Las ecuaciones de una recta permiten calcular las coordenadas de cualquier punto en la recta. Existen varios tipos de ecuaciones de recta, incluyendo la vectorial, paramétrica, continua, general, punto-pendiente y explícita. Cada tipo de ecuación puede derivarse de otro mediante transformaciones algebraicas.

1. ECUACIONES
DE LA
RECTA

2. ECUACIONES DE LA RECTA
Son expresiones que permiten calcular las
coordenadas de un punto cualquiera de la
recta.
No son ecuaciones que haya que resolver

3. ECUACIONES
DE LA
RECTA
• Vectorial
• Paramétrica
• Continua
• General
• Punto-pendiente
• Explícita
• Segmentaria

4. Ecuación VECTORIAL P

v
(1,3)
  
p = a + tv  A
( x, y ) = (a1 , a2 ) + t (v1 , v2 )
a

p
( x, y ) = (1,3) + t (3,2)

5. Ecuación VECTORIAL 
P
tv

(1,3) v
  
p = a + tv  A
( x, y ) = (a1 , a2 ) + t (v1 , v2 )
a

p
( x, y ) = (1,3) + 2(1'5,1)

6. Ecuación VECTORIAL P
   
p = a + tv p

v
(-
2,1)
A 
a
( x, y ) = (−2,1) + t (6,4)

7. De la ecuación vectorial a la
ecuación paramétrica
  
p = a + tv
( x, y ) = (a1 , a2 ) + t (v1 , v2 ) x = a1 + tv1 

( x, y ) = (a1 + tv1 , a2 + tv2 ) y = a2 + tv2 

8. Ecuación PARAMÉTRICA P
 
   v p
p = a + tv
(1,2)
( x, y ) = (a1 , a2 ) + t (v1 , v2 )
x = a1 + tv1 
 
y = a2 + tv2  a
  
p = a + tv
( x, y ) = (1,2) + t (3,3)
x = 1 + t3 

y = 2 + t 3

9. De la ecuación paramétrica
a la continua
x = a1 + tv1 

y = a2 + tv2 
x − a1  x − a1 y − a2
t= =
v1   v1 v2

y − a2 
t=
v2  

10. Ecuación continua

v = (4,2)
(1,3)
2
x− 1
a y− 2
a A 4
=
v1 v2
x− 1 y− 3
=
4 2

11. 
v = (4,2)
(1,3)
2
A 4
  
p = a + tv
Ecuación VECTORIAL ( x, y ) = (a1 , a2 ) + t (v1 , v2 ) ( x, y ) = (1,3) + t (4,2)
x = a1 + tv1  x = 1+ t4 
Ecuación PARAMÉTRICA  
y = a2 + tv2  y = 3 + t 2
x− 1
a y− 2
a x− 1 y− 3
Ecuación continua
= =
v1 v2 4 2

12. De la ecuación continua
a la general
x − a1 y − a2 v2 ( x − a1 ) = v1 ( y − a2 )
=
v1 v2 v2 x − v2 a1 = v1 y − v1a2
v2 x − v2 a1 − v1 y + v1a2 = 0
v2 x − v1 y + v1a2 − v2 a1 = 0
v2 = A
− v1 = B Ax + By + C = 0
v1a2 − v2 a1 = C

13. Ecuación GENERAL A (2,5)
x−2 y −5
= ( Ec.continua )
1 2
x−2 y −5 
= v = (1,2)
1 2
2( x − 2) = 1( y − 5)
2x − 4 = y − 5
2x − y +1 = 0
v2 = A = 2
− v1 = B = −1
v1a2 − v2 a1 = C = 1·5 − 2·2 = 1
2 x − y + 1 = 0)

14. De la ecuación continua
a la punto-pendiente
v2
x − a1 y − a2 ( x − a1 ) = y − a2
= v1
v1 v2
v2
y − a2 = ( x − a1 )
v1
v2
=m y − a2 = m( x − a1 )
v1

15. Ecuación PUNTO-PENDIENTE A (2,5)
y − a2 = m( x − a1 )
v 
m= 2 v = (1,2)
v1
2
m= =2
1
A = (a1 , a2 )
A = (2,5)
y − 5 = 2( x − 2)

16. De la ecuación punto-pendiente
a la ecuación explícita
v2
y − a2 = m( x − a1 ) y = mx + n =m
v1
En el punto x= 0 y − a2 = m( x − a1 )
a1=0
a2= corte con el eje Y y − a2 = mx1
y = mx + a2
m = pendiente
n = ordenada en el origen

17. Ecuación EXPLÍCITA
y = mx + n
v 
m= 2 v = (1,2)
v1
2
m= =2 y=1
1
n =1
y = 2x +1

18. Ecuación EXPLÍCITA
y = mx + n
v2
m=
v1 
v = (− 2,6)
6
m= = −3
−2
n = −2
y = −2
y = −3x − 2

19. De la ecuación continua
a la segmentaria
Si una recta no pasa por el origen de
x− p y−0
coordenadas, corta a los ejes en 2 =
puntos: P(p,0) y Q(0,q) −p q
Se coge como vector director (-p,q)
q ( x − p ) = − py
x − a1 y − a2
= qx − qp = − py
v1 v2
qx + py = qp
Dividimos por qp los dos lados de la expresión
x y
+ =1
p q
p= corte con el eje X
q= corte con el eje Y

20. Ecuación SEGMENTARIA
x y
+ =1
p q
y=1
x y
+ =1 x=4
4 1

21. ( x, y ) = (−3,1) + t (−3,4)
x = −3 − 3t 

y = 1 + 4t 
x+3 y− 1
=
−3 4
A = (− 3,1)
4x + 3y + 9 = 0
4

v = (− 3,4) y − 1 = − ( x + 3)
3
4
y = − x −3
3
x y
+ =1
−9 −3
4

22. ( x, y ) = ( 2,−2) + t (−1,2)
x = 2 − 2t 

y = −2 + 2t 
x− 2 y+ 2
=
−1 2
2x + y − 2 = 0

v = (− 1,2)
y + 2 = −2( x − 2)
y = −2 x + 2
A = (2,− 2) x y
+ =1
1 2