El producto vectorial de dos vectores A y B se calcula como:    C = A × B = (Axî + Ayĵ + Azk̂) × (Bxî + Byĵ + Bzk̂) = Ax(Bŷk̂ - Bzk̂) - Ay(Bxk̂ - Bzk̂) + Az(Bxk̂ - Byî) = (AyBz - AzBy)î + (AzBx - AxBz)ĵ + (AxBy - AyBx)k̂ Por lo tanto, se demuestra

1. Algebra
vectorial
MAGNITUDES FÍSICAS.
• Magnitudes físicas escalares
•Magnitudes fisicas vectoriales..
•Bibliografia:
Sears, Física universitaria 1999,

2. Magnitudes
físicas
por su naturaleza
Escalares
Vectoriales

3. Magnitudes
físicas
Escalares
Asociadas a propiedades que pueden ser
caracterizadas a través de una cantidad
Vectoriales
Asociadas a propiedades que se caracterizan
no sólo por su cantidad sino por su dirección
y su sentido

4. Escalares
Masa, densidad,
temperatura, energía,
Magnitudes trabajo, etc
físicas
Vectoriales
Velocidad, fuerza,
cantidad de movimiento,
aceleración, torque, etc.

5. Bases para el estudio del
movimiento mecánico
SR: Cuerpos que se toman como referencia para
describir el movimiento del sistema bajo estudio.
Se le asocia
y
y(t) • Observador
• Sistema de
x(t) Coordenadas
x • Reloj
z(t)
z

6. Movimiento plano
Coordenadas Cartesianas
y (m)
ordenada (x,y)
P (8,3)
Q (-2,2)
x (m)
O
abcisa
origen

7. Movimiento plano
Coordenadas Polares
(r,θ)
θ
O
origen

8. Relacion entre (x,y) y (r,θ)
y (m)
(x,y)
ordenada
r
θ
x (m)
O
abcisa
origen
x = r cos θ y
r= x +y 2 2
= tan θ
y = rsen θ x

9. z
Vectores
θ A
y
y Ap
ϕ
x
ϕ
x
Notación A Dirección θ, ϕ
Módulo A >0

10. Propiedades 
de Vectores
A 
B

C
• Dados A y B, si A = B entonces A = B
• Todo vector se puede desplazar paralelamente a
si mismo   
A=B=C

11. Suma de
Vectores A C
B
C
A
B Ley del polígono
R

12. El vector resultante es
aquel que vector que va
desde el origen del primer
vector hasta el extremo del
ultimo

13. Entonces si se tiene los
siguientes vectores
 
A B 
C
 El vector resultante
D
de la suma de todos
ellos será:

14. 
 B 
A C

R 
D
    
R = A+ B +C + D

15. Propiedades
 
de Vectores
A A = Aµ
ˆ
µ
-A
Opuesto
Nulo 0 = A + ( -A )

A
Vector unitario μ= 
A

16. Ley
Propiedades
de la suma de Conmutativa
Vectores
R = A+B = B+A
Diferencia Ley Asociativa
         
R = A-B R = A + (B + C) = ( A + B) + C
  
R = A + (-B) -B
A R
B A

17. Ley conmutativa
(Método paralelogramo) A
B +A
+B =
=
A B R
A +B B
B R =
R
Los vectores A y B pueden ser
desplazados paralelamente para
encontrar el vector suma
¿Como se explica esta regla?

18. Multiplicación de un vector por un
escalar
 
Dado dos vectores AyB
 
Se dicen que son paralelos si A = αB
 
si α > 0 A ↑↑ B
 
si α < 0 A ↑↓ B
 
si α = 1 A = B

19. 
A  1 
B= A
 2
B
  1 
A B=− A
 4
B

20. Ejemplo 8:
Hallar el vector resultante de la suma de los
siguientes vectores
A B
C
A B
R = 2C

21. Vectores unitarios en el plano
y
ˆ
j ˆ
i x
ˆ
i Vector unitario en la dirección del eje x +
ˆ
j Vector unitario en la dirección del eje y +

22. Vectores unitarios en el espacio
z
ˆ
k
ˆ
i ˆ
j y
x

23. z
Representación
de un vector Az
θ A
Ay y
Ax ϕ
x
Ax = A cos ϕ sen θ    
A = Ax i + Ay j + Az k
Ay = Asenϕ sen θ 
A = A = Ax2 + Ay + Az2
2
Az = A cos θ

24. Observaciones:
Las componentes rectangulares de
un vector dependen del sistema
coordenado elegido.
La magnitud del vector no cambia.
Permanece invariante en cualquier
sistema coordenado

25. Determínese la resultante de los
siguientes vectores
4u
 + 
3u
A B
  
R = A+ B
7u

26.  
A B
8u
+ 4u = 4u
  
R = A+ B

27. Observamos que, cuando los vectores
están en la misma dirección podemos
determinar fácilmente su magnitud
¿Que sucede si los vectores no están en
la misma dirección ? , ¿ podremos
determinar directamente su magnitud ?

28.  
A B
3u
4u
  
R = A+ B
La magnitud en este caso no puede determinarse
directamente , por lo que debemos tratar de
buscar otra forma de determinarla

29. 
A 
5u
 
3u
Ay B
 By
10
Ax
u
8u
4u

Bx
6u

30. 
3u  By
4u Ay

8u
Ax
   
A = Ax + Ay Bx
  6u 
B = Bx + B y

31. 10u
 
Ax + Bx  
5u
Ay + B y
    
R = Ax + Bx + Ay + B y
Por pitagoras podemos ahora determinar la
2 2
R = 10 + 5 = 5 5u
magnitud del vector resultante

32. 
Ay 
By
 
Ax Bx

Cy 
 Dy
Cx

Dx

33. 
Rx
15 u
5u 
Ry
    
   Rx = Ax + Bx + Cx + Dx
R = Rx + Ry     
R = 5 10 Ry = Ay + By + C y + Dy

34. (x2,y2,z2)

A
(x1,y1,z1)
z
Dados los puntos
indicados el vector que
y los une esta
x
representado por

35. (x2,y2,z2)

A
(x1,y1,z1)
z
y
x 
A = (x 2 − x1 )ˆ + (y 2 − y1 )ˆ + (z2 − z1 )k
i j ˆ

36. Producto  
escalar de dos A ⋅ B = AB cos θ
vectores
Proyección de A sobre B
A B = A cosθ
Proyección de B sobre A
B A = B cosθ

37. i ⋅i = 1
ˆ ˆ i⋅ˆ=0
ˆ j
ˆ⋅ ˆ =1
j j ˆ ˆ
i ⋅k = 0
ˆ ˆ
k ⋅k =1 j ˆ
ˆ⋅k = 0

A ⋅ i = Ax
ˆ
  
A ⋅ ˆ = Ay
j A ⋅ B = A XB X + A YB Y + A ZB Z

ˆ
A ⋅ k = Az

38. Producto   
vectorial de dos
vectores C = A×B
C = AB senθ
 
ˆ×ˆ = 0
i i ˆ×ˆ = 0
j j

ˆ ˆ
k×k = 0
j ˆ
iˆ × ˆ = k j ˆ
ˆ × k = iˆ
ˆ
k × iˆ = ˆ
j

39. Demostrar:
  
C = A × B = (A x ˆ + A y ˆ + A z k) × (Bx ˆ + B y ˆ + Bz k)
i j ˆ i j ˆ
C X = AY BZ − AZ BY
C y = Az Bx − Ax Bz
C z = Ax B y − Ay Bx

40. Ejemplo 1:
Determinese la suma de los siguientes vectores:

A = 3 ˆ + 8ˆ + 5k
i j ˆ

B = -5 ˆ + 2ˆ − 3k
i j ˆ

C = 4 ˆ − 7ˆ − 2k
i j ˆ

41. Ejemplo 2: Determine la suma de los
vectores indicados
z 5m

B 10m
 y
C
8m 
x A

42. Ejemplo 9
Dados los vectores:

A = 3ˆ + 3ˆ − 5k
i j ˆ

B = 4ˆ + 5ˆ − 3k
i j ˆ
Determine :
a) El producto escalar entre ellos.
b)el producto vectorial entre ambos
e) el ángulo que forman entre sí.
Tarea 9c, 9d y 10