Este documento describe los conceptos fundamentales del cálculo integral y diferencial, incluyendo: 1) La integración es el proceso inverso de la derivación; 2) La integral indefinida incluye una constante arbitraria y representa todas las posibles primitivas de una función; 3) Se presentan fórmulas para integrar funciones algebraicas y trascendentales como exponenciales, logaritmos y funciones trigonométricas.

1. BLOQUE II. DETERMINAS LA PRIMITIVA DE UNA FUNCIÓN E INTEGRAS FUNCIONES
ALGEBRAICAS Y TRASCENDENTES COMO UNA HERRAMIENTA A UTILIZAR EN LAS
CIENCIAS EXACTAS, SOCIALES, NATURALES Y ADMINISTRATIVAS.
Primero hablaremos de los dos problemas que el Cálculo trata de resolver:
1. Dada una función, encontrar su derivada (Derivación). Este es el objeto de estudio del
“Cálculo Diferencial”.
2. Dada una derivada encontrar la función de donde proviene (Integración). El estudio de
este proceso se llama “Cálculo Integral”.
Por lo anterior se dice que la integración es el proceso inverso de la derivación.
∫ es el símbolo para denotar la operación de encontrar la función general de donde proviene
una derivada y se llama “una integral” o “símbolo de integración”.
En general así se denota la integración de una función:
∫ 𝑓( 𝑥) 𝑑𝑥
La diferencial indica la variable en términos de la cual debe aparecer cualquier primitiva o
dicho de otra forma, la variable respecto de la cual se realizara el proceso de integración.
Primitiva de una Función e Integral Indefinida.
Para comprender estos 2 conceptos, hagamos lo siguiente.
Deriva cada función:
𝑓( 𝑥) = 𝑥2
+ 5 𝑔( 𝑥) = 𝑥2
− 1500 ℎ( 𝑥) = 𝑥2
Solución:
𝑓´( 𝑥) = 2𝑥 𝑔´( 𝑥) = 2𝑥 ℎ´( 𝑥) = 2𝑥
Y ahora la pregunta es: ¿Qué función se derivó para obtener 2x?
Esta pregunta planteada en lenguaje matemático se representa de la siguiente manera:
∫2𝑥 𝑑𝑥
Y como se puede observar no se tiene una respuesta exacta, ya que tan solo las funciones
𝑓( 𝑥), 𝑔( 𝑥)y ℎ( 𝑥) son algunas de las posibles soluciones.
A cada una de esas posibles soluciones se les llama primitivas de la función.
Y para dar una solución general, clara y valida, se agrega a la integral una constante general,
llamada constante arbitraria de integración (que se representa con la letra C), la cual
representa cualquier valor constante y a esta se le llama integral indefinida.
La integral indefinida de una función agrupa a todas las primitivas de esa función.
Entonces en el ejemplo anterior: ∫ 2𝑥 𝑑𝑥
Signo de integración Diferencial
Función a integral o integrando

2. 𝑓( 𝑥) = 𝑥2
+ 5 (Donde C=5), 𝑔( 𝑥) = 𝑥2
− 1500 (Donde C=-1500), ℎ( 𝑥) = 𝑥2
(Donde C=0)
Son primitivas de la función y la integral indefinida seria:
∫ 2𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥2
+ 𝐶
Significado geométrico de la Constante de Integración.
Lo dicho anteriormente significa que todas las
funciones que coincidan en su estructura
serán primitivas individuales, pero en conjunto
forman una integral indefinida.
En la imagen de la derecha se presenta una
familia de curvas con la misma gráfica,
desfasadas según el valor que tenga la
constante de integración C.
En: 𝑓( 𝑥) = 𝑥2
+ 5 C=5
𝑓( 𝑥) = 𝑥2
C=0
𝑓( 𝑥) = 𝑥2
− 2 C=-2
Todas las gráficas representadas son
paralelas entre si y cortan al eje de las “y” en
el valor exacto de “C”.

3. Integración.
A continuación se mencionan las reglas básicas para integración de funciones algebraicas y
trascendentes.
Ejemplo:
Calcular las siguientes integrales:
1. ∫ 𝟓𝒙 𝟒
𝒅𝒙
Solución:
Aplicando la fórmula 1. ∫ 5𝑥4
𝑑𝑥 =
5𝑥4+1
4+1
+ 𝐶 =
5𝑥5
5
+ 𝐶 = 𝟓𝒙 𝟓
+ 𝑪
2. ∫
𝒅𝒙
𝟕𝒙 𝟓
Solución:
Nota: Para integrar una función en la que la variable se encuentre como denominador,
primero debe subirse la variable al numerador cambiando el signo del exponente.
∫
𝒅𝒙
𝟕𝒙 𝟓
= ∫
𝟏
𝟕𝒙 𝟓
𝒅𝒙
Subiendo la variable al numerador: = ∫
1
7
𝑥−5
𝑑𝑥
Aplicando la fórmula 1: =
𝑥−5+1
7(−5+1)
+ 𝐶
Simplificando: =
𝑥−4
7(−4)
+ 𝐶 =
𝑋−4
−28
+ 𝐶
Fórmulas de Integración:
1. ∫ 𝑥 𝑛
𝑑𝑥 =
𝑥 𝑛+1
𝑛+1
+ 𝐶 donde 𝑛 ≠ −1
2. ∫ 𝑥−1
𝑑𝑥 = ∫
1
𝑥
𝑑𝑥 = ∫
𝑑𝑥
𝑥
= ln| 𝑥| + 𝐶
3. ∫ 𝑎 𝑑𝑥 = 𝑎𝑥 + 𝐶
4. ∫ 𝑑𝑥 = 𝑥 + 𝐶
5. ∫ 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑥 = −cos 𝑥 + 𝐶
6. ∫ cos 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 𝐶
7. ∫ tan 𝑥 𝑑𝑥 = ln|sec 𝑥| + 𝐶 = − ln|cos 𝑥| + 𝐶
8. ∫ cot 𝑥 𝑑𝑥 = ln| 𝑠𝑒𝑛 𝑥| + 𝐶
9. ∫ sec 𝑥 𝑑𝑥 = ln|sec 𝑥 + tan 𝑥| + 𝐶
10. ∫ csc 𝑥 𝑑𝑥 = −ln|csc 𝑥 + cot 𝑥| + 𝐶
11. ∫ 𝑠𝑒𝑐2
𝑥 𝑑𝑥 = tan 𝑥 + 𝐶
12. ∫ 𝑐𝑠𝑐2
𝑥 𝑑𝑥 = − cot 𝑥 + 𝐶
13. ∫ sec 𝑥 tan 𝑥 𝑑𝑥 = sec 𝑥 + 𝐶
14. ∫ csc 𝑥 cot 𝑥 𝑑𝑥 = − csc 𝑥 + 𝐶
15. ∫ 𝑒 𝑥
𝑑𝑥 = 𝑒 𝑥
+ 𝐶
16. ∫ 𝑎 𝑥
𝑑𝑥 =
1
ln 𝑎
𝑎 𝑥
+ 𝐶
17. ∫( 𝑢 + 𝑣) 𝑑𝑥 = ∫ 𝑢 𝑑𝑥 + ∫ 𝑣 𝑑𝑥

4. ∫
𝑑𝑥
7𝑥5 = −
𝟏
𝟐𝟖
𝒙−𝟒
3. ∫ √𝒙 𝟑𝟓
𝒅𝒙
Solución:
Nota: Para integrar una función en la que la variable este expresada en radicales, estos
deben transformarse a exponentes fraccionarios.
Transformando a exponente fraccionario: ∫ √𝑥35
𝑑𝑥 = ∫ 𝑥3/5
𝑑𝑥
Aplicando la fórmula 1: =
𝑥
(
3
5
)+1
(
3
5
)+1
+ 𝐶
Simplificando: =
𝑥
8
5
8
5
+ 𝐶
=
5
8
𝑥8/5
+ 𝐶
√𝑥35
𝑑𝑥 =
𝟓
𝟖
√𝒙 𝟖𝟓
+ 𝑪
4. ∫ 𝟒 𝒅𝒙
Solución:
Aplicando la fórmula 3: ∫ 4 𝑑𝑥 = 𝟒𝒙 + 𝑪
5. ∫
𝟓 𝒅𝒙
𝒙
Solución:
Subiendo la variable al numerador: ∫
𝟓 𝒅𝒙
𝒙
= ∫ 5𝑥−1
𝑑𝑥
Aplicando la fórmula 2 = 5 𝑙𝑛 | 𝑥| + 𝐶
Por propiedades de logaritmos: ∫
5 𝑑𝑥
𝑥
= 𝒍𝒏 | 𝒙| 𝟓
+ 𝑪
6. ∫( 𝟑𝒙 𝟐
− 𝟓𝒙 − 𝟖) 𝒅𝒙
Solución:
Aplicando la fórmula 17. ∫(3𝑥2
− 5𝑥 − 8) 𝑑𝑥 = ∫ 3𝑥2
𝑑𝑥 − ∫ 5𝑥 𝑑𝑥 − ∫ 8 𝑑𝑥
Aplicando la fórmula 1 y 3. =
3𝑥2+1
2+1
−
5𝑥1+1
1+1
− 8𝑥 + 𝐶
Simplificando: =
3𝑥3
3
−
5𝑥2
2
− 8𝑥 + 𝐶
∫(3𝑥2
− 5𝑥 − 8) 𝑑𝑥 = 𝒙 𝟑
−
𝟓
𝟐
𝒙 𝟐
− 𝟖𝒙 + 𝑪
7. ∫( 𝟐𝒙 − 𝟓)( 𝟑𝒙 + 𝟐) 𝒅𝒙
Solución:
Realizando el producto: ∫(2𝑥 − 5)(3𝑥 + 2) 𝑑𝑥 = ∫(6𝑥2
− 11𝑥 − 10) 𝑑𝑥
Aplicando la fórmula 17: = ∫ 6𝑥2
𝑑𝑥 − ∫ 11𝑥 𝑑𝑥 − ∫ 10 𝑑𝑥
Aplicando la fórmula 1 y 3: =
6𝑥2+1
2+1
−
11𝑥1+1
1+1
− 10𝑥 + 𝐶
Simplificando: =
6𝑥3
3
−
11 𝑥2
2
− 10𝑥 + 𝐶
∫(2𝑥 − 5)(3𝑥 + 2) 𝑑𝑥 = 𝟐𝒙 𝟑
−
𝟏𝟏
𝟐
𝒙 𝟐
− 𝟏𝟎𝒙 + 𝑪

5. 8. ∫ 𝟑 𝐭𝐚𝐧 𝒙 𝒅𝒙
Solución:
Aplicando la fórmula 7: ∫ 3 tan 𝑥 𝑑𝑥 = 3 ln|sec 𝑥| + 𝐶
Por propiedades de logaritmos ∫ 3tan 𝑥 𝑑𝑥 = 𝐥𝐧|𝒔𝒆𝒄 𝟑
𝒙| + 𝑪
En algunos casos de resolución de integrales las formulas anteriores se aplican directamente,
pero en algunos otros primero se utilizan identidades trigonométricas para realizar
transformaciones en las que si se puedan ocupar después alguna de las fórmulas de
integración.
Por lo que a continuación se mencionan algunas de las principales identidades
trigonométricas.
Ejemplos:
Calcular las siguientes integrales:
1. ∫ 𝒔𝒆𝒏 𝟑
𝒙 + 𝒔𝒆𝒏 𝒙 𝒄𝒐𝒔 𝟐
𝒙 𝒅𝒙
Solución:
Utilizando la identidad trigonométrica 4: 𝑠𝑒𝑛2
𝑥 + 𝑐𝑜𝑠2
𝑥 = 1
Despejando la identidad trigonométrica: 𝒄𝒐𝒔 𝟐
𝒙 = 1 − 𝑠𝑒𝑛2
𝑥
Sustituyendo en la integral:∫ 𝑠𝑒𝑛3
𝑥 + 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑐𝑜𝑠2
𝑥 𝑑𝑥 = ∫ 𝑠𝑒𝑛3
𝑥 + 𝑠𝑒𝑛 𝑥 ( 𝟏 − 𝒔𝒆𝒏 𝟐
𝒙) 𝑑𝑥
Realizando la multiplicación: = ∫ 𝑠𝑒𝑛3
𝑥 + 𝑠𝑒𝑛 𝑥 − 𝑠𝑒𝑛3
𝑥 𝑑𝑥
Reduciendo términos: = ∫ 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑥
Integrando la nueva función: = − 𝐜𝐨𝐬 𝒙 + 𝑪
Resultado: ∫ 𝑠𝑒𝑛3
𝑥 + 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑐𝑜𝑠2
𝑥 𝑑𝑥 = − 𝐜𝐨𝐬 𝒙 + 𝑪
2. ∫ 𝟏 + 𝒕𝒂𝒏 𝟐
𝒙 𝒅𝒙
Principales identidades trigonométricas:
1. cos 𝑥 =
𝑠𝑒𝑛 𝑥
tan 𝑥
2. tan 𝑥 =
𝑠𝑒𝑛 𝑥
cos 𝑥
3. cot 𝑥 =
cos 𝑥
𝑠𝑒𝑛 𝑥
4. 𝑠𝑒𝑛2
𝑥 + 𝑐𝑜𝑠2
𝑥 = 1
5. 𝑡𝑎𝑛2
𝑥 + 1 = 𝑠𝑒𝑐2
𝑥
6. 𝑠𝑒𝑛 𝑥 =
1
csc 𝑥
7. tan 𝑥 =
1
cot𝑥
8. sec 𝑥 =
1
cos 𝑥
9. 1 + 𝑐𝑜𝑡2
𝑥 = 𝑐𝑠𝑐2
𝑥
10. cos 𝑥 sec 𝑥 = 1
11. 1 − 𝑠𝑒𝑛2
𝑥 =
1
𝑠𝑒𝑐2 𝑥

6. Solución:
Utilizando la identidad trigonométrica 5: 𝑡𝑎𝑛2
𝑥 + 1 = 𝑠𝑒𝑐2
𝑥
Que es lo mismo a: 1 + 𝑡𝑎𝑛2
𝑥 = 𝑠𝑒𝑐2
𝑥
Sustituyendo en la integral: ∫ 1 + 𝑡𝑎𝑛2
𝑥 𝑑𝑥 = ∫ 𝑠𝑒𝑐2
𝑥
Integrando la nueva función: = 𝐭𝐚𝐧 𝒙 + 𝑪
Resultado: ∫ 1 + 𝑡𝑎𝑛2
𝑥 𝑑𝑥 = 𝐭𝐚𝐧 𝒙 + 𝑪
Determinación de la constante de integración “C” por medio de condiciones iniciales.
La constante “C” se determina para que una integral indefinida se convierta en una función
real y se utilizan las condiciones iniciales de la función.
Ejemplos:
1.- Hallar la integral que satisfaga la ecuación
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 6𝑥 − 8 además de que cuando 𝑥 = 1, se
tenga 𝑦 = 2.
Solución:
Integrando la ecuación: ∫(6𝑥 − 8) 𝑑𝑥 =
6𝑥1+1
1+1
− 8𝑥 + 𝐶
=
6𝑥2
2
− 8𝑥 + 𝐶
= 𝟑𝒙 𝟐
− 𝟖𝒙 + 𝑪
Ejercicios propuestos para resolver:
Resuelve cada integral indefinida:
1. ∫ 2√ 𝑥 𝑑𝑥
2. ∫ 5𝑥( 𝑥 + 3) 𝑑𝑥
3. ∫
(4𝑥−5)(2𝑥−7)
3
𝑑𝑥
4. ∫ √ 𝑥 (√ 𝑥 + 3) 𝑑𝑥
5. ∫
3√ 𝑥−5𝑥
√ 𝑥3 𝑑𝑥
6. ∫ (
2
𝑥3 +
3
4𝑥2 −
5
3𝑥
) 𝑑𝑥
7. ∫(3𝑥3
+ 6𝑥2
− 12𝑥 + 5) 𝑑𝑥
8. ∫ −3 𝑥
𝑑𝑥
9. ∫
−5
𝑠𝑒𝑛 𝑥
𝑑𝑥
10. ∫
3
𝑒−𝑥 𝑑𝑥
11. ∫ 4 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑥
12. ∫ 5 csc 𝑥 tan 𝑥 𝑑𝑥
13. ∫
𝑠𝑒𝑛 𝑥 cos 𝑥
1 −𝑠𝑒𝑛2 𝑥
𝑑𝑥
14. ∫ 4(5 𝑥) 𝑑𝑥

7. Entonces la función es 𝒚 = 𝟑𝒙 𝟐
− 𝟖𝒙 + 𝑪 y sustituyendo las condiciones iniciales de que 𝑥 =
1 y 𝑦 = 2. 2 = 3(1)2
− 8(1) + 𝐶
2 = 3(1) − 8 + 𝐶
2 = −5 + 𝐶
𝐶 = 2 + 5
𝐶 = 7
Sustituyendo el valor de C se obtiene la integral pedida: 𝒚 = 𝟑𝒙 𝟐
− 𝟖𝒙 + 𝟕
2.- En una curva especifica la pendiente en el punto (x, y) es igual a2x + 1, además se sabe
que el punto (5,-3) pertenece a dicha curva. Con esos datos halla la ecuación de la curva.
Solución:
Si recordamos, la pendiente de la tangente de una curva está determinada por la derivada de
la ecuación de dicha curva, por lo que si deseamos obtener la ecuación de la curva, debemos
integrar la función de la pendiente.
Integrando la ecuación de la pendiente: ∫(2𝑥 + 1) 𝑑𝑥 =
2𝑥1+1
1+1
+ 𝑥 + 𝐶
= 𝒙 𝟐
+ 𝒙 + 𝑪
La ecuación seria: 𝒚 = 𝒙 𝟐
+ 𝒙 + 𝑪 y sustituyendo las condiciones iniciales: (5, -3) donde 𝑥 = 5
y 𝑦 = −3 −3 = 52
+ 5 + 𝐶
−3 = 25 + 5 + 𝐶
−3 = 30 + 𝐶
𝐶 = −3 − 30
𝐶 = −33
Sustituyendo el valor de C se obtiene la ecuación de la curva pedida: 𝒚 = 𝒙 𝟐
+ 𝒙 − 𝟑𝟑
Ejercicios propuestos para resolver.
En cada caso, calcular la función con las
condiciones iniciales dadas:
1. 𝑓´( 𝑥) = 24𝑥2
− 30𝑥 en (0,11)
2. 𝑓´´( 𝑥) = 15 + 6𝑥−3
+ 15𝑥−4
en (1,7)
3. 𝑓´( 𝑥) = 16𝑥3
− 30𝑥 − 8 en (2,-5)
4.
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= −3𝑥 cuando x=2 y y=1
5.- Se sabe que el punto (2,-3) pertenece a
una curva, además en cualquier punto (x,
y) de la curva la pendiente de la recta
tangente es -3x+2. Con esto determina la
ecuación de la curva.

8. Técnicas de Integración.
Varias integrales no pueden resolverse por la aplicación inmediata de las fórmulas ya
revisadas anteriormente por lo que se necesitan métodos más avanzados.
Por lo anterior a continuación se presentan algunos de los métodos más usuales de
integración.
1. Integración por cambio de variable o método de sustitución.
En la resolución de integrales por este método, se elige una parte del integrando como “U” y
se obtiene la correspondiente diferencial, luego se ajusta la integral a una o varias de las
formulas conocidas.
Pasos para resolver por este método:
1. Se elige el término a sustituir por “u”, procurando que este se pueda derivar y que el
resultado de la derivada aparezca como una parte de la integral original.
2. Se deriva “u” en términos de x y se despeja “dx”
3. Se sustituye el termino elegido en el paso 1 por “u” en la integral original así como el
valor de “dx” obtenido en el paso 2, y se eliminan los términos que tienen x( si esto no
se puede hacer, posiblemente se eligió mal el término a sustituir por “u”).
4. Se integra la nueva función
5. Se sustituye el valor de “u” por términos de x.
Ejemplos:
Resolver las siguientes integrales por sustitución:
1. ∫
( 𝒙+𝟏)
√ 𝒙 𝟐+𝟐𝒙+𝟑
𝒅𝒙
Solución:
1.- Elección de “u”: 𝑢 = 𝒙 𝟐
+ 𝟐𝒙 + 𝟑
2.- Se deriva “u”:
𝑑𝑢
𝑑𝑥
= 2𝑥 + 2
Se despeja dx: 𝑑𝑥 =
𝒅𝒖
𝟐𝒙+𝟐
=
𝒅𝒖
𝟐(𝒙+𝟏)
3.- Se sustituye en la integral original: ∫
(𝑥+1)
√ 𝑢
(
𝑑𝑢
2(𝑥+1)
)
4.- Se integra la función: =
1
2
∫
𝑑𝑢
√ 𝑢
=
1
2
∫ 𝑢−1/2
𝑑𝑢
=
1
2
(
𝑢
(−
1
2
)+1
(−
1
2
)+1
) + 𝐶
=
1
2
(
𝑢1/2
1/2
) + 𝐶
= 𝑢1/2
+ 𝐶 = √ 𝒖 + 𝑪
5.- Se sustituye la “u” por términos en x: ∫
( 𝑥+1)
√𝑥2+2𝑥+3
𝑑𝑥 = √𝒙 𝟐 + 𝟐𝒙 + 𝟑 + 𝑪
2. ∫ 𝒄𝒐𝒔 𝟑
𝒙 𝒔𝒆𝒏 𝒙 𝒅𝒙
Nota: Generalmente la “u” no incluye
exponentes fuera de un polinomio. Sería
un error grave hacer 𝑢 = ( 𝑥2 + 2𝑥 + 3)1/2,
pues esto complica el procedimiento

9. Solución:
1.- Elección de “u”: 𝑢 = cos 𝑥
2.- Se deriva “u”:
𝑑𝑢
𝑑𝑥
= −𝑠𝑒𝑛 𝑥
Se despeja dx: 𝑑𝑥 = −
𝑑𝑢
𝑠𝑒𝑛 𝑥
3.- Se sustituye en la integral original: ∫ 𝑢3
𝑠𝑒𝑛 𝑥 (−
𝑑𝑢
𝑠𝑒𝑛 𝑥
)
4.- Se integra la función: = −1 ∫ 𝑢3
𝑑𝑢
= −1 (
𝑢3+1
3+1
) + 𝐶
= −1 (
𝑢4
4
) + 𝐶
∫ 𝑐𝑜𝑠3
𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑥 = −
1
4
𝑢4
+ 𝐶
5.- Se sustituye la “u” por términos en x: ∫ 𝑐𝑜𝑠3
𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑥 = −
𝟏
𝟒
𝒄𝒐𝒔 𝟒
𝒙 + 𝑪
3. ∫(𝒔𝒆𝒄 𝟐
𝒙𝒆𝒕𝒂𝒏𝒙
) 𝒅𝒙
Solución:
1.- Elección de “u”: 𝑢 = tan 𝑥
2.- Se deriva “u”:
𝑑𝑢
𝑑𝑥
= 𝑠𝑒𝑐2
𝑥
Se despeja dx: 𝑑𝑥 =
𝑑𝑢
𝑠𝑒𝑐2 𝑥
3.- Se sustituye en la integral original: ∫( 𝑠𝑒𝑐2
𝑥𝑒 𝑢)(
𝑑𝑢
𝑠𝑒𝑐2 𝑥
)
4.- Se integra la función: ∫ 𝑒 𝑢
𝑑𝑢
= 𝑒 𝑢
+ 𝐶
5.- Se sustituye “u” por términos en x: ∫(𝑠𝑒𝑐2
𝑥𝑒 𝑡𝑎𝑛𝑥
) 𝑑𝑥 = 𝒆 𝒕𝒂𝒏𝒙
+ 𝑪
Ejercicios propuestos para resolver.
Resuelve cada integral por sustitución o cambio de variable:
1. ∫ 𝑥2
tan 𝑥3
𝑑𝑥
2. ∫ 𝑠𝑒𝑛 (5𝑥 − 1) 𝑑𝑥
3. ∫
𝑒 𝑥
𝑑𝑥
𝑒 𝑥−5
4. ∫
𝑥 𝑑𝑥
𝑥2−1
5. ∫
ln 𝑥
2𝑥
𝑑𝑥
6. ∫ 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑒cos 𝑥
𝑑𝑥
7. ∫
( 𝑥−4) 𝑑𝑥
√4𝑥2−32𝑥−1
8. ∫
𝑠𝑒𝑐2
𝑥
tan 𝑥
𝑑𝑥
9. ∫ cos5𝑥 𝑠𝑒𝑛 5𝑥 𝑑𝑥
10. ∫ 5𝑥√5𝑥2 − 12 𝑑𝑥
11. ∫
𝑥+1
(3𝑥2 +6𝑥−3)4 𝑑𝑥
12. ∫ 5𝑥 tan(4𝑥2
− 1) 𝑑𝑥
13. ∫
𝑥−3
sec( 𝑥2−6𝑥)
𝑑𝑥

10. 2. Integración por partes
La siguiente fórmula que se llama “formula de integración por partes” resulta útil en la
resolución de muchas integrales trascendentes, es decir, trigonométricas, logarítmicas y/o
exponenciales.
∫ 𝑢 𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 − ∫ 𝑣 𝑑𝑢
Esta fórmula permite que se conviertan algunas integrales aparentemente complejas en
integrales mucho más simples, siguiendo tres reglas sencillas:
1. 𝑢 debe ser una función fácil de derivar, y
2. 𝑑𝑣 debe ser una expresión fácil de integrar
3. ∫ 𝑣 𝑑𝑢 debe ser más sencilla que ∫ 𝑢 𝑑𝑣
Ejemplos:
Resolver las siguientes integrales por partes:
1. ∫ 𝒙 𝒔𝒆𝒏 𝒙 𝒅𝒙
Solución:
Elegimos a “u” y a “du”: 𝑢 = 𝑥 𝑑𝑣 = 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑑𝑥
Derivamos e integramos:
Derivar: 𝑢 = 𝑥
𝑑𝑢
𝑑𝑥
= 1
𝑑𝑢 = 𝑑𝑥
Integrar: 𝑑𝑣 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑥
𝑣 = ∫ 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑥
𝑣 = −cos 𝑥 + 𝐶
Tomando la fórmula de integración por partes: ∫ 𝑢 𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 − ∫ 𝑣 𝑑𝑢
Sustituimos con los valores hallados:
∫ 𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑥 = ( 𝑥)(−cos 𝑥) − ∫(−cos 𝑥) 𝑑𝑥
= −𝑥 cos 𝑥 + ∫ cos 𝑥 𝑑𝑥
= −𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 𝐶
Resultado: ∫ 𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑥 = −𝒙𝒄𝒐𝒔𝒙 + 𝒔𝒆𝒏 𝒙 + 𝑪
1. ∫ 𝟑𝒙 𝒔𝒆𝒏 𝟐𝒙 𝒅𝒙
Solución:
Elegimos a “u” y a “dv”: 𝑢 = 3𝑥 𝑑𝑣 = 𝑠𝑒𝑛 2𝑥 𝑑𝑥
Derivamos e integramos:
Derivar: 𝑢 = 3𝑥
𝑑𝑢
𝑑𝑥
= 3
𝑑𝑢 = 3𝑑𝑥
Integrar: 𝑑𝑣 = 𝑠𝑒𝑛 2𝑥 𝑑𝑥
𝑣 = ∫ 𝑠𝑒𝑛 2𝑥 𝑑𝑥
𝑣 = −
1
2
cos2𝑥 + 𝐶
Tomando la fórmula de integración por partes: ∫ 𝑢 𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 − ∫ 𝑣 𝑑𝑢
Sustituimos con los valores hallados:
∫ 3𝑥 𝑠𝑒𝑛 2𝑥 𝑑𝑥 = (3𝑥)(−
1
2
cos2𝑥) − ∫ (−
1
2
cos2𝑥) (3𝑑𝑥)
= −
3
2
𝑥 cos2𝑥 − ∫ −
3
2
cos2𝑥 𝑑𝑥
Nota: Para estos ejercicios se
tomara en cuenta lo siguiente:
∫ 𝑒 𝑎𝑥
𝑑𝑥 =
1
𝑎
𝑒 𝑎𝑥
+ 𝐶
∫ cos 𝑎𝑥 𝑑𝑥 =
1
𝑎
𝑠𝑒𝑛 𝑎𝑥 𝑑𝑥

11. = −
3
2
𝑥 cos2𝑥 +
3
2
∫ cos2𝑥 𝑑𝑥
= −
3
2
𝑥 cos2𝑥 +
3
2
(
1
2
𝑠𝑒𝑛 2𝑥) + 𝐶
= −
𝟑
𝟐
𝒙 𝐜𝐨𝐬 𝟐𝒙 +
𝟑
𝟒
𝒔𝒆𝒏 𝟐𝒙 + 𝑪
Resultado: ∫ 𝟑𝒙 𝒔𝒆𝒏 𝟐𝒙 𝒅𝒙 = −
𝟑
𝟐
𝒙 𝐜𝐨𝐬 𝟐𝒙 +
𝟑
𝟒
𝒔𝒆𝒏 𝟐𝒙 + 𝑪
2. ∫ 𝒙 𝟑
𝐜𝐨𝐬 𝒙 𝒅𝒙
Solución:
Elegimos a “u” y a “dv”: 𝑢 = 𝑥3
𝑑𝑣 = 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑑𝑥
Derivamos e integramos:
Derivar: 𝑢 = 𝑥3
𝑑𝑢
𝑑𝑥
= 3𝑥2
𝑑𝑢 = 3𝑥2
𝑑𝑥
Integrar: 𝑑𝑣 = 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑑𝑥
𝑣 = ∫ 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑑𝑥
𝑣 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 𝐶
Tomando la fórmula de integración por partes: ∫ 𝑢 𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 − ∫ 𝑣 𝑑𝑢
Sustituimos con los valores hallados:
∫ 𝑥3
cos 𝑥 𝑑𝑥 = ( 𝑥3)( 𝑠𝑒𝑛 𝑥) − ∫( 𝑠𝑒𝑛 𝑥)(3𝑥2
𝑑𝑥)
= 𝑥3
𝑠𝑒𝑛 𝑥 − ∫ 3𝑥2
𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑥
Nota: Aquí se puede observar que la integral resultante ∫ 𝑣 𝑑𝑢, aunque es más fácil que la
original, no se puede resolver directamente, por lo que debe resolverse nuevamente por
partes. Este proceso se puede hacer tantas veces como sea necesario.
Por lo que ahora se va a tomar la integral que falta resolver, que se encuentra sombreada en
este ejercicio:
∫ 3𝑥2
𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑥
Elegimos a “u” y a “dv”: 𝑢 = 3𝑥2
𝑑𝑣 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑥
Derivamos e integramos:
Derivar: 𝑢 = 3𝑥2
𝑑𝑢
𝑑𝑥
= 6𝑥
𝑑𝑢 = 6𝑥𝑑𝑥
Integrar: 𝑑𝑣 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑥
𝑣 = ∫ 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑥
𝑣 = −cos 𝑥 + 𝐶
Tomando la fórmula de integración por partes: ∫ 𝑢 𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 − ∫ 𝑣 𝑑𝑢
Sustituimos con los valores hallados:
∫ 3𝑥2
𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑥 = ( 3𝑥2)(−cos 𝑥) − ∫( − cos 𝑥)(6𝑥 𝑑𝑥)
= −3𝑥2
cos 𝑥 − ∫ −6𝑥 cos 𝑥 𝑑𝑥
Y nuevamente que la integral resultante no se puede resolver directamente, por lo que vuelve
a hacer por partes. Y se toma la integral que esta sombreada de color verde:
∫ −6𝑥 cos 𝑥 𝑑𝑥
Elegimos a “u” y a “dv”: 𝑢 = −6𝑥 𝑑𝑣 = 𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑑𝑥
Derivamos e integramos:
Derivar: 𝑢 = −6𝑥
𝑑𝑢
𝑑𝑥
= −6
Integrar: 𝑑𝑣 = 𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑑𝑥
𝑣 = ∫ 𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑑𝑥
𝑣 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 𝐶

12. 𝑑𝑢 = −6𝑑𝑥
Tomando la fórmula de integración por partes: ∫ 𝑢 𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 − ∫ 𝑣 𝑑𝑢
Sustituimos con los valores hallados:
∫ −6𝑥 cos 𝑥 𝑑𝑥 = (−6𝑥)( 𝑠𝑒𝑛 𝑥) − ∫( 𝑠𝑒𝑛 𝑥)(−6𝑑𝑥)
= −6𝑥𝑠𝑒𝑛 𝑥 − ∫ −6 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑑𝑥
= −6𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 6∫ 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑥
= −6𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 6(−cos 𝑥) + 𝐶
= −6𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑥 − 6cos 𝑥 + 𝐶
Y ahora tenemos que unir todo, por lo que vamos a tomar a la integral desde el inicio:
∫ 𝑥3
cos 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥3
𝑠𝑒𝑛 𝑥 − ∫ 3𝑥2
𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑥
= 𝑥3
𝑠𝑒𝑛 𝑥 − (−3𝑥2
cos 𝑥 − ∫ −6𝑥 cos 𝑥 𝑑𝑥)
= 𝑥3
𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 3𝑥2
cos 𝑥 + ∫ −6𝑥 cos 𝑥 𝑑𝑥
= 𝑥3
𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 3𝑥2
cos 𝑥 + (−6𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑥 − 6 cos 𝑥) + 𝐶
= 𝒙 𝟑
𝒔𝒆𝒏 𝒙 + 𝟑𝒙 𝟐
𝐜𝐨𝐬 𝒙 − 𝟔𝒙 𝒔𝒆𝒏 𝒙 − 𝟔 𝐜𝐨𝐬 𝒙 + 𝑪
Resultado: ∫ 𝑥3
cos 𝑥 𝑑𝑥 = 𝒙 𝟑
𝒔𝒆𝒏 𝒙 + 𝟑𝒙 𝟐
𝐜𝐨𝐬 𝒙 − 𝟔𝒙 𝒔𝒆𝒏 𝒙 − 𝟔 𝐜𝐨𝐬 𝒙 + 𝑪
Aplicaciones en Administración y en Economía.
En economía se manejan los siguientes conceptos: ingresos, costos y utilidad. A la razón de
cambio de cada una de ellas se le llama, respectivamente, ingreso marginal, costo marginal y
utilidad marginal.
Estos valores marginales se obtienen a partir de una función que represente, por ejemplo, los
ingresos. Si se deriva la función de ingreso, se obtiene el ingreso marginal.
Y a partir de un dato marginal, se obtiene la función original.
Ejemplos de aplicación:
1.- El costo marginal de producir chicles está dado por 𝑐´( 𝑥) = 0.002𝑥 + 0.01 donde x es el
número de bolsas con 100 chicles producidas. Para producir un millón de chicles, el costo
totales de $125,100.00.
Ejercicios propuestos para resolver.
Resuelve cada una de las siguientes
integrales por partes:
1. ∫ 𝑥𝑒 𝑥
𝑑𝑥
2. ∫ 3𝑥2
𝑠𝑒𝑛 5𝑥 𝑑𝑥
3. ∫ 𝑥 ln 𝑥 𝑑𝑥
4. ∫ 𝑥4
cos 𝑥5
𝑑𝑥
5. ∫ 𝑥3
cos 𝑥2
𝑑𝑥
6. ∫ 2𝑥2
𝑒−2𝑥
𝑑𝑥
7. ∫ 𝑒 𝑥2
𝑥3
𝑑𝑥
8. ∫ 2𝑥 ln 𝑥 𝑑𝑥

13. a) ¿Cuál es la función de costo?
b) ¿Cuánto costara producir 25,000 bolsas de chicles?
Solución:
a)Costo marginal: 𝑐´( 𝑥) = 0.002𝑥 + 0.01
Función de costo 𝑐( 𝑥) = ∫(0.002𝑥 + 0.01) 𝑑𝑥
=
0.002 𝑥1+1
1+1
+ 0.01𝑥 + 𝐶
=
0.002 𝑥2
2
+ 0.01𝑥 + 𝐶
Respuesta: 𝒄(𝒙) = 𝟎. 𝟎𝟎𝟏𝒙 𝟐
+ 𝟎. 𝟎𝟏𝒙 + 𝑪
Condiciones iniciales: 1,000,000 de Chicles Costo total: 125,100.00
1 𝑏𝑜𝑙𝑠𝑎
100 𝑐ℎ𝑖𝑐𝑙𝑒𝑠
=
𝑥 𝑏𝑜𝑙𝑠𝑎𝑠
1,000 ,000 𝑐ℎ𝑖𝑐𝑙𝑒𝑠
𝑥 𝑏𝑜𝑙𝑠𝑎𝑠 =
(1 𝑏𝑜𝑙𝑠𝑎)(1,000 ,000 𝑐ℎ𝑖𝑐𝑙𝑒𝑠)
100 𝑐ℎ𝑖𝑐𝑙𝑒𝑠
𝑥 𝑏𝑜𝑙𝑠𝑎𝑠 = 10,000 𝑏𝑜𝑙𝑠𝑎𝑠
Sustituimos en la función encontrada:
𝒄(𝒙) = 𝟎. 𝟎𝟎𝟏𝒙 𝟐
+ 𝟎. 𝟎𝟏𝒙 + 𝑪
125100 = 0.001(10,000)2
+ 0.01(10,000)+ 𝐶
125,100 = 100,000 + 100 + 𝐶
125,100 = 100,100 + 𝐶
𝐶 = 125,100 − 100,100
𝐶 = 25,000
Sustituimos el valor de C en la función encontrada:
𝒄( 𝒙) = 𝟎. 𝟎𝟎𝟏𝒙 𝟐
+ 𝟎. 𝟎𝟏𝒙 + 𝟐𝟓, 𝟎𝟎𝟎
b) Costo de producir: 25,000 bolsas de chicles, por lo que 𝑥 = 25,000
𝒄( 𝒙) = 𝟎. 𝟎𝟎𝟏(𝟐𝟓, 𝟎𝟎𝟎) 𝟐
+ 𝟎. 𝟎𝟏(𝟐𝟓, 𝟎𝟎𝟎) + 𝟐𝟓, 𝟎𝟎𝟎
𝑐( 𝑥) = 625,000 + 250 + 25,000
𝒄( 𝒙) = 𝟔𝟓𝟎, 𝟐𝟓𝟎
Respuesta: $650,250

14. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS:
*Libros:
-Calculo integral con enfoque en competencias.
Escalante Pérez Lorenzo.
Editorial Book Mart. Primera edición. Noviembre de 2012, México.
Matemáticas 6. Calculo integra.
Ortiz Cedano Arturo y Fox Rivera Guillermo.
Editorial nueva imagen. México, 2007
*Páginas de internet:
- http://www.lavirtu.comeniusimgenius420075adjuntos_fichero_137910.pdf.pdf/
- https://cdn.fbsbx.com/hphotos-xfp1/v/t59.2708-
21/11128012_1601975423420161_1280881743_n.docx/Tabla-de-integrales-inmediatas-o-
indefinidas.docx?oh=78f8f9c05527f247e5832b208f6f8e25&oe=5560DE9C&dl=1
- https://cdn.fbsbx.com/hphotos-xtp1/v/t59.2708-
21/11247448_1601975386753498_718255390_n.pdf/u-
14.pdf?oh=d912f775930a8e558c26866e276af5ac&oe=556091EC&dl=1