1. 1.3. FUNCIONES 21
Dominio. Al conjunto de todos los elementos de A que pueden aparecer
como primeros miembros de elementos de f se le llama dominio de f , y
se denota por Df , o simplemente D. Es decir, el dominio est´ formado
a
por todos los elementos de A que tienen imagen.
Recorrido. Al conjunto de todos los elementos de B que puedan aparecer
como segundos miembros de elementos de f se le llama rango, recor-
rido, imagen o conjunto de valores de f y se denota por Rf , o simple-
mente R. Es decir, el recorrido est´ formado por todos los elementos
a
de B que son imagen.
En el caso de que Df = A, la funci´n se llama ((aplicaci´n)), y se dice que
o o
f mapea o proyecta A en B (o que es un mapeo o proyecci´n de A en B) y
o
se escribe f : A → B.
Nota: No obstante, hay que advertir que algunos autores exigen en la definici´n de funci´n
o o
que el dominio coincida con el conjunto inicial, Df = A, e identifican ((funci´n)) con
o
((aplicaci´n)).
o
Sin embargo, nosotros entendemos que no es necesario incluir dicha restricci´n en la
o
definici´n de funci´n, y preferimos considerar las ((aplicaciones)) como un caso particular
o o
de las ((funciones)).
Nosotros hablaremos indistintamente de la funci´n f : A → B con dominio D ⊆ A, y
o
de la aplicaci´n f : D → B, salvo que, por cualquier motivo, tengamos que diferenciarlas.
o
Y, en general, escribiremos f : D ⊆ A → B para hacer referencia a cualquiera de las dos
funciones.
En las funciones que se estudian en C´lculo los conjuntos A y B son
a
subconjuntos de R o de Rn , y escribiremos:
f : D ⊆ R −→ R
f : x −→ y o bien, y = f (x)
En esta notaci´n se enfatiza el dominio D de la funci´n, sin embargo, el
o o
rango no queda expl´ ıcito. En C´lculo nos ocupamos mucho m´s del dominio
a a
que del rango. Las funciones de este tipo se llaman funciones reales de una
variable real (funciones reales porque las im´genes, f (x), son n´meros reales;
a u
de una variable real porque x ∈ R).
1.3.2. Representaci´n de funciones
o
Existen diversas maneras de visualizar una funci´n, las m´s usuales son
o a
mediante las cuatro representaciones siguientes:
1. Verbal – mediante una descripci´n con palabras.
o
2. Num´rica – mediante una tabla de valores.
e
3. Algebraica – mediante una ecuaci´n.
o
4. Visual – mediante – una gr´fica,
a
– un diagrama de flechas,
– una m´quina.
a

2. 22 CAP´ ´
ITULO 1. CONCEPTOS BASICOS
Unas representaciones responden mejor a la concepci´n est´tica de la
o a
funci´n, como conjunto de pares ordenados; y otras a la concepci´n din´mi-
o o a
ca, como proyecci´n o transformaci´n.
o o
Nota: Si bien, una misma funci´n puede representarse mediante todas las maneras posi-
o
bles, incluso, a veces, es conveniente utilizar varias representaciones de una misma funci´n
o
para tener un conocimiento m´s completo de la misma. Hay que tener en cuenta que
a
ciertas funciones se describen de manera m´s natural con uno de los m´todos que con
a e
otro.
a) Descripci´n verbal. Una funci´n puede venir definida mediante una
o o
descripci´n verbal. Por ejemplo, la funci´n que indica la relaci´n existente
o o o
entre el peso de las manzanas y el precio que hay que pagar por ellas,
suponiendo que el kilo de manzanas cuesta 1.5 euros.
b) Representaci´n tabular. Una manera importante de representar una
o
funci´n es mediante una tabla. Es lo que hacemos, normalmente, cuando
o
vamos a representar gr´ficamente una funci´n: darle valores y formar una
a o
tabla con ellos. La tabla puede construirse de manera horizontal o vertical.
x y
x0 y0 x x0 x1 · · ·
x1 y1 y y 0 y1 · · ·
.
. .
.
. .
Este procedimiento es especialmente util cuando se trata de representar
´
funciones no num´ricas. Por ejemplo, si queremos asociar una serie de pa´
e ıses
con sus capitales, podemos tener la siguiente funci´n:
o
Pa´ıs Capital
Argentina Buenos Aires
Chile Santiago
Espa˜a
n Madrid
M´xico
e M´xico
e
Per´u Lima
c) Expresi´n algebraica. En C´lculo la principal manera de representar
o a
una funci´n es mediante una ecuaci´n que liga a las variables (dependiente e
o o
independiente). Para evaluar la funci´n se a´ la variable dependiente en la
o ısla
parte izquierda de la ecuaci´n, con objeto de obtener la relaci´n funcional.
o o
As´ si escribimos la ecuaci´n 3x + 2y = 1 de la forma
ı, o
1 − 3x
y=
2
tenemos descrita y como funci´n de x y podemos denotar la relaci´n fun-
o o
cional mediante la expresi´n
o
1 − 3x
f (x) =
2

3. 1.3. FUNCIONES 23
Lo que nos permite evaluar la funci´n f en cualquier punto de su dominio,
o
sin m´s que sustituir x por el valor concreto. As´
a ı,
1 − 3(5) −14
f (5) = = = −7
2 2
Esta manera de expresar las funciones permite definir funciones por sec-
ciones, es decir, mediante varias f´rmulas, de tal manera que seg´n los casos
o u
se aplica una u otra.
Ejemplo 1.19 (Evaluando una funci´n definida por varias f´rmulas). Dada
o o
la funci´n definida por
o
x2 + 3 si x ≥ 1
f (x) =
2x + 5 si x < 1
Evaluar f (0), f (1) y f (2).
Soluci´n. Lo que significa la expresi´n de f (x) es que antes de decidirnos por
o o
la f´rmula a aplicar hay que ver de qu´ n´mero se trata. As´ para evaluar los
o e u ı,
n´meros mayores o iguales que 1 se aplica la expresi´n x2 + 3, y para evaluar
u o
los n´meros menores que 1 se aplica la expresi´n 2x + 5. En consecuencia,
u o
f (0) = 2 · 0 + 5 = 0 + 5 = 5
f (1) = 12 + 3 = 1 + 3 = 4
f (2) = 22 + 3 = 4 + 3 = 7
d) Gr´fica. Una manera de visualizar una funci´n es por medio de una
a o
gr´fica. La gr´fica de una funci´n de una variable, por lo general, es una
a a o
curva en el plano. Sin embargo, no toda curva del plano es la representaci´n
o
de una funci´n. Para que una curva represente una funci´n no puede tener
o o
dos puntos en la misma vertical, ya que para que una correspondencia entre
dos magnitudes sea funci´n, la imagen tiene que ser unica. Por lo tanto, una
o ´
recta vertical puede cortar a la gr´fica de una funci´n a los sumo una vez
a o
(test de la recta vertical ).
y
T y
T • y2
y = f (x)
•y
x
E • y1
x x
E
x
Figura 1.9: Gr´fica de una funci´n de una variable. La circunferencia no es la gr´fica de
a o a
una funci´n (test de la recta vertical).
o

4. 24 CAP´ ´
ITULO 1. CONCEPTOS BASICOS
Nota: Aunque la gr´fica de una funci´n y la propia funci´n son dos conceptos totalmente
a o o
diferentes (la gr´fica no es m´s que uno de los multiples instrumentos que podemos utilizar
a a
para visualizar la funci´n), es usual identificar una funci´n con su gr´fica. As´ por ejem-
o o a ı,
plo, es costumbre referirse a la par´bola y = x2 , como si ambos conceptos fueran lo mismo.
a
(Nosotros, para evitar sutilezas, por lo general, diremos la par´bola de ecuaci´n y = x2 ).
a o
De lo dicho se desprende que existe una gran cantidad de ((curvas)) que
quedan excluidas del concepto de funci´n, entre ellas, la circunferencia y la
o
elipse. Sin embargo, no por ello quedan excluidas de nuestro estudio. Sino
que aplicaremos las propiedades de las funciones a las correspondencias que
no lo son descomponi´ndolas en funciones. Por ejemplo, la ecuaci´n de una
e o
circunferencia x 2 + y 2 = 1 no representa (globalmente) una funci´n, ya que
o
para cada valor de una de las variables hay dos valores de la otra, con lo
cual se viola el concepto de funci´n. En consecuencia, la descomponemos en
o
dos funciones: una que toma el valor positivo (semicircunferencia superior),
y otra el valor negativo (semicircunferencia inferior). En efecto, tenemos:
√
2 2 2 2 2 ⇒ y1 = +√1 − x2
x +y =1 ⇒ y =1−x ⇒ y =± 1−x
y2 = − 1 − x2
y y √ y
T x2 + y 2 = 1 T y = + 1 − x2 T
Ex Ex Ex
√
y = − 1 − x2
Figura 1.10: La circunferencia no es una funci´n, pero podemos descomponerla en dos
o
funciones.
e) Diagrama de flechas. Existe otra manera de visualizar una funci´n, o
sobre todo a nivel te´rico, como una proyecci´n de una parte del conjunto
o o
A hacia una parte del conjunto B. Para visualizarla se utiliza un diagrama
de flechas.
f
ar ‚r b
Df Rf
A B
Figura 1.11: Funci´n vista como proyecci´n
o o
Cuando (a, b) ∈ f , nos imaginamos que f toma el elemento a del subcon-
junto Df de A y lo proyecta o mapea en el elemento b = f (a) del subconjunto
Rf de B.

5. 1.3. FUNCIONES 25
f ) La funci´n como una m´quina. Existe otra manera de visualizar una
o a
funci´n, concebida como una transformaci´n, especialmente util para com-
o o ´
prender algunas propiedades te´ricas, y que consiste en imaginar la funci´n
o o
como una ((m´quina)) que acepta elementos de Df como materia prima pro-
a
duciendo elementos correspondientes de Rf como producto final.
x → f → f (x)
Figura 1.12: La funci´n como una m´quina de transformaci´n.
o a o
Esta representaci´n aclara la diferencia entre f y f (x); lo primero es la
o
m´quina y lo segundo el producto de la m´quina al ser alimentada por x.
a a
1.3.3. Dominio impl´
ıcito de una funci´n
o
El dominio de una funci´n puede venir expresado expl´
o ıcitamente junto con
la ecuaci´n que define la funci´n (dominio expl´
o o ıcito), o bien, no se expresa
porque se entiende que viene determinado impl´ ıcitamente en la ecuaci´n que
o
define la funci´n (dominio impl´
o ıcito). El dominio impl´ ıcito es el conjunto de
todos los n´meros para los que est´ definida la ecuaci´n que define la funci´n.
u a o o
Por ejemplo, la funci´n
o
√
f (x) = x + 3 x ∈ {1, 6, 13}
ıcito solamente Df = {1, 6, 13}, y por tanto s´lo se
tiene como dominio expl´ o
debe aplica a los n´mero indicados, mientras que la funci´n
u o
√
f (x) = x + 3
tiene como dominio impl´ ıcito Df = {x / x ≥ −3} que son todos los n´meros
u
para los que tiene sentido la ecuaci´n que define la funci´n.
o o
En las aplicaciones pr´cticas del C´lculo, cuando se conoce el significado
a a
de las magnitudes que intervienen, el dominio de la funci´n, por lo general,
o
queda determinado por el contexto del problema (dominio contextual).
Ejemplo 1.20 (Hallando el dominio de una funci´n). Encontrar el dominio
o
de las funciones
x √ x−2
a) f (x) = 2−1
b) g(x) = x−1 c) h(x) = √ d) k(x) = ln x
x x−1
Soluci´n. a) Se trata de encontrar aquellos n´meros, x, para los cuales tiene
o u
sentido la f´rmula dada para f (x). Es decir ¿qu´ valores pueden darse a
o e
x, de manera que al realizar las operaciones indicadas en la expresi´n que
o
define f (x) se obtenga un valor num´rico y no tropecemos con una operaci´n
e o
imposible?