1. Repaso UNI ̅
Álgebra
Desigualdades e inecuaciones √ ⃗
Problema 01. Dados los conjuntos Luego, los elementos enteros de son: 0; 1; 2; 3; 4; 5.
* + Por lo tanto, el número de elementos enteros de es 6.
2 . / 3
Problema 03. Dada la expresión matemática
halle el cardinal del conjunto .
( )
A) 0 B) 2 C) 3 D) 4 E) 6 Encuentre el intervalo en el que se encuentra si se sabe que
⟨ -.
Resolución. Hallemos el equivalente de cada conjunto:
 * + A) ⟨ - B) , ⟩ C) , ⟩
* ( ) ( )+ D) ⟨ - E) , -
* ( ) ( )+
* ( ) ( )+ Resolución. Factorizando el numerador se obtiene:
* + ( )( )
〈 〉 Luego, la expresión se puede expresar como
( )( )
( ) ( )
 2 . / 3
Como ⟨ -, entonces
4 5
( )
(
⏟ )
Como , entonces: . Es decir, ( )
* + Por lo tanto, ( ) , ⟩.
Por lo tanto, ( ) .
Problema 04. Sean , y números reales positivos. Halle el
Problema 02. Sean y dos conjuntos de modo que máximo valor de la siguiente expresión.
* +
* +
halle el número de elementos enteros de .
√
A) B) 1 C) D) E)
A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 12
Resolución. Analicemos la primera fracción.
Resolución. Hallemos el equivalente de cada conjunto:
 * +
Como es positivos, aplicamos la desigualdad de las medias:
{( ) ⏟ }
√ √
Luego, invertimos
( )
√
( ) √
Luego, los elementos enteros de son: 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6. Es decir,
√
 * +
De igual manera para y :
{( ) ⏟ } √
√
( ) Sumamos:
√
( )
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2. Repaso UNI ̅
Álgebra
Desigualdades e inecuaciones √ ⃗
√ halle el valor de ( ) ( ).
Por lo tanto, el máximo valor de la expresión es
A) 0 B) 1 C) 2 D) E) 4
Problema 05. Dado el número
. /
Resolución. Vamos a aplicar la desigualdad de Cauchy-Schwartz:
√
( ) ( ) ( )( )
√ √ √ √
En este caso, consideramos: , y .
Además cumple con la condición ( ) ( )( )
( ) siendo .
( ) ( )( )
Calcule el valor de ( ).
( )
A) 10 B) C) 100 D) E)
Es decir, los elementos del conjunto varían en el intervalo , -.
Por lo tanto, ( ) ( ) ( ) .
Resolución. La expresión se puede expresar como
. / Problema 07. Determine el conjunto solución de la siguiente
( ) inecuación.
√ √
( )
√ √ √ Considere * + .
[ ( )] A) 〈 〉 B) 〈 ( )〉 C) 〈 〉
√ √ D) 〈 ( ) 〉 E) 〈 ( ) 〉
Aplicamos convenientemente la propiedad:
Resolución. De la inecuación agrupemos las fracciones
Recuerde que la igualdad solo se cumple cuando todos los números homogéneas:
que intervienen son iguales. Entonces,
√ ⏟ ⏟ ⏟
⏟
√
√
√ ( )
( ) Por lo tanto, 〈 ( ) 〉.
√
Entonces,
Problema 08. Determine los valores enteros de para el cual la
[ ( )] ( )
√ √ ecuación posee una de sus raíces en el
Además, por dato se tiene que intervalo 〈 〉 y la otra en el intervalo 〈 〉.
( )
A) * +
( ) (( ) )
B) * +
( ) ( ) C) * +
D) * +
E) * +
√ √ (dato)
Nos piden calcular ( ) ( ) . Resolución. Se tiene la ecuación ⏟ ( ) ( )
( )
Problema 06. Dado el conjunto
{( ) }
Gráficamente podemos representar a las raíces de la ecuación:
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3. Repaso UNI ̅
Álgebra
Desigualdades e inecuaciones √ ⃗
������(������)
( ) ⏞
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
������ ������
( )( )
( )
Aplicamos el criterio de los puntos críticos:
Para que 〈 〉 y 〈 〉, se debe cumplir lo
siguiente:
( ) ( )
( ) ( )( ( )) Luego, ⟨ - ⟨ - * +.
Por lo tanto, un intervalo solución es ⟨ -.
Problema 11. Resuelva la siguiente inecuación irracional.
⏟
⏟ √ √ √
A) , ⟩ B) 0 ⟩ C) 0 1 D) * + E) 0 1
Luego, los valores enteros que toma son: 2; 3; 4; 5; 6; 7 y 8.
Resolución. Hallamos el CVA:
Problema 09. Determine el equivalente del conjunto .
⏟
{ }
( )( )
Entonces, , ⟩.
A) ⟨ - B) ⟨ - C) 〈 〉 Ahora analizamos la inecuación considerando el CVA.
D) 〈 〉 E) 〈 〉 〈 〉 ⏟
√ ⏟
√ √ (es verdadero)
√
Resolución. La inecuación se puede expresar como: Por lo tanto, , ⟩.
⏞
( )
( )( )
Problema 12. Resuelva la siguiente inecuación.
El cual es equivalente a √
√ √√
( )( )
Aplicamos el criterio de los puntos críticos:
A) , ⟩ B) , ⟩ C) , ⟩ D) , ⟩ * + E) , ⟩
Entonces, 〈 〉.
Resolución. Hallemos el CVA:
Por lo tanto, 〈 〉.
√ √
Problema 10. Halle un intervalo solución de la siguiente ⏟( )
inecuación fraccionaria.
( ) ( ) ( )
( )( )
( )
, ⟩ * +
A) 〈 〉 B) ⟨ - C) , ⟩ , ⟩ * + ⟨ - , ⟩
D) ⟨ - E) ⟨ - , ⟩ * +
Entonces, , ⟩ * +.
Resolución. La inecuación se puede expresar como: Ahora analizamos la inecuación.
( ) ( ) ( )( )
√√ √
( )( )( ) √
⏟ ( )
⏟
Simplificando factores comunes se obtiene:
Por lo tanto , ⟩ * +.
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4. Repaso UNI ̅
Álgebra
Desigualdades e inecuaciones √ ⃗
Problema 13. Resuelva la siguiente inecuación.
| | | | | |
Luego, 〈 〉.
A) , ⟩ B) , ⟩ C) ⟨ - , - D) E)
Entonces,
, ⟩ 〈 〉
Resolución. La inecuación se puede expresar así: , ⟩ , ⟩ (por dato)
| | | | | | De donde , y .
Recuerde que Por lo tanto, .
| | | | | |
Luego, aplicamos la propiedad para los números y :
|( ) ( )| | | | |
| | | |
| | | | | | | |
Por lo tanto, el conjunto solución de la inecuación
| | | | | | es .
Problema 14. Resuelva la siguiente inecuación.
.√ √ /
√ √
A) 〈 〉 B) 〈 〉 C) 〈 〉 D) 〈 〉 E) 〈 〉
Resolución. La inecuación se puede expresar así:
4√(√ ) 5
√(√ )
(√ )
√
Racionalizamos el segundo miembro y obtenemos:
(√ ) √
(√ ) (√ )
Como la base √ es mayor que 1, entonces los exponentes
mantienen el mismo sentido de la desigualdad:
Por lo tanto, 〈 〉.
Problema 15. Calcule el valor de ( ) si se sabe que
el conjunto solución de la inecuación √ ( ) es de
la forma , ⟩.
A) 1 B) 2 C) 6 D) 3 E) 10
Resolución. Primero hallamos el CVA:
( )
⏟
Luego, , ⟩.
En la inecuación:
√ ( )
Elevamos al cuadrado
( )
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