El documento trata sobre funciones matemáticas, enfocándose en las funciones lineales y cuadráticas. Se explican las definiciones, propiedades, representación gráfica y aplicaciones de ambas funciones, así como conceptos como pendiente y vértice. Además, se proporcionan ejemplos concretos para ilustrar el comportamiento de estas funciones en el plano cartesiano.

1. UNIVERSIDAD DE ORIENTE.
NÚCLEO DE MONAGAS.
UNIDAD DE ESTUDIOS BÁSICOS.
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS.
SECCIÓN DE MATEMÁTICA.
Profa.:
Milagros Coraspe
Bachilleres:
Julio Carrasquel C.I: 27299788
Norkarelys Ricardo C.I: 27706434
Nakarit Martínez C.I: 28474663
Maturín, Febrero del 2018

2. UNIVERSIDAD DE ORIENTE – NÚCLEO DE MONAGAS
 Introducción …………………………………………………………………………………..….. 1
 Funciones …………………………………………………………………………………..…….. 2
 Función lineal ………………………………………………………………………………..….... 3
*Pendiente………………………………………………………………………………………. 4
*Función creciente……………………………………………………………………………… 4
*Función decreciente…………………………………………………………………………… 4
*Función constante………………………………………...…………………………………… 4
*Ordenada…………………………………………………………………..………………….. 5
*Representación gráfica de una función lineal………………………………………………… 6
 Función cuadrática ……………………………………………………………………………….. 8
*Vértice………………………………………………………………………………………… 9
*Puntos de corte con el eje OX……………………………………..………………………… 10
*Puntos de corte con el eje OY…………………………………………………………..…… 10
*Eje de simetría …………………………………………………………………………….… 10
*Parábola ……………………………………………………………………………..………. 11
*Construcción de parábolas………………………………………………………...………… 12
 Aplicación de las funciones lineales ……………………………………………….…………… 13
 Aplicación de las funciones cuadráticas………………………………………………...………. 13
 Conclusión………………………………………………………………………………….…… 14
 Bibliografía…………………………………………………………………….………………... 15
Páginas

3. UNIVERSIDAD DE ORIENTE – NÚCLEO DE MONAGAS
Una función es una correspondencia entre dos conjuntos, llamados dominio y
codominio, de forma tal que a cada elemento del primer conjunto le corresponde
uno y sólo un elemento del segundo conjunto; una función conforma una
herramienta útil para describir, analizar e interpretar diferentes situaciones
provenientes de la Matemática y otras áreas. Existen distintos tipos de funciones,
sin embargo en esta investigación estudiaremos: la función lineal y la función
cuadrática. Las funciones de lineales son ecuaciones de primer grado, es una
función cuyo dominio son todos los números reales, cuyo codominio son también
todos los números reales, y cuya expresión es f(x) = ax+b; mientras que las
funciones cuadráticas son ecuaciones de segundo grado, la forma general de una
función cuadrática es f(x) = ax2+bx+c, la gráfica de una función cuadrática es una
parábola.
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4. Una función (f) es una relación entre un conjunto
dado X (llamado dominio) y otro conjunto de
elementos Y (llamado codominio) de forma que a
cada elemento x del dominio le corresponde un único
elemento f(x) del codominio (los que forman
el recorrido, rango o ámbito).
De manera más simple: Una función es una relación
entre dos magnitudes, de tal manera que a cada valor
de la primera corresponde un único valor de la
segunda.
Recordemos que una función es una correspondencia
entre los elementos de un conjunto de partida,
llamado Dominio, y los elementos de un conjunto de
llegada, llamado Codominio, de forma tal que a cada
elemento del dominio le corresponde uno, y solo uno,
en el codominio
Las funciones constituyen una herramienta útil para
describir, analizar e interpretar diferentes situaciones
provenientes de la Matemática y otras áreas.
Permite expresar relaciones entre variables y construir
modelos matemáticos para representar estas
relaciones.
Ejemplo:
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FUNCIÓN
La función se puede ilustrar mediante un
diagrama usando flechas para indicar la forma
en que se asocian los elementos de los dos
conjuntos.
Básicamente, hay tres formas para expresar
una función: mediante una tabla de valores,
mediante una expresión algebraica o mediante
una gráfica.
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5. Una función lineal f de un conjunto A en un conjunto B:
*Es una relación que hace corresponder cada elemento x
del conjunto A con un elemento f(x) del conjunto B.
*Esta relación es de la forma f(x) = a x+b con a y b
números reales.
Toda función de forma f(x) = a x+b se dice lineal siempre
que a ≠ 0. Lo que significa que los puntos de su gráfica
están alineados, de allí su nombre.
Una función lineal es una función cuyo dominio son todos
los números reales, cuyo codominio son también todos los
números reales, y cuya expresión analítica es un
polinomio de primer grado (los polinomios de primer
grado tienen la variable elevada al exponente 1, es
habitual no escribir el exponente cuando este es 1).
Definición: f: R→ 𝐑 / f(x) = a.x+b
Por ejemplo, son funciones lineales h: h(x) = 2x+5,
g: g(x) = -3x+7, f(x) = 2x+5+7x-3.
De estas funciones, vemos que la f no esta reducida y
ordenada como las demás. Podemos reducir términos
semejantes para que la expresión quede de una forma más
sencilla, f(x) = 9x+2.
UNIVERSIDAD DE ORIENTE – NÚCLEO DE MONAGAS
La representación gráfica de dichas funciones es
una recta, en un sistema de ejes perpendiculares.
La inclinación de dicha recta esta dada por la
pendiente a y la ordenada en el origen es b.
El punto de corte de la recta con el eje y es la
ordenada en el origen y la llamamos b.
FUNCIÓNLINEAL
Para trazar
la gráfica de una
función lineal solo
es necesario
conocer dos de
sus puntos.
Ejemplo:
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6. Pendiente
La pendiente es la inclinación de la recta con respecto
al eje de abscisas. El número a (coeficiente de la x) se
llama pendiente, y nos indica la inclinación de la recta.
La pendiente nos permite distinguir entre rectas
“ascendentes” y “descendentes” según aumenta x, y
comparar los grados de inclinación de rectas
diferentes.
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FUNCIÓNLINEAL
El valor de "a" siempre es una fracción (si no tiene
nada abajo, es porque tiene un 1), donde el
numerador (p) me indica cuanto sube o baja, y el
denominador (q) indica cuanto avanzo o retrocedo.
Aprendido esto, y según el signo de la fracción, la
pendiente se marca de la siguiente forma:
La pendiente indica la inclinación de la recta, cuanto
sube o baja y cuanto avanza o retrocede. Esto depende
del signo que tenga.
.
El valor de la pendiente determina si una función
lineal es creciente, decreciente o constante
*Función Creciente:
Su pendiente es positiva
(a>0) y el ángulo de
inclinación es agudo.
Ejemplo: f(x)= 3x-2
*Función Decreciente:
Su pendiente es
negativa (a<0) y el
ángulo de inclinación
es obtuso.
Ejemplo: f(x) = 5-4x
*Función Constante: Su
pendiente es igual a cero
(a=0), por lo tanto la
recta no tiene
inclinación.
Ejemplo: f(x)= -2
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7. Ordenada
La ordenada al origen (b) es el valor donde la recta corta al eje y. La recta siempre va a pasar por el punto
(0; b).
Ejemplo:
La ordenada al origen (3)
me indica que me debo
parar sobre el eje y en el
3.
También podemos graficar una función dando valores a x y obteniendo
dos puntos en las coordenadas.
Ejemplo:
Graficar la función dada por f(x) = 2x – 1
Solución
Como la función es lineal se buscan dos puntos de la recta; para ello, se
le dan valores a x y se encuentran sus imágenes respectivas, esto es:
Si x=0, se tiene que f (0) =2(0) –1=-1
Si x=2, se tiene que f (2) =2(2) – 1= 3
Así, los puntos obtenidos son (0, -1) y (2, 3), por los cuales se traza la
gráfica correspondiente.
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FUNCIÓNLINEAL
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8. UNIVERSIDAD DE ORIENTE – NÚCLEO DE MONAGAS
FUNCIÓNLINEAL
Representación gráfica de una función lineal
Para graficar una recta, alcanza con los datos que da la
ecuación matemática de la función, y se opera de la
siguiente manera:
1. Se marca sobre el eje y la ordenada al origen, el punto
por donde la recta va a cortar dicho eje.
2. Desde ese punto, subo o bajo según sea el valor de "p"
y avanzo o retrocedo según indique el valor de "q". En
ese nuevo lugar, marco el segundo punto de la recta.
3. Se podría seguir marcando puntos con la misma
pendiente, pero con 2 de ellos ya es suficiente como para
poder graficar la recta.
4. Teniendo ya los dos puntos, con regla se traza la recta
que pasa por los mismos.
Ejemplo:
Graficar las siguientes funciones lineales:
a) y = -3x + 4
b) y = 3
a) Grafiquemos de las dos maneras
1. Tabla de valores
2. Pendiente y ordenada
Pendiente = -3
Ordenada al origen = 4
b) y = 3. En este caso el coeficiente que acompaña
a la variable x es el 0. Esto quiere decir que la
pendiente de la recta es 0 (no tiene inclinación).
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9. UNIVERSIDAD DE ORIENTE – NÚCLEO DE MONAGAS
Una función lineal cumple además, que el incremento de los valores de los elementos del dominio
es proporcional al incremento de los valores en el codominio, siempre que a no sea cero.
Este número a se llama pendiente o coeficiente angular de la recta.
Volvamos a esto ejemplos de funciones lineales f: f(x) = 2x+5 , g: g(x) = -3x+7, h: h(x) = 4
f: f(x) = 2x+5 si x es 3, entonces f(3) = 2.3+5 = 11
si x es 4, entonces f(4) = 2.4+5 = 13
si x es 5, entonces f(5) = 2.5+5 = 15
Cada vez que la x se incrementa en 1 unidad, el resultado, esto es, f(x), se incrementa en 2 unidades.
Preste atención en que los valores de x y de f(x) NO SON PROPORCIONALES.
Lo que son proporcionales son los incrementos.
g: g(x) = -3x+7 si x= 0, entonces g(0) = -3.(0) +7 = 0+7 = 7
si x= 1, entonces g(1) = -3.(1) +7 = -3+7 = 4
si x= 2, entonces g(2) = -3.(2) +7 = -6+7 = 1
Cada vez que la x se incrementa en 1 unidad, el resultado, esto es, g(x), disminuye en 3 unidades.
h: h(x) = 4 si x= 0 , entonces h(0) = 4
si x= 98 , entonces h(98) = 4
Cada vez que la x se incrementa en 1 unidad, el resultado, esto es, h(x), NO aumenta. Es la función
constante. Su gráfica es una recta paralela al eje OX. Por ejemplo:
FUNCIÓNLINEAL
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10. UNIVERSIDAD DE ORIENTE – NÚCLEO DE MONAGAS
FUNCIÓNCUADRÁTICA
En matemática, una función cuadrática es toda
función que pueda escribirse de la forma:
f(x) =ax2 + bx +c
Donde a, b y c son números cualquiera, con la
condición de que a sea un numero distinto de
cero, x identifica una de las variables y f(x) es el
valor que se obtiene para x a través de la función f.
El punto (x; f(x)) pertenece al gráfico de la
función.
En una función cuadrática:
ax2 se denomina término cuadrático.
bx se denomina termino lineal.
c se denomina término independiente.
Son funciones polinómicas de segundo grado.
La representación gráfica de una función
cuadrática es una parábola. Una parábola abre
hacia arriba si a>0 y abre hacia abajo si a<0.
De vital importancia en matemáticas y física es
la función cuadrática o de segundo grado.
Una función polinómica de grado dos o función
cuadrática es la que corresponde a un
polinomio en x de segundo grado
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11. UNIVERSIDAD DE ORIENTE – NÚCLEO DE MONAGAS
FUNCIÓNCUADRÁTICA
La forma general de una función cuadrática es
f(x)=ax2+bx+c. La gráfica de una función cuadrática es
una parábola, un tipo de curva de 2 dimensiones.
La parábola "básica", y = x 2 , se ve así:
La función del coeficiente a en la ecuación general es de
hacer la parábola "más amplia" o "más delgada", o de
darle la vuelta (si es negativa):
Si el coeficiente de
x2 es positivo, la
parábola abre hacia
arriba; de otra
forma abre hacia
abajo.
El vértice
El vértice de una parábola es el punto en la parte baja
de la forma "U" (o la superior, si la parábola abre
hacia abajo). Por el vértice pasa el eje de simetría de
la parábola.
La ecuación para una parábola también puede
escribirse en la "forma vértice":
y = a ( x – h ) 2 + k
En esta ecuación, el vértice de la parábola es el punto
( h , k ). Puede ver como esto se
relaciona a la ecuación
estándar al multiplicarla:
y = a ( x – h )( x – h ) + k
y = ax 2 – 2 ahx + ah 2 + k
El coeficiente de x aquí es –
2ah. Esto significa que en la
forma estándar, y = ax 2 + bx +
c, la expresión -
𝑏
2𝑎
nos da la
coordenada en x del vértice
Ejemplo:
Encuentre el vértice de la parábola y = 3 x 2 + 12 x – 12
Aquí, a = 3 y b = 12. Así, la coordenada en x del vértice es:
-
12
2(3)
=-2
Sustituyendo en la ecuación original para obtener la coordenada
en y, obtenemos:
y = 3(–2) 2 + 12(–2) – 12 = –24
Así, el vértice de la parábola esta en ( – 2, – 24).
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12. UNIVERSIDAD DE ORIENTE – NÚCLEO DE MONAGAS
FUNCIÓNCUADRÁTICA
Puntos de corte con el eje OX
En el eje de abscisas la segunda coordenada es cero, por lo
que tendremos:
ax² + bx + c = 0
Resolviendo la ecuación podemos obtener:
Dos puntos de corte: (x1, 0) y (x2, 0) si b² − 4ac > 0
Un punto de corte: (x1, 0) si b² − 4ac = 0
Ningún punto de corte si b² − 4ac < 0
x₁ = 3
x₂ = 1
Ejemplo:
Punto de corte con el eje OY
En el eje de ordenadas la
primera coordenada es cero, por
lo que tendremos:
f(0) = a · 0² + b · 0 + c= c (0,c)
Ejemplo:
Puntos de corte con el eje OX
x² − 4x + 3 = 0
4± 16−12
2
=
4±2
2
(3, 0) (1, 0)
3. Punto de corte con el eje
OY
(0, 3)
Dese cuenta que – b /2 a es también la coordenada
en x del vértice de la parábola.
Ejemplo:
Encuentre el eje de simetría.
y = 2 x 2 + x – 1
Aquí, a = 2 y b = 1. Así, el eje de simetría es la
recta vertical x = -
𝟏
𝟒
El eje de simetría
El eje de simetría de una parábola es la recta
vertical a través del vértice. Para una parábola en la
forma estándar, y = ax 2 + bx + c , el eje de simetría
tiene la ecuación:
x = -
𝒃
𝟐𝒂
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13. UNIVERSIDAD DE ORIENTE – NÚCLEO DE MONAGAS
FUNCIÓNCUADRÁTICA
Parábola
La gráfica de una función cuadrática es una parábola.
Algunas parábolas cortan al eje de las X (eje de abscisas) en dos
puntos. Esos valores son las raíces (reales) o ceros del polinomio.
Podemos obtener esas raíces resolviendo una ecuación cuadrática:
ax²+bx+c = 0
Las soluciones de una ecuación cuadrática vienen dadas por:
x =
−𝒃± 𝒃 𝟐−𝟒𝒂𝒄
𝟐𝒂
El discriminante se define como:
𝜟 = b² - 4ac
Si el discriminante es mayor que 0, la ecuación cuadrática tiene dos
raíces reales, x1, x2. En este caso, podemos escribir la función
cuadrática descompuesta en sus factores de esta manera:
f(x) = a ( x - x₁)( x - x₂ )
Algunas parábolas solo tocan al eje de abscisas en un solo punto.
Esto ocurre cuando el
discriminante es igual a cero y la
solución de la ecuación cuadrática
es: x₁ = x₂ =
−𝒃
𝟐𝒂
En este caso decimos que la raíz es
una raíz doble. La función
cuadrática se factoriza así:
f(x) = a(x-x₁)²
Algunas parábolas no tocan ni cortan al eje de las x.
En este caso, el discriminante es menor que cero y la
ecuación cuadrática no tiene soluciones reales.
Cuando el coeficiente a es un número positivo, la
parábola se abre hacia arriba y si a es un número
negativo se abre hacia abajo. Aquí podemos ver más
ejemplos de parábolas con dos raíces reales, con una
sola raíz doble y sin raíces reales:
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14. Construcción de parábolas
También podemos representar funciones cuadráticas a
partir de las traslaciones de la función: y = x².
UNIVERSIDAD DE ORIENTE – NÚCLEO DE MONAGAS
FUNCIÓNCUADRÁTICA
x y = x²
-2 4
-1 1
0 0
1 1
2 4
1. Traslación
vertical
y = x² + k
Si k > 0, y = x² se
desplaza hacia
arriba k
unidades.
Si k < 0, y = x² se
desplaza hacia
abajo k unidades.
El vértice de la
parábola es: (0,
k).
El eje de simetría
x= 0.
y = x² +2 y = x² -2
2. Traslación
horizontal
y = (x + h)²
Si h > 0, y = x² se
desplaza hacia la
izquierda h
unidades.
Si h < 0, y = x² se
desplaza hacia la
derecha h unidades.
El vértice de la
parábola es: (-h, 0).
El eje de simetría es
x = -h.
y = (x + 2)² y = (x - 2)²
3. Traslación oblicua
y = (x + h)² + k
El vértice de la
parábola es: (-h, k).
El eje de simetría es
x = -h.
y = (x - 2)² + 2 y = (x + 2)² − 2
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15. UNIVERSIDAD DE ORIENTE – NÚCLEO DE MONAGAS
FUNCIÓNLINEALYCUADRÁTICA
Las funciones cuadráticas son utilizadas en
algunas disciplinas como, por ejemplo, Física,
Economía, Biología, Arquitectura. Son útiles para
describir movimientos con aceleración constante,
trayectoria de proyectiles, ganancias y costos de
empresas, variación de la población de una
determinada especie que responde a este tipo de
función, y obtener así información sin necesidad
de recurrir a la experimentación. Cuando se
estudia cómo cambia un proceso, es conveniente
encontrar un modo de representarlo
matemáticamente. Para ello se puede considerar
un recorte de la situación, identificar las variables
que se relacionan, vincularlas de alguna manera
(mediante expresiones matemáticas, tablas,
gráficos, etc.) y utilizar diversos conocimientos
matemáticos para analizar las relaciones que
existen entre ellas y que son importantes para que
el fenómeno se lleve a cabo. Algunos procesos se
estudian a partir de las funciones cuadráticas, las
cuales son un buen modelo para analizar
situaciones en las cuales una de las variables en
juego se relaciona con el cuadrado de la otra.
Esta función tiene diversas aplicaciones en diferentes
áreas, como en la economía, la física, la química entre
otras ciencias y áreas de conocimiento. Se aplica en
todo problema donde se relacionen dos variables
proporcionalmente. Se trabajan fundamentalmente
funciones de demanda, oferta, costo, ingreso,
ganancia. Se hacen análisis del punto de equilibrio de
mercado (intersección entre dos funciones),
interpretación de la pendiente, obtención de la
ecuación de demanda (ecuación de la recta),
representación y análisis de gráficos. La función
lineal debe analizarse, dándole interpretación
económica a la pendiente y la intersección, en las
distintas funciones lineales económicas que se
utilizan, tales como oferta, demanda, costos, ingreso,
ganancia y producción.
Son muchas las situaciones relacionadas con
fenómenos económicos que requieren ser expresados
a través de una relación funcional entre dos variables.
En particular la función lineal posee un elevado
número de aplicaciones económicas que deben ser
explicadas en su mayoría en las clases de
matemáticas.
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16. UNIVERSIDAD DE ORIENTE – NÚCLEO DE MONAGAS
La función lineal es un buen modelo para analizar situaciones en las cuales a variaciones
iguales de una variable corresponden cambios iguales de la otra variable. La fórmula que la
define es: f(x) = ax + b donde a y b son números cualesquiera, x identifica una de las
variables ( la independiente) y f(x) = y adopta los valores que se obtienen a medida que x
cambia (variable dependiente); en esta función encontramos la pendiente cual indica la
inclinación de la recta, puede ser creciente, decreciente o constante; la ordenada que es el
valor donde la recta corta al eje y; además, para graficar una recta, se puede realizar
mediante un tabla de valores o simplemente alcanza con los datos que da la ecuación
matemática de la función (pendiente y ordenada). Esta función tiene diversas aplicaciones en
áreas como la matemática, física, pero sobretodo en la economía para representación y
análisis. Mientras, la función cuadrática es una función de la forma f(x)= ax²+bx+c,
donde a, b y c son constantes y a es diferente de cero. La representación gráfica de una
función cuadrática es una parábola, una parábola abre hacia arriba si a > 0 y abre hacia abajo
si a < 0. El vértice de una parábola es el punto en la parte baja de la forma "U" (o la
superior, si la parábola abre hacia abajo); por el vértice pasa el eje de simetría de la parábola,
que es la recta vertical a través del vértice. Estas funciones son utilizadas en algunas
disciplinas como la física, economía, biología, arquitectura, entre otras son un buen modelo
para analizar situaciones en las cuales una de las variables en juego se relaciona con el
cuadrado de la otra.
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17. UNIVERSIDAD DE ORIENTE – NÚCLEO DE MONAGAS
http://www.monografias.com/trabajos100/matematicas-funciones-y-tipos-funciones/matematicas-
funciones-y-tipos-funciones.shtml#ixzz57y3Xzo9a
Conciencia matemática - 2 Segundo Año Matemática Educación Media- Colección Bicentenario
http://www.x.edu.uy/lineal.htm
http://www.tareasfacil.info/matematicas/funciones-y-graficos/Representacion-grafica-de-una-funcion-
lineal.php
https://www.geogebra.org/m/QyCn33kQ
http://massobrefuncionlineal.blogspot.com/2016/11/funcion-creciente-decreciente-y.html
http://contenidosdigitales.ulp.edu.ar/exe/matemática3/funcin_cuadrtica.html
https://www.ditutor.com/funciones/funcion_cuadratica.html
https://www.varsitytutors.com/hotmath/
http://www.matematicasvisuales.com/index.html
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