Producto cartesiano

Universidad Católica del Norte
Departamento de Matemática
Cecilia Alejandra Cabello Bugueño
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1. PRODUCTO CARTESIANO
El producto cartesiano tiene como eje central el trabajo de conjuntos, ya sea de números o de
otras entidades.Paraestodebemostenerclaroademás,cualesson losconjuntosde losnúmerosy
sus propiedades. (Figura 1.1.)
Figura 1.1. Conjuntos Numéricos
Un conjunto es una lista, colección o agrupación de objetos bien definidos, los que se llaman
elementos,yse escribenentre llavesseparadosporcomas.Un conjuntopuede serdescritode dos
formas:
i) Por Extensión: Cuando se indican todos los elementos que lo forman.
ii) Por Comprensión:Cuando se indican sus elementos por medio de una propiedad precisa, que
permita identificarlos a todos ellos y sólo a ellos.
El conceptode relaciónimplicalaideade correspondencia entre los elementos de dos conjuntos
que forman parejas ordenadas.
Cuandose formulauna expresiónque ligadosomás objetosentre sí,postulamosunarelación(no
necesariamente matemática) Por ejemplo:

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Samuel es padre de Irma. (Samuel, Irma)
Podemos definir la relación como La correspondencia que hay entre TODOS o ALGUNOS
elementos del primer conjunto con UNO o MÁS elementos del segundo conjunto.”
Cuando hablamos de relaciones en las matemáticas no es un concepto tan lejano a lo que se
conoce como una relaciónentre otrosentes(personas,objetos,etc.);hablamosde larelación que
existe entre Chile yArgentina,unarelaciónque los une, es “estar dentro del mismo continente”;
o tal vez hablar de la relación que existe entre un colegio y un grupo de adolescentes que
pertenecen al establecimiento, la relación es “ser estudiante del Colegio”. Ahora bien, en
matemática, el concepto no es tan lejano a lo que se ha comentado. Una relación matemática
debe tenerpresenteel PlanoCartesiano,(Figura1.2).Que estácompuestoporel eje 𝒳 (eje de las
abscisas) y el eje 𝒴 (eje de las ordenadas). Cuando se trabaja con el plano cartesiano, se está
trabajando con pares ordenados,(𝒳, 𝒴), donde 𝒳 es la primera componente e 𝒴 es la segunda
componente. En el plano cartesiano se ubican puntos mediante pares ordenados (𝒳, 𝒴),
representaunpuntodonde 𝒳 eslaposicióndel eje de lasabscisase 𝒴, esla posicióndel eje de las
ordenas,estasse graficancomo se muestranenla (Figura1.3).El par ordenado (𝒳, 𝒴), representa
un único punto en el plano cartesiano, y un punto está representado por un par ordenado.
Figura 1.2. Plano Cartesiano Figura 1.3. Ubicación de Puntos en el Plano
Cartesiano.
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
X
Y
I CuadranteII Cuadrante
III Cuadrante IV Cuadrante
“El plano cartesiano, es un sistema de
referencia respecto a dos ejes (un plano) que
se cortan en un punto llamado origen de
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
x
y
(3,5)
(-2,-3)
Puntos localizados en el plano cartesiano.

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coordenadas. En el plano, las coordenadas
cartesianas (o rectangulares) 𝓧 e 𝓨 se
denominan abscisa y ordenada,
respectivamente.”
Para poderentenderlasfunciones,debemoscomprenderel “ProductoCartesiano”, sudefinición,
sus propiedades y la importancia de ésta en la ciencia de las matemáticas.
Definición Nº1: Producto Cartesiano
Dado dos conjuntos 𝐴 𝑦 𝐵, se llama Producto Cartesiano de 𝐴 𝑦 𝐵, simbolizado por 𝐴 𝑥 𝐵, al
conjuntode todos los pares ordenados cuyas primeras componentes pertenecen al conjunto 𝐴 y
las segundas componentes pertenecen al conjunto 𝐵.
Por comprensión:
𝐴 × 𝐵 = {( 𝑎, 𝑏) 𝑎⁄ ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 }
𝐵 × 𝐴 = {(𝑏, 𝑎) 𝑏⁄ ∈ 𝐵 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴}
Observación:
𝐴 × 𝐵 ≠ 𝐵 × 𝐴
Ejemplo Nº1:
Si 𝐴 = {0,1,2} 𝑦 𝐵 = {−1,0}
Por extensión: 𝐴 × 𝐵 = {(0,−1), (0,0),(1, −1),(1,0), (2,−1),(2, 0)}
Por compresión: 𝐴 × 𝐵 = {(𝑎, 𝑏) 𝑎⁄ ∈ {0, 1,2} 𝑦 𝑏 ∈ {−1,0} }

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Se representa gráficamente como lo muestra la figura 1.4.
Figura 1.4. Representación Gráfica del
Producto Cartesiano 𝐴 × 𝐵
-2 -1 1 2
-2
-1
1
2
X
Y
(0,-1)
(0,0)
(1,-1)
(1,0)
(2,-1)
(2,0)
Si el conjunto 𝐴 tiene 𝑚 elementos y el conjunto 𝐵 tiene 𝑛 elementos, entonces la cantidad de
pares ordenados que existe en el producto cartesiano (𝐴 × 𝐵) es (𝑚 · 𝑛). Es decir, si ⋕ 𝐴 es la
cardinalidad (cantidad de elementos) de 𝐴 y ⋕ 𝐵 la de 𝐵 tenemos que si ⋕ 𝐴 = 𝑚 y ⋕ 𝐵 =
𝑛, entonces
⋕ ( 𝐴 × 𝐵) = 𝑚 ∙ 𝑛
Del ejemplo anterior, notemos que:
⋕ 𝐴 = 3 𝑦 ⋕ 𝐵 = 2, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 ⋕ (𝐴 × 𝐵) = 3 · 2 = 6
Observación: Si 𝐴 = ∅ ∨ 𝐵 = ∅, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝐴 × 𝐵 = ∅
Ejemplo Nº2:
Si 𝑆 = {2𝑛/𝑛 ∈ ℕ}(números naturales múltiplos de 2) y 𝑇 = {1,3,5, 6}
Entonces, 𝑆 × 𝑇 = ¿ ?
Por comprensión: 𝑆 × 𝑇 = {(𝑎, 𝑏)/𝑎 𝑒𝑠 𝑝𝑎𝑟 ∧ 𝑏 ∈ {1, 3,5, 6}}
Por extensión: 𝑆 × 𝑇 = {(2,1), (2,3), (2, 5),(2, 6),(4,1), (4,3),(4, 5),(4,6), …}

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Notemos que:
⋕ 𝑆 = 𝑖𝑛𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑜 ∧ ⋕ 𝑇 = 4 .
Luego,⋕ (𝑆 × 𝑇) = 𝑖𝑛𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑜
1.1 REPRESENTACIÓN GRÁFICA DEL PRODUCTO CARTESIANO
La representacióngraficadel productocartesianopuede darse de dosmaneras, a través del plano
cartesiano o a través de la representación del diagrama sagital.
Al graficar en el plano cartesiano, debemos considerar los conjuntos en los cuales estamos
trabajando. Más aún, pueden ser puntos; segmentos; rectas; rayos o áreas
Ejemplo Nº3:
𝑆𝑒𝑎 𝐴 = {−1,0,1,} 𝑦 𝐵 = {0,1, 2}. 𝑁𝑜𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒 ⋕ ( 𝐴 × 𝐵) = 9
𝐴 × 𝐵 = {(−1,0), (−1,1),(−1, 2),(0,0), (0,1), (0, 2),(1, 0), (1,1), (1, 2)}.
Figura 1.5. Representación Gráfica 𝐴 × 𝐵
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
x
y
(-1,0)
(-1,1)
(-1,2)
(0,0)
(0,1)
(0,2)
(1,0)
(1,1)
(1,2)

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Ejemplo Nº4:
Si 𝑀 = { 𝑥 ∈ ℝ/−1 ≤ 𝑥 ≤ 2} 𝑦 𝑁 = { 𝑦 ∈ ℝ/0 ≤ 𝑦 ≤ 2}
Representemos en el plano la región 𝑀 × 𝑁(Figura 1.6):
Figura 1.6: Representación Gráfica de 𝑀 × 𝑁
-8 -6 -4 -2 2 4 6 8
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
x
y
La representación sagital figura1.7.
Sea 𝐴 = {1,2,3} 𝑦 𝐵 = {−1,0 1}.Luego el producto cartesiano
𝐴 × 𝐵 = {(1,−1),(1, 0),(1,1), (2,−1),(2,0), (2, 1),(3, −1),(3,0), (3,1)}
Su representación sagital viene dada por la figura 1.7.

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Producto Cartesiano de 𝑨 × 𝑨
El productocartesianodefinidosobre 𝐴,significa tomar como primera componente un elemento
del conjunto A y como segunda componente un elemento del conjunto A. Esto es:
𝐴 × 𝐴 = {( 𝑥, 𝑦)/𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴}
Ejemplo Nº5:
El producto cartesiano definido en el conjunto 𝐴 = {2,3, 4}viene dado por
Escrito por Comprensión: 𝐴 × 𝐴 = {(𝑥 𝑦)/ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 }
Escrito por Extensión:
𝐴 × 𝐴 = {(2,2), (2,3), (2,4), (3,2),(3,3),(3,4),(4,2),(4,3), (4,4)}
1.2 PROPIEDADES DEL PRODUCTO CARTESIANO
Sean 𝐴 ≠ ∅ , 𝐵 ≠ ∅ 𝑦 𝐶 ≠ ∅ , conjuntos no vacios, se cumple que:
(a) 𝐴 × 𝐵 = ∅ ⟺ ( 𝐴 = ∅ ∨ 𝐵 = ∅ )
El productocartesianode dosconjuntos (𝐴 𝑦 𝐵), esvaciosi,y sólosi uno de los conjuntos
es vacio.
(b) 𝐴 × 𝐵 = 𝐵 × 𝐴 ⟺ ( 𝐴 = ∅ ∨ 𝐵 = ∅) ∨ ( 𝐴 = 𝐵)
El productocartesianode dosconjuntos (𝐴 𝑦 𝐵) es conmutativo si, y sólo si uno de los conjuntos
es vacío o bien, ambos conjuntos contienen los mismo componentes.
(c) Distributividad del producto cartesiano respecto a:
i. 𝐴 × ( 𝐵 ⋃ 𝐶) = ( 𝐴 × 𝐵) ∪ ( 𝐴 × 𝐶)( 𝐿𝑎 𝑢𝑛𝑖ó𝑛)
ii. 𝐴 × ( 𝐵 ∩ 𝐶) = ( 𝐴 × 𝐵) ∩ ( 𝐴 × 𝐶)( 𝐿𝑎 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑠𝑒𝑐𝑐𝑖ó𝑛)
iii. 𝐴 × ( 𝐵 − 𝐶) = ( 𝐴 × 𝐵) − (𝐴 × 𝐶) ( 𝐿𝑎 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎)

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