ProgLinealResuelveProbsOptim

5 Programación lineal
Álgebra

© Grupo Editorial Bruño, SL. Matemáticas de 2º BS. Autores José María Arias Cabezas e Ildefonso Maza Sáez

Introducción
El tema comienza con una introducción a la programación lineal, en la
que se exponen todos los conceptos necesarios, como región factible,
función objetivo, vector director de la función objetivo, rectas de nivel y
solución o soluciones óptimas. Además, al mismo tiempo que se introdu-
cen los conceptos, se va resolviendo un problema modelo paso a paso.
En la segunda parte se describe el procedimiento de resolución de pro-
blemas de programación lineal bidimensional y se plantean y resuelven
dos problemas, uno en el que la optimización consiste en maximizar
una función y otro en el que la optimización consiste en minimizar una
función.
En la tercera sección se aborda la cuestión del número de soluciones
de un problema de programación lineal. Por lo general, el problema
tendrá una solución, pero se pueden presentar los casos en que no
tenga solución o tenga varias soluciones; en cada uno de los casos se
resuelve un problema modelo.
La programación lineal tiene aplicación a una gran variedad de pro-
blemas. Un supuesto que puede servir de ejemplo es el siguiente: un co-
merciante acude al mercado a comprar manzanas para venderlas en
su frutería. Hay dos tipos de manzanas a dos precios distintos y él dispo-
ne de una determinada cantidad de dinero y de una limitación de car-
ga para transportar las manzanas a la frutería. Decidir cuántas manza-
nas de cada clase compra para optimizar el beneficio que saque al
venderlas es un problema que resuelve la programación lineal.

Organiza tus ideas
Programación lineal

resuelve

problemas de optimización

que consisten en que pueden tener

optimizar una función • una solución
• ninguna solución
en una • varias soluciones

región factible

que es

un recinto limitado por inecuaciones

99


Álgebra

1. Introducción a la programación lineal
■ Piensa y calcula
Escribe una función f(x, y) que calcule los ingresos que se obtienen al vender x chaquetas a 30 € e y pantalones a 20 €

1.1. Programación lineal bidimensional
La programación lineal bidimensional trata de optimizar, es decir, de maxi-
mizar o minimizar una función lineal con dos variables sujeta a unas restric-
ciones que están dadas por inecuaciones lineales.

Ejemplo
Dado el recinto definido por el siguiente sistema de inecuaciones:
x+yÌ7 °
§
2x + y Ì 10 §
¢
xÓ0 §
§
yÓ0 £
maximiza en dicho recinto el valor de la función f(x, y) = 30x + 20y
Y
1.2. Función objetivo
2x + y = 10 La función objetivo en un problema de programación lineal es la función li-
x+y=7
neal en dos variables que se desea optimizar. Se representa por:
C(0, 7)
f(x, y) = ax + by
B(3, 4)
Ejemplo
X Continuando con el ejemplo anterior, se tiene que la función objetivo es:
O(0, 0) A(5, 0) f(x, y) = 30x + 20y

1.3. Región factible
Restricciones x Ó 0, y Ó 0
Prácticamente en todos los pro- La región factible de una función objetivo es un polígono convexo finito o in-
blemas de programación lineal se finito en el que toma valores la función objetivo; es decir, son todos los puntos
exige que las variables x e y sean del plano que verifican todas las restricciones del enunciado del problema.
mayores o iguales que cero; en es-
tos casos, la región factible se di-
buja directamente en el 1er cua-
Ejemplo
drante. Continuando con el ejemplo anterior, se obtiene la región factible representa-
da en el margen.

1.4. Vector director de la función objetivo
Y
El vector director de la función objetivo f(x, y) = ax + by es el vector:
8
v (– b, a)
Las dos coordenadas del vector director de la función objetivo se pueden multi-
plicar o dividir por un mismo número distinto de cero, y su dirección no varía.
8
v(– 2, 3) Ejemplo
X Continuando con el ejemplo anterior, el vector director de la función objeti-
8
vo f(x, y) = 30x + 20y es v (– 20, 30) || (– 2, 3)

100

Tema 5. Programación lineal

1.5. Rectas de nivel
Las rectas de nivel son las rectas paralelas al vector director de la función ob- Y
jetivo que pasan por los puntos de la región factible.
2x + y = 10
Ejemplo x+y=7
C(0, 7)
Continuando con la función objetivo y la región factible del problema ante-
B(3, 4)
rior, las rectas de nivel son las rectas verdes del dibujo.
8
v(–2, 3)

1.6. Solución óptima X
O(0, 0) A(5, 0)
La solución óptima son los puntos de la región factible donde la función ob-
jetivo alcanza el valor óptimo, es decir, el máximo o el mínimo. Si la solución
óptima es única, es uno de los vértices de la región factible. Si existen varias
soluciones, son todos los puntos que están sobre uno de los lados.

Gráficamente, si la solución óptima es un máximo, ésta corresponde al pun-
to o puntos en los que la recta de nivel esté lo más alta posible. Si la solución
es un mínimo, corresponde al punto o puntos en los que la recta de nivel esté
lo más abajo posible.

Ejemplo
Continuando con el mismo ejemplo, la solución óptima es B(3, 4)

Analíticamente, para hallar la solución óptima, se prueba en la función obje-
tivo cada uno de los vértices de la región factible.

Ejemplo Y

Continuando con el mismo ejemplo: f(x, y) = 30x + 20y
2x + y = 10
O(0, 0) ò f(0, 0) = 30 · 0 + 20 · 0 = 0 x+y=7
C(0, 7)
A(5, 0) ò f(5, 0) = 30 · 5 + 20 · 0 = 150
B(3, 4)
B(3, 4) ò f(3, 4) = 30 · 3 + 20 · 4 = 170 Máximo
C(0, 7) ò f(0, 7) = 30 · 0 + 20 · 7 = 140 X
La solución óptima es B(3, 4) O(0, 0) A(5, 0)

● Aplica la teoría
1. Dado el recinto definido por el siguiente sistema de in- 2. Representa gráficamente la región factible determinada
ecuaciones: por las siguientes desigualdades:
2x + y Ì 1 000 °
§ xÓ0 °
x + 1,5y Ì 750 § §
¢ yÓ0 §
xÓ0 § ¢
§ x+yÓ5 §
yÓ0 £ §
4x + 3y Ì 30 £
a) represéntalo gráficamente.
b) halla sus vértices. Calcula la solución que hace mínima la función objetivo
c) obtén el valor máximo de la función f(x, y) = 15x + 12y z = x + 2y sometida a las restricciones anteriores.
en el recinto anterior, así como el punto en que lo al-
canza.

101

Álgebra

2. Resolución de problemas de programación lineal
Escribe la función objetivo que calcule los ingresos que se obtienen al vender x bicicletas de paseo a 200 €
e y bicicletas de montaña a 150 €

2.1. Procedimiento de resolución
Para resolver un problema de programación lineal se sigue el procedimiento:
a) Se hace una tabla con los datos del problema.
b) Se representa la región factible.
c) Se calculan los valores de la función objetivo en los vértices de la región factible.
d) Se escribe la solución.

2.2. Tabla con los datos del problema
• En la 1ª fila, cabecera horizontal, se escriben las etiquetas correspondientes
a los conceptos de las variables y la etiqueta restricciones.
Maximizar y minimizar
• En la 2ª fila se escriben las variables y se ponen las letras que representan a
Se resolverán dos ejercicios, uno
de maximizar y otro de minimizar.
las variables.
Ambos procedimientos de reso- • En cada una de las filas siguientes se escribe una condición, que da origen a
lución son análogos. una restricción, es decir, a una inecuación.
• En la última fila se escriben los valores correspondientes a la función objeti-
vo y si se trata de maximizar o minimizar.

1 Ejercicio resuelto
Una fábrica quiere producir bicicletas de paseo y de montaña. La fábrica dis-
pone de 80 kg de acero y 120 kg de aluminio. Para construir una bicicleta de
paseo se necesitan 1 kg de acero y 3 kg de aluminio, y para construir una bi-
cicleta de montaña se necesitan 2 kg de acero y otros 2 kg de aluminio. Si
vende las bicicletas de paseo a 200 € y las de montaña a 150 €, ¿cuántas bi-
cicletas de cada tipo debe construir para que el beneficio sea máximo?
a) Tabla con los datos del problema.

B. de paseo B. de montaña Restricciones
Nº de bicicletas x y x Ó 0; y Ó 0
Acero x 2y x + 2y Ì 80
Aluminio 3x 2y 3x + 2y Ì 120
Beneficio 200x 150y f(x, y) = 200x + 150y Maximizar
Y
b) Región factible.
Es el gráfico del margen.
c) Valores de la función objetivo en los vértices de la región factible.
3x + 2y = 120
C(0, 40) O(0, 0) ò f(0, 0) = 200 · 0 + 150 · 0 = 0 €
B(20, 30) A(40, 0) ò f(40, 0) = 200 · 40 + 150 · 0 = 8 000 €
x + 2y = 80
X B(20, 30) ò f(20, 30) = 200 · 20 + 150 · 30 = 8 500 € Máximo
O(0, 0) A(40, 0) C(0, 40) ò f(0, 40) = 200 · 0 + 150 · 40 = 6 000 €

102


d) La solución óptima es B(20, 30), es decir, x = 20 bicicletas de paseo e
y = 30 bicicletas de montaña.
2 Ejercicio resuelto Soluciones enteras
Se quiere organizar un puente aéreo entre dos ciudades, con plazas suficientes En la mayoría de los problemas de
de pasaje y carga, para transportar a 1 600 personas y 96 toneladas de equipa- programación lineal las soluciones
je. Los aviones disponibles son de dos tipos: 11 del tipo A y 8 del tipo B. La son números enteros.
contratación de un avión del tipo A, que puede transportar a 200 personas y Ejemplo
6 toneladas de equipaje, cuesta 40 000 €; la contratación de uno del tipo B, Número de bicicletas de paseo y
que puede transportar a 100 personas y 15 toneladas de equipaje, cuesta de montaña.
10 000 €. Ejemplo
¿Cuántos aviones de cada tipo deben utilizarse para que el coste sea mínimo? Número de aviones de tipo A y de
tipo B
a) Tabla con los datos del problema.

Tipo A Tipo B Restricciones
Nº de aviones x y 0 Ì x Ì 11; 0 Ì y Ì 8
Personas 200x 100y 200x + 100y Ó 1600
Equipaje 6x 15y 6x + 15y Ó 96
Coste 40 000x 10 000y f(x, y) = 40 000x + 10 000y Minimizar

b) Región factible. Y
Es el gráfico del margen. x = 11

c) Valores de la función objetivo en los vértices de la región factible. 200x + 100y = 1 600
2x + y = 16
A(6, 4) ò f(6, 4) = 40 000 · 6 + 10 000 · 4 = 280 000 €
D(4, 8) C(11, 8) y=8
B(11, 2) ò f(11, 2) = 40 000 · 11 + 10 000 · 2 = 460 000 €
6x + 15y = 96
C(11, 8) ò f(11, 8) = 40 000 · 11 + 10 000 · 8 = 520 000 € 2x + 5y = 32 B(11, 2)
2 A(6, 4) X
D(4, 8) ò f(4, 8) = 40 000 · 4 + 10 000 · 8 = 240 000 € Mínimo 2

d) La solución óptima es D(4, 8), es decir, x = 4 aviones tipo A, y = 8 avio-
nes tipo B

3. Un sastre tiene 80 m2 de tejido A y 120 m2 de tejido B. La empresa recibe un pedido de 300 unidades de A y
Un traje de caballero requiere 1 m2 de A y 3 m2 de B, 500 de B. Los costes de funcionamiento de las dos fac-
y un vestido de señora 2 m2 de cada tejido. Si la venta torías son: 100 € por hora para la factoría 1 y 80 €
de un traje deja al sastre el mismo beneficio que la de por hora para la factoría 2. ¿Cuántas horas debe fun-
un vestido, halla cuántos trajes y vestidos debe fabricar cionar cada factoría para minimizar los costes de la
para obtener la máxima ganancia. empresa y satisfacer el pedido?

5. Un vendedor de libros usados tiene en su tienda 90 li-
4. Una empresa produce dos bienes,A y B.Tiene dos fac- bros de la colección Austral y 80 de la colección Alian-
torías y cada una de ellas produce los dos bienes en las za de bolsillo. Decide hacer dos tipos de lotes: el lote
cantidades por hora siguientes: de tipo A con 3 libros de Austral y 1 de Alianza de bol-
sillo, que vende a 8 €, y el de tipo B con 1 libro de Aus-
Factoría I Factoría 2
tral y 2 de Alianza de bolsillo, que vende a 10 €
Bien A 10 unidades/hora 20 unidades/hora ¿Cuántos lotes de cada tipo debe hacer el vendedor
Bien A 25 unidades/hora 25 unidades/hora para maximizar su ganancia cuando los haya vendido
todos?

103

Álgebra

3. Número de soluciones
Representa la región definida por las siguientes restricciones:
xÓ0 yÓ0 x+yÓ6 yÓx
¿Está acotada?

3.1. Problemas con infinitas soluciones
Un problema de programación lineal tiene infinitas soluciones si tiene la so-
lución óptima en dos vértices de la región factible. En este caso, todos los
puntos del lado que une ambos vértices son soluciones óptimas. Gráficamen-
te este lado es paralelo al vector director de la función objetivo.

x+yÌ8 °
§
x + 2y Ì 10 §
¢
xÓ0 §
§
yÓ0 £
maximiza en dicho recinto el valor de la función:
f(x, y) = 30x + 60y
Y a) Región factible.
x+y=8 b) Valores de la función objetivo en los vértices de la región factible.
x + 2y = 10
O(0, 0) ò f(0, 0) = 30 · 0 + 60 · 0 = 0
C(0, 5)
B(6, 2)
A(8, 0) ò f(8, 0) = 30 · 8 + 60 · 0 = 240
8
v(– 2, 1)
1 X B(6, 2) ò f(6, 2) = 30 · 6 + 60 · 2 = 300 Máximo
O(0, 0) 1 A(8, 0) C(0, 5) ò f(0, 5) = 30 · 0 + 60 · 5 = 300 Máximo
c) La solución se alcanza en los vértices B(6, 2) y C(0, 5); por tanto, tam-
bién se alcanza en todos los puntos del lado que une los puntos
B(6, 2) y C(0, 5), es decir, tiene infinitas soluciones.
Se observa gráficamente que el lado BC es paralelo al vector director de la
función objetivo.
8
v (– 60, 30) || (– 2, 1)

3.2. Problemas sin solución
Un problema de programación lineal puede que no tenga solución, debido a
dos razones:
a) Porque la región factible sea vacía.
b) Porque la región factible no esté acotada y no se alcance nunca en ella la
solución óptima.

104


x+yÓ7 °
§
2x + 3y Ì 12 §
¢
xÓ0 §
§ Y
yÓ0 £
minimiza en dicho recinto el valor de la función:
f(x, y) = 17x + 35y
a) Región factible.
2x + 3y = 12 x+y=7
Se observa que la región factible está vacía, es decir, no hay ningún punto 1 X
en el plano que verifique las restricciones del enunciado del problema. 1

xÌy °
§
x + 2y Ó 6 §
¢
xÓ0 § Y
§
yÓ0 £
maximiza en dicho recinto el valor de la función:
y=x
f(x, y) = 10x + 20y
a) Región factible.
B(0, 3)
Es el gráfico del margen. A(2, 2)
1 x + 2y = 6 X
Se observa que la región factible no está acotada y, por tanto, nunca se al-
1
canza en ningún punto de ella el valor máximo.
Observa que si se trata de minimizar una función objetivo en un recinto no aco-
tado, sí puede tener solución.

6. Dado el recinto definido por el siguiente sistema de in- minimiza en dicho recinto el valor de la función:
ecuaciones: f(x, y) = 12x + 19y
x+yÌ8 °
§ 8. Dado el recinto definido por el siguiente sistema de in-
3x + 2y Ó 12 §
¢ ecuaciones:
xÓ0 §
§ x + y Ó 6°
yÓ0 £ §
xÓy §
minimiza en dicho recinto el valor de la función: ¢
xÓ0 §
f(x, y) = 15x + 10y §
yÓ0 £
7. Dado el recinto definido por el siguiente sistema de in- maximiza en dicho recinto el valor de la función:
ecuaciones: f(x, y) = 7x + 11y
x+yÌ4 °
§
x + 2y Ó 10 §
¢
xÓ0 §
§
yÓ0 £

105

EEjercicioso sproblemas resueltos
j e r c i c i y y p ro b l e m a s
Mínimo coste y solución múltiple
6. Un distribuidor de aceite de oli- a) Tabla con los datos del problema.
va compra la materia prima a
dos almazaras,A y B. Las alma- Almazara Almazara
Restricciones
zaras A y B venden el aceite a A B
2 000 y 3 000 euros por tone- Nº de toneladas x y 2 Ì x Ì 7; 2 Ì y Ì 7
lada, respectivamente. Cada al-
mazara le vende un mínimo de Comprar x y x+yÓ6
dos toneladas y un máximo de 7
Relación A y B x y x Ì 2y
y para atender a su demanda,
el distribuidor debe comprar Coste 2 000x 3 000y f(x, y) = 2 000x + 3 000y Mínimo
en total un mínimo de 6 tone-
ladas.El distribuidor debe com- b) Región factible. Y x=2 x=7
prar como máximo a la alma- D(2, 7) C(7, 7) y=7
zara A el doble de aceite que a
x+y=6 x – 2y = 0
la almazara B.¿Qué cantidad de
aceite debe comprar el distri- E(2, 4)
B(7, 7/2)
buidor a cada una de las alma- y=2
zaras para obtener el mínimo 1 A(4, 2) X
coste? Determina dicho coste 1
mínimo.
c) Valores de la función objetivo en los vértices de la región factible.
A(4, 2) ò f(4, 2) = 2 000 · 4 + 3 000 · 2 = 14 000 € Mínimo
B(7, 7/2) ò f(7, 7/2) = 2 000 · 7 + 3 000 · 7/2 = 24 500 €
C(7, 7) ò f(7, 7) = 2 000 · 7 + 3 000 · 7 = 35 000 €
D(2, 7) ò f(2, 7) = 2 000 · 2 + 3 000 · 7 = 25 000 €
F(2, 4) ò f(2, 4) = 2 000 · 2 + 3 000 · 4 = 16 000 €
d) La solución óptima es A(4, 2), es decir, x = 4 toneladas de la almazara A e
y = 2 toneladas de la almazara B

7. Resuelve los siguientes apar- a) Restricciones:
tados:
2x + y Ì 6; 4x + y Ì 10; –x + y Ì 3; x Ó 0; y Ó 0
a) Representa gráficamente la
b) Región factible. Y –x + y = 3
región determinada por las
siguientes restricciones: D(1, 4)
2x + y Ì 6 4x + y = 10
E(0, 3)
4x + y Ì 10 C(2, 2)

–x + y Ì 3 1 2x + y = 6
X
x Ó 0; y Ó 0 A(0, 0) 1 B(5/2, 0)
y determina sus vértices. c) Valores de la función objetivo en los vértices de la región factible.
b) Calcula el máximo de la fun- A(0, 0) ò f(0, 0) = 4 · 0 + 2 · 0 – 3 = –3
ción f(x, y) = 4x + 2y – 3 en
el recinto anterior e indica
B(5/2, 0) ò f(5/2, 0) = 4 · 5/2 + 2 · 0 – 3 = 7
dónde se alcanza. C(2, 2) ò f(2, 2) = 4 · 2 + 2 · 2 – 3 = 9 Máximo
D(1, 4) ò f(1, 4) = 4 · 1 + 2 · 4 – 3 = 9 Máximo
E(0, 3) ò f(0, 3) = 4 · 0 + 2 · 3 – 3 = 3
d) La solución óptima es el segmento CD, es decir, todos los puntos de dicho
segmento.

106

E j e r c i c i o s y p ro b l e m a s
PA U
Máximo beneficio
8. Una compañía de telefonía mó- a) Tabla con los datos del problema.
vil quiere celebrar una jornada
de «Consumo razonable» y Mensajes Minutos
Restricciones
ofrece a sus clientes la siguien- SMS conversación
te oferta: 15 céntimos de euro Número x y x Ó 0; y Ó 0
por cada mensaje SMS y 25 cén-
timos de euro por cada minuto
Relación SMS y MC x y x–3ÌyÌx+3
de conversación incluyendo el Limitación 5x y 5x + y Ì 27
coste de establecimiento de lla- Coste 15x 25y f(x, y) = 15x + 25y Máximo
mada. Impone las condiciones:
a) El número de llamadas de un b) Región factible. Y –x + y = 3
minuto no puede ser mayor D(4, 7)
que el número de mensajes x–y=3
aumentado en 3, ni ser me-
E(0, 3)
nor que el número de men- C(5, 2)
sajes disminuido en 3 1 5x + y = 27 X
b) Sumando el quíntuplo del nú- A(0, 0) 1 B(3, 0)
mero de mensajes con el c) Valores de la función objetivo en los vértices de la región factible.
número de llamadas no pue-
de obtenerse más de 27. A(0, 0) ò f(0, 0) = 15 · 0 + 25 · 0 = 0 céntimos de euro
1. Dibuja la región factible. B(3, 0) ò f(3, 0) = 15 · 3 + 25 · 0 = 45 céntimos de euro
2. Determina el número de C(5, 2) ò f(5, 2) = 15 · 5 + 25 · 2 = 125 céntimos de euro
mensajes y de llamadas para D(4, 7) ò f(4, 7) = 15 · 4 + 25 · 7 = 235 céntimos de euro Máximo
que el beneficio sea máximo.
E(0, 3) ò f(0, 3) = 15 · 0 + 25 · 3 = 75 céntimos de euro
3. ¿Cuál es ese beneficio má-
ximo? d) La solución óptima es D(4, 7), es decir, x = 4 mensajes SMS e y = 7 llama-
das de un minuto.
9. Una fábrica de papel tiene al- a) Tabla con los datos del problema.
macenados 4 000 kg de pasta
de papel normal y 3 000 kg de Tipo A Tipo B Restricciones
pasta de papel reciclado. La fá- Nº de cajas x y x Ó 0; y Ó 0
brica produces dos tipos dife- Normal 0,2x 0,2y 0,2x + 0,2y Ì 4 000
rentes de cajas de cartón. Para
el primer tipo se utilizan 0,2 kg Reciclado 0,1x 0,3y 0,1x + 0,3y Ì 3 000
de pasta de papel normal y Beneficio 5x 6y f(x, y) = 5x + 6y Máximo
0,1 kg de pasta de papel reci-
b) Región factible. Y 0,2x + 0,2y = 4 000
clado, mientras que para la ca-
12 000
ja de segundo tipo se utilizan

D(0, 10 000)
0,2 kg de pasta de papel normal
C(15 000, 5 000)
y 0,3 kg de pasta de papel reci-
0,1x + 0,3y = 3 000
clado. Los beneficios que la fá- 2 000 X
brica obtiene por la venta de A(0, 0) 2 000 B(20 000, 0)
cada caja son:respectivamente,
5 € para el primer tipo y 6 € c) Valores de la función objetivo en los vértices de la región factible.
para el segundo tipo de cajas. A(0, 0) ò f(0, 0) = 5 · 0 + 6 · 0 = 0 €
Utilizando técnicas de progra-
B(20 000, 0) ò f(20 000, 0) = 5 · 20 000 + 6 · 0 = 100 000 €
mación lineal, calcula cuántas
cajas de cada tipo deben fabri- C(15 000, 5 000) ò f(15 000, 5 000) = 5 · 15 000 + 6 · 5 000 = 105 000 € Máximo
car para obtener el máximo be- D(0, 10 000) ò f(0, 10 000) = 5 · 0 + 6 · 10 000 = 60 000 €
neficio. ¿A cuánto asciende el
beneficio máximo obtenido? d) La solución óptima es C(15 000, 5 000), es decir, x = 15 000 cajas del tipo A
e y = 5 000 cajas del tipo B. El beneficio máximo asciende a 105 000 €

107

EEjercicioso sproblemas resueltos
j e r c i c i y y p ro b l e m a s
10. Para dotar de mobiliario urba- a) Tabla con los datos del problema.
no a cierta zona de la ciudad,
se quieren colocar al menos 20 Farolas Jardineras Restricciones
piezas entre farolas y jardine-
ras. Hay 40 farolas y 12 jardi- Nº de piezas x y 0 Ì x Ì 40; 0 Ì y Ì 12
neras disponibles. Se preten-
de que el número de jardineras Condición 1 x y x + y Ó 20
colocadas no sea superior a
Condición 2 x y y Ì x/3
una tercera parte del de faro-
las colocadas, pero de forma Condición 3 x y 0,2(x + y) Ì y
que por lo menos un 20% de
Beneficio x y f(x, y) = x – y Máximo
las piezas que se coloquen
sean jardineras.
a) ¿Qué combinaciones de pie-
b) Región factible.
zas de cada tipo se pueden Y
colocar? Plantea el proble- x = 40
ma y representa gráfica-
x + y = 20
mente el conjunto de solu- C(40, 12)
ciones. x/3 – y = 0
y = 12 D(36, 12)
b) ¿Qué combinación hace que 0,2x + 0,8y = 0
la diferencia entre el núme- B(40, 10)
ro de farolas y de jardine- E(15, 5)
4
ras colocadas sea mayor? A(16, 4) X
¿Es la combinación donde 4
más piezas de mobiliario se
colocan? c) Valores de la función objetivo en los vértices de la región factible.
A(16, 4) ò f(16, 4) = 16 – 4 = 12
B(40, 10) ò f(40, 10) = 40 – 10 = 30 Máximo
C(40, 12) ò f(40, 12) = 40 – 12 = 28
D(36, 12) ò f(36, 12) = 36 – 12 = 24
E(15, 5) ò f(15, 5) = 15 – 5 = 10
d) Se pueden colocar las piezas correspondientes a las coordenadas enteras que
hay en el borde y el interior de la región factible.
La diferencia mayor entre el número de farolas y jardineras se alcanza en
x = 40 farolas e y = 10 jardineras.
g(x, y) = x + y
g(16, 4) = 16 + 4 = 20 piezas
g(40, 10) = 40 + 10 = 50 piezas
g(40, 12) = 40 + 12 = 52 piezas
g(36, 12) = 36 + 12 = 48 piezas
g(15, 5) = 15 + 5 = 20 piezas
La combinación donde más piezas de mobiliario se colocan es 40 farolas y
12 jardineras (40 + 12 = 52), que también está dentro de la región factible.

108

EEjercicioso sproblemasb l e m a s
j e r c i c i y y p ro
PA U
Preguntas tipo test Contesta en tu cuaderno:

1 Representa gráficamente el conjunto de soluciones Suponiendo que se vende toda la producción, ¿cuán-
del sistema de inecuaciones: tas unidades de cada clase interesará fabricar para
obtener los máximos ingresos?
3x + 2y Ó 5; x – 2y Ó –1; 5x + 4y Ì 16; x – y Ì 5
150 sortijas sencillas y 150 adornadas.
Determina los vértices de la región obtenida en el
apartado anterior. 250 sortijas sencillas y 200 adornadas.
A(5, 2); B(3, 1); C(9, 7/2); D(5, 5) 200 sortijas sencillas y 300 adornadas.
300 sortijas sencillas y 250 adornadas.
A(13, – 1); B(2, 3); C(1, – 1)
A(3, –2); B(4, –1); C(2, 3/2); D(1, 1) 6 En el ejercicio anterior, calcula los ingresos máximos.
A(0, 0); B(3, 4); C(0, 9); D(7, 0) 2700 € 3000 €
1000 € 10000 €
2 En el ejercicio anterior calcula el punto donde al-
canza el mínimo la función f(x, y) = 3x – y en dicha 7 En un almacén de electrodomésticos hay neveras y
región. Determina dicho valor mínimo. lavadoras, y pueden almacenarse hasta un total de
A(1, 1); el mínimo es 2 180 unidades. Para atender adecuadamente la de-
manda de los clientes, deben existir al menos 30 la-
A(3, 5); el mínimo es 23
vadoras, y el número de neveras debe ser, al menos,
A(7, 4); el mínimo es 56 igual al número de lavadoras más 20. Si el costo de
A(9, 0); el mínimo es 1 cada nevera es de 450 €, y del de cada lavadora, de
375 €, ¿cuántas unidades de cada electrodoméstico
3 Una hamburguesería necesita diariamente un míni- se han de almacenar minimizando los costes totales.
mo de 180 kg de carne de cerdo y 120 kg de carne 25 neveras y 10 lavadoras.
de ternera. Hay dos mataderos A y B que pueden su-
75 neveras y 20 lavadoras.
ministrarle la carne requerida, pero ha de ser en lo-
tes. El lote del matadero A contiene 6 kg de carne de 40 neveras y 40 lavadoras.
cerdo y 2 kg de carne de ternera cuyo coste es 50 neveras y 30 lavadoras.
25 €, y el lote del matadero B contiene 4 kg de car-
ne de cerdo y 3 kg de carne de ternera, cuyo coste 8 En el ejercicio anterior, clacula los costes mínimos.
es 35 €. Determina, justificando la respuesta, el nú- 33 750 € 10000 €
mero de lotes que debe adquirir la hamburguesería 50000 € 25000 €
en cada matadero con objeto de garantizar sus ne-
cesidades diarias con el mínimo coste. 9 Un profesor ha dado a sus alumnos una lista de pro-
5 lotes del matadero A y 23 lotes del B blemas para que resuelvan, como máximo, 70 de
ellos. Los problemas están clasificados en dos gru-
9 lotes del matadero A y 18 lotes del B pos. Los del grupo A valen 5 puntos cada uno, y los
15 lotes del matadero A y 15 lotes del B del B, 7 puntos. Para resolver un problema del ti-
6 lotes del matadero A y 36 lotes del B po A, se necesitan 2 minutos, y para resolver un pro-
blema del tipo B, 3 minutos. Si los alumnos disponen

4 En el ejercicio anterior, calcula valor de dicho coste dia- de dos horas y media para resolver los problemas,
rio mínimo. ¿cuántos problemas de cada tipo habría que hacer
para obtener la puntuación máxima? ¿Cuál es dicha
El coste mínimo es de 2600 €
puntuación máxima?
El coste mínimo es de 5000 €
25 problemas del grupo A y 70 del B
El coste mínimo es de 1410 € 35 problemas del grupo A y 53 del B
El coste mínimo es de 250 € 65 problemas del grupo A y 10 del B
5 Un taller de bisutería produce sortijas sencillas a 60 problemas del grupo A y 10 del B
4,5 € y sortijas adornadas a 6 €. Las máquinas con-
10 En el ejercicio anterior, calcula la puntuación máxima.
dicionan la producción de modo que no pueden sa-
lir al día más de 400 sortijas sencillas, ni más de 300 500 puntos 400 puntos
adornadas, ni más de 500 en total. 370 puntos 200 puntos

109

EEjerciciosi o s y p ro b l e m a s
j e r c i c y problemas propuestos
1. Introducción a la programación 2. Resolución de problemas de
lineal programación lineal
9. Sea el recinto definido por las siguientes inecuaciones: 13. Un artesano fabrica collares y pulseras. Hacer un collar
lleva dos horas, y hacer una pulsera una hora. El mate-
5x + 2y – 10 Ó 0 ° rial de que dispone no le permite hacer más de 50 pie-
x–y–2Ì0 §
§ zas. Como mucho, el artesano puede dedicar al trabajo
3x + 4y – 20 Ì 0 ¢ 80 horas. Por cada collar gana 5 €, y por cada pulsera,
xÓ0 §
§ 4 €. El artesano desea determinar el número de colla-
yÓ0 £ res y pulseras que debe fabricar para optimizar sus be-
neficios.
a) Dibuja dicho recinto y determina sus vértices.
a) Expresa la función objetivo y las restricciones del
b) Determina en qué punto de ese recinto alcanza la
problema.
función f(x, y) = 4x + 3y el máximo valor.
b) Representa gráficamente el recinto definido.
10. Dado el recinto definido por el siguiente sistema de in- c) Obtén el número de collares y pulseras correspon-
ecuaciones: dientes al máximo beneficio.

x + y Ì 27 ° 14. Un ganadero tiene que elaborar un pienso a partir de
§
x Ó 12 ¢ dos ingredientes nutritivos:A y B. Los mínimos que ne-
§
yÓ6 £ cesita son 30 unidades de A y 32 unidades de B. En el
mercado se venden sacos de dos marcas que contie-
a) represéntalo gráficamente. nen A y B, cuyos contenidos y precios se dan en la ta-
b) determina los vértices de ese recinto. bla siguiente:
c) ¿cuáles son los valores máximo y mínimo de la fun-
Unidades Unidades Precio
ción f(x, y) = 90x + 60y en el recinto anterior? ¿En Marca
de A de B del saco
qué puntos alcanza dichos valores?
I 3 1 9€
11. Sea el siguiente sistema de inecuaciones: II 1 4 12 €
x + 3y Ì 3 ° ¿Cuántos sacos de cada marca tiene que comprar el
§
2x + y Ì 4 § ganadero para elaborar este pienso con el mínimo
¢
xÓ0 § coste?
§
yÓ0 £
15. Una fábrica produce confitura de albaricoque y confi-
a) Dibuja el conjunto de puntos definidos por las in- tura de ciruela. El doble de la producción de confitura
ecuaciones. de ciruela es menor o igual que la producción de confi-
b) Maximiza en dicho conjunto la función objetivo tura de albaricoque más 800 unidades. Además, el tri-
z = 2x + 3y ple de la producción de confitura de albaricoque más
el doble de la producción de confitura de ciruela es
menor o igual que 2 400 unidades.
12. Dada la función objetivo f(x, y) = 2x + 3y, sujeta a las
restricciones siguientes: Cada unidad de confitura de albaricoque produce un
3x + y Ì 10 beneficio de 60 €, y cada unidad de confitura de cirue-
la 80 €. ¿Cuántas unidades de cada tipo de confitu-
x + 2y Ì 8 ra, se tienen que producir para obtener un beneficio
xÓ0 máximo?
yÓ0 16. Una empresa que sirve comidas preparadas tiene que
a) representa la región factible. diseñar un menú utilizando dos ingredientes. El ingre-
diente A contiene 35 g de grasas y 150 kilocalorías por
b) halla los valores de x e y que hacen máxima la fun-
cada 100 gramos de ingrediente, mientras que el ingre-
ción objetivo.
diente B contiene 15 g de grasas y 100 kilocalorías por
c) determina los valores x e y que minimizan la fun- cada 100 g. El coste es de 1,5 € por cada 100 g del in-
ción objetivo. grediente A y de 2 € por cada 100 g del ingrediente B.

110

El menú que hay que diseñar debería contener no más maximiza en dicho recinto el valor de la función:
de 30 g de grasas y, al menos, 110 kilocalorías por cada f(x, y) = 16x + 24y
100 g de alimento. Se pide determinar las proporcio-
nes de cada uno de los ingredientes que se emplearán 18. Dado el recinto definido por el siguiente sistema de in-
en el menú, de manera que su coste sea lo más reduci- ecuaciones:
do posible.
x + y Ó 11 °
a) Indica la expresión de las restricciones y la función §
2x + y Ì 8 §
objetivo del problema. ¢
xÓ0 §
b) Representa gráficamente la región delimitada por §
yÓ0 £
las restricciones.
c) Calcula el porcentaje óptimo de cada uno de los in- minimiza en dicho recinto el valor de la función:
gredientes que se incluirán en el menú. f(x, y) = 5x + 7y

19. Dado el recinto definido por el siguiente sistema de in-
3. Número de soluciones ecuaciones:
17. Dado el recinto definido por el siguiente sistema de x + y Ó 8°
§
inecuaciones: xÌy §
¢
x+yÓ5 ° xÓ0 §
§ §
2x + 3y Ì 18 § yÓ0 £
¢
xÓ0 § maximiza en dicho recinto el valor de la función:
§
yÓ0 £ f(x, y) = 23x + 14y

Para ampliar
20. Dado el recinto definido por el siguiente sistema de in- 22. Sea P el polígono de vértices O(0, 0), A(6, 0), B(8, 3),
ecuaciones: C(4, 8) y D(0, 6). Averigua en qué puntos del polígono
alcanza la función f(x, y) = 2x + 3y los valores máximo
xÓ6 °
§ y mínimo.
yÌ8
§
x + 2y Ó 10 ¢ 23. Dado el recinto definido por el siguiente sistema de in-
xÓ0 § ecuaciones:
yÓ0 §
£ x + y Ó 2°
a) represéntalo gráficamente. x–yÌ0§
§
b) calcula sus vértices. yÌ4 ¢
xÓ0 §
c) calcula el máximo de la función f(x, y) = 20x + 60y en §
yÓ0 £
dicho recinto.

21. Dado el recinto definido por el siguiente sistema de in-
ecuaciones: b) calcula los vértices de ese recinto.
c) determina el máximo y el mínimo de la función
x + y Ì 11 °
§ f(x, y) = 12x + 4y en el recinto anterior.
40x + 30y Ó 360 §
¢
xÓ0 § 24. Determina los valores máximo y mínimo de la función
§ z = 3x + 4y sujeta a las restricciones:
yÓ0 £
a) represéntalo gráficamente. 3x + y Ó 3 °
b) calcula los vértices de ese recinto. x+yÌ5 §
§
x Ó –2 ¢
c) obtén en dicho recinto el valor máximo y el valor §
y Ì 10
mínimo de la función dada por §
yÓ0 £
f(x, y) = 10 000x + 7 000y
y di en qué puntos se alcanzan.

111

25. Sea el conjunto de restricciones siguiente: a) Representa la región del plano determinada por el
conjunto de restricciones.
x+yÌ9 °
§
x–yÌ0 § b) Calcula los puntos de dicha región en los que la fun-
¢ ción f(x, y) alcanza su valor máximo y su valor mí-
x + 2y Ì 16 §
§ nimo.
yÓ0 £
a) Dibuja la región factible determinada por dichas res- 27. Dado el recinto definido por el siguiente sistema de in-
tricciones. ecuaciones:
b) Calcula los vértices de dicha región.
2x + y Ì 18 °
c) Obtén los puntos en los que presenta el máximo y §
2x + 3y Ì 26 §
el mínimo la función f(x, y) = x + 2y ¢
x + y Ì 16 §
§
26. Se considera la función f(x, y) = 2x + 4y, sujeta a las si- x Ó 0; y Ó 0 £
guientes restricciones:
3x + 2y Ó 6 °
x + 4y Ó 4 § b) calcula los vértices del recinto.
§
x – 2y + 6 Ó 0 ¢ c) obtén en dicho recinto el valor máximo y el valor
x + 2y Ì 10 § mínimo de la función f(x, y) = 5x + 3y. Halla en qué
xÌ4 §
£ puntos se alcanzan.

Problemas
28. Un granjero desea crear una granja de pollos de dos mantecadas y cinco participaciones de lotería, y cada lote
razas, A y B. Dispone de 9 000 € para invertir y de un del tipo B consta de dos cajas de mantecadas y dos partici-
espacio con una capacidad limitada para 7 000 pollos. paciones de lotería. Por cada lote de tipo A vendido, los
Cada pollo de la raza A le cuesta 1 € y obtiene con él alumnos obtienen un beneficio de 12,25 €; y por cada lote
un beneficio de 1 €, y cada pollo de la raza B le cuesta de tipo B ganan 12,5 €
2 € y el beneficio es de 1,4 € por unidad. Si por razo- Por razones de almacenamiento, pueden disponer a lo
nes comerciales el número de pollos de la raza B no sumo de 400 cajas de mantecadas. Los alumnos solo
puede ser superior a los de la raza A, determina, justifi- cuentan con 1 200 participaciones de lotería y desean
cando la respuesta: maximizar sus beneficios.
a) ¿qué cantidad de ambas razas debe comprar el gran- a) Determina la función objetivo y expresa mediante
jero para obtener un beneficio máximo? inecuaciones las restricciones del problema.
b) ¿cuál será el valor de dicho beneficio? b) ¿Cuántas unidades de cada tipo de lote deben ven-
der los alumnos para que el beneficio obtenido sea
29. Un vendedor dispone de dos tipos de pienso,A y B, pa- máximo? Calcula dicho beneficio.
ra alimentar ganado. Si mezcla a partes iguales los dos
piensos, obtiene una mezcla que vende a 0,15 €/kg; si 31. Cada mes una empresa puede gastar, como máximo,
la proporción de la mezcla es de una parte de A por 10 000 € en salarios y 1 800 € en energía (electricidad
3 de B, vende la mezcla resultante a 0,1 €/kg. El vende- y gasoil). La empresa solo elabora dos tipos de produc-
dor dispone de 100 kg de pienso del tipo A y de 210 kg tos A y B. Por cada unidad de A que elabora gana 0,8
del tipo B. Desea hacer las dos mezclas de modo que €; y por cada unidad de B gana 0,5 €. El coste salarial y
sus ingresos por venta sean máximos. energético que acarrea la elaboración de una unidad
a) Plantea el problema y dibuja la región factible. del producto A y de una unidad del producto B apare-
b) Halla cuántos kilos de cada mezcla deben producirse ce en la siguiente tabla:
para maximizar los ingresos, y calcula dicho ingreso.
Producto A Producto B
30. Los alumnos de un centro educativo pretenden vender Coste salarial 2 1
dos tipos de lotes,A y B, para sufragar los gastos del viaje
de estudios. Cada lote de tipo A consta de una caja de Coste energético 0,1 0,3

112

Se desea determinar cuántas unidades de cada uno de a) ¿De cuántos anuncios y cuñas radiofónicas podrá
los productos A y B debe producir la empresa para constar esta campaña? Plantea el problema y repre-
que el beneficio sea máximo. senta gráficamente el conjunto de soluciones.
b) ¿Qué combinación de ambos se debería realizar pa-
32. En un depósito se almacenan bidones de petróleo y ga-
ra vender el mayor número de copias posibles? ¿Se
solina. Para poder atender la demanda se han de tener
llega a gastar el millón de euros?
almacenados un mínimo de 10 bidones de petróleo y
40 de gasolina. Siempre debe haber más bidones de ga-
36. Una fábrica de coches va a lanzar al mercado dos nue-
solina que de petróleo, y la capacidad del depósito es
vos modelos, uno básico y otro de lujo. El coste de fa-
de 200 bidones. Por razones comerciales, deben man-
bricación del modelo básico es de 10 000 € y el del
tenerse en inventario, al menos, 50 bidones. El gasto de
modelo de lujo es de 15 000 €. Se dispone de un pre-
almacenaje de un bidón de petróleo es de 0,2 € y el de
supuesto de 600 000 € para esta operación de lanza-
uno de gasolina es de 0,3 €. Se desea saber cuántos bi-
miento. Para evitar riesgos se cree conveniente lan-
dones de cada clase han de almacenarse para que el
zar al menos tantos coches del modelo básico como
gasto de almacenaje sea mínimo.
del modelo de lujo y, en todo caso, no fabricar más de
45 coches del modelo básico.
33. Un agricultor cosecha garbanzos y lentejas. Se sabe
que, a lo sumo, solo se pueden cosechar 500 toneladas a) ¿Cuántos coches interesa fabricar de cada modelo
métricas (Tm), de las que, como máximo, 200 Tm son si el objetivo es maximizar el número de coches fa-
lentejas. Los beneficios por Tm de garbanzos y lentejas bricados?
son de 500 € y 300 €, respectivamente, y desea plani-
b) ¿Se agota el presupuesto disponible?
ficar la producción para optimizar el beneficio total.
a) Formula el sistema de inecuaciones asociado al 37. Por motivos de ampliación de plantilla, una empresa de
enunciado del problema y la función objetivo del servicios de traducción quiere contratar, a lo sumo, 50
mismo. nuevos traductores. El salario que ha de pagar a cada
traductor de una lengua es de 2 000 €, y de 3 000 € a
b) Representa gráficamente la región factible y calcula los que son de más de una lengua. Como poco, y por
sus vértices. motivos de demanda, dicha empresa tiene que contra-
c) ¿Cuántas Tm de garbanzos y cuántas de lentejas de- tar a la fuerza a un traductor de más de una lengua. La
be cosechar para obtener el máximo beneficio? política de selección de personal de la compañía obliga
también a contratar al menos a tantos traductores de
34. Cierta sala de espectáculos tiene una capacidad máxi-
una lengua como de más de una. Sabiendo que el obje-
ma de 1 500 personas entre adultos y niños, aunque el tivo fijado de beneficios totales es, como mínimo, de
número de niños asistentes no puede superar los 600. 120 000 €, y que los beneficios que aportan los traduc-
El precio de la entrada de un adulto a una sesión es de tores de una lengua son de 4 000 €/traductor, y de
8 €, mientras que la de un niño es de un 40% menos. El 8 000 €/traductor los de más de una lengua:
número de adultos no puede superar al doble del nú- a) ¿cuántos traductores de cada tipo puede contratar?
mero de niños. Plantea el problema y representa gráficamente el
conjunto de soluciones.
Cumpliendo las condiciones anteriores, ¿cuál es la can-
tidad máxima que se puede recaudar por la venta de

b) ¿cuántos traductores contratará para minimizar el
entradas? ¿Cuántas de las entradas serán de niños? gasto en salarios? ¿Qué beneficios totales tendrá la
empresa en este caso?
35. Un grupo musical va a lanzar un nuevo trabajo al mer-
cado. La casa discográfica considera necesario realizar 38. Un agricultor puede sembrar trigo (5 hectáreas como
una campaña intensiva de publicidad, combinando dos máximo) y centeno (7 hectáreas como máximo) en sus
publicidades: anuncios en televisión, con un coste esti- tierras. La producción de trigo, por cada hectárea sem-
mado de 10 000 € por anuncio, y cuñas radiofónicas, brada, es de 5 toneladas, mientras que la producción
con un coste estimado de 1 000 € por cuña. No obs- de centeno, también por hectárea sembrada, es de
tante, no pueden gastar más de un millón de euros para 2 toneladas, y puede producir un máximo de 29 tone-
dicha campaña, a lo largo de la cual se tienen que emitir, ladas de los dos cereales. Si el beneficio que obtiene el
al menos, 50 cuñas, pero no más de 100. Un estudio de agricultor por cada tonelada de trigo es de 290 € y
mercado cifra en 10 000 el número de copias que se el beneficio por cada tonelada de centeno es de 240 €,
venderá por anuncio de televisión emitido, y en 2 000 el ¿qué número de hectáreas ha de sembrar de cada cul-
número de copias por cuña radiofónica emitida. tivo para maximizar los beneficios?

113

39. El número de unidades de dos productos (A y B) que 43. Un cliente de un banco dispone de 30 000 € para ad-
un comercio puede vender es, como máximo, igual a quirir fondos de inversión. El banco le ofrece dos tipos
100. Dispone de 60 unidades de producto de tipo A, de fondos, A y B. El de tipo A tiene una rentabilidad del
con un beneficio unitario de 2,5 €, y de 70 unidades ti- 12% y unas limitaciones legales de 12 000 € de inver-
po B con un beneficio de 3 €. Determina cuántas uni- sión máxima; el del tipo B presenta una rentabilidad del
dades de cada tipo de productos A y B debe vender el 8% sin ninguna limitación. Además, este cliente desea
comercio para maximizar sus beneficios globales. invertir en los fondos tipo B, como máximo, el doble
de lo invertido en los fondos tipo A.
40. Un comerciante desea comprar dos tipos de lavadoras,
A y B. Las de tipo A cuestan 450 €, y las de tipo B, a) ¿Qué cantidad de dinero debe invertir en cada tipo
750 €. Dispone de 10 500 € y de sitio para 20 lavado- de fondo para obtener un beneficio máximo?
ras, y, al menos, ha de comprar una de cada tipo. b) ¿Cuál será el valor de dicho beneficio máximo?
¿Cuántas lavadoras ha de comprar de cada tipo para
obtener beneficios máximos con su venta posterior,
sabiendo que en cada lavadora gana el 20% del precio Para profundizar
de compra?
Nota: se recuerda que el número de lavadoras de cada 44. En un problema de programación lineal la región facti-
tipo ha de ser entero. ble es el pentágono convexo que tiene de vértices los
puntos: O(0, 0), P(0, 4), Q(3/2, 3), R(5/2, 2) y S(11/4, 0),
41. Una empresa se dedica a la fabricación de frascos de y la función objetivo que hay que maximizar es
perfume y de agua de colonia, a partir de tres factores F(x, y) = 2x + ay (a es un número real positivo).
productivos, F1, F2 y F3. Las unidades de dichos facto- a) Dibuja la región factible.
res utilizadas en la producción de cada tipo de frasco
se detallan en la siguiente tabla: b) Halla el vértice, o punto extremo, del mismo en
el que la función objetivo alcanza el máximo para
Perfume Agua de colonia a = 1/2
F1 1 2 c) Encuentra un valor de a para que el máximo se al-
cance en el punto (0, 4)
F2 2 0
F3 0 4 45. Un hipermercado quiere ofrecer dos clases de bande-
jas: A y B. La bandeja A contiene 40 g de queso man-
Sabiendo que el precio de venta de un frasco de perfu-
chego, 160 g de roquefort y 80 g de camembert; la ban-
me es de 50 €, el de uno de agua de colonia es de
deja B contiene 120 g de cada uno de los tres tipos
20 €, y que la empresa dispone de 240 unidades de F1,
de queso anteriores. Para confeccionarlas disponen de
360 de F2 y 440 de F3:
10,4 kg de queso manchego, 17,6 kg de roquefort y
a) calcula el número de frascos de cada tipo que de- 11,2 kg de camembert. El precio de venta es de 5,8 €
be fabricar la empresa para maximizar sus benefi- la bandeja A y de 7,32 € la bandeja B. El hipermercado
cios. Explica los pasos seguidos para obtener la res- desea maximizar los ingresos.
puesta.
a) Expresa la función objetivo.
b) ¿se consumen todas las existencias de F1, F2 y F3 en
b) Escribe mediante inecuaciones las restricciones del
la producción de los frascos que maximiza los bene-
problema y representa gráficamente el recinto de-
ficios?
finido.
42. Un concesionario de coches vende dos modelos: el A, c) Determina el número de bandejas que debe vender
con el que gana 1 000 € por unidad vendida, y el B, con de cada clase para que los ingresos obtenidos sean
el que gana 500 € por unidad vendida. El número x de máximos. Calcula dichos ingresos.
coches vendidos del modelo A debe verificar que
50 Ì x Ì 75. El número y de coches vendidos del mo-
46. Una fábrica de adornos produce broches sencillos y
delo B debe ser mayor o igual que el número de co-
broches de fiesta. Se obtiene un beneficio de 4,5 € por
ches vendidos del modelo A.
cada broche sencillo y de 6 € por cada broche de fies-
Sabiendo que el máximo de coches que puede vender ta. En un día no se pueden fabricar más de 400 broches
es 400, determina cuántos coches debe vender de cada sencillos ni más de 300 de fiesta; tampoco pueden pro-
modelo para que su beneficio sea máximo. ducirse más de 500 broches en total. Suponiendo que

114

se logra vender toda la producción de un día, ¿cuál es c) Razona si con estas restricciones un operario puede
el número de broches de cada clase que conviene fa- fabricar diariamente una mesa y una silla, y si esto le
bricar para obtener el máximo beneficio? ¿Cuál debe- conviene a la empresa.
ría ser la producción para obtener el máximo beneficio
d) Resuelve el problema.
si se obtuvieran 6 € por cada broche sencillo y 4,5 €
por cada broche de fiesta?
50. Una agencia de viajes vende paquetes turísticos para
acudir a la final de un campeonato de fútbol. La agencia
47. Para fabricar 2 tipos de cable,A y B, que se venderán a está considerando ofrecer dos tipos de viajes. El pri-
1,5 y 1 € el metro, respectivamente, se emplean 16 kg mero de ellos, A, incluye desplazamiento en autocar
de plástico y 4 kg de cobre para cada hectómetro (hm) para dos personas, una noche de alojamiento en habi-
del tipo A y 6 kg de plástico y 12 kg de cobre para cada tación doble y cuatro comidas. El segundo, B, inclu-
hm del tipo B. ye desplazamiento en autocar para una persona, una
Sabiendo que la longitud de cable fabricado del tipo B noche de alojamiento (en habitación doble) y dos co-
no puede ser mayor que el doble de la del tipo A y midas.
que, además, no pueden emplearse más de 252 kg de El precio de venta del paquete A es de 150 € y el del
plástico ni más de 168 kg de cobre, determina la longi- paquete B es de 90 €. La agencia tiene contratadas un
tud, en hectómetros, de cada tipo de cable que debe máximo de 30 plazas de autobús, 20 habitaciones do-
fabricarse para que la cantidad de dinero obtenida en bles y 56 comidas. El número de paquetes del tipo B no
la venta sea máxima. debe superar al del tipo A. La empresa desea maximi-
zar sus ingresos.
48. Un proyecto de asfaltado puede llevarse a cabo por Se pide:
dos grupos diferentes de una misma empresa: G1 y
G2. Se trata de asfaltar tres zonas: A, B y C. En una se- a) expresar la función objetivo.
mana, el grupo G1 es capaz de asfaltar 3 unidades en la b) escribir mediante inecuaciones las restricciones del
zona A, 2 en la zona B y 2 en la zona C. El grupo G2 es problema y representar gráficamente el recinto de-
capaz de asfaltar semanalmente 2 unidades en la zo- finido.
na A, 3 en la zona B y 2 en la zona C. El coste semanal
se estima en 3 300 € para G1 y en 3 500 € para G2. Se c) determinar cuántos paquetes de cada tipo debe ven-
necesita asfaltar un mínimo de 6 unidades en la zona A, der la agencia para que sus ingresos sean máximos.
12 en la zona B y 10 en la zona C. ¿Cuántas semanas Calcula dichos ingresos.
deberá trabajar cada grupo para finalizar el proyecto
con el mínimo coste?

49. Una empresa, especializada en la fabricación de mobi-
liario para casas de muñecas, produce cierto tipo de
mesas y sillas, que vende, respectivamente, a 20 € y
30 € por unidad. La empresa desea saber cuántas uni-
dades de cada artículo debe fabricar diariamente un
operario para maximizar los ingresos, teniendo las si-

guientes restricciones:
El número total de unidades de los dos tipos no podrá
exceder de 4 por día y operario. Cada mesa requiere
2 horas para su fabricación; cada silla, 3 horas. La jor-
nada laboral máxima es de 10 horas.
El material utilizado en cada mesa cuesta 4 €. El utiliza-
do en cada silla cuesta 2 €. Cada operario dispone de
12 € diarios para material.
a) Expresa la función objetivo y las restricciones del
problema.
b) Representa gráficamente la región factible y calcula
los vértices de la misma.

115


Paso a paso
51. Una fábrica quiere construir bicicletas de paseo y de montaña. La fábrica dispone de 80 kg de acero y 120 kg de
aluminio. Para construir una bicicleta de paseo se necesitan 1 kg de acero y 3 kg de aluminio y para construir una
bicicleta de montaña se necesitan 2 kg de acero y otros 2 kg de aluminio. Si las bicicletas de paseo las vende a
200 € y las de montaña a 150 €, ¿cuántas bicicletas de cada tipo debe construir para que el beneficio sea máximo?
Solución:

a) Tabla con los datos del problema
Como en Wiris no tenemos la opción tabla, en elegimos Determinante y seleccionamos el nú-
mero de filas y columnas. Si cuando estamos introduciendo los datos en la tabla necesitamos añadir o elimi-
nar filas o columnas, en elegimos Menú.
b) Región factible
Ver el Así funciona (en este caso las rectas cortan a los ejes en los puntos (80, 0) y (0, 60), se toma como an-
chura = altura = 100. La mitad de 100 son 50; un poco menos, 45; centro = punto (45, 45))

52. Internet. Abre: www.editorial-bruno.es y elige Matemáticas, curso y tema.

116

Linux/Windows
Así funciona
Dibujo de la región factible
Se hace paso a paso, y en cada paso se hace clic en
a) Se dibujan las rectas que definen la región factible, cada una de un color.
b) Si es necesario, se hace Zoom fuera varias veces hasta ver todos los puntos de corte con los ejes.
c) Se escribe la función tablero, se pone en anchura y altura un valor un poco mayor que el mayor de los puntos de
corte de las rectas con los ejes. El centro del tablero debe ser un poco menor que la mitad de la anchura y altura
para que se vean las unidades en los ejes.
d) Mediante las restricciones del problema y según que la función objetivo se trate de maximizar o minimizar, se ob-
serva la región factible.
e) Se resuelven los sistemas que sea necesario para hallar los vértices de la región factible.
f ) Se dibuja y rellena la región factible que es polígono (si es ilimitada, y por ejemplo el tablero tiene anchura = altu-
ra = 150, se añaden los puntos (150, 0) (150, 150) y (0, 150). Estos tres puntos no pertenecen a la región factible;
solo se ponen para hacer un relleno en Wiris).
g) Se dibujan los vértices de la región factible.

Practica
53. Se quiere organizar un puente aéreo entre dos ciuda- las dos factorías son: 100 € por hora para la facto-
des, con plazas suficientes de pasaje y carga, para ría 1 y 80 € por hora para la factoría 2. ¿Cuántas
transportar 1600 personas y 96 toneladas de equi- horas debe funcionar cada factoría para minimizar
paje. Los aviones disponibles son de dos tipos: los costes de la empresa y satisfacer el pedido?
11 del tipo A y 8 del tipo B. La contratación de un
avión del tipo A, que puede transportar a 200 perso- 56. Un comerciante desea comprar dos tipos de lavado-
nas y 6 toneladas de equipaje, cuesta 40 000 €; y la ra, A y B. Las de tipo A cuestan 450 €, y las de ti-
contratación de un avión del tipo B, que puede po B, 750 €. Dispone de 10 500 € y de sitio para
transportar a 100 personas y 15 toneladas de equi- 20 lavadoras, y, al menos, ha de comprar una de ca-
paje, cuesta 10 000 €. ¿Cuántos aviones de cada ti- da tipo.
po deben utilizarse para que el coste sea mínimo? ¿Cuántas lavadoras ha de comprar de cada tipo
54. Un sastre tiene 80 m2 de tejido A y 120 m2 de te- para obtener beneficios máximos con su venta
jido B. Un traje de caballero requiere 1 m2 de A y posterior, sabiendo que en cada lavadora gana el
3 m2 de B, y un vestido de señora, 2 m2 de cada 20% del precio de compra?
tejido. Si la venta de un traje deja al sastre el mis- Nota: se recuerda que el número de lavadoras de

mo beneficio que la de un vestido, halla cuántos cada tipo ha de ser entero.
trajes y vestidos debe fabricar para obtener la má-
57. Cierta sala de espectáculos tiene una capacidad
xima ganancia.
máxima de 1 500 personas entre adultos y niños,
55. Una empresa produce dos bienes A y B. Tiene dos aunque el número de niños asistentes no puede
factorías y cada una de ellas produce los dos bie- superar los 600. El precio de la entrada de un
nes en las cantidades por hora siguientes: adulto a una sesión es de 8 €, mientras que la de
un niño cuesta un 40% menos. El número de adul-
Factoría 1 Factoría 2 tos no puede superar al doble del número de
Bien A 10 unidades/hora 20 unidades/hora niños.
Bien B 25 unidades/hora 25 unidades/hora Cumpliendo las condiciones anteriores, ¿cuál es la
cantidad máxima que se puede recaudar por la ven-
La empresa recibe un pedido de 300 unidades ta de entradas? ¿Cuántas de las entradas serán de
de A y 500 de B. Los costes de funcionamiento de niños?

117


Paso a paso
51. Una fábrica quiere construir bicicletas de paseo y de montaña. La fábrica dispone de 80 kg de acero y 120 kg de
aluminio. Para construir una bicicleta de paseo se necesitan 1 kg de acero y 3 kg de aluminio y para construir una
bicicleta de montaña se necesitan 2 kg de acero y otros 2 kg de aluminio. Si las bicicletas de paseo las vende a
200 € y las de montaña a 150 €, ¿cuántas bicicletas de cada tipo debe construir para que el beneficio sea máximo?
Solución:
1. Tabla con los datos B. de paseo B. de montaña Restricciones
del problema. Nº de bicicletas x y x Ó 0; y Ó 0
Acero x 2y x + 2y Ì 80
Aluminio 3x 2y 3x + 2y Ì 120
Beneficio 200x 150y f(x, y) = 200x + 150y Maximizar

2. Región factible. b) Elige Introducir Expresión.
a) En la Entrada de Expresiones escribe:
c) Para hallar el valor de la función objetivo en
x Ó 0 ì y Ó 0 ì x + 2y Ì 80 ì 3x + 2y Ì 120 el punto B(20, 30), en la Entrada de Expre-
b) Elige Introducir Expresión. siones escribe:
c) Activa la ventana 2D y elige Representar f(20, 30)
Expresión.
d) Haz Zoom para que las unidades queden d) Elige Introducir y Aproximar.
de 10 en 10
e) Calcula el valor de la función objetivo en to-
e) Coloca el cursor en el punto (50, 50) y haz dos los vértices de la región factible; se ob-
clic en Centrar en el cursor. tiene:
f ) Representa las rectas:
O(0, 0) ò f(0, 0) = 0
x + 2y = 80
A(40, 0) ò f(40, 0) = 800
3x + 2y = 120
g) Resuelve el sistema: B(20, 30) ò f(20, 30) = 850 Máximo
x + 2y = 80 ° C(0, 40) ò f(0, 40) = 600
¢
3x + 2y = 120 £ 4. La solución óptima es B(20, 30), es decir,
3. Valores de la función objetivo en los vértices de x = 20 bicicletas de paseo e y = 30 bicicletas de
la región factible. montaña.
a) Introduce la función objetivo. En la Entrada
de Expresiones escribe: 52. Internet. Abre: www.editorial-bruno.es y elige Ma-
f(x, y) := 200x + 150y temáticas, curso y tema.

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