El documento describe diferentes funciones polares que definen varias curvas como rosas polares, cardioides, lemniscatas, espirales y concoides. Presenta las ecuaciones polares que definen cada curva, analiza sus propiedades como rangos de valores, simetrías y puntos donde es tangente al origen. Incluye tablas con valores de las funciones en diferentes valores del ángulo polar.

1. GRÁFICAS POLARES
ROSAS POLARES...................................................................................................................................... 2
r = a sen(5θ); a > 0 .................................................................................................................................................................. 2
r = a cos(2θ); a > 0 .................................................................................................................................................................. 3
CARACOL CARDOIDE ............................................................................................................................... 4
r = a(1 + cos θ) ; a > 0 ........................................................................................................................................................... 4
r = a(1 − sen θ); a > 0 ...................................................................................................................... 5
LEMNISCATAS ......................................................................................................................................... 6
r = a ± bsen θ; a, b > 0 ........................................................................................................................................................... 6
r = a ± bcos θ ; a, b > 0 .................................................................................................................... 7
r2 = a2 sen(2θ); a > 0 .......................................................................................................................8
r2 = a2 cos(2θ); a > 0 .......................................................................................................................9
ESPIRALES............................................................................................................................................. 10
r = θ .............................................................................................................................................................................................. 10
r = eθ .............................................................................................................................................. 11
CONCOIDES .......................................................................................................................................... 12
r2 − 2r = sen(2θ) .................................................................................................................................................................... 12
r2 − 2r = cos(θ/2) .................................................................................................................................................................. 12
r = |asen(2θ)|; a > 0 ............................................................................................................................................................. 13
r = −3cos(2θ); θ ∈ [0; π] ................................................................................................................................................... 13
BIBLIOGRAFÍA ....................................................................................................................................... 14
WEBGRAFÍA.......................................................................................................................................... 14

2. GRÁFICAS POLARES
2
ROSAS POLARES:
I. 퐫 = 퐚 퐬퐞퐧(ퟓ훉); 퐚 > ퟎ
Para poder analizar asumimos que a = 1
r = sen(5θ)
퐄퐱퐭퐞퐧퐬퐢ó퐧
−1 ≤ sen(5θ) ≤ 1 r(máx) = 1
−1 ≤ r ≤ 1 r(mín) = −1
∴ r es finito
퐈퐧퐭퐞퐫퐜퐞퐩퐭퐨퐬:
θ = 0 → r = 0; θ =
π
2
→ r = 1 ; θ = π → r = 0; θ =
3π
2
→ r = 0
퐒퐢퐦퐞퐭퐫í퐚퐬:
Solo existe simetría con el eje normal Y, pues la ecuación no varía al reemplazar θ por − θ y r por
− r.
퐑퐞퐜퐭퐚퐬 퐭퐚퐧퐠퐞퐧퐭퐞퐬 퐚퐥 퐩퐨퐥퐨:
Si r = 0 → 0 = sen(5θ)
π
5
θ = k (
) ; k ∈ Z
Analizamos para θ ∈ [0; 2π]
θ = 0 ; π/5; 2π/5 ; 3π/5 ; 4π/5 ; π;
6π
5
; 7π/5; 8π/5; 9π/5; 2π
퐓퐚퐛퐮퐥퐚퐜퐢ó퐧:
θ 0 π
/25
2π
/25
π
10
3π
/25
4π
/25
9π
10
π
/5
6π
/25
7π
/25
13π
10
8π
/25
9π
/25
2π
/5
r 0 0,6 0,95 1 0,95 0,6 1 0 -
0,6
-
0,95
1 -
0,95
-
0,6
0

3. 3
II. 퐫 = 퐚 퐜퐨퐬(ퟐ훉); 퐚 > ퟎ
Asumiendo que a = 1
r = cos(2θ)
퐄퐱퐭퐞퐧퐬퐢ó퐧
−1 ≤ cos(2θ) ≤ 1 r(máx) = 1
−1 ≤ r ≤ 1 r(mín) = −1
∴ r es finito
퐈퐧퐭퐞퐫퐜퐞퐩퐭퐨퐬:
θ = 0 → r = 1; θ =
π
2
→ r = −1 ; θ = π → r = 1; θ =
3π
2
→ r = −1
퐒퐢퐦퐞퐭퐫í퐚퐬:
Existe simetría con el eje normal Y y el eje polar X, pues la ecuación no varía al reemplazar θ por
− θ y r por − r.
퐑퐞퐜퐭퐚퐬 퐭퐚퐧퐠퐞퐧퐭퐞퐬 퐚퐥 퐩퐨퐥퐨:
Si r = 0 → 0 = cos(2θ)
π
4
θ = k (
) ; k ∈ Z
Analizamos para θ ∈ [0; 2π]
θ = 0 ; π/4; π/2 ; 3π/4 ; π
퐓퐚퐛퐮퐥퐚퐜퐢ó퐧:
θ 0 π/4 π/2 3π/4 π
r 1 0 1 0 1

4. 4
CARACOL CARDIODE:
III. 퐫 = 퐚(ퟏ + 퐜퐨퐬 훉) ; 퐚 > ퟎ
Asumiendo que a = 1
r = 1 + cos θ
퐄퐱퐭퐞퐧퐬퐢ó퐧
−1 ≤ cos(θ) ≤ 1 r(máx) = 2
0 ≤ r ≤ 2 r(mín) = 0
∴ r es finito
퐈퐧퐭퐞퐫퐜퐞퐩퐭퐨퐬:
θ = 0 → r = 2; θ =
π
2
→ r = 1 ; θ = π → r = 0; θ =
3π
2
→ r = 1
퐒퐢퐦퐞퐭퐫í퐚퐬:
Solo existe simetría con el eje polar X, pues la ecuación no varía al reemplazar θ por − θ.
퐑퐞퐜퐭퐚퐬 퐭퐚퐧퐠퐞퐧퐭퐞퐬 퐚퐥 퐩퐨퐥퐨:
Si r = 0 → 0 = 1 + cos(θ) → cos(θ) = −1
θ = π;
Por lo tanto, la recta θ = π es la única que pasa por el origen que es tangente a la gráfica del polo.
퐓퐚퐛퐮퐥퐚퐜퐢ó퐧:
θ 0 π/6 π/3 π/2 2π/3 5π/6 π
r 2
√3
2
1 + (
)
3
2
1 1 −
1
2
√3
2
1 − (
)
0
Cuando θ aumenta de 0 a π, cosθ disminuye de 1 a − 1, y r = 1 + cos θ disminuye desde 2 hasta 0.

5. 5
IV. 퐫 = 퐚(ퟏ − 퐬퐞퐧 훉); 퐚 > ퟎ
Asumiendo que a = 1
r = 1 − sen(θ)
퐄퐱퐭퐞퐧퐬퐢ó퐧
−1 ≤ sen(θ) ≤ 1 r(máx) = 2
0 ≤ r ≤ 2 r(mín) = 0
∴ r es finito
퐈퐧퐭퐞퐫퐜퐞퐩퐭퐨퐬:
θ = 0 → r = 1; θ =
π
2
→ r = 0 ; θ = π → r = 1; θ =
3π
2
→ r = 2
퐒퐢퐦퐞퐭퐫í퐚퐬:
Solo existe simetría con el eje normal Y, pues la ecuación no varía al reemplazar θ por − θ y r por
− r.
퐑퐞퐜퐭퐚퐬 퐭퐚퐧퐠퐞퐧퐭퐞퐬 퐚퐥 퐩퐨퐥퐨:
Si r = 0 → 0 = 1 − sen(θ) → sen(θ) = 1
π
2
θ = (
) ;
Por lo tanto, la recta θ =
π
2
es la única que pasa por el origen que es tangente a la gráfica del polo.
퐓퐚퐛퐮퐥퐚퐜퐢ó퐧:
θ 0 π/6 π/3 π/2 2π/3 5π/6 π
r 1 1 − (
1
2
√3
2
) 1 − (
)
0
√3
2
1 − (
1
2
) 1 − (
) 0

6. 6
LEMNISCATAS:
V. 퐫 = 퐚 ± 퐛퐬퐞퐧 훉; 퐚, 퐛 > ퟎ
Asumiendo que a = 1; b = 2
r = 1 + 2sen θ
퐄퐱퐭퐞퐧퐬퐢ó퐧
−1 ≤ sen(θ) ≤ 1 r(máx) = 3
−1 ≤ r ≤ 3 r(mín) = −1
∴ r es finito
퐈퐧퐭퐞퐫퐜퐞퐩퐭퐨퐬:
θ = 0 → r = 1; θ =
π
2
→ r = 3 ; θ = π → r = 1; θ =
3π
2
→ r = −1
퐒퐢퐦퐞퐭퐫í퐚퐬:
Solo existe simetría con el eje normal Y, pues la ecuación no varía al reemplazar θ por − θ y r por
− r.
퐑퐞퐜퐭퐚퐬 퐭퐚퐧퐠퐞퐧퐭퐞퐬 퐚퐥 퐩퐨퐥퐨:
Si r = 0 → 0 = 1 + 2sen(θ) → sen(θ) = −1/2
7π
6
θ = (
11π
6
) ; (
)
퐓퐚퐛퐮퐥퐚퐜퐢ó퐧:
θ 0 π/6 π/2 5π/6 π 7π/6 3π/2
r 1 2 3 2 1 0 −1
Gráfica 1: r = 1 + 2senθ Gráfica 2: r = 1 − 2senθ

7. 7
VI. 퐫 = 퐚 ± 퐛퐜퐨퐬 훉 ; 퐚, 퐛 > ퟎ
Asumiendo que a = 1; b = 2. Analizamos:
r = 1 + 2cos θ
퐄퐱퐭퐞퐧퐬퐢ó퐧
−1 ≤ cos(θ) ≤ 1 r(máx) = 3
−1 ≤ r ≤ 3 r(mín) = −1
∴ r es finito
퐈퐧퐭퐞퐫퐜퐞퐩퐭퐨퐬:
θ = 0 → r = 2; θ =
π
2
→ r = 1 ; θ = π → r = −1; θ =
3π
2
→ r = 1
퐒퐢퐦퐞퐭퐫í퐚퐬:
Solo existe simetría con el eje polar X, pues la ecuación no varía al reemplazar θ por − θ .
Rectas tangentes al polo:
Si r = 0 → 0 = 1 + 2cos(θ) → cos(θ) = −1/2
2π
3
θ = (
4π
3
) ; (
)
퐓퐚퐛퐮퐥퐚퐜퐢ó퐧:
θ 0 π/3 π/2 2π
3
π 4π/3 3π/2 5π
3
r 2 2 1 0 -1 0 1 2
Gráfica 1: r = 1 + 2cosθ Gráfica 2: r = 1 − 2cosθ

8. 8
VII. 퐫ퟐ = 퐚ퟐ 퐬퐞퐧(ퟐ훉); 퐚 > ퟎ
Asumiendo que a = 1
r = √sen(2θ)
퐄퐱퐭퐞퐧퐬퐢ó퐧
0 ≤ sen(2θ) ≤ 1 r(máx) = 1
0 ≤ r ≤ 1 r(mín) = 0
∴ r es finito
퐈퐧퐭퐞퐫퐜퐞퐩퐭퐨퐬:
θ = 0 → r = 0; θ =
π
2
→ r = 0 ; θ = π → r = 0; θ =
3π
2
→ r = 0
퐒퐢퐦퐞퐭퐫í퐚퐬:
No existe simetría con el eje normal Y, pues la ecuación varía al reemplazar θ por − θ y r por
− r y tampoco con el eje polar X pues varía al reemplazar θ por − θ.
퐑퐞퐜퐭퐚퐬 퐭퐚퐧퐠퐞퐧퐭퐞퐬 퐚퐥 퐩퐨퐥퐨:
Si r = 0 → 0 = √sen(2θ) → sen(2θ) = 0
θ = 0;
π
2
; π;
3π
2
; 2π; …
퐓퐚퐛퐮퐥퐚퐜퐢ó퐧:
θ −3π/4 −5π/9 0 π/8 π
4
π/2 7π/16 π
r 1 0,34 0 1/√2 4 1 0 −1/ √2 4 0

9. 9
VIII. r2 = a2 cos(2θ) ; a > 0
Asumiendo que a = 1
r = √cos(2θ)
Extensión
0 ≤ cos(2θ) ≤ 1 r(máx) = 1
0 ≤ r ≤ 1 r(mín) = 0
∴ r es finito
Interceptos:
θ = 0 → r = 1; θ =
π
2
→ r ∄ ; θ = π → r = 0; θ =
3π
2
→ r ∄
Simetrías:
Existe simetría con el eje normal Y,pues la ecuación no varía al reemplazar θ por − θ y r por
− r y tampoco con el eje polar X pues no varía al reemplazar θ por − θ.
Rectas tangentes al polo:
Si r = 0 → 0 = √cos(2θ) → cos(2θ) = 0
θ =
π
4
;
3π
4
Tabulación:
θ −π −π/4 0 π/4 π
4
π/8
r 1 0,34 1 0 1 0,84

10. 10
ESPIRALES:
IX. r = θ
Extensión
−∞ ≤ θ ≤ ∞ ∴ r es infinito
−∞ ≤ r ≤ ∞
Interceptos:
θ = 0 → r = 0; θ =
π
2
→ r =
π
2
; θ = π → r = π; θ =
3π
2
→ r =
3π
2
Simetrías:
Solo existe simetría con el eje normal Y, pues la ecuación no varía al reemplazar
θ por − θ y r por − r.
Rectas tangentes al polo:
Si r = 0 → 0 = θ
Por lo tanto, la recta θ = 0 es la única que pasa por el origen que es tangente a la gráfica del polo.
Tabulación:
θ −2π −π 0 π/4 3π/4 π 2π
r −2π −π 0 π/4 3π/4 π 2π

11. π
2 ≈ 4,8 eπ ≈
11
X. r = eθ
Extensión
e = valor entero positivo ≈ 2,72
0 < eθ ≤ ∞ ; 0 < 푟 ≤ ∞
Además lim
θ→−∞
eθ = 0 ∴ r es infinito
Interceptos:
θ = 0 → r = 1; θ =
π
2
→ r ≈ 4,8 ; θ = π → r ≈ 23,18; θ =
3π
2
→ r = 111,65
Simetrías:
No existe simetría con el eje normal Y, pues la ecuación varía al reemplazar θ por − θ y r por
− r. Ni con el eje polar X pues varía al reemplazar θ por − θ .
Rectas tangentes al polo:
Si r = 0 → 0 = eθ
No existe θ que haga eθ = 0. Por lo tanto no existen rectas tangentes al polo.
Tabulación:
θ −π π
2
π 3π
2
2π
r e−π ≈ 0,043 e
23,18
3π
e
2 ≈
4,8
e2π ≈ 111,2

12. 12
CONCOIDES:
XI. r2 − 2r = sen(2θ)
r = 1 + √sen(2θ) + 1
r = 1 − √sen(2θ) + 1
XII. r2 − 2r = cos(θ/2)
r = 1 + √cos(θ/2) + 1

13. 13
r = 1 − √cos(θ/2) + 1
XIII. r = |asen(2θ)|; a > 0
XIV. r = −3cos(2θ); θ ∈ [0; π]

14. BIBLIOGRAFÍA:
 A. VENERO B. “Análisis Matemático 2”
 L. HOSTETLER EDWARDS “Cálculo 2”. Edit. Mc Graw Hill
 M. VILLENA MUÑOZ “Coordenadas Polares”
WEBGRAFÍA:
 http://www.itsbasicas.com/silvia/vectorial/Gr%E1ficas%20de%20ecuaciones
%20polares-zill-material%20de%20apoyo.pdf
 http://www.monografias.com/trabajos89/grafica-ecuacion-polar-rosa/
grafica-ecuacion-polar-rosa.shtml
14