Funciones matematicas

Función matemática 1

Función matemática

Función de X en Y: la condición de existencia
asegura que de cada elemento sale alguna flecha
y la de unicidad que sólo sale una.

En matemáticas, una función, aplicación o mapeo f es una relación entre un conjunto dado X (el dominio) y otro
conjunto de elementos Y (el codominio) de forma que a cada elemento x del dominio le corresponde un único
elemento del codominio f(x). Se denota por:

Comúnmente, el término función se utiliza cuando el codominio son valores numéricos, reales o complejos.
Entonces se habla de función real o función compleja mientras que a las funciones entre conjuntos cualesquiera se
las denomina aplicaciones.

Definición
Una función puede considerarse como un caso particular de una relación o de correspondencia matemática. Cada
relación o correspondencia de un elemento con un (y sólo un) se denota , en lugar de

Formalmente, pedimos que se cumplan las siguientes dos condiciones:

1. Condición de existencia: Todos los elementos de X están relacionados con elementos de Y, es decir,
2. Condición de unicidad: Cada elemento de X está relacionado con un único elemento de Y, es decir, si

Notación y nomenclatura
Al dominio también se le llama conjunto de entrada o conjunto inicial. Se denota por o . A los
elementos del dominio se les llama habitualmente argumento de la función.
Al codominio, también llamado, conjunto de llegada, conjunto final o rango de f se le denota por
o
Cabe señalar que el término rango es ambiguo en la literatura, ya que puede hacer referencia tanto al codominio
como al conjunto imagen. Por ello, es aconsejable usar el término codominio.
Si x es un elemento del dominio al elemento del codominio asignado por la función y denotado por f(x) se le llama
valor o imagen de la función f de x. Al subconjunto del codominio formado por todos los valores o imágenes se le
llama imagen, alcance o recorrido de la función. Se denota por o o .


Una preimagen de un es algún tal que .
Note que puede haber algunos elementos del codominio que no sean imagen de un elemento del dominio, pero que
cada elemento del dominio es preimagen de al menos un elemento del codominio.

Ejemplos
• La función definida por , tiene como dominio, codominio e imagen a todos los números reales

Función con Dominio X y Rango Y

• Para la función tal que , en cambio, si bien su dominio y codominio son iguales a ,
sólo tendrá como imagen los valores comprendidos entre 0 y +∞ que sean el cuadrado de un número real.
• En la figura se puede apreciar una función , con

Note que a cada elemento de X le corresponde un único elemento de Y. Además, el elemento a de Y no tiene
origen, y el elemento b tiene dos (el y el ). Finalmente,

Esta función representada como relación, queda:

Igualdad de funciones
Sean las funciones f: A → B y g: C → D, decimos que f es igual a g y escribimos f=g si y sólo si se cumple que
ambas funciones:
1. tienen igual dominio, A=C,
2. tienen igual codomino, B=D, y
3. tiene la misma asignación, es decir que para cada x se cumple que f(x)=g(x).

Representación de funciones
Las funciones se pueden presentar de distintas maneras:
• usando una relación matemática descrita mediante una expresión matemática: ecuaciones de la forma
. Cuando la relación es funcional, es decir satisface la segunda condición de la definición de función,
se puede definir una función que se dice definida por la relación, A menos que se indique lo contrario, se supone
en tales casos que el dominio es el mayor posible (respecto a inclusión) y que el codominio son todos los Reales.
El dominio seleccionado se llama el {rm dominio naturl],} de la función.
Ejemplo: y=x+2. Dominio natural es todos los reales.


Ejemplo: "Para todo x, número entero, y vale x más dos unidades".
• Como tabulación: tabla que permite representar algunos valores discretos de la función.
Ejemplo:

X| -2 -1 0 1 2 3
Y| 0 1 2 3 4 5

• Como pares ordenados: pares ordenados, muy usados en teoría de grafos.
Ejemplo: A={(-2, 0),(-1, 1),(0, 2),(1, 3), ... (x, x+2)}
• Como gráfica: gráfica que permite visualizar las tendencias en la función. Muy utilizada para las funciones
continuas típicas del cálculo, aunque también las hay para funciones discretas.
Ejemplo:

5 X

4 X

3 X

2 X

1 X

0 X

y/ -2 -1 0 1 2 3
x

Clasificación de las funciones
Dados dos conjuntos X, Y, consideremos a todas las posibles aplicaciones (funciones) que pueden formarse entre
estos dos conjuntos. Podemos diferenciar los siguientes casos:
• Si a cada imagen le corresponde una única preimagen, inyectiva.
• Si la imagen de la función es igual al codominio, sobreyectiva o
suprayectiva.
• Una función que sea inyectiva y sobreyectiva simultáneamente, se
denomina biyectiva .
Puede haber funciones que sean biyectivas, inyectivas pero no
suprayectivas, supreyectiva pero no inyectiva o que no se cumple
ninguna de esas condiciones, en cuyo caso no tiene un nombre
especifico.

'Definiciones alternas: sea dada y sea b un elemento cualquiera del codominio Y. Consideremos la
ecuación
.
• la función es suprayectiva o sobreyectiva si, y sólo si, la ecuación siempre tiene al menos una solución.
• la función es inyectiva si, y 'solo si, la ecuación (*) tiene a lo más una solución.
• la función es biyectiva cuando, y sólo cuando, es inyectiva y suprayectiva a la vez.
Vamos a ilustrar esos diferentes tipos de funciones (aplicaciones) en un Diagrama de Venn, el conjunto universal U,
representado por un rectángulo, es el conjunto de todas las posibles aplicaciones, el conjunto A es aquel de las
aplicaciones inyectivas, y el conjunto B aquel de las sobreyectivas, esto nos permite ver los distintos tipos de
aplicaciones de un modo gráfico.


Aplicación inyectiva y no sobreyectiva
En una función inyectiva, cada elemento imagen tiene única
preimágen. Un función que no sea inyectiva, tendrá al menos dos
elementos diferentes del dominio que tienen la misma imagen.
En una función suprayectiva (sobreyectiva) cada elemento del
codominio es imagen de algún elemento del dominio. Una función no
será suprayectiva, cuando al menos un elemento del codominio
(conjunto final) no tenga una preimagen.
En el diagrama de Venn corresponden a las aplicaciones que
pertenecen a A y no pertenecen a B, esto es las que pertenecen a la
diferencia de A y B: A-B.
En estas aplicaciones la cardinalidad de X es siempre menor que la de Y, esto es el conjunto Y tendrá mayor número
de elementos que X cuando tratamos de compararlos.

Ejemplo
en el diagrama de la figura:
todos los elementos de Y, que tienen origen, tienen un único origen, esto hace que la aplicación sea inyectiva
el elemento d de Y, no tiene ningún origen por lo que esta aplicación no es sobreyectiva.

Segundo ejemplo

Partiendo del conjunto de pinceles con pintura de colores:

, ,

Sobre el conjunto de caras pintadas:

, , ,

Asociando cada pincel con la cara correspondiente:


Dado que cada pincel tiene una cara y solo una cara de su color esta correspondencia es una aplicación, como las
caras que tiene pincel de su color, tienen un solo pincel de su color, la aplicación es inyectiva, y como la cara pintada
de amarillo, no tiene ningún pincel de este color, la aplicación no es sobreyectiva.

Aplicación no inyectiva y sobreyectiva
Una aplicación no inyectiva tiene al menos un elemento imagen que
tiene dos o más orígenes y una sobreyectiva todos los elementos del
conjunto final tienen al menos un elemento origen.
En el diagrama de Venn corresponden a las aplicaciones que no
pertenecen a A y si pertenecen a B, esto es las que pertenecen a la
diferencia de B y A: B-A.
Para esta aplicación el conjunto X ha de tener mayor número de
elementos que Y, la cardinalidad de X ha de ser mayor que la de Y.

Ejemplo

el elemento c de Y, tiene dos orígenes: el 3 y el 4, por lo que esta aplicación no es inyectiva.
todos los elementos de Y, tienen origen, esto hace que la aplicación sea sobreyectiva.

Segundo ejemplo

Igual que en el ejemplo anterior partiremos del conjunto de
pinceles con pintura de colores:

, , ,

En este caso hay dos pinceles con pintura azul, pero a pasar de tener el mismo color de pintura son dos pinceles
distintos.
Como conjunto final tenemos el conjunto de caras pintadas:

, ,

Asociando cada pincel con la cara del mismo color, vemos que cada pincel tiene una cara pintada de su color y solo
una, esto hace que la correspondencia sea una aplicación, la cara azul tiene dos pinceles de su mismo color, por lo


que no es inyectiva, todas las caras tiene un pincel con su color, luego la aplicación es sobreyectiva.

Aplicación inyectiva y sobreyectiva (biyectiva)
Si una aplicación es inyectiva y sobreyectiva simultáneamente, se
denomina biyectiva. Por ser inyectiva los elementos que tienen origen
tienen un único origen y por ser sobreyectiva todos los elementos del
conjunto final tienen origen.
En el diagrama de Venn el conjunto A es el de las aplicaciones
inyectiva y el conjunto B el de las aplicaciones sobreyectiva, las
aplicaciones biyectiva, que son inyectiva y sobreyectiva, será la
intersección de A y B.
Estas dos circunstancias dan lugar a que el conjunto X e Y tengan el
mismo número de elementos, la cardinalidad de X es la misma que la
de Y, esto tiene una gran importancia cuando se pretende comparar dos conjuntos:
• Si dados dos conjuntos podemos encontrar una aplicación biyectiva entre ellos, podemos afirmar, que los dos
conjuntos tienen el mismo número de elementos. La cardinalidad de X es igual a la de Y.

Ejemplo

todos los elementos de Y, que tienen origen, tienen un único
origen, esto hace que la aplicación sea inyectiva
todos los elementos de Y, tienen origen, esto hace que la
aplicación sea sobreyectiva.
Si tomaremos por conjunto inicial el conjunto de los números
naturales:

y por conjunto final el de los números naturales pares:

Podemos ver que la relación

Por el que a cada número natural x de X, le asociamos un número par 2x de Y, se cumple:
1. f: es una aplicación, dado que a cada uno de los valores x de X le corresponde un único valor 2x de Y.
2. esta aplicación es inyectiva dado que a cada número par 2x de Y le corresponde un único valor x de X.
3. y es sobreyectiva porque todos los números pares tienen un origen
Esto nos permite afirmar que hay el mismo número de números naturales que de números naturales pares, se da la
paradoja de que los números naturales pares en un subconjunto propio de los números naturales, esta circunstancia
solo se da con los conjuntos infinitos.


Segundo ejemplo

Tomando el conjunto de pinceles como conjunto inicial:

, , ,

y el de caras como conjunto final:

, , ,

La correspondencia que asocia cada pincel con la cara de su mismo color es una aplicación porque todos los pinceles
tienen una cara con su color y solo una cara de ese color, la aplicación es inyectiva porque un pincel corresponde con
una sola cara, y es sobreyectiva porque todas las caras tiene un pincel de su color, al ser inyectiva y sobreyectiva
simultáneamente esta aplicación es biyectiva.
Una aplicación biyectiva hace corresponder los elementos del conjunto inicial con los del conjunto final uno a uno,
pudiéndose decir que hay el mismo número de elementos en el conjunto inicial que en el final.

Aplicación no inyectiva y no sobreyectiva
Una aplicación no inyectiva tendrá al menos un elemento imagen que
tenga dos o más orígenes y una no sobreyectiva tendrá al menos un
elemento del conjunto final que no tenga elemento origen. Este tipo de
aplicaciones no tiene un nombre especifico y quizá sean las que
presenten, desde el punto de vista matemático, un menor interés.
Para esta aplicación los conjuntos X e Y no son comparables, y no
podemos plantear ningún supuesto sobre su cardinalidad, partiendo de
su comparación, ni sobre su número de elementos.
En el diagrama de Venn corresponden a las aplicaciones que no
pertenecen a A y no pertenecen a B, esto es las que no pertenecen a la
unión de A y B.


Ejemplo
el elemento b de Y, tiene dos orígenes: 1 y 2, esto hace que esta aplicación no sea inyectiva
el elemento a de Y, no tiene ningún origen por lo que esta aplicación no es sobreyectiva
el elemento se obtiene cuando dos funciones con el mismo numerador se conectan de forma biyectiva y no se utiliza
en ningún momento la sobreyectiva por medidas de aseguracion la función se emplea de forma rotativa y no se
representa en las gráficas

Segundo ejemplo

Si tomamos como conjunto inicial el de pinceles de colores:

, , ,

y como conjunto final el de caras coloreadas:

, , ,

Vemos que todos los pinceles tiene una cara y solo una cara de su mismo color, luego esta correspondencia es una
aplicación matemática.
Como la cara azul tiene dos pinceles de su color la aplicación no es inyectiva, y como la cara amarilla no tiene
ningún pincel de ese color no es sobreyectiva, luego esta aplicación es no inyectiva y no sobreyectiva.

Resumen

Biyectiva
Sobreyectiva, no inyectiva Inyectiva, no
No sobreyectiva, no inyectiva
sobreyectiva


Álgebra de las funciones

La Composición de funciones
Dadas las funciones f: A → B y g: B → C, (o sea, donde la imagen de f está contenida en el dominio de g), se define
una función composición (g ο f ): A → C tal que (g ο f)(x) = g (f(x)), para todos los elementos x de A.

La función identidad
Dado un conjunto , la función que asigna a cada de el mismo de , se denomina
función identidad. También se simboliza por o .
Dada cualquier función , se cumple que es igual a y que es
también igual a , puesto que tenemos que para todo y también

Se verifica que
• la composición de dos funciones inyectivas es inyectiva.
• la composición de dos funciones suprayectivas es suprayectiva.
• la composición de dos funciones biyectivas es biyectiva.

La Restricción de una Función
Sea un subconjunto de . La inclusión de en permite definir una función de en que asigna a
cada elemento de el mismo elemento, pero considerado como elemento de . Decimos que tal función es la
función definida por la inclusión.
Sea y sea un subconjunto de . Sea la función definida por la inclusión. La composición
define una función de en que se llama la restricción de f a C y que se denota por .
Advertencia: muchas veces, especialmente con funciones numéricas, se usa la misma notación para la función y su
restricción, esperando que del contexto pueda deducirse la diferencia.

Función inversa
Dada una función , se llama una (función) inversa de , a una función tal que se
cumple las siguientes condiciones:
.
Decimos también que la función f es invertible
Cuando existe una función inversa de f, se demuestra que esa función es única, por lo que se habla de la inversa y se
la denota por .
Se verifica también las siguientes propiedades.
• Una función tiene inversa si, y sólo si, es biyectiva.
• La función inversa de una función es invertible, y su inversa es la función original. O sea que .
• La composición de dos funciones invertibles es invertible, y su inversa es la composición de las inversas de los
factores pero con el orden invertido.
.


El grupo simétrico o grupo de las funciones biyectivas
Sea A un conjunto y Biy(A) el conjunto formado por todas las funciones biyectivas de A en sí mismo. El conjunto
Biy(A) no es vacío, porque al menos la función identidad está en ese conjunto. Además, recordando que las funciones
biyectivas coinciden con las funciones invertibles, tenemos que la composición de funciones define una operación
algebraica en Biy(A). Se verifica que
1. La composición es una operación asociativa, es decir, dadas tres funciones cualesquiera se cumple que

2. La función identidad es un neutro respecto a la operación. O sea, , tenemos que
.
3. Cada elemento f de Biy(A) tiene un inverso respecto a la operación: la función inversa de f. O sea que
.
Estas tres condiciones determinan lo que se llama un grupo. Por lo que el conjunto de las funciones biyectivas
, Biy(A) es un grupo con respecto a la operación de composición de funciones que recibe el nombre de
grupo simétrico de .
Cuando A es un conjunto finito, digamos con n elementos, las biyecciones de A se llaman también permutaciones,
por lo que el grupo simétríco de A se llama también grupo de permutaciones.

Terminología, tradición y convenios
La noción de función es fundamental en matemáticas. la noción ha evolucionado desde su introducción en el siglo
XVII hasta el presente, al igual que muchas otras de las nociones de matemáticas. Una de las fuentes de la noción es
el estudio del movimiento cinemática, de donde hemos heredado terminologías tales como constante, variable y
parámetro.
Sea una función. La notación y definición dadas son posteriores a la invención de la teoría de
conjuntos, o sea posterior a los finales del siglo XIX. ¿Cómo se decía anteriormente que x era un elemento de ?
Diciendo que x era una variable real. Por extensión del concepto, se llamaba variables tanto a los elementos del
dominio como aquellos del codominio; para distinguir entre ellos, los elementos del dominio eran las variables
independientes mientras que aquellos del codominio eran las variables dependientes.
Por esa razón, funciones cuyo dominio sea un subconjunto de los Reales se denominan funciones de una variable
real. ¿Por que "una"? Porque funciones cuyo dominio eran subconjuntos de o se llamaban funciones de dos
o tres variables (reales) respectivamente. Actualmente, preferimos decir que se trata de funciones definidas sobre
pares o tríos de números (usualmente considerados como vectores bidimensionales o tridimensionales,
respectivamente).
En algunos contextos, la terminología está adaptada al tema de estudio, por ejemplo, en Física es usual la siguiente
terminología.
• Función escalar: Función del tipo
• Campo escalar: Función del tipo
• Función vectorial: Función del tipo
• Campo vectorial: Función del tipo

La notación funcional
En muchos campos aplicados, inclusive a veces en textos de matemáticas, se encuentra la expresión "la función
". De acuerdo a nuestra definición actual, lo anterior no hace sentido, ya que f(x) es una notación para el
elemento del codominio. Otras veces, nos encontramos con algo así como "la función f(x) = x^2 - 3x + 7". Aunque
aquí hay una posible asignación, no se ha especificado ni el dominio ni el codominio, por lo que en rigor la función f
no está bien definida.


En ciertos contextos, por ejemplo de funciones numéricas (dominio y codominio son subconjuntos de los Reales),
hay una serie de convenios para simplicar la escritura. La expresión "la función " se debe
entender como una abreviación de lo siguiente: La función f definida por dicha igualdad, que suponemos una
relación funciona (a cada x corresponde un único y) es una función cuyo dominio, llamado dominio natural, es el
máximo subconjunto para él cual tiene sentido la expresión, y cuyo codominio son todos los Reales. En la "función"
citada, la aparición del radical nos dice que el dominio natural consiste de todos los reales no negativos.
Para evitar ambigüedades, a veces se usa la notación para indicar la regla de asignación.
Igualmente, por restricciones adecuadas de dominio y codominio se trabaja la composición de funciones numéricas.
Por ejemplo: si y , podemos considerar a como la composición de
las funciones g y f, a pesar que esto es i'nconsistente con la definición dada de composición. En efecto, f es una
función de en cuya imagen es todo . Por su parte, g es una función de los reales no negativos en los
Reales, por lo que no se cumple que la imagen de f sea un subconjunto del dominio de 'g. Sin embargo, como
prácticamente o para efectos de otras necesidades matemáticas queremos considerar a la función h como una
composiciónd e g con f, suponemos que f está restringido al intervalo .

Funciones (con valores) Reales
Los anteriores apartados se han referido a funciones entre conjuntos cualesquiera. Las funciones entre conjuntos de
númerosson particularmente relevantes por la diversidad de sus aplicaciones prácticas y por sus particulares
propiedades matemáticas. En algunos textos se reserva para las funciones entre conjuntos de números el término
función mientras que a las funciones entre conjuntos cualesquiera se las denomina aplicaciones.
Llamamos función real o función con valores reales a cualquier función cuyo codominio sea un subconjunto de los
Reales.

Álgebra de Funciones
Sea un conjunto culaquiera no vacío y sea el conjunto formado por todas las funciones de en
. Muchas de las operaciones y propiedades algebraicas de los Reales se pueden extender a , como
veremos a continuación.
Sean elementos de . Definimos operaciones entre funciones, punto a punto por
• Suma de Funciones.
• Resta de Funciones.
• Producto de Funciones.
Extendemos relaciones punto a punto.
• .
La manera en que hacemos la extensión garantiza que muchas de las propiedades de los Reales se extienden a
. Indicamos a continuación aquellas más importantes.
• La suma de funciones es asociativa, conmutativa, con neutro la función constante , con opuesto aditivo
para cada función f.
• La resta es tal que .
• La multiplicación es asociativa, conmutativa, con neutro la función constante , pero solamente las
funciones que nunca tiene valor nulo, tienen recíprocos.
• La multiplicación es distributiva respecto a la suma.
Note que todas las anteriores propiedades son propiedades de los números reales. Hay, sin embargo, propiedades
"extrañas". Por ejemplo, Si el conjunto X tiene a lo menos dos elementos, hay divisores de cero en . En
efecto, supongamos que y definamos tales que y


. Se ve, inmediatamente, que es la función constantemente 0, o sea la función cero, aunque ninguno de los
es.
El conjunto junto con sus operaciones es importante por la gran cantidad de ejemplos diversos que se
obtienen al seleccionar el conjunto X.
• Sea . Entonces, cada función de define una pareja de números que si
consideramos el orden natural en X, podemos escribir como el para ordenado . Esto nos dice que,
en este caso, podemos identificar con el conjunto de todos los pares posibles de números reales, o sea
con .
• Sea Razonado como arriba, podemos identificar a con .
• Sea Razonado como arriba, podemos identificar a con .
Note que en cada uno de los ejemplos anteriores, el conjunto de pares, tríos, n-uplas ordenadas aparece provisto de
una suma y multiplicación. La suma coincide con la suma vectorial usual y la multiplicación por constantes con la
multiplicación por escalar.
• Sea , los Naturales. En este caso, es el conjunto de todas las sucesiones de números reales
provisto cono la suma y multiplciación usual de sucesiones.

Funciones numéricas
Llamamos funciones numéricas a funciones cuyo dominio y codominio son subconjuntos de los Reales. Estas
funciones son aquellas que aparecen más frecuentemente en las aplicaciones elementales.

Funciones acotadas
• Una función se denomina acotada si su conjunto imagen está acotado. Por ejemplo: f(x) = sen(x) y g(x) = cos(x)
tienen por conjunto imagen el intervalo [-1,1]. Si su conjunto imagen está acotado sólo superior o inferiormente,
se dice que la función está acotada superior o inferiormente, respectivamente. Por ejemplo, f("x")=|x| tiene por
conjunto imagen , por lo que está acotada inferiormente.

Funciones pares e impares
Se dice que una función es par cuando presenta simetría sobre el eje de ordenadas, esto es, si

Una función es impar si presenta simetría con respecto al origen de coordenadas, esto es si

Una función que no presenta simetría par no tiene necesariamente simetría impar. Algunas funciones no presentan
ninguno de los dos tipos de simetría o bien la presentan frente a focos o ejes distintos del origen de coordenadas o el
eje de ordenadas (o eje Y). Dichas funciones se dice que no poseen paridad.


Funciones monótonas
1. La función f es estrictamente creciente en
2. f es estrictamente decreciente en
Si una función es estrictamente creciente o decreciente entonces es inyectiva.
1. f es creciente en
2. f es decreciente en
Si una función verifica cualquiera de las cuatro propiedades anteriores se dice que es monótona.

Funciones periódicas
Una función es periódica si se cumple: donde es el período.

En particular, una función es periódica alternada cuando se cumple: . Estas últimas

también son conocidas como funciones simétricas de media onda y constan de dos semiondas iguales de sentidos
opuestos.

Funciones cóncavas y convexas
Una función es convexa en un intervalo si la rectas tangentes a la
función en ese intervalo están por debajo de la función. Una función es
cóncava en un intervalo si la rectas tangentes a la función de ese
intervalo están por encima.
La denominación de convexidad y concavidad depende del punto de
vista que se adopte para considerar que es una concavidad, esto es si se
mira a la función "desde arriba" o "desde abajo". Por ello, algunos
textos denominan convexas a las funciones que se curvan "hacia
abajo", al contrario de la definición que se acaba de dar en los
anteriores párrafos. Por ello, es frecuente que en ocasiones se adopten Función convexa.
las denominaciones convexa hacia arriba y concava hacia abajo para
evitar las ambigüedades.

Las técnicas del análisis diferencial permiten determinar si una función es creciente, decreciente, concava o convexa
a través del estudio de las derivadas sucesivas de la función.

Funciones reales y funciones discretas
• Si el dominio de una función es un intervalo de la recta real la función se denominará real. En cambio, si la
función está definida para los números enteros se denominará función discreta. Un ejemplo de una función
discreta son las sucesiones.

Véase también
• Anexo:Funciones matemáticas
• Continuidad (matemática)
• Asíntotas de una función
• Función lineal
• Sucesión matemática


Enlaces externos
• Wikimedia Commons alberga contenido multimedia sobre funciones. Commons
• FooPlot [1] - Graficador de funciones matemáticas
• En la Enciclopedia en-línea de la Springer-Verlag: [2]
• The function concept [3] - Sobre la historia del concepto de función

Referencias
[1] http:/ / fooplot. com/
[2] http:/ / eom. springer. de/ F/ f041940. htm
[3] http:/ / www-history. mcs. st-andrews. ac. uk/ HistTopics/ Functions. html

Fuentes y contribuyentes del artículo 15

Fuentes y contribuyentes del artículo
Función matemática Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=36181730 Contribuyentes: .Sergio, Aalvarez12, Aibdescalzo, Airunp, AlfonsoERomero, Antur, Ascánder, Belgrano,
Beto29, Bucephala, Carmin, Chuffo, Cinabrium, Cobalttempest, Cratón, Ctrl Z, Daniel JG, DasAuge, David0811, Davius, DefLog, Dianai, Diegusjaimes, Digigalos, Dnu72, Dodo, Domaniom,
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Ingenioso Hidalgo, Interwiki, Isha, J.M.Domingo, JMPerez, Jarisleif, Javier Carro, Javierito92, Jjafjjaf, Joseaperez, Juan Marquez, Juan Mayordomo, Julian Mendez, Kekkyojin, Klrinion 72, Kn,
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Sking, Spirit-Black-Wikipedista, SunriseProjector, Taichi, Tano4595, Timichal, Tirithel, Tuncket, Vitamine, Vivero, Wewe, Xenoforme, Yrithinnd, 486 ediciones anónimas

Fuentes de imagen, Licencias y contribuyentes
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