemplo numérico para ilustrar cómo aplicar estos métodos y calcular el error de las aproximaciones usando diferentes tamaños de paso.
Este documento presenta definiciones y propiedades de logaritmos, raíces y potencias. Define el logaritmo natural ln como logaritmo en base e, donde e es aproximadamente 2.718. También explica que no existe logaritmo de números negativos y que la potencia de 0 es igual a 1.
Este documento presenta fórmulas trigonométricas básicas para seno, coseno, tangente y cotangente de ángulos, así como identidades trigonométricas y fórmulas para triángulos. Explica cómo calcular funciones trigonométricas de ángulos mitad en un triángulo y el área de un triángulo. También resume identidades para sumas y diferencias de funciones trigonométricas.
Este documento presenta un resumen de los principales temas del análisis multivariante, incluyendo álgebra lineal y vectores aleatorios, distribución normal multivariante, análisis de la matriz de covarianzas, clasificación, y ejemplos. Aborda conceptos como componentes principales, análisis factorial, correlaciones canónicas, análisis discriminante y análisis de conglomerados.
Este documento presenta conceptos fundamentales de álgebra lineal y análisis multivariante, incluyendo vectores, matrices, distribuciones normales multivariadas, componentes principales, análisis factorial y discriminante, y análisis de conglomerados. Explica temas como ortogonalización, autovalores, autovectores, descomposición espectral de matrices y formas cuadráticas.
El documento describe el método de falsa posición para resolver una ecuación no lineal. Se aplica el método al ejemplo f(x)=e-x en el intervalo [0,1] con precisión ε=0.0001. Tras 5 iteraciones se obtiene la raíz 0.56715.
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Este documento presenta un resumen de los principales temas del análisis multivariante, incluyendo álgebra lineal y vectores aleatorios, distribución normal multivariante, análisis de la matriz de covarianzas, clasificación, y ejemplos. Aborda conceptos como componentes principales, análisis factorial, correlaciones canónicas, análisis discriminante y análisis de conglomerados.
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El documento presenta recomendaciones para analizar correlaciones entre variables. Sugiere verificar visualmente si existe correlación antes de calcular coeficientes. Advierta si pocos puntos causan la correlación o si puede deberse a efectos de selección. Si no hay correlación, calcule la significancia estadística. Finalmente, compruebe si existe una relación causal entre las variables o si depende de una tercera variable.
Este documento presenta fórmulas matemáticas para Matemáticas NS y Ampliación de Matemáticas NS. Incluye fórmulas para álgebra, funciones, trigonometría, vectores, estadística, probabilidad y otros temas. Está organizado en secciones como conocimientos previos, unidad 1 a unidad 10, y fórmulas para distribuciones. Proporciona fórmulas clave para cada tema de los cursos de matemáticas.
Este documento introduce el concepto de variable aleatoria discreta. Explica que una variable aleatoria asigna un número real a cada suceso elemental en un espacio muestral. Presenta ejemplos de variables aleatorias como el número de caras que salgan al lanzar monedas o dados. También cubre cómo calcular la probabilidad de diferentes valores de una variable aleatoria.
Este documento describe el modelo de regresión lineal simple, que es una técnica estadística utilizada para estudiar la relación entre dos variables y predecir sus valores. Explica las ecuaciones y supuestos del modelo, como el intercepto, la pendiente, la varianza del error y la independencia de los errores. También cubre cómo estimar los parámetros de la regresión usando el método de mínimos cuadrados ordinarios y cómo interpretar los coeficientes de la regresión.
Este documento describe métodos para estimar valores intermedios de una variable Z en puntos no muestreados a partir de datos de puntos de muestreo. Explica métodos globales de interpolación como regresión lineal y clasificación, así como métodos locales. Además, introduce conceptos como estimación puntual, propiedades de los estimadores, y error cuadrático medio.
1. La matriz dada es ortogonal ya que cumple que AAt = I.
2. Si Q es una matriz ortogonal, entonces las matrices A y QtAQ tienen los mismos valores propios.
3. Para la matriz dada A, se encuentran sus descomposiciones espectral, de Cholesky, y su inversa.
Este documento describe los conceptos fundamentales de los espacios vectoriales euclídeos, incluyendo el producto escalar, módulo de un vector, propiedades del módulo, ángulo entre vectores, ortogonalidad, subespacios ortogonales y bases ortonormales. También presenta el método de Gram-Schmidt para obtener una base ortonormal a partir de una base cualquiera.
Este documento presenta los conceptos fundamentales de álgebra lineal y análisis multivariante. Introduce vectores, matrices, operaciones matriciales, autovalores, autovectores, descomposición espectral, formas cuadráticas y vectores aleatorios. Luego explica el análisis de componentes principales, análisis factorial, correlaciones canónicas, análisis discriminante y análisis de conglomerados como técnicas estadísticas multivariantes. Finalmente incluye ejemplos para ilustrar los conceptos te
Este documento presenta un resumen de los principales temas de álgebra lineal y análisis multivariante. Introduce conceptos como vectores, matrices, distribuciones normales multivariadas, análisis de componentes principales, análisis factorial, clasificación y más. Explica estos temas a través de definiciones, propiedades, ejemplos y aplicaciones en el análisis de datos multivariados.
Este documento describe diferentes métodos matemáticos como la inversión de matrices, sistemas de ecuaciones lineales y mínimos cuadrados. Explica cómo calcular la inversa de una matriz y las propiedades de la inversión matricial. También cubre métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales como los métodos de Jacobi y Gauss-Seidel. Finalmente, introduce el concepto de ajuste de curvas por mínimos cuadrados para modelar datos experimentales.
Cálculo Integral. Capítulo 3 Métodos de integración y AplicacionesPablo García y Colomé
El documento trata sobre métodos de integración para funciones algebraicas y trascendentes, incluyendo funciones trigonométricas, logarítmicas, exponenciales e hiperbólicas. Explica métodos como la integración trigonométrica usando identidades trigonométricas, la integración por sustitución trigonométrica del ángulo medio y la integración por partes. También cubre la integración por descomposición en fracciones racionales.
Este documento presenta conceptos básicos de probabilidad y estadística. Explica variables aleatorias discretas y continuas, distribuciones de probabilidad, valor esperado, varianza, covarianza, correlación, muestreo, estimadores, sesgo y eficiencia de estimadores. También cubre propiedades de estimadores muestrales como consistencia y el teorema del límite central.
Este documento presenta conceptos básicos de probabilidad y estadística. Explica variables aleatorias discretas y continuas, distribuciones de probabilidad, valor esperado, varianza, covarianza, correlación, muestreo, estimadores, sesgo y eficiencia de estimadores. Finalmente, define la consistencia de un estimador como tener un límite probabilístico cuyo pico se localice en el parámetro poblacional verdadero cuando el tamaño de la muestra tiende a infinito.
Este documento presenta información sobre la pendiente de rectas representadas por ecuaciones lineales. Explica cómo calcular la pendiente usando dos puntos y diferentes fórmulas. También cubre conceptos como rectas paralelas, perpendiculares, ecuaciones de rectas y ángulos de inclinación. El objetivo es determinar la pendiente de varias rectas dadas sus ecuaciones o puntos en un plano cartesiano.
Este documento presenta un taller de matemáticas discretas realizado por tres estudiantes de la Escuela Colombiana de Carreras Industriales. El taller incluye ejercicios sobre lógica proposicional, tablas de verdad, circuitos lógicos, diagramas de Venn y estadísticas. Algunos ejercicios involucran la traducción de enunciados a su forma simbólica, la construcción de tablas de verdad y árboles, y la simplificación de expresiones lógicas.
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La Unidad Eudista de Espiritualidad se complace en poner a su disposición el siguiente Triduo Eudista, que tiene como propósito ofrecer tres breves meditaciones sobre Jesucristo Sumo y Eterno Sacerdote, el Sagrado Corazón de Jesús y el Inmaculado Corazón de María. En cada día encuentran una oración inicial, una meditación y una oración final.
José Luis Jiménez Rodríguez
Junio 2024.
“La pedagogía es la metodología de la educación. Constituye una problemática de medios y fines, y en esa problemática estudia las situaciones educativas, las selecciona y luego organiza y asegura su explotación situacional”. Louis Not. 1993.
1. INTRODUCCIÓN
1. Álgebra lineal y vectores aleatorios
2. Distribución normal multivariante
ANÁLISIS DE LA MATRIZ DE COVARIANZAS
3. Componentes principales
4. Análisis factorial
5. Correlaciones canónicas
CLASIFICACIÓN
6. Análisis discriminante
7. Análisis de conglomerados
ANÁLISIS MULTIVARIANTE
1
2. 1. ÁLGEBRA LINEAL
Y VECTORES ALEATORIOS
Vectores
Ortogonalización de Gram-Schmidt
Matrices ortogonales
Autovalores y autovectores
Formas cuadráticas
Vectores y matrices aleatorias
Matriz de datos
2
3. ALGEBRA LINEAL
Vectores
Matriz de datos: p variables observadas en n objetos
3
nxp
np
n
n
n
p
p
p
X
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
3
2
1
3
33
32
31
2
23
22
21
1
13
12
11
p
en
Objeto_1
Objeto_n
Variable_1 Variable_p
nxp
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n
n
n
p
p
p
X
x
x
x
x
x
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x
x
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3
2
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3
33
32
31
2
23
22
21
1
13
12
11
p
en
Objeto_1
Objeto_n
Variable_1 Variable_p
5. ALGEBRA LINEAL
Vectores
2. Producto de un escalar por un vector
p
x
c
x
c
x
c
1
3. Producto escalar de dos vectores
p
p
p
i
i
i y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
1
1
1
'
,
5
6. ALGEBRA LINEAL
Vectores
4. Norma de un vector
Propiedades
p
i
i
x
x
x
x
x
x
1
2
2
/
1
)
'
(
'
z
x
b
y
x
a
bz
ay
x ,
,
,
x
y
y
x ,
,
0
0
,
0
,
x
x
x
y
x
x
x x
x x
6
7. ALGEBRA LINEAL
Vectores
5. Distancia entre dos vectores
6. Ángulo entre dos vectores
y
x
y
x
d
)
,
(
y
x
y
x
y
x
y
x
7
y
x
y
x,
cos
y
x
y
x
0
cos
0
,
8. ALGEBRA LINEAL
Vectores
7. Ortogonalidad
8. Ortonormalidad
n
u
u
u ,
,
, 2
1 j
i
u
u j
i ,
n
u
u
u ,
,
, 2
1 es ortonormal si es ortogonal
y todos los vectores tienen norma 1, es decir, i
ei
1
es ortogonal si
8
11. ALGEBRA LINEAL
Vectores
Un conjunto de vectores
n
u
u
u ,
,
, 2
1
es linealmente independiente si
n
n
i
i
i c
c
c
u
c
2
1
1
0
(la única manera de construir una combinación lineal
igual a 0 es que todos los coeficientes sean 0)
11
12. ALGEBRA LINEAL
Vectores
Proposición Todo conjunto ortogonal es
n
u
u
u ,
,
, 2
1
linealmente independiente:
ortogonal
n
u
u
u ,
,
, 2
1 l.i.
0
0
,
0
,
,
0
1
1
1
1
j
j
j
j
j
j
n
n
j
n
n
c
u
u
u
u
c
u
c
u
c
c
u
u
c
u
c
Dem.-
12
15. ALGEBRA LINEAL
Ortogonalización de Gram-Schmidt
V subespacio vectorial de
p
si V es espacio vectorial,
;
,
,
b
a
y
V
v
u
es decir, si V
bv
au
Dado A =
n
i
i
i
i c
u
c
A
span
1
:
n
u
u
u ,
,
, 2
1
Propiedades
subespacio
un
es
A
span
ii
A
span
A
i
)
(
)
(
)
(
15
;
p
V
16. ALGEBRA LINEAL
Ortogonalización de Gram-Schmidt
Proposición
n
i
u
u
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v
n
i
u
v
,
,
,
,
1
1
0
,
,
,
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i
n
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n
i
i
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v
c
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c
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u
span
u
Dem.-
16
17. ALGEBRA LINEAL
Ortogonalización de Gram-Schmidt
Método de Gram-Schmidt
1
1
1
1
1
1
1
1
2
2
2
2
3
1
1
1
1
3
3
3
1
1
1
1
2
2
2
1
1
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
n
n
n
n
n
n
n
n u
u
u
u
x
u
u
u
u
x
x
u
u
u
u
u
x
u
u
u
u
x
x
u
u
u
u
u
x
x
u
x
u
Sean
Dado un conjunto de vectores l.i., se puede
construir otro conjunto ortogonal que genere el
mismo espacio
linealmente independientes
n
x
x
x ,
,
, 2
1
17
18. ALGEBRA LINEAL
Ortogonalización de Gram-Schmidt
Entonces:
ortogonal
es
u
u
ii
u
u
span
x
x
span
i
n
n
n
,
,
)
(
,
,
,
,
)
(
1
1
1
18
19. ALGEBRA LINEAL
Matrices ortogonales
Matrices ortogonales
Anxn; inversa A-1: A A-1 = A-1A = I.
A’ transpuesta de A.
Qnxn es ortogonal si Q’Q = QQ’ = I.
(las columnas de una matriz ortogonal son vectores ortonormales)
mn
m
m
n
mxn
a
a
a
a
a
a
A
2
1
1
12
11
19
21. ALGEBRA LINEAL
Autovalores y autovectores
Anxn;
x
Ax
que
tal
x
vector
un
0
x
autovalor de A
x es un autovector asociado a .
0
0
)
(
,
0
0
,
0
0
,
0
I
A
x
I
A
x
Ix
Ax
x
x
Ax
x
Polinomio
característico
Ecuación
característica
21
22. ALGEBRA LINEAL
Autovalores y autovectores
Ejemplo
Autovalores y autovectores de
22
1
5
5
1
A
23. ALGEBRA LINEAL
Autovalores y autovectores
Propiedades
2
1
2
1
2
2
1
1
2
1
.
.
,
)
(
)
(
i
l
son
x
y
x
autovalor
con
x
autovalor
con
x
ii
trA
i n
Diagonalización de matrices
ji
ij
nxn a
a
A
A
simétrica
A
'
nn
n
n
nxn
a
a
a
a
a
a
A
1
12
1
12
11
23
24. ALGEBRA LINEAL
Autovalores y autovectores:
diagonalización
A simétrica
n
n
n
nxn
e
e
e
e
e
e
A
2
1
2
1
2
1
0
0
existen autovalores reales
n
,
,
1 con autovectores asociados n
e
e ,
,
1
Ortonormales tales que
P P’
D
A=PDP’, siendo D diagonal y P ortogonal
(Toda matriz simétrica es diagonalizable)
24
26. ALGEBRA LINEAL
Autovalores y autovectores:
representación espectral
Sea
n
,
,
1
con autovectores ortonormales n
e
e ,
,
1 tales que
A es simétrica existen autovalores reales
'
'
2
2
2
'
1
1
1 n
n
n e
e
e
e
e
e
A
nn
n
n
nxn
a
a
a
a
a
a
A
1
12
1
12
11
26
28. ALGEBRA LINEAL
Formas cuadráticas
Anxn simétrica;
n
j
i
i
n
j
j
i
ij
n
i
n
j
n
i
i
ij
j
i
ij
n
n
n
n
j
i
ij
n
nn
n
nn
n
n
n
x
x
a
x
a
x
x
a
x
x
a
x
x
a
x
x
a
x
a
x
a
x
x
x
a
a
a
a
a
a
x
x
x
x
f
1 1
1 1 1
2
1
1
2
1
12
2
2
1
11
2
1
1
12
1
12
11
2
1
2
)
(
n
x
,
n
x
x
x
1
f(x)=x’ A x es una forma cuadrática
28
29. ALGEBRA LINEAL
Formas cuadráticas
Ejemplo
Expresar matricialmente la forma cuadrática
Escribir en forma cuadrática
29
3
2
3
1
2
1
2
3
2
2
2
1
3
2
1 5
4
6
3
2
5
)
,
,
( x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
f
2
1
2
1
2
1
1
5
5
1
)
,
(
x
x
x
x
x
x
f
30. ALGEBRA LINEAL
Formas cuadráticas
Como Anxn es simétrica, es diagonalizable,
se puede escribir A = PDP’ y, por tanto,
queda: f(x) = x’PDP’x.
Haciendo y = P’x:
,
0
0
'
)
(
1
2
1
1
1
n
i
i
i
n
n
n y
y
y
y
y
Dy
y
x
f
se tiene
2
1
2
1
1
2
)
( n
n
n
i
i
i y
y
y
y
f
30
31. Formas cuadráticas
x1
x2 y2
y1
e2
e1 2
λ
c
1
λ
c
ALGEBRA LINEAL 31
y los autovectores
x’Ax=c2 representa geométricamente una elipse
en
2
2
2
2
2
1
1
2
2
'
'
'
c
y
y
c
x
PDP
x
c
Ax
x
; los autovalores son 2
1
normalizados son e1 y e2
2
32. Formas cuadráticas
ALGEBRA LINEAL 32
Ejemplo
Representar, hallar ejes, hallar expresión reducida
9
1
5
5
1
2
1
2
1
x
x
x
x
33. Formas cuadráticas
Clasificación de formas cuadráticas
ALGEBRA LINEAL 33
Sea f(x) = x’ A x
f es definida positiva si
f es semidefinida positiva si
f es semidefinida negativa si
f es definida negativa si
f es indefinida si
0
)
(
,
0
x
f
x
0
)
(
,
x
f
x n
0
)
(
,
0
x
f
x
0
)
(
0
)
( 2
1
2
1
x
f
y
x
f
que
tal
x
y
x n
n
0
)
(
,
x
f
x n
34. Formas cuadráticas
Sean los autovalores de A
f es definida positiva
f es semidefinida positiva
f es semidefinida negativa
f es definida negativa
f es indefinida
ALGEBRA LINEAL
0
,
,
0
1
n
0
,
,
0
1
n
0
,
,
0
1
n
0
,
,
0
1
n
0
,
0
j
i
34
n
,
,
1
35. Formas cuadráticas
B es raíz de A si A=BB ;
ALGEBRA LINEAL
n
i
i
i e
e
A
1
'
Raíz cuadrada de una matriz
A definida positiva;
B=A1/2 ; A=A1/2 A1/2
Si A es simétrica y diagonalizable, A=PDP’ con
descomposición espectral
35
36. Formas cuadráticas
ALGEBRA LINEAL
Raíz cuadrada de una matriz
'
'
0
0
'
0
0
1
1
2
/
1
1
i
i
n
i
i
n
n
e
e
P
P
A
P
P
A
Sea
'
1
'
/
1
0
0
/
1
1
1
1
i
i
n
i i
n
e
e
P
P
A
Nota:
36
37. Descomposición singular de una matriz
ALGEBRA LINEAL
i
Dada la matriz Amxn, AA’ es cuadrada y
simétrica; por tanto, diagonalizable.
V
U
A
k
0
0
0
0
0
1
es un valor singular de A, si 2
i
es autovalor de AA’.
Descomposición singular
Sea A una matriz mxn; k
,
,
1 valores singulares de A.
Entonces existen matrices ortogonales U y V tales que:
37
38. Vectores y matrices aleatorias
2
2
)]
(
[
)
(
)
(
aleatoria
variable
i
i
i
i
ii
i
i
i
X
E
X
E
X
V
X
E
X
mn
m
m
n
n X
X
X
X
X
X
X
X
X
2
1
1
12
11
1
;
Vector
aleatorio
Matriz
aleatoria
31
39. Vectores y matrices aleatorias
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
1
1
11
Y
E
X
E
Y
X
E
Y
iii
B
X
AE
AXB
E
ii
X
E
X
E
X
E
X
E
A
X
AE
AX
E
i
mxn
mn
m
n
Propiedades
Sea Xmxm y sean Akxm y Bnxr matrices de constantes.
Entonces:
39
40. Vectores y matrices aleatorias
)
(
)
( 1
1
n
n X
E
X
E
EX
Se llama vector de medias a:
y covarianza entre dos variables a
Se puede definir la matriz de covarianzas de X como:
)].
)(
[(
)
,
( j
j
i
i
j
i
ij EX
X
EX
X
E
X
X
Cov
nn
n
n
X
VX
1
1
11
40
41. Vectores y matrices aleatorias
Proposición
'
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
constantes
de
matriz
una
Sea
C
C
CX
V
ii
X
CE
CX
E
i
Cmxn
41
c
c
X
c
V
ii
c
X
c
E
i
VX
EX
n
i
c
c
c
c
X
X
X i
p
p
p
'
)
'
(
)
(
'
)
'
(
)
(
;
constantes
,...,
1
con
y
Sea
1
1
)'
)(
(
X
X
E
Proposición
Proposición
X1
Xn
42. Vectores y matrices aleatorias
ALGEBRA LINEAL
Ejemplo
42
4
2
2
6
0
1
2
2
1
2
3
2
1
2
1
2
1
2
1
X
X
Y
X
X
Y
X
X
Y
X
X
X
43. Vectores y matrices aleatorias
,
1
1
1
2
1
2
21
1
12
p
p
p
p
r
r
r
r
r
r
Matriz de correlaciones
,
2
/
1
2
/
1
V
V
en forma matricial:
donde V es la matriz de varianzas:
2
2
1
11
0
0
0
0
p
pp
V
donde ;
jj
ii
ij
ij
r
43
44. Vectores y matrices aleatorias
)
2
(
)
1
(
1
1
1
;
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
p
r
r
p
Partición de un vector aleatorio
)
2
(
)
1
(
Vector de medias:
Sea
Matriz de covarianzas:
22
21
12
11
)
,
(
)
,
(
)
(
)
(
)
2
(
)
1
(
)
2
(
)
1
(
'
21
12
)
2
(
22
)
1
(
11
j
i X
X
Cov
X
X
Cov
X
V
X
V
, donde
44
46. Matriz de datos
46
p
x
x
x
1
Vector de medias:
Matriz de varianzas y covarianzas:
donde
pp
p
p
n
s
s
s
s
S
1
1
11
n
x
x
x
x
s j
kj
n
k
i
ki
ij /
)
(
)
(
1
Matriz de correlaciones: 2
/
1
2
/
1
n
n
n V
S
V
R , donde
pp
n
s
s
V
0
0
11
47. Matriz de datos
;
.
.
.
,
,
,
; 2
1
1
d
i
i
X
X
X
X
X
X n
p
Proposición
n
X
X
n
i
i
1
Dado
47
n
n
S
E
iii
n
X
V
ii
X
E
i
n
1
)
(
)
(
/
)
(
)
(
)
(
)
(
48. Matriz de datos
48
La matriz de datos se puede representar como:
Diagrama de dispersión, n puntos en el espacio p
x1
x2
p=2
x1
x2
x3
p=3
Como para p>3 es imposible representarlo se hacen
diagramas de dispersión múltiple de dos variables:
49. Matriz de datos
49
Considerando las columnas en vez de la filas de la
matriz de datos, es decir, p puntos en n
nxp
np
n
n
n
p
p
p
X
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
3
2
1
3
33
32
31
2
23
22
21
1
13
12
11
p
en
Objeto_1
Objeto_n
Variable_1 Variable_p
nxp
np
n
n
n
p
p
p
X
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
3
2
1
3
33
32
31
2
23
22
21
1
13
12
11
p
en
Objeto_1
Objeto_n
Variable_1 Variable_p
Y1 Y2 Y3 Yp
Para cuatro variables:
34
33
32
31
24
23
22
21
14
13
12
11
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
X
Y1 Y2 Y3 Y4
Y1 Y
4
Y
3
Y
2
50. Matriz de datos
50
y forma el mismo ángulo con todos
los ejes.
1
1
1
1
nx
n
1
Vector de unos: n unos
Propiedades:
es el vector unitario que forma el mismo
ángulo en todas las direcciones.
n
/
1
51. Matriz de datos
51
Coordenada en cualquier dirección de la proyección
de un vector sobre el vector
i
i
i
n
j
ij
i
i
x
x
x
n
x
y
y
pr
1
/
1
1
1
,
1
1
,
)
(
1
1
1
yi
1
i
x
55. Matriz de datos
55
Varianza generalizada de X:
Varianza total de X:
Caso muestral:
Varianza generalizada muestral:
Varianza total muestral:
)
det(
pp
traza
11
)
(
pp
n s
s
S
traza
11
)
(
)
det( n
n S
S
56. Matriz de datos
56
Interpretación geométrica
Área
Varianza generalizada en
p
n
Volumen
S
2
)
1
(
cos
1 2
12
22
11
2
22
11
2
1 r
s
s
n
ns
ns
sen
d
d
p
57. Matriz de datos
57
ALGEBRA LINEAL
Ejemplo
3
1
2
1
3
2
1
2
'
3
2
'
0
1
4
0
1
2
0
1
3
1
0
2
X
X
X
b
X
X
X
c
X
X
X
X
X