Este documento define funciones y describe sus propiedades fundamentales. Explica que una función es una relación especial donde cada elemento del conjunto de partida (dominio) tiene una única imagen en el conjunto de llegada (recorrido). También describe el dominio y recorrido de funciones, incluyendo funciones con dominio restringido, y analiza ejemplos de funciones y sus gráficos.
El documento explica los conceptos básicos de las funciones matemáticas. Define una función como una relación entre dos conjuntos donde a cada elemento del primer conjunto le corresponde exactamente un elemento del segundo conjunto. Detalla los elementos del plano cartesiano como ejes, cuadrantes y el origen, y cómo se representan los pares ordenados en este plano. Finalmente, presenta algunos ejemplos de funciones y sus dominios, rangos e imágenes.
Este documento describe los pasos para derivar la ecuación asociada de Legendre a partir de la ecuación usual de Legendre. Primero, se diferencia la ecuación usual de Legendre "m" veces usando la fórmula de Leibniz. Esto resulta en un término adicional de -m2/(1-x2). Luego, se propone una solución de la forma ψ(x)=AαU y al sustituir en la ecuación diferenciada múltiples veces, se obtiene que α=m/2. Finalmente, la ecuación
Este documento presenta un trabajo colaborativo sobre cálculo integral. Explica conceptos como anti derivadas, propiedades de integrales indefinidas y teoremas. Luego, resuelve 8 problemas aplicando estas nociones a través de sustituciones, sumas y reglas de integración. Finalmente, calcula valores promedios de funciones en diferentes intervalos. El objetivo es comprender los temas de la primera fase del curso de cálculo integral a través de la solución de problemas grupales.
Este documento presenta los pasos para resolver una integral racional mediante el método de fracciones parciales. Se descompone la fracción racional en una suma de fracciones simples usando sustitución de puntos críticos para determinar los coeficientes. Luego se integra cada fracción de forma independiente y se combinan los resultados.
El documento describe el producto cartesiano y sus propiedades. El producto cartesiano de dos conjuntos A y B es el conjunto de todos los pares ordenados cuya primera componente pertenece a A y la segunda a B. Se representa gráficamente en el plano cartesiano y mediante diagramas sagitales. El documento también explica que la cantidad de pares ordenados en el producto cartesiano de conjuntos A y B es el producto de las cardinalidades de A y B, y presenta ejemplos para ilustrar el cálculo del producto cartesiano y su representación grá
El documento presenta varios ejercicios sobre el cálculo de derivadas de funciones. Instruye calcular la derivada de funciones como f(x)=2x^3, f(x)=3x^4+7, f(x)=x^2+x+6, así como funciones racionales, raíces cuadradas, y funciones compuestas. Proporciona las respuestas esperadas para algunos ejercicios como guía de verificación.
Este documento presenta cinco tipos de ejercicios resueltos sobre cálculo integral utilizando diferentes métodos de integración como sustitución, partes e integración directa. Cada tipo de ejercicio contiene cinco problemas resueltos de forma detallada aplicando las fórmulas y propiedades correspondientes a cada método. El documento proporciona una introducción al cálculo integral y una tabla de contenido con la estructura del trabajo.
El documento explica los conceptos básicos de las funciones matemáticas. Define una función como una relación entre dos conjuntos donde a cada elemento del primer conjunto le corresponde exactamente un elemento del segundo conjunto. Detalla los elementos del plano cartesiano como ejes, cuadrantes y el origen, y cómo se representan los pares ordenados en este plano. Finalmente, presenta algunos ejemplos de funciones y sus dominios, rangos e imágenes.
Este documento describe los pasos para derivar la ecuación asociada de Legendre a partir de la ecuación usual de Legendre. Primero, se diferencia la ecuación usual de Legendre "m" veces usando la fórmula de Leibniz. Esto resulta en un término adicional de -m2/(1-x2). Luego, se propone una solución de la forma ψ(x)=AαU y al sustituir en la ecuación diferenciada múltiples veces, se obtiene que α=m/2. Finalmente, la ecuación
Este documento presenta un trabajo colaborativo sobre cálculo integral. Explica conceptos como anti derivadas, propiedades de integrales indefinidas y teoremas. Luego, resuelve 8 problemas aplicando estas nociones a través de sustituciones, sumas y reglas de integración. Finalmente, calcula valores promedios de funciones en diferentes intervalos. El objetivo es comprender los temas de la primera fase del curso de cálculo integral a través de la solución de problemas grupales.
Este documento presenta los pasos para resolver una integral racional mediante el método de fracciones parciales. Se descompone la fracción racional en una suma de fracciones simples usando sustitución de puntos críticos para determinar los coeficientes. Luego se integra cada fracción de forma independiente y se combinan los resultados.
El documento describe el producto cartesiano y sus propiedades. El producto cartesiano de dos conjuntos A y B es el conjunto de todos los pares ordenados cuya primera componente pertenece a A y la segunda a B. Se representa gráficamente en el plano cartesiano y mediante diagramas sagitales. El documento también explica que la cantidad de pares ordenados en el producto cartesiano de conjuntos A y B es el producto de las cardinalidades de A y B, y presenta ejemplos para ilustrar el cálculo del producto cartesiano y su representación grá
El documento presenta varios ejercicios sobre el cálculo de derivadas de funciones. Instruye calcular la derivada de funciones como f(x)=2x^3, f(x)=3x^4+7, f(x)=x^2+x+6, así como funciones racionales, raíces cuadradas, y funciones compuestas. Proporciona las respuestas esperadas para algunos ejercicios como guía de verificación.
Este documento presenta cinco tipos de ejercicios resueltos sobre cálculo integral utilizando diferentes métodos de integración como sustitución, partes e integración directa. Cada tipo de ejercicio contiene cinco problemas resueltos de forma detallada aplicando las fórmulas y propiedades correspondientes a cada método. El documento proporciona una introducción al cálculo integral y una tabla de contenido con la estructura del trabajo.
Este documento describe los conceptos fundamentales del cálculo integral y diferencial, incluyendo: 1) La integración es el proceso inverso de la derivación; 2) La integral indefinida incluye una constante arbitraria y representa todas las posibles primitivas de una función; 3) Se presentan fórmulas para integrar funciones algebraicas y trascendentales como exponenciales, logaritmos y funciones trigonométricas.
Este documento contiene las respuestas de la alumna Lilimart Zapata a varios problemas de diseño de obras civiles. En la primera sección, resuelve una ecuación logarítmica y obtiene dos soluciones posibles para x, 4.3 y 0.8. En la segunda sección, evalúa si ciertas afirmaciones sobre funciones son verdaderas o falsas. En la tercera sección, grafica tres funciones dadas y determina sus dominios y rangos.
1) El documento presenta varios problemas relacionados con sistemas lineales invariantes en el tiempo. 2) Se pide determinar la función de transferencia H(z), la respuesta al impulso h[n] y la ecuación en diferencias que caracteriza a cada sistema. 3) Los sistemas propuestos incluyen filtros paso bajo, ecuaciones en diferencias de segundo orden y más.
Este documento presenta temas sobre cálculo diferencial como límites, continuidad y derivadas. Explica la definición de límite y resuelve ejemplos calculando límites como el límite de una función cuando x se acerca a 1. También calcula si existe el límite de una función cuando x se acerca a -1 y encuentra el límite de otra función cuando x se acerca a -1.
El documento presenta la resolución de varios ejercicios que implican derivar funciones logarítmicas. Explica los pasos para derivar funciones como f(x) = ln((1+x)/(1-x)), f(x) = ln(1+x^2)-ln(1-x^2) y f(x) = xln(x) utilizando propiedades de los logaritmos y reglas de derivación.
Este documento presenta los temas centrales del cálculo diferencial organizados en cuatro unidades. La primera unidad cubre conceptos básicos de funciones como tipos, gráficas y características. La segunda unidad trata sobre límites, incluyendo definiciones, tipos y determinación. La tercera unidad explica la derivada con definiciones, reglas y cálculos. La cuarta unidad analiza la continuidad y discontinuidad de funciones. El documento provee una introducción general al cálculo diferencial.
Unidad i. parte ii.matematica aplicada. terminadaEfrenEscalona
Este documento presenta conceptos clave sobre ecuaciones diferenciales de primer orden, incluyendo: 1) ecuaciones diferenciales separables, exactas, lineales y homogéneas; 2) definiciones y ejemplos ilustrativos de cada tipo de ecuación; 3) ejercicios propuestos para identificar el tipo de diferentes ecuaciones diferenciales. El documento provee una introducción concisa pero completa sobre los principales métodos para resolver ecuaciones diferenciales de primer orden.
Este documento presenta la teoría del álgebra de vectores utilizando ideogramas. Explica operaciones unitarias como el módulo y opuesto de un vector, y operaciones binarias como la suma, diferencia y producto de vectores. También presenta aplicaciones de vectores en física y ejercicios.
Problema 1: La solución de la función racional es x = 2.
Problema 2: La solución de la ecuación es x = -131/4.
Problema 3: La solución de la ecuación con radicales es x = 14.
1. El documento presenta los conceptos matemáticos fundamentales para modelar mecanismos 2D, incluyendo transformaciones lineales ortogonales y grupos. 2. Explica que una transformación representa una rotación y mapea un espacio vectorial V a V'. 3. Define las propiedades que debe cumplir una pareja (V,⊕) para tener estructura de grupo, incluyendo cerradura, asociatividad, elemento nulo e inverso.
1) La función gamma fue definida por Euler mediante una integral desde 0 hasta infinito de e^-t * t^(x-1) dt, donde x es mayor que 0. 2) Se demuestran algunas propiedades como Γ(1) = 1, Γ(1/2) = π, Γ(x+1) = xΓ(x). 3) También se presenta el teorema de la función gamma que relaciona Γ(x)Γ(1-x) con π/sen(πx) para valores de x entre 0 y 1.
El documento presenta la resolución de dos ecuaciones diferenciales de primer orden. La primera ecuación no es exacta, pero se aplica un factor integrante para convertirla en una ecuación exacta. La segunda ecuación es exacta y se integra directamente para obtener la solución general.
Este documento explica el método de integración por sustitución o cambio de variable, el cual involucra realizar un reemplazo de variables para convertir el integrando en algo más sencillo de integrar. Presenta algunas fórmulas para derivar mediante este método y los pasos a seguir, los cuales incluyen identificar el teorema a usar, la función a sustituir, determinar el diferencial sustituido y reescribir el integral sustituido antes de integrar. Luego aplica este método para resolver cuatro ejemplos de integración.
Este documento presenta fórmulas y reglas para el cálculo diferencial y la integración de funciones. Incluye derivadas de funciones elementales, reglas básicas de integración, cambio de variable, funciones logarítmicas, exponenciales, trigonométricas, hiperbólicas e inversas, sustitución trigonométrica e integral por partes.
Este documento presenta soluciones a varios ejercicios de cálculo integral indefinido. Se resumen los principales métodos de integración como funciones polinómicas, exponenciales, trigonométricas, irracionales y racionales. También incluye ejemplos resueltos de integración por partes y funciones racionales con raíces reales o complejas en el denominador.
Solución Examen de Mejoramiento II Término 2017eduardo paredes
Este documento presenta la solución de Eduardo Paredes a una evaluación de matemáticas. Resuelve cinco proposiciones sobre sistemas de ecuaciones lineales, espacios vectoriales y matrices de cambio de base. Justifica cada respuesta mostrando cálculos y aplicando teoremas matemáticos relevantes.
Este documento presenta un resumen de las operaciones con conjuntos. Explica conceptos como unión, intersección, diferencia y complemento de conjuntos. Luego, realiza ejemplos de operaciones con diferentes conjuntos de números como enteros, racionales e irracionales. Finalmente, resuelve operaciones como (Z - N) ∩ (I - Q) ∪ Q y [(R- Q) ∩ R2
] c
∪ N para practicar las definiciones.
Este documento presenta varios problemas relacionados con campos vectoriales. Primero, describe la magnitud y dirección de dos campos vectoriales F⃗ = yi⃗ − xj⃗ y F⃗ = 2 xi⃗ + yj⃗. Segundo, calcula la operación ∇×(∇f) para un campo escalar f(x,y,z)=yz^2+xz^2+xy. Tercero, determina el trabajo realizado por una partícula que se mueve a través de una curva en el campo F⃗=(2
Este documento resume las propiedades de la suma de vectores, incluyendo que la suma de vectores se define como la adición de sus componentes, y que la suma de vectores tiene propiedades como la conmutativa, asociativa, elemento neutro y elemento opuesto. Incluye ejemplos para ilustrar estas propiedades como la suma de los vectores A + B = (-1,5,4) y el uso de la propiedad conmutativa para demostrar que a + b = b + a para los vectores a = <2,6> y b = <1,4>.
El documento presenta un ejemplo resuelto de cómo encontrar las raíces de polinomios. Se muestra la resolución de 6 polinomios diferentes utilizando la regla de Ruffini para factorizarlos y encontrar sus raíces. En cada caso se listan los posibles valores de x, se aplica la regla de Ruffini y se escribe el polinomio factorizado, identificando sus raíces.
Este documento describe diferentes tipos de funciones matemáticas, incluyendo funciones constantes, identidad, valor absoluto y exponenciales. Explica que una función constante toma el mismo valor para cualquier entrada, mientras que una función identidad devuelve el valor de entrada. También grafica y analiza el comportamiento de funciones exponenciales para diferentes bases.
Asignatura de Matemática, esta guía es un resumen para todo estudiante de Secundaria, especialmente si estas en el año de bachillerato, resumen de funciones.
Este documento describe los conceptos fundamentales del cálculo integral y diferencial, incluyendo: 1) La integración es el proceso inverso de la derivación; 2) La integral indefinida incluye una constante arbitraria y representa todas las posibles primitivas de una función; 3) Se presentan fórmulas para integrar funciones algebraicas y trascendentales como exponenciales, logaritmos y funciones trigonométricas.
Este documento contiene las respuestas de la alumna Lilimart Zapata a varios problemas de diseño de obras civiles. En la primera sección, resuelve una ecuación logarítmica y obtiene dos soluciones posibles para x, 4.3 y 0.8. En la segunda sección, evalúa si ciertas afirmaciones sobre funciones son verdaderas o falsas. En la tercera sección, grafica tres funciones dadas y determina sus dominios y rangos.
1) El documento presenta varios problemas relacionados con sistemas lineales invariantes en el tiempo. 2) Se pide determinar la función de transferencia H(z), la respuesta al impulso h[n] y la ecuación en diferencias que caracteriza a cada sistema. 3) Los sistemas propuestos incluyen filtros paso bajo, ecuaciones en diferencias de segundo orden y más.
Este documento presenta temas sobre cálculo diferencial como límites, continuidad y derivadas. Explica la definición de límite y resuelve ejemplos calculando límites como el límite de una función cuando x se acerca a 1. También calcula si existe el límite de una función cuando x se acerca a -1 y encuentra el límite de otra función cuando x se acerca a -1.
El documento presenta la resolución de varios ejercicios que implican derivar funciones logarítmicas. Explica los pasos para derivar funciones como f(x) = ln((1+x)/(1-x)), f(x) = ln(1+x^2)-ln(1-x^2) y f(x) = xln(x) utilizando propiedades de los logaritmos y reglas de derivación.
Este documento presenta los temas centrales del cálculo diferencial organizados en cuatro unidades. La primera unidad cubre conceptos básicos de funciones como tipos, gráficas y características. La segunda unidad trata sobre límites, incluyendo definiciones, tipos y determinación. La tercera unidad explica la derivada con definiciones, reglas y cálculos. La cuarta unidad analiza la continuidad y discontinuidad de funciones. El documento provee una introducción general al cálculo diferencial.
Unidad i. parte ii.matematica aplicada. terminadaEfrenEscalona
Este documento presenta conceptos clave sobre ecuaciones diferenciales de primer orden, incluyendo: 1) ecuaciones diferenciales separables, exactas, lineales y homogéneas; 2) definiciones y ejemplos ilustrativos de cada tipo de ecuación; 3) ejercicios propuestos para identificar el tipo de diferentes ecuaciones diferenciales. El documento provee una introducción concisa pero completa sobre los principales métodos para resolver ecuaciones diferenciales de primer orden.
Este documento presenta la teoría del álgebra de vectores utilizando ideogramas. Explica operaciones unitarias como el módulo y opuesto de un vector, y operaciones binarias como la suma, diferencia y producto de vectores. También presenta aplicaciones de vectores en física y ejercicios.
Problema 1: La solución de la función racional es x = 2.
Problema 2: La solución de la ecuación es x = -131/4.
Problema 3: La solución de la ecuación con radicales es x = 14.
1. El documento presenta los conceptos matemáticos fundamentales para modelar mecanismos 2D, incluyendo transformaciones lineales ortogonales y grupos. 2. Explica que una transformación representa una rotación y mapea un espacio vectorial V a V'. 3. Define las propiedades que debe cumplir una pareja (V,⊕) para tener estructura de grupo, incluyendo cerradura, asociatividad, elemento nulo e inverso.
1) La función gamma fue definida por Euler mediante una integral desde 0 hasta infinito de e^-t * t^(x-1) dt, donde x es mayor que 0. 2) Se demuestran algunas propiedades como Γ(1) = 1, Γ(1/2) = π, Γ(x+1) = xΓ(x). 3) También se presenta el teorema de la función gamma que relaciona Γ(x)Γ(1-x) con π/sen(πx) para valores de x entre 0 y 1.
El documento presenta la resolución de dos ecuaciones diferenciales de primer orden. La primera ecuación no es exacta, pero se aplica un factor integrante para convertirla en una ecuación exacta. La segunda ecuación es exacta y se integra directamente para obtener la solución general.
Este documento explica el método de integración por sustitución o cambio de variable, el cual involucra realizar un reemplazo de variables para convertir el integrando en algo más sencillo de integrar. Presenta algunas fórmulas para derivar mediante este método y los pasos a seguir, los cuales incluyen identificar el teorema a usar, la función a sustituir, determinar el diferencial sustituido y reescribir el integral sustituido antes de integrar. Luego aplica este método para resolver cuatro ejemplos de integración.
Este documento presenta fórmulas y reglas para el cálculo diferencial y la integración de funciones. Incluye derivadas de funciones elementales, reglas básicas de integración, cambio de variable, funciones logarítmicas, exponenciales, trigonométricas, hiperbólicas e inversas, sustitución trigonométrica e integral por partes.
Este documento presenta soluciones a varios ejercicios de cálculo integral indefinido. Se resumen los principales métodos de integración como funciones polinómicas, exponenciales, trigonométricas, irracionales y racionales. También incluye ejemplos resueltos de integración por partes y funciones racionales con raíces reales o complejas en el denominador.
Solución Examen de Mejoramiento II Término 2017eduardo paredes
Este documento presenta la solución de Eduardo Paredes a una evaluación de matemáticas. Resuelve cinco proposiciones sobre sistemas de ecuaciones lineales, espacios vectoriales y matrices de cambio de base. Justifica cada respuesta mostrando cálculos y aplicando teoremas matemáticos relevantes.
Este documento presenta un resumen de las operaciones con conjuntos. Explica conceptos como unión, intersección, diferencia y complemento de conjuntos. Luego, realiza ejemplos de operaciones con diferentes conjuntos de números como enteros, racionales e irracionales. Finalmente, resuelve operaciones como (Z - N) ∩ (I - Q) ∪ Q y [(R- Q) ∩ R2
] c
∪ N para practicar las definiciones.
Este documento presenta varios problemas relacionados con campos vectoriales. Primero, describe la magnitud y dirección de dos campos vectoriales F⃗ = yi⃗ − xj⃗ y F⃗ = 2 xi⃗ + yj⃗. Segundo, calcula la operación ∇×(∇f) para un campo escalar f(x,y,z)=yz^2+xz^2+xy. Tercero, determina el trabajo realizado por una partícula que se mueve a través de una curva en el campo F⃗=(2
Este documento resume las propiedades de la suma de vectores, incluyendo que la suma de vectores se define como la adición de sus componentes, y que la suma de vectores tiene propiedades como la conmutativa, asociativa, elemento neutro y elemento opuesto. Incluye ejemplos para ilustrar estas propiedades como la suma de los vectores A + B = (-1,5,4) y el uso de la propiedad conmutativa para demostrar que a + b = b + a para los vectores a = <2,6> y b = <1,4>.
El documento presenta un ejemplo resuelto de cómo encontrar las raíces de polinomios. Se muestra la resolución de 6 polinomios diferentes utilizando la regla de Ruffini para factorizarlos y encontrar sus raíces. En cada caso se listan los posibles valores de x, se aplica la regla de Ruffini y se escribe el polinomio factorizado, identificando sus raíces.
Este documento describe diferentes tipos de funciones matemáticas, incluyendo funciones constantes, identidad, valor absoluto y exponenciales. Explica que una función constante toma el mismo valor para cualquier entrada, mientras que una función identidad devuelve el valor de entrada. También grafica y analiza el comportamiento de funciones exponenciales para diferentes bases.
Asignatura de Matemática, esta guía es un resumen para todo estudiante de Secundaria, especialmente si estas en el año de bachillerato, resumen de funciones.
Ejercicios Métodos Matemáticos III, Universidad de Chile.
-Doble integrales
-Mínimo Cuadrados Ordinarios (optimización, minimización de errores a través de sumatomaria y matrices)
El documento explica las nociones básicas de función, dominio y recorrido. Define una función como una asignación entre dos conjuntos de números reales donde a cada elemento del conjunto de partida le corresponde uno y solo uno del conjunto de llegada. Explica cómo representar gráficamente una función y define dominio como el conjunto de valores que puede tomar la variable independiente y recorrido como el conjunto de valores de la variable dependiente.
Este documento presenta información sobre el primer y segundo teorema fundamental del cálculo. Resume los teoremas y proporciona ejemplos para ilustrar cómo usarlos para calcular integrales definidas y derivar funciones definidas mediante integrales. El primer teorema establece que la integral definida de una función entre dos puntos es igual a la evaluación de una antiderivada entre esos puntos. El segundo teorema establece que la derivada de una función definida mediante una integral definida es igual a la función dentro de la integral.
Este documento describe diferentes tipos de funciones matemáticas, incluyendo sus propiedades, dominios y rangos. Explica funciones lineales, cuadráticas, cúbicas, radicales y racionales, así como la composición de funciones. Incluye ejemplos y ejercicios para cada sección. El documento provee una introducción concisa pero completa sobre las funciones y sus características fundamentales.
Es el avance de calculo III de la universidad autonoma gabriel rene moreno de la asigantura de calculo III, con le ing Rivera, donde se aboradn todos los temas respectos a la materia
1) El documento describe los conceptos de derivación implícita y derivadas de orden superior. 2) La derivación implícita permite derivar funciones definidas implícitamente mediante una ecuación, aunque no se pueda despejar la variable dependiente explícitamente. 3) Las derivadas de orden superior son derivadas sucesivas de una función, por ejemplo, la segunda derivada es la derivada de la primera derivada.
MATEMATICA 1- SEMANA 1. Función de variable real.pdfdanielablancop1
Este documento trata sobre funciones reales de variable real. Explica que una función real asigna a cada número real de un subconjunto del dominio otro número real único. Define dominio como el subconjunto de entrada y rango como el subconjunto de salida. Presenta ejemplos para ilustrar cómo calcular el dominio, rango y gráfica de funciones. También cubre clasificación de funciones, operaciones como adición y composición de funciones.
El documento presenta varios ejemplos y ejercicios sobre cómo calcular la derivada de diferentes tipos de funciones, incluyendo funciones polinómicas, racionales, trigonométricas, logarítmicas y exponenciales. Explica los teoremas y reglas necesarios para derivar cada tipo de función de manera sistemática. Los ejercicios propuestos guían al lector en la aplicación de estos conceptos para derivar funciones específicas.
Este documento introduce los conceptos básicos de vectores y operaciones vectoriales. Explica que un vector está representado por una magnitud y dirección y puede expresarse como un par ordenado de números reales. Define vectores en R2 y Rn y describe cómo representarlos geométricamente. También cubre las operaciones de suma, resta, multiplicación por escalar, producto punto y producto cruz de vectores, junto con sus propiedades.
Integral indefinida. Aplicaciones de la integraljcremiro
1) El documento habla sobre técnicas básicas de integración como la integración por partes, reglas para integrales de funciones exponenciales y logarítmicas. 2) Explica la relación entre derivadas e integrales y provee ejemplos de cómo calcular integrales indefinidas de funciones como polinomios, racionales y exponenciales. 3) La integración por partes es útil cuando se integra un producto o expresiones con funciones logarítmicas o exponenciales, dependiendo de cómo se elijan las funciones u y
Este documento introduce conceptos de análisis complejo como el estudio de funciones de variable compleja. Explica que una función compleja mapea números complejos de un dominio a otros en el plano complejo, aunque no se pueda graficar directamente. También define conceptos como límites, continuidad, derivadas y analiticidad para funciones complejas.
Operaciones con funciones , ejemplos, ejercicios resueltosMichelleRojas57
Este documento explica las operaciones básicas que se pueden realizar con funciones: suma, resta, multiplicación, división y composición. Define cada operación matemáticamente y proporciona ejemplos para ilustrar cómo aplicarlas a funciones específicas. Además, presenta ejercicios para que el lector practique realizando estas operaciones con diferentes funciones.
El documento explica las funciones y su importancia en la ciencia y la tecnología. Define una función como una regla de correspondencia que asocia elementos de un conjunto A con elementos de un conjunto B. Explica conceptos clave como dominio, rango, gráficas de funciones y ejemplos de funciones especiales como funciones constantes, lineales y cuadráticas.
Este documento explica diferentes tipos de operaciones con funciones como suma, resta, multiplicación, división y composición. También describe cómo encontrar la función inversa. Se proporcionan ejemplos resueltos de cada operación y un procedimiento para hallar la función inversa de una función dada.
Este documento explica cómo calcular e graficar funciones inversas. Define una función inversa como aquella que intercambia la primera y segunda componente de cada par ordenado de una función biyectiva. Muestra cómo calcular una función inversa despejando la variable independiente y luego intercambiando las variables. También explica que para graficar una función inversa se refleja la gráfica original sobre la línea y=x.
El documento presenta información sobre derivadas, incluyendo su definición, propiedades, regla de la cadena, recta tangente, derivada implícita, derivada logarítmica y derivada de orden superior. Se proporcionan ejemplos para ilustrar cada concepto.
Este documento describe las relaciones matemáticas. Define una relación como un subconjunto del producto cartesiano de dos conjuntos. Explica que una relación vincula elementos de un conjunto A con elementos de un conjunto B a través de pares ordenados. Además, describe las propiedades de dominio, recorrido e inversa de una relación, y las propiedades de reflexividad, simetría y transitividad que puede cumplir una relación.
Este documento describe las funciones matemáticas. Define una función como una relación especial donde cada elemento del conjunto de partida tiene una única imagen en el conjunto de llegada. Explica conceptos como el dominio, recorrido, funciones inyectivas, sobreyectivas y biyectivas. También cubre funciones crecientes, decrecientes, funciones inversas y composición de funciones.
El documento habla sobre las funciones y explica que para que una relación sea función, cada elemento del conjunto de partida debe asignarse a un único elemento en el conjunto de llegada. El documento también indica que el estudiante ha completado los ejercicios de funciones y debería volver a revisar los contenidos.
El documento presenta una serie de ejercicios de matemáticas con coordenadas en un plano cartesiano. Termina felicitando al lector por completar los ejercicios y sugiriendo continuar con el contenido principal.
El documento presenta un gráfico de ejes X e Y con números de -3 a 3 en ambos ejes. Contiene felicitaciones por completar ejercicios y una indicación de regresar al contenido principal después de terminar los ejercicios.
El documento habla sobre funciones y dominios. Explica que una función no está definida cuando el denominador es igual a cero y que una fracción es igual a cero cuando el denominador es cero. También menciona que el dominio de una función son todos los valores donde la función está definida y que la imagen de un elemento de un conjunto A en un conjunto B es el valor de y.
El documento presenta una serie de ejercicios con alternativas de respuesta sobre diferentes temas matemáticos como conjuntos y gráficas en el plano cartesiano. Al final se indica que se han terminado los ejercicios y se pide regresar a los contenidos.
1. Universidad Católica del Norte
Departamento de Matemática
Cecilia Alejandra Cabello Bugueño
1
3. FUNCIONES
Una función es un tipo particular de relación.
Definición N°6: Función
Se llama función de 𝐴 𝑒𝑛 𝐵 a una relación 𝑓 𝑑𝑒 𝐴 𝑒𝑛 𝐵, que cumple la siguiente propiedad:
Es decir, el dominio de la relación debe ser igual al conjunto de partida ( 𝐴), y cada elemento del
conjunto de partida debe tener una única imagen en el codominio.
Si 𝑓 es una función de 𝐴 𝑒𝑛 𝐵 se escribe
O bien, si ( 𝑥, 𝑦) ∈ 𝑓, se escribe 𝑓( 𝑥) = 𝑦, esto es:
( 𝑥, 𝑦) ∈ 𝑓 ⇒ 𝑓( 𝑥) = 𝑦
Esto quiere decir,que cada elemento del conjunto 𝐴 al aplicar la función a ese elemento (𝑓(𝑥))
obtendremos un elemento en el conjunto 𝐵, es decir, obtendremos 𝑦,(𝑓( 𝑥) = 𝑦)
Si ( 𝑥, 𝑦) ∈ 𝑓, se escribe 𝑓( 𝑥) = 𝑦, esto es:
( 𝑥, 𝑦) ∈ 𝑓 ⇒ 𝑓( 𝑥) = 𝑦
El conjunto 𝐴 es llamado Conjunto de Partida o Dominio, mientras que el conjunto 𝐵 es llamado
conjunto de Llegada o Recorrido.
Ejemplo Nº 18:
a. Sean los conjuntos 𝐴 = { 𝑎, 𝑏, 𝑐} , 𝐵 = {0, 1,2, 3}, y 𝑓 la relación que se muestra en la
figura 4.1, ¿Es la relación 𝑓 una función?
2. Universidad Católica del Norte
Departamento de Matemática
Cecilia Alejandra Cabello Bugueño
2
𝑓 si es función,puestoque cadaelementodel conjunto 𝐴 tiene una única imagen en el conjunto
𝐵, es decir,
( 𝑎,0), ( 𝑏,2),(𝑐, 2) ó 𝑓( 𝑎) = 0; 𝑓( 𝑏) = 2; 𝑓( 𝑐) = 2
b. Seanlosconjuntos 𝐴 = { 𝑎, 𝑏, 𝑐}, 𝐵 = {0,1, 2,3 }y g larelaciónque se muestra en la figura 3.2.
¿Es la relación g una función?
𝑔 si es función,puestoque cadaelementodel conjunto 𝐴 tiene una única imagen en el conjunto
𝐵, es decir,
( 𝑎,0), ( 𝑏,1),(𝑐, 3) ó 𝑓( 𝑎) = 0; 𝑓( 𝑏) = 1; 𝑓( 𝑐) = 3
c. Seanlosconjuntos 𝐴 = { 𝑎, 𝑏, 𝑐}, 𝐵 = {0, 1,2, 3}y ℎ la relación que se muestra en la figura 3.3.
¿Es ℎ una función?
3. Universidad Católica del Norte
Departamento de Matemática
Cecilia Alejandra Cabello Bugueño
3
ℎ NO es función, puesto que:
𝑓( 𝑏) = 0 ∧ 𝑓( 𝑏) = 3
3.2 DOMINIO Y RECORRIDO DE UNA FUNCION
Definición Nº 7: Dominio de una Función.
El Dominio de una Función, al igual que en una relación son los valores de 𝑥 en los cuales está
definida esta. Además, el dominio de una función está contenido en el conjunto de partida.
Ejemplo Nº19:
a. 𝑓:{1,2} ⟶ {3, 5}
𝑓( 𝑥) = 2𝑥 + 1
𝐷𝑜𝑚 𝑓 = {1,2} = 𝐴
b. 𝑓: {0,1,3} ⟶ ℝ
𝑓( 𝑥) =
4
5
𝑥 + 3
𝐷𝑜𝑚 𝑓 = {0, 1,3}
c. 𝑓 ∶ ℕ ⟶ ℕ
𝑓( 𝑥) = 𝑥 + 1
𝐷𝑜𝑚𝑓 = ℕ
d. 𝑓: ℤ ⟶ ℝ
𝑓( 𝑥) =
1
𝑥
𝐷𝑜𝑚 𝑓 = ℤ − {0}
Figura 3.3
4. Universidad Católica del Norte
Departamento de Matemática
Cecilia Alejandra Cabello Bugueño
4
Definición Nº8: Recorrido de una Función
El recorrido de una función, al igual que en una relación son los valores de 𝒴, los cuales son
obtenidosapartirde 𝒳, en loscualesestádefinidaésta.Además,el recorrido de unafunción está
contenido o puede que sea el mismo conjunto de llegada o codominio de dicha relación.
Ejemplo Nº18:
a. 𝑓:{1,2} ⟶ {3,5}
𝑅𝑒𝑐 𝑓 = {3,5}
𝑓( 𝑥) = 2𝑥 + 1
𝑦 = 2𝑥 + 1
𝑦−1
2
= 𝑥
𝑅𝑒𝑐 𝑓 ⊆ 𝐶𝑜𝑑𝑜𝑚𝑖𝑛𝑖𝑜 𝑓
b. 𝑓: {0,1, 3} ⟶ ℝ
𝑓( 𝑥) =
4
5
+ 3 ⟶ 𝑦 =
4
5
𝑥 + 3
5
4
( 𝑦 − 3) = 𝑥
𝑃𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 𝑅𝑒𝑐 𝑓 = ℝ
c. 𝑓:ℕ ⟶ ℕ
𝑦 = 𝑥 + 1
𝑦 − 1 = 𝑥 ≥ 1
𝑦 − 1 ≥ 1
𝑦 ≥ 2
𝑃𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜
𝑅𝑒𝑐 𝑓 = {2,3, 4, 5…}
d. 𝑓: ℕ ⟶ ℕ
𝑓( 𝑥) = 2𝑥 − 3 𝐷𝑜𝑚𝑓 = ℕ
𝑦 = 2𝑥 − 3
𝑦 + 3 = 2𝑥
𝑥 =
𝑦+3
2
≥ 1
𝑦 + 3 ≥ 2
𝑦 ≥ 2 − 3
𝑦 ≥ −1
𝑃𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜, 𝑅𝑒𝑐 𝑓 = {−1,0,1, 2,… .}
6. Universidad Católica del Norte
Departamento de Matemática
Cecilia Alejandra Cabello Bugueño
6
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
X
Y
𝐷𝑜𝑚 𝑡 = {[1,3]}
𝑅𝑒𝑐 𝑡 = {3}
Gráfico de la función 𝑡( 𝑥) = 3
Figura 3.4
3.3 FUNCIONES CON DOMINIO RESTRINGIDO
Consideremos la figura:
Sea 𝐶 un subconjunto del conjunto 𝐴 (𝐶 ⊆ 𝐴) y sea 𝑅una relación. Notemos que:
1. 𝑅: 𝐴 ⟶ 𝐵 no es función, pues 3 no tiene imagen.
2. 𝑆: 𝐶 ⟶ 𝐵 es función.
Figura 3.5
Figura 3.6
7. Universidad Católica del Norte
Departamento de Matemática
Cecilia Alejandra Cabello Bugueño
7
Notemosque larelación 𝑠 noesfunción,yaque el elemento1del conjunto A tiene dos imágenes
(𝑠(1) = 𝑎 ∧ 𝑠(1) = 𝑏)
Sea 𝑓una funciónde 𝐴 𝑒𝑛 𝐵 (𝑓: 𝐴 ⟶ 𝐵), entonces 𝐷𝑜𝑚 𝑓 = 𝐴.Sinembargo una relación de 𝐴𝑥𝐵
puede ser una relación en 𝐴𝑥𝐵puede ser una función definida en un dominio contenido en 𝐴.
El dominio de la función se llama dominio restringido cuando 𝐷𝑜𝑚 𝑓 ⊆ 𝐴 pero 𝐷𝑜𝑚 𝑓 ≠ 𝐴.
Ejemplo Nº19:
Sea 𝐴 = { 𝑛 ∈ ℕ/7 ≤ 𝑛 ≤ 10}. Analicemos los siguientes diagramas sagitales.
𝑓1 es unafunciónde 𝐴 𝑒𝑛 𝐴, puestoque para elementodel conjuntode partidaexiste una imagen
en el conjunto 𝐴.
𝑓1(7) = 7; 𝑓1(8) = 9; 𝑓1(9) = 10; 𝑓1(10) = 8
𝑓2 es función, puesto que:
𝑓2(7) = 7; 𝑓2(8) = 7; 𝑓2(9) = 8; 𝑓2(10) = 9
Figura 3.7
Figura 3.8
8. Universidad Católica del Norte
Departamento de Matemática
Cecilia Alejandra Cabello Bugueño
8
Notemos que del ejemplo c, se tiene que:
1. 𝑓3no es función de 𝐴 𝑒𝑛 𝐴 ya que 𝑓(10) no tiene imagen en el conjunto de llegada.
2. 𝑓3 es una función con dominio restringido, 𝑓3 es función de 𝐵 𝑒𝑛 𝐴, puesto que:
𝑓3(7) = 7; 𝑓3(8) = 8; 𝑓3(9) = 9
𝑓4 no es función de 𝐴 𝑒𝑛 𝐴 puesto que:
𝑓4(7), 𝑓4(8), 𝑓4(9) no tiene imagen en el conjunto de llegada.
𝑓4 es función con dominio restringido, 𝑓4 es función del conjunto 𝐷 𝑒𝑛 𝐴.
Ejemplo Nº20:
Analicemoslossiguientes gráficos en el plano cartesiano y determinemos cuales de ellos son el
gráfico de una función.
a.- Figura 3.11. Ecuación de la recta 𝑓1 = {(𝑥, 𝑦)/𝑦 = 𝑥 + 1}
Figura 3.9
Figura 3.10
9. Universidad Católica del Norte
Departamento de Matemática
Cecilia Alejandra Cabello Bugueño
9
-8 -6 -4 -2 2 4 6 8
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
X
Y
b.- Figura 3.12. Semicircunferencia de centro (0,0) 𝑦 radio 1.
𝑓2 = {(𝑥, 𝑦)/𝑥2 + 𝑦2 = 1 /𝑦 ≥ 0}
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
X
Y
c.- Figura 3.13. Gráfica Función Valor Absoluto.
𝑓3 = {( 𝑥, 𝑦)/ | 𝑥| = 𝑦}
Notemos que 𝑓 2 es función,
puesto que cada elemento de 𝑥 ∈
ℝ tiene una, y sólo una imagen.
Notemos que 𝑓1 es una función
de ℝ 𝑒𝑛 ℝ, puesto que cada
elemento 𝑥 ∈ ℝ tiene una, y sólo
una imagen
10. Universidad Católica del Norte
Departamento de Matemática
Cecilia Alejandra Cabello Bugueño
10
-8 -6 -4 -2 2 4 6 8
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
x
y
3.5. PROPIEDADES DE FUNCIONES
Ya estudiado el dominio y recorrido de funciones, podemos analizar estas, y observar algunos
tipos especiales que cumplen ciertas propiedades las cuales veremos a continuación.
a. FUNCION INYECTIVA O 1-1 (UNO A UNO)
Una función 𝑓 es una función inyectiva ó uno a uno si, y sólo si
𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑜𝑑𝑜 𝑥1,𝑥2 ∈ 𝐷𝑜𝑚 𝑓, (𝑓(𝑥1) = 𝑓(𝑥2) ⟹ 𝑥1 = 𝑥2
Ejemplo Nº21:
a. Sea 𝑓:ℝ − {1} ⟶ ℝla función definida por 𝑓(𝑥) =
1
𝑥−1
P.D 𝑓(𝑥1) = 𝑓(𝑥2) ⟹ 𝑥1 = 𝑥2
𝑓(𝑥1) =
1
𝑥1−1
⟹
1
𝑥1−1
=
1
𝑥2−1
𝑓(𝑥2) =
1
𝑥2−1
𝑥2 − 1 = 𝑥1 − 1
𝑥2 = 𝑥1
Notemos que 𝑓3 es función,
puesto que cada elemento de 𝑥 ∈
ℝ tiene una, y sólo una imagen.
11. Universidad Católica del Norte
Departamento de Matemática
Cecilia Alejandra Cabello Bugueño
11
Por lo tanto 𝑓 es una función inyectiva.
b. Sea 𝑓:ℝ ⟶ ℝ una función definida por 𝑓(𝑥) =
2𝑥2−1
3
. ¿𝑓 Es inyectiva?
P.D 𝑓( 𝑥1) = 𝑓(𝑥2) ⟹ 𝑥1 = 𝑥2
2𝑥1
2
− 1
3
=
2𝑥1
2
− 1
3
3(2𝑥1
2
− 1) = 3(𝑥2
2
− 1)
2𝑥1
2
− 1 = 2𝑥2
2
− 1
2𝑥1
2
= 2𝑥2
2
𝑥1
2
= 𝑥2
2
𝑥1 = ±𝑥2
Por lo tanto 𝑓 no es función inyectiva.
Vemosque paratenerigual imagennoesnecesarioque 𝑥1 𝑦 𝑥2 seaniguales.Porejemplo,si 𝑥1 =
1 𝑦 𝑥2 = −1, tenemos que 𝑓( 𝑥1) = 𝑓(𝑥2)con 𝑥1 ≠ 𝑥2.
b. FUNCION SOBREYECTIVA O EPIYECTIVA
Una función 𝑓: 𝐴 → 𝐵 esEpiyectivao Sobreyectiva si, y sólo si el recorrido es igual al conjunto 𝐵,
es decir:
𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑜𝑑𝑜 𝑦 ∈ 𝐵, 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 𝑥 ∈ 𝐴 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒𝑓(𝑥) = 𝑦
Ejemplo Nº21:
Figura 3.14
12. Universidad Católica del Norte
Departamento de Matemática
Cecilia Alejandra Cabello Bugueño
12
a. Sea 𝑓:ℝ → ℝdefinida por 𝑓(𝑥) = 6𝑥 − 3. Demostraremos que 𝑓 es sobreyectiva.
Sea 𝑦 = 6𝑥 − 3. Despejemos el valor de 𝑥 en función de 𝑦, esto es:
𝑦 − 3
6
= 𝑥
Entonces, 𝑅𝑒𝑐𝑓 = ℝ
Así 𝑅𝑒𝑐 𝑓 = ℝ = 𝐵
Por lo tanto 𝑓 es una función sobreyectiva.
Notemos que 𝐵 = { 𝑎, 𝑏, 𝑐} y 𝑅𝑒𝑐𝑜𝑟𝑟𝑖𝑑𝑜 𝑓 = { 𝑎, 𝑏, 𝑐}
Por lo tanto 𝑓 es una función sobreyectiva.
Figura 3.15
13. Universidad Católica del Norte
Departamento de Matemática
Cecilia Alejandra Cabello Bugueño
13
c. La Gráfica de la Función Cuadrática.
Figura 3.16. Gráfica función Cuadrática.
𝑓( 𝑥) = 𝑥2
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
X
Y
Sea 𝑓:ℝ → ℝ0
+
la función definida por 𝑓(𝑥) = 𝑥2.
Notemos que el 𝑅𝑒𝑐 𝑓 = ℝ0
+
= 𝐵.
Por lo tanto 𝑓 es una función sobreyectiva.
RESTRICCIONES PARA QUE UNA FUNCION SEA SOBREYECTIVA
Sea 𝑓:ℝ∗ → ℝ una función definida por:
𝑓(𝑥) =
1 + 2𝑥
𝑥
Para demostrar que 𝑓 es una función sobreyectiva basta con verificar
𝑅𝑒𝑐 𝑓 = ℝ = 𝐵
Calculemos el recorrido:
𝑦 =
1 + 2𝑥
𝑥
14. Universidad Católica del Norte
Departamento de Matemática
Cecilia Alejandra Cabello Bugueño
14
𝑥𝑦 − 2𝑥 = 1
𝑥( 𝑦 − 2) = 1
𝑥 =
1
𝑦 − 2
Luego 𝑟𝑒𝑐 𝑓 = ℝ − {2}
Por lo tanto 𝑓 no es una función sobreyectiva.
Para que 𝑓 sea una función sobreyectiva, basta con restringir el conjunto de llegada (𝐵) al
recorrido obtenido, esto es:
c. FUNCION BIYECTIVA
Una función 𝑓 𝑑𝑒 𝐴 𝑒𝑛 𝐵, es una función biyectiva si, y sólo si 𝑓 es inyectiva y sobreyectiva
simultáneamente.
Ejemplo Nº22:
a. Sea 𝑓1: 𝐴 → 𝐵una función definida por:
Notemos que:
𝑓1(1) = 2 ;𝑓1(2) = 4; 𝑓1(3) = 6
Por lo tanto 𝑓1 es una función inyectiva.
Además, 𝑅𝑒𝑐𝑓1 = {2,4, 6} = 𝐵
Por lo tanto 𝑓1 es una función sobreyectiva.
Figura 3.17
15. Universidad Católica del Norte
Departamento de Matemática
Cecilia Alejandra Cabello Bugueño
15
Por lo tanto 𝑓1 es una función biyectiva.
d. FUNCIONES CRECIENTES
Sea una función real, 𝑓 es una función creciente si, y solo si
𝑥 > 𝑦 ⟹ 𝑓( 𝑥) > 𝑓( 𝑦) 𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑜𝑑𝑜 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐷𝑜𝑚 𝑓
Es decir, a medida que el valor de x crece, su imagen también crece. La figura 3.18, muestra una
función creciente.
e. FUNCIONES DECRECIENTES
Sea una función real, 𝑓 es una función decreciente si, y solo si
𝑥 > 𝑦 ⟹ 𝑓( 𝑥) < 𝑓( 𝑦) ∀ 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐷𝑜𝑚 𝑓
Es decir,a medidaque el valorde 𝑥crece,su imagen decrece. La figura 3.19, muestra una función
decreciente.
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
X
Y
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
X
Y
Figura 3.18. Función
Creciente
Figura 3.19. Función
Decreciente
16. Universidad Católica del Norte
Departamento de Matemática
Cecilia Alejandra Cabello Bugueño
16
3.6. FUNCION INVERSA (𝒇−𝟏)
En matemáticas, si f es una aplicación o función que lleva elementos de I en elementos de J, en
ciertas condiciones será posible definir la aplicación f -1
que realice el camino de vuelta de J a I. En
ese caso diremos que f -1
es la aplicación inversa de f.”
Una función 𝑓: 𝐴 → 𝐵 tiene su correspondiente función inversa 𝑓−1:𝐵 → 𝐴, si 𝑓 es una
función biyectiva (inyectiva y sobreyectiva).
Además si 𝑓es una función biyectiva, entonces 𝑓−1 también será una función biyectiva.
Ejemplo Nº 23:
Notemos que 𝑓 es una función, pues:
I. 𝐷𝑜𝑚 𝑓 = 𝐴
II. 𝑓(1) = 4, 𝑓(2) = 5, 𝑓(3) = 6
Por lo tanto 𝑓 es una función inyectiva.
Además,𝑅𝑒𝑐 𝑓 = 𝐵.
Por lo tanto 𝑓 es una función biyectiva.
Luego,
Figura 3.20
17. Universidad Católica del Norte
Departamento de Matemática
Cecilia Alejandra Cabello Bugueño
17
Para poder determinar la función inversa 𝑓−1 de una función biyectiva 𝑓 debemos seguir los
siguientes pasos:
i. Primero despejar la variable 𝑥 de la ecuación 𝑦 = 𝑓(𝑥)
ii. Luego, se deben intercambiar los valores de 𝑦 por la letra 𝑥.
Ejemplo Nº24:
a. Sea 𝑓:ℝ → ℝuna función biyectiva definida por 𝑓(𝑥) = 4𝑥 + 2
Hacemos 𝑦 = 𝑓(𝑥), esto es:
𝑦 = 4𝑥 + 2
Despejamos el valor de 𝑥,
𝑦 − 2
4
= 𝑥
Luego, donde este una variable 𝑦, la cambiamos por la variable 𝑥, esto es:
𝑥 − 2
4
= 𝑦
Así se define la inversa de la función 𝑓(𝑥) = 4𝑥 + 2 por 𝑓(𝑥)−1 =
𝑥−2
4
Figura 3.16
18. Universidad Católica del Norte
Departamento de Matemática
Cecilia Alejandra Cabello Bugueño
18
b. Observemos la siguiente gráfica de la función biyectiva
𝑓:ℝ → ℝ
𝑥 → 𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 2
Su función inversa es:
𝑓−1:ℝ → ℝ
𝑥 → 𝑓(𝑥)−1 =
𝑥 − 2
2
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
X
Y
19. Universidad Católica del Norte
Departamento de Matemática
Cecilia Alejandra Cabello Bugueño
19
3.7 COMPOSICION DE FUNCIONES
En matemática, una función compuesta es una función formada por la
composición o aplicación sucesiva de otras dos funciones. Para ello, se aplica
sobre el argumento la función más próxima al mismo, y al resultado del cálculo
anterior se le aplica finalmente la función restante.
Formalmente, dadas dos funciones f: X → Y y g: Y → Z, donde la imagen d
está contenida en el dominio de g, se define la función composición
(g ο f ): X → Z como (g ο f)(x) = g (f(x)), para todos los elementos x de X.
A (g ο f) se le llama composición de f y g. Nótese que se nombra no siguiendo el orden de
escritura, sino el orden en que se aplican las funciones a su argumento.
La función compuesta, existe y puede ser calculada si y solo si ocurre que
𝑅𝑒𝑐(𝑓) ⊆ 𝐷𝑜𝑚 (𝑔)
En caso de que la condición no se cumpliese, se redefine la función para que ocurra dicha
condición.
20. Universidad Católica del Norte
Departamento de Matemática
Cecilia Alejandra Cabello Bugueño
20
Ejemplo Nº25:
b. Si 𝑓:ℕ → ℕy 𝑔:ℕ → ℕ son las funciones definidas por
𝑓( 𝑛) = 5𝑛 ∧ 𝑔(𝑛) = 𝑛 + 3
Entonces, ( 𝑔 𝑜 𝑓):ℕ → ℕqueda definida de la siguiente manera:
Figura 3.23
Figura 3.24