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FUNCION LINEAL
OSCAR LUIS PAJARO ARELLANO
FALENA ACEVEDO JHONSON
NOVENO
16 DE JUNIO DEL 2014
COLEGIO NAVAL DE CRESPO
PROPOSITO
Aprender a utilizar adecuadamente las herramientas atravez de las TIC
para crear ambientes de aprendizaje significativo en matemáticas y física
FUNCION LINEAL
Una función lineal es una función cuyo dominio son todos los números
reales, cuyo codominio también todos los números reales, y cuya expresión
analítica es un polinomio de primer grado.
La función lineal se define por la ecuación f(x) = mx + b ó y = mx + b
llamada ecuación canónica.
Donde m y b son constantes reales y x es una variable real. La constante
m es la pendiente de la recta, y b es el punto de corte de la recta con el eje
y. Si se modifica m entonces se modifica la inclinación de la recta, y si se
modifica b, entonces la línea se desplazará hacia arriba o hacia abajo.
Por ejemplo, son funciones lineales f(x) = 3x + 2 g(x) = - x + 7 h(x) = 4 (en
esta m = 0 por lo que 0x no se pone en la ecuación).
Esta es la gráfica de la función lineal y = 3x + 2
Vemos que m = 3 y b = 2 (de la forma y = mx + b)
Este número m se llama pendiente de la recta y es la relación entre la
altura y la base, aquí vemos que por cada unidad recorrida en x la recta
sube 3 unidades en y por lo que la pendiente es m = 3. & b es el intercepto
de la recta con el eje Y (donde la recta se cruza con el eje Y)
Volvamos al ejemplo de las funciones lineales
f(x) = 3x+2
Si x es 3, entonces f (3) = 3*3+2 = 11
Si x es 4, entonces f (4) = 3*4+2 = 14
Si x es 5, entonces f (5) = 3*5+2 = 17
Cada vez que la x se incrementa en 1 unidad, el resultado, esto es, f(x), se
incrementa en 3 unidades. Si el valor de la pendiente es positivo la función
es Creciente. Preste atención en que los valores de x y de f(x) NO SON
PROPORCIONALES. Lo que son proporcionales son los incrementos.
g(x) = -3x+7
Si x= 0, entonces g (0) = -3*(0) +7 = 0+7 = 7
Si x= 1, entonces g (1) = -3*(1) +7 = -3+7 = 4
Si x= 2, entonces g (2) = -3*(2) +7 = -6+7 = 1
Cada vez que la x se incrementa en 1 unidad, el resultado, esto es, g(x),
disminuye en 3 unidades. Si el valor de la pendiente es negativo la función
es Decreciente.
h(x) = 4
Si x= 0, entonces h (0) = 4
Si x= 98, entonces h (98) = 4
Cada vez que la x se incrementa en 1 unidad, el resultado, esto es, h(x),
NO aumenta. Es la función constante. Su gráfica es una recta paralela al
eje X.
Esta es la representación gráfica de los tres tipos de funciones descritas.
http://matefacil01.blogspot.com/2011/05/funcion-lineal.html
Las funciones lineales son polinomios de primer grado.
Recordemos que los polinomios de primer grado tienen la variable elevada
al exponente 1. Es habitual no escribir el exponente cuando este es 1.
Ejemplos de funciones lineales:
a(x) = 2x+7 b(x) = -4x+3 f(x) = 2x + 5 + 7x - 3
De estas funciones, vemos que la f no está reducida y ordenada como las
demás. Podemos reducir términos semejantes para que la expresión quede
de una forma más sencilla:
f(x) = 9x + 2
También recordemos que hemos convenido que cuando no establecemos
en forma explícita el dominio y el codominio de una función, supondremos
que es el mayor conjunto posible en cada caso.
Por ejemplo, si hablamos de la función f, de dominio real y codominio real,
tal que f(x)= 2x-6, anotaremos f: R ——-> R / f(x) = 2x-6 Siendo el dominio
todos los números reales, R, y el codominio también, todos los números
reales, R.
Esto se lee " f de R en R tal que f de x es igual a 2x-6"
Vamos a graficar esta función, que tal cual lo vimos en la definición, es una
función lineal por ser de primer grado. Para graficarla haremos una tabla
de valores.
f: R ——> R / f(x) = 2x-6
Una función lineal cumple además, que el incremento de los valores de los
elementos del dominio es proporcional al incremento de los valores en el
codominio, siempre que a no sea cero.
http://www.x.edu.uy/lineal.htm
EJEMPLOS
Una función lineal de una única variable dependiente x es de la forma:
y = m ; x + b ,
Que se conoce como ecuación de la recta en el plano x,y.
En la figura se ven dos rectas, que corresponden a las ecuaciones lineales
siguientes:
y = 0,5; {x} + 2 ,
En esta recta el parámetro m= 1/2 por tanto de pendiente 1/2, es decir,
cuando aumentamos x en una unidad entonces y aumenta en 1/2 unidad,
el valor de b es 2, luego la recta corta el eje y en el punto y= 2.
En la ecuación:
y = -{x} + 5
La pendiente de la recta es el parámetro m= -1, es decir, cuando el valor
de x aumenta en una unidad, el valor de y disminuye en una unidad; el
corte con el eje y es en y= 5, dado que el valor de b= 5.
En una recta el valor de m se corresponde al ángulo theta, de inclinación
de la recta con el eje de las x a través de la expresión:
m = tan theta ,
Funciones lineales de varias variables
Las funciones lineales de varias variables admiten también interpretaciones
geométricas. Así una función lineal de dos variables de la forma
f(x,y) = a_1 x + a_2 y ,
Representa un plano y una función
f(x_1,x_2,...,x_n) = a_1 x_1 + a_2 x_2 + ... + a_n x_n ,
Representa una hipersuperficie plana de dimensión n y pasa por el origen
de coordenadas en un espacio (n+1)-dimensional.
http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_lineal

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  • 2. PROPOSITO Aprender a utilizar adecuadamente las herramientas atravez de las TIC para crear ambientes de aprendizaje significativo en matemáticas y física
  • 3. FUNCION LINEAL Una función lineal es una función cuyo dominio son todos los números reales, cuyo codominio también todos los números reales, y cuya expresión analítica es un polinomio de primer grado. La función lineal se define por la ecuación f(x) = mx + b ó y = mx + b llamada ecuación canónica. Donde m y b son constantes reales y x es una variable real. La constante m es la pendiente de la recta, y b es el punto de corte de la recta con el eje y. Si se modifica m entonces se modifica la inclinación de la recta, y si se modifica b, entonces la línea se desplazará hacia arriba o hacia abajo. Por ejemplo, son funciones lineales f(x) = 3x + 2 g(x) = - x + 7 h(x) = 4 (en esta m = 0 por lo que 0x no se pone en la ecuación). Esta es la gráfica de la función lineal y = 3x + 2 Vemos que m = 3 y b = 2 (de la forma y = mx + b)
  • 4. Este número m se llama pendiente de la recta y es la relación entre la altura y la base, aquí vemos que por cada unidad recorrida en x la recta sube 3 unidades en y por lo que la pendiente es m = 3. & b es el intercepto de la recta con el eje Y (donde la recta se cruza con el eje Y) Volvamos al ejemplo de las funciones lineales f(x) = 3x+2 Si x es 3, entonces f (3) = 3*3+2 = 11 Si x es 4, entonces f (4) = 3*4+2 = 14 Si x es 5, entonces f (5) = 3*5+2 = 17 Cada vez que la x se incrementa en 1 unidad, el resultado, esto es, f(x), se incrementa en 3 unidades. Si el valor de la pendiente es positivo la función es Creciente. Preste atención en que los valores de x y de f(x) NO SON PROPORCIONALES. Lo que son proporcionales son los incrementos. g(x) = -3x+7 Si x= 0, entonces g (0) = -3*(0) +7 = 0+7 = 7 Si x= 1, entonces g (1) = -3*(1) +7 = -3+7 = 4 Si x= 2, entonces g (2) = -3*(2) +7 = -6+7 = 1 Cada vez que la x se incrementa en 1 unidad, el resultado, esto es, g(x), disminuye en 3 unidades. Si el valor de la pendiente es negativo la función es Decreciente. h(x) = 4 Si x= 0, entonces h (0) = 4 Si x= 98, entonces h (98) = 4
  • 5. Cada vez que la x se incrementa en 1 unidad, el resultado, esto es, h(x), NO aumenta. Es la función constante. Su gráfica es una recta paralela al eje X. Esta es la representación gráfica de los tres tipos de funciones descritas. http://matefacil01.blogspot.com/2011/05/funcion-lineal.html
  • 6. Las funciones lineales son polinomios de primer grado. Recordemos que los polinomios de primer grado tienen la variable elevada al exponente 1. Es habitual no escribir el exponente cuando este es 1. Ejemplos de funciones lineales: a(x) = 2x+7 b(x) = -4x+3 f(x) = 2x + 5 + 7x - 3 De estas funciones, vemos que la f no está reducida y ordenada como las demás. Podemos reducir términos semejantes para que la expresión quede de una forma más sencilla: f(x) = 9x + 2 También recordemos que hemos convenido que cuando no establecemos en forma explícita el dominio y el codominio de una función, supondremos que es el mayor conjunto posible en cada caso. Por ejemplo, si hablamos de la función f, de dominio real y codominio real, tal que f(x)= 2x-6, anotaremos f: R ——-> R / f(x) = 2x-6 Siendo el dominio todos los números reales, R, y el codominio también, todos los números reales, R. Esto se lee " f de R en R tal que f de x es igual a 2x-6"
  • 7. Vamos a graficar esta función, que tal cual lo vimos en la definición, es una función lineal por ser de primer grado. Para graficarla haremos una tabla de valores. f: R ——> R / f(x) = 2x-6 Una función lineal cumple además, que el incremento de los valores de los elementos del dominio es proporcional al incremento de los valores en el codominio, siempre que a no sea cero. http://www.x.edu.uy/lineal.htm
  • 8. EJEMPLOS Una función lineal de una única variable dependiente x es de la forma: y = m ; x + b , Que se conoce como ecuación de la recta en el plano x,y. En la figura se ven dos rectas, que corresponden a las ecuaciones lineales siguientes: y = 0,5; {x} + 2 , En esta recta el parámetro m= 1/2 por tanto de pendiente 1/2, es decir, cuando aumentamos x en una unidad entonces y aumenta en 1/2 unidad, el valor de b es 2, luego la recta corta el eje y en el punto y= 2. En la ecuación: y = -{x} + 5
  • 9. La pendiente de la recta es el parámetro m= -1, es decir, cuando el valor de x aumenta en una unidad, el valor de y disminuye en una unidad; el corte con el eje y es en y= 5, dado que el valor de b= 5. En una recta el valor de m se corresponde al ángulo theta, de inclinación de la recta con el eje de las x a través de la expresión: m = tan theta ,
  • 10. Funciones lineales de varias variables Las funciones lineales de varias variables admiten también interpretaciones geométricas. Así una función lineal de dos variables de la forma f(x,y) = a_1 x + a_2 y , Representa un plano y una función f(x_1,x_2,...,x_n) = a_1 x_1 + a_2 x_2 + ... + a_n x_n , Representa una hipersuperficie plana de dimensión n y pasa por el origen de coordenadas en un espacio (n+1)-dimensional. http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_lineal