Funciones en el Círculo Trigonométrico

Funciones en Círculo Trigonométrico Por: Segundo Silva Maguiña
Funciones en Circulo Trigonométrico
2 S
Sigma

1
X
 
El círculo trigonométrico
En temas anteriores, las funciones trigonométricas se asociaron con
razones, es decir con cocientes de los lados de un triángulo rectángulo,
pero también es posible representar esas funciones como segmentos de
recta. Para ello es necesario definir el círculo trigonométrico.
Un círculo trigonométrico es aquel que se construye sobre un sistema de
coordenadas cartesiano, de manera que el centro del círculo coincida con
el origen del sistema y su radio mida una unidadde longitud.
Y
(0,0)
Es conveniente señalar que el círculo trigonométrico queda dividido en
cuatro partes por los ejes coordenados; cada parte abarca 900
, recibe el
nombre de cuadrante y se designa con un número romano; la
numeración va en sentido contrario al movimiento de las manecillas del
reloj a partir del eje X.
90
180 0
270
II I
III IV
CUADRANTE RANGO
I De 0 a 90
II De 90 a 180
III De 180 a 270
IV De 270 a 360

Identificación de funciones trigonométricas en los cuadrantes
Para generalizar el estudio de las relaciones trigonométricas, empezaremos
por ubicar los ángulosen el plano de coordenadas cartesianas.
Y
En las siguientes figuras se representa a los ángulos que tienen su lado
terminal en el primero, segundo, tercer y cuarto cuadrante, considerando
sus coordenadas horizontal y vertical, así como la distancia de un punto en
el lado terminal hacia el origen, dando lugar a la formación de un triángulo
de referencia para cada ángulo.
PRIMER CUADRANTE
Y

X
Lado inicial
Lado terminal
d

Ordenada
(y)
+
X
Abscisa
(x)
+
Función Signo
sen =
y
d
+
cos =
x
d
+
tan =
y
x
+
cot =
x
y
+
sec =
d
x
+
csc =
d
y
+

SEGUNDO CUADRANTE
(+) y
Y
X
TERCER CUADRANTE
Y
X
(-) y
d

(-) x

(-) x
d
Función Signo
sen =
y
d
+
cos =
− x
d
-
tan =
y
− x
-
cot =
− x
y
-
sec =
d
− x
-
csc =
d
y
+
Función Signo
sen =
− y
d
-
cos =
− x
d
-
tan =
− y
− x
+
cot =
− x
− y
+
sec =
d
− x
-
csc =
d
− y
-

CUARTO CUADRANTE
Signos de las funciones trigonométricas
Para determinar los signos de las funciones trigonométricas representadas por
rectas, tomamos enconsideración el concepto referente al sistema coordenado
cartesiano siguiente:
• Todos los segmentos perpendiculares al eje de las abscisas son
positivos si están arriba deél y negativos si están abajo.
• Todos los segmentos perpendiculares al eje de las ordenadas son
positivos si están a laderecha de él y negativos si están a la
izquierda.
De acuerdo a la identificación de las funciones trigonométricas en los
cuadrantes los signos resultantes son:
I II III IV
SEN + + - -
COS + - - +
TAN + - + -
COT + - + -
SEC + - - +
CSC + + - -
Y

(+) x
X
(-) y
d
Función Signo
sen =
− y
d
-
cos =
x
d
+
tan =
− y
x
-
cot =
x
− y
-
sec =
d
x
+
csc =
d
− y
-

El mismo triángulo con el ángulo  = 0,
queda, en consecuencia: x = d, y = 0
Y
0
X
De donde:
x
X

y
d
triángulo
el
Consideremos
rectángulo:
Y
queda, en consecuencia: y = d, x = 0
Y
90
X
De donde:
x
X

y
d
triángulo
el
Consideremos
rectángulo:
Y
Funciones trigonométricas de ángulos de cuadrante
Se establece que un ángulo pertenece a un determinado cuadrante
cuando su lado terminal detiene su giro en dicho cuadrante; en el caso en
que coincida con los ejes de 90, 180, 270, 360, se establece que el ángulo
es límite de dos cuadrantes.
Del ángulo de 0
sen 0 =
0
= 0
d
cot 0 =
x
= 
0
cos0 =
x
= 1
d
sec0 =
d
= 1
x
tan 0 =
0
= 0
x
csc 0 =
d
= 
0
Del ángulo de 90
sen 90 =
y
= 1
d
cot90 =
0
= 0
y
cos90 =
0
= 0
d
sec90 =
d
= 
0
tan90 =
y
= 
0
csc 90 =
d
= 1
y

queda, en consecuencia: d = y, x = 0
Y
270
X
De donde:
d
y
(-)
X

(-)x
Y
triángulo
el
Consideremos
rectángulo:
Consideremos el triángulo
rectángulo:
Y
queda, en consecuencia: d = x, y = 0
Y
d
y 
(-)x
X
De donde:
180
X
sen 270 =
− y
= −1
d
cot 270 =
0
= 0
− y
cos270 =
0
= 0
d
sec270 =
d
= 
0
tan 270 =
− y
= 
0
csc270 =
d
= −1
− y
0
csc180 =
d
= 
− x
0
tan180 = = 0
− x
d
sec180 = = −1
d
cos180 =
− x
= −1
0
cot180 =
− x
= 
d
sen 180 =
0
= 0

queda, en consecuencia: d = x, y = 0
Y
360
X
De donde:
y
(-)
d
X
x

Y
triángulo
el
Consideremos
rectángulo:
sen 360 =
0
= 0
d
cot360 =
x
= 
0
cos360 =
x
= 1
d
sec360 =
d
=1
x
tan360 =
0
= 0
x
csc360 =
d
= 
0

SITUACIONES 1
En que cuadrante donde se ubican.
FUNCIÓN CUADRANTE SIGNO
sen 38
cos 70
tan 92 =
cos 135 =
tan 245 =
sen 290 =
cos 280 =

Funciones trigonométricas de ángulos de 30, 45 y 60
Trazamos un triángulo equilátero ABC de 2 unidades por lado, bisectamos
el ángulo C yformamos dos triángulos rectángulos iguales.
Como la suma de los ángulos interiores de un triángulo es de 180, cada
ángulo del triángulomide 60.
C
B
C A
2
Calcularemos el segmento CD por el teorema de
2
Pitágoras.
30
CD = (2)2
− (1)2
60 CD = 4 −1 = 3
B
D 1
Las funciones trigonométricas para los ángulos de 30 y 60 son:
sen 30 =
1
sen 60 =
3
2 2
cos 30 =
3 cos60 =
1
2 2
tan 30 =
1
=
3
tan 60 =
3
= 3
3 3 1
cot 30 =
3
= 3 cot 60 =
1
=
3
1 3 3
sec 30 =
2
=
2 3 sec 60 =
2
= 2
3 3 1
csc 30 =
2
= 2 csc60 =
2
=
2 3
1 3 3
2 2
30 30
60 60

Para determinar los valores de las funciones trigonométricas para un ángulo de 45, se considera
un cuadrado de 1 unidad, trazamos una diagonal.
1
B D B
45
1 1 1
45 45
C A C A
1 1
Aplicando el teorema de Pitágoras para calcular el segmento AB.
AB = (1)2
+ (1)2
AB = 1+1 = 2
Entonces las funciones trigonométricas son:
sen 45 =
1
=
2
cot 45 =
1
= 1
2 2 1
cos 45 =
1
=
2
sec45 =
2
= 2
2 2 1
tan 45 =
1
= 1 csc 45 =
2
= 2
1 1

Funciones trigonométricas de ángulos múltiplos de 30, 45 y 60
Utilizando las mismas figuras con que representamos los ángulos de 30, 45
y 60 podemos calcular cualquier múltiplo de ellos, siempre y cuando el lado
terminal no coincida con uno de losejes coordenados.
Situación: Cálculo del ángulo de 120
El ángulo de 120 se encuentra en el segundo cuadrante por lo tanto 180-
120 = 60 de donde elángulo del triángulo que se forma es de 60.
Por lo tanto las funciones son:
sen120 =
3
2
cot120 =
−1
= −
3
3 3
cos120 =
−1
2
sec120 =
2
= −2
−1
tan120 =
3
= − 3
−1
csc120 =
2
=
2 3
3 3
Cálculo del ángulo de 225
El ángulo de 225 se encuentra en el tercer cuadrante por lo tanto 225-180 = 45, de donde el
ángulo del triángulo que se forma es de 45.
sen225 =
−1
=
− 2
2 2
cot 225 =
−1
= 1
−1
cos225 =
−1
=
− 2
2 2
sec225 =
2
= − 2
−1
tan 225 =
−1
= 1
−1
csc 225 =
2
= − 2
−1
2
3
120
60
-1
225
-1
-1
45
2

3
sen330 =
−1
2
cot330 =
3
= −
cos330 =
3
2
sec330 =
−1
2
=
2 3
3 3
tan330 =
−1
= −
3
3
3
csc 330 = = −2
2
− 1
Cálculo del ángulo de 330
El ángulo de 330 se encuentra en el cuarto cuadrante por lo tanto 360-330 = 30, de donde el
ángulo del triángulo que se forma es de 30.
330 3
30
-1
2

SITUACIÓN 2
INSTRUCCIONES.- Grafica y determina los valores de las funciones trigonométricas de los
ángulos indicados a partir de los ángulos de 30,60 y 45.
1) 135
2) 150
3) 210

4) 240
5) 300
6) 315

SITUACIONES 3
INSTRUCCIONES.- Grafica y determina los valores de las funciones
trigonométricas de losángulos indicados a partir de los
ángulos de 30, 60 y 45
GRADOS F U N C I O N E S
sen cos tan cot sec csc
0
30
45
60
90
120
135
150
180

210
225
240
270
300
315
330
360

(3)2
+ (4)2
9 +16 25
1) Localiza el punto (4, 3) en un sistema coordenado y determina las funciones
trigonométricas del ángulo  que se forma.
(4, 3) Primero obtenemos la distancia “d” por el teorema de
Pitágoras:
d =
3
AB = = = 5
Por lo tanto las funciones trigonométricas son:
4
3
csc =
5
4
tan =
3
4
sec =
5
5
cos =
4
3
cot =
4
5
sen =
3

d
Funciones para un ángulo cualquiera
En el sistema de coordenadas rectangulares hay una relación que
establece que a cada par de números reales (x, y), corresponde un punto
definido del plano, y a cada punto del plano corresponde un par único de
coordenadas (x, y).
En el proceso de la gráfica hay que tomar en cuenta los signos de las
coordenadas para ubicarseen cada cuadrante.
Aplicando lo anterior en los siguientes ejemplos, tenemos que:

SITUACIONES 4
INSTRUCCIONES.- Determina las funciones trigonométricas del ángulo
sabiendo queguarda relación con los siguientes puntos.
1)A(6,7)
2)B(-4,5)
3)C(6,3)
4)D(2,-5)

5)E(-3,-1)
6)F(-5,-7)
7)G(-6,2)
8)H(2,2)

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